三角函数化简求值常用技巧

三角函数化简求值常用技巧
三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一。

掌握化简和求值问题的解题规律和一些常用技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍。

这也是解决三解函数问题的前提和出发点。

一、切割化弦
例1、已知 )2(cot tan
22≥=+m m x x ，求x
x 4cos 14cos 3-+的值。

解： 2
4cos 14cos 34cos 1)4cos 3(24cos 12cos 444cos 1)2cos 1(484cos 12sin 48)4cos 1(812sin 2112sin 412sin 2112sin 41cos sin 2)cos (sin cos sin cos sin sin cos cos sin 2
cot tan 2222222222222244222222m x x m x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-+∴=-+=-+=---=--=--=-=-+=+=+∴=+Θ 点评：由已知式与待求式的差异知，若选择“从已知到未知”，必定要“切切割化弦”；利用降幂公式实现已知与未知的统一。

二、统一配凑
例2、已知
2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=13
12,sin(α+β)=－53,求sin2α的值. 解：注意到2α= (α－β)+(α+β)，于是可用配凑法求解。

∵2π＜β＜α＜43π,∴0＜α－β＜4π.π＜α+β＜4
3π, ∴sin(α－β)=.5
4)(sin 1)cos(,135)(cos 122-=+--=+=--βαβαβα ∴sin2α=sin ［(α－β)+(α+β)］
=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β)
.6556)53(1312)54(135-=-⨯+-⨯=
点评：本题以凑角的形式来实现未知与已知的统一，这是三角函数化简求值的常用技巧之一。

三、异角化同
例3、已知cos(4π+x )=53，(12
17π＜x ＜47π)，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值. 75285
3)54(257)4cos()4sin(2sin sin cos cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 54)4sin(,2435,471217.257)4(2cos 2sin ,53)4cos(:22=-⨯=++=-+=-+=-+-=+∴<+<∴<<=+-=∴=+x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππ
又解Θ 点评：本题求解关键是将如何将已知条件中的角与目标关系式中的角统一起来。

从变角
方式上来寻求解题思路这也是三角函数化简求值的常用技巧之一。

四、公式活用.
例4、求sin 220°+cos 2
80°+3cos20°cos80°的值.
解：sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80° =
21 (1－cos40°)+2
1 (1+cos160°)+ 3sin20°cos80° =1－21cos40°+2
1cos160°+3sin20°cos(60°+20°) =1－21cos40°+2
1 (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)
=1－21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－2
3sin 220° =1－43cos40°－43(1－cos40°)= 4
1 点评：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高. 求解关键是：熟练灵活应用三角公式，进行等价变形，以达化简求值的目的。

五、整体构式。

例5 、求sin 2200+cos 2500+sin200cos500的值。

解：令x= sin 2200+cos 2500+sin200cos500，y= cos 2200+ sin 2500+ cos 200 sin 500 则x+y=2+sin700………① x-y= -
070sin 21- ……….②, ①+②得x=43，故原式=4
3 点评：本题巧妙构造对偶对称式结合正余弦的平方关系整体求解。

较之利用两角和、二倍角公式及降幂求值的方法简单得多。

六、巧妙联想
例6、求sin 2180+cos 2480+sin180cos480的值。

解：令A=180，B=420，从而C=1200，从而有A+B+C=1800，在三角形ABC 中，由余弦定理
知：)1.......(cos 2222
C ab b a c -+=，结合正弦定理：
C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===（其中R 为三角形的外接圆的半径）……(2),
将（2）代入（1）式，则有：C B A B A C cos sin sin 2sin sin sin 222-+=
而sin 2180+cos 2480+sin180cos480= sin 2180+sin 2420-2sin180sin420cos1200=sin 21200=43. 点评：待求式的特殊的结构形式会使人联想起正余定理，从而从角度和形式得到一个很重要
的定理：在ABC ∆中，C B A B A C cos sin sin 2sin sin sin 222-+=，逆用公式实现化
简求值的目的。

七、系数替换 例、.cos cos sin 21,3)4tan(2的值求
已知α
αααπ
+=+。

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51tan 21tan cos cos sin 2cos sin cos cos sin 21.21tan 3tan 1tan 13)4tan(22222=++=++=+=⇒=-+⇒=+ααααααααααααααπ：解 点评：本题如能将待求式中的“1”替换成“αα22cos sin +”，则问题便迎刃而解。

系数代换也是三角化简求值最为常见的技巧之一。