高级数理逻辑第5讲全解

4.5 一阶谓词语义系统 4.5.1 什么是形式系统语义抽象公理系统或者形式系统，具有较高的抽象性。

因此，已经脱离了任何一个具体的系统，但是我们可以对形式系统作出各种解释。

通过这种解释将形式系统对应到各种具体的系统中取。

例如可以将一阶谓词逻辑系统，解释到平面几何系统中。

怎样将形式系统解释成具体系统呢？我们先看下面的例子：如果我们要知道)),1((x f xP ∀的具体的真值=1，我们至少要知道以下事情： 1、 x 在什么范围之内，x 范围是实数。

2、 f 是什么？ (X+1)3、 P 是什么？P 代表的是大于＝04、 a=？a=15、 x=?，x ＝5，－4例如，我们可以作出以下解释： 1、解释1：● x 在实数中取值 ● P 表示等于0●),(a x f 表示x-a● a=5因此，公式解释为05==-x 。

令x=5, 则1))),(((=x a f P v s(x) ->5s(f(a,x) ->I(f)(I(a),s(x)) 令x=6，则0))),(((=x a f P u 2、解释2：● x 在实数中取值 ● P 表示大于等于0●),(a x f 表示2)(a x -因此，公式解释为0)(2>=-a x 。

这个公式不必对a 和x 作出具体解释，就可以确定公式的真值。

即对于任何实数x ，和赋值映射v ，1)))(((2=-a x P v 。

由上面的例子可以看出，要对形式系统作出解释，我们要了解以下问题：✓x取值于哪里？即规定讨论问题的领域。

✓给出谓词的含义和谓词的真值✓给出函数的解释✓给出变量和常量的值✓根据连接词的赋值规则，赋值这就是我们要研究的语义系统－指称语义的主要内容。

现代逻辑语义学理论的创始人是美籍波兰逻辑学家、哲学家A. Tarski，其奠基性文章是他在1933年发表的《形式语言中的真实概念》。

后来被称为模型论—标准语义学理论。

进一步的发展由维特根斯坦最早提出设想，卡尔纳普最早把它展开为系统。

这体现在他1947年发表的《意义和必然性》一书中；卡普兰·克里普克(S.kripke)和蒙太古作出了进一步的贡献，提出了非经典逻辑的语义学理论—模态逻辑语义学(克里普克结构)。

4.5.2形式语义基本概念1、指称语义：语义是由语义结构和以及在这种结构下公式赋真值的规定构成的。

2、语义结构：对于抽象公理系统或形式系统作出的一种解释。

包括个体域和在这种个体域上的个体运算和个体间关系。

下面给出形式系统语义的定义：3、形式语义：设FS是已经存在的形式系统，FS的语义有语义结构和赋值两个部分组成：a)语义结构：当FS的项集TERM不为空时，由非空集合U和规则组I所组成二元组（U，I），称为形式系统FS的语义结构。

其中U和I的性质如下：i.U为非空集合，称为论域或者个体域；ii.规则组I，称为解释，根据规则组的规定对项集TERM中的成员指称到U 中的个体；规定对原子公式如何指称到U中的个体性质（U的子集）、关U的子集）。

系（nb)指派：若形式系统FS中的变量集合Variables非空，那么下列映射称为指派：s：varibles－>U。

对于给定的语义结构，可以将指派扩展到项集TERM上：s：TERM－>U；s＝S(t) 当t 为变元S指派t中变元由解释确定当t为非变元F(x,a) = I(f) (x, I(a)) = s1( I(f) (x, I(a))) = I(f) (s(x), I(a))P(f(a,x)) =I(P)(I(f)(a,s(x)))c)赋值：是指一组给公式赋值的规则，据此规则可对每一结构U和指派S确定一由原子公式到值域的映射v：atomic－>value。

根据这个赋值规则，可以将赋值映射进行扩展：v为v：d) 可满足：公式A 称为可满足，如果存在结构S 与指派s ，使一个赋值映射v 满足v(A)=1,否则为不可满足。

|=P(f(x,y))F(x,y) s(x,y)=(1,2) s(f(x,y))=I(f)(1,2)=I(f)(s(x),s(y)) V(P(x,y)=V(I(P)(s(x),s(y))→V(I(Q)(s(x)))4.5.3 一阶谓词语义1、语义结构：一阶谓词形式系统采用TARSKI 语义结构。

这种语义结构以}1,0{=VALUE 为其真值集合。

每一个Tarski 语义结构S ，由非空集合U 和下列解释I 构成：i ． 常元：对于任一常元a, I(a)∈U, I(a)记为a ，为论域中的一个元素；ii ．函数： 对于任一n 元函数)(,n n f I f 为U 的一个n 元函数，记为n f ：U U n →；iii ．谓词：对于任一n 元谓词nP ，)(n P I 为U 上的一个n 元关系，记为)(n P，n n U P ⊆。

当n=1时，1P 为U 的子集。

2、指派：指派S 为变元集合{}.......,21r r 到U 上的映射。

S 可以扩展为U TERM S →:： F(a,x)S(x)=5 S(f(a,x))=I(f)(I(a),S(x))= I(f)(I(a),5)i ． 对于每一变元v ：)()(v S v S =； ii ． 对于每一常元a ：)()(a I a a S ==； iii ．对于每一个n 元函词f n 和项t 1，t 2…….t n ：).......)(),(()).......((21)(1)(t S t S f t t f S n n n =S(F(x1,x2))=F(S(x1),S(x2))由此可见，指派与结构无关，而S 与结构相关。

3、赋值：i ．赋值映射v ：Atomic →{}1,0定义为：对任何n 元谓词)(n P及项t 1……t n ，1)))(),......(((1)(=n n t S t S P v 当且仅当<)(),......(1n t S t S >)(u P ∈，其中)()()(n u P I P =。

Y>=X+1P(x,y), I(P)={<1,2>,<2,1>,<2,3><3,2> }, s(x)==3, s(y)=2?;;; I(P)(s(x),s(y))::P(<3,2>)=1 ii ．赋值映射v 按下列规则扩展，{}1,0:→Formula v ： ● 对原子公式A ：)()(A v A v =；● 对于公式B ⌝，1)(=⌝B v 当且仅当0)(=B v ；● 对于公式B A →，1)(=→B A v 当且仅当,0)(=A v 或1)(=B v ； ● 对公式xA ∀，1)(=∀xA v 当且仅当对于U 中每一元素d ，[]1))|((=d x S A v ，其中[])|(d x S A 表示指派S 对x 指派元素d 。

4、所有公理为永真式：我们从公理中取公理5来证明，即证明|=)()(xB xA B A x ∀→∀→→∀为永真式。

已知：),(B A x →∀=1 求证：)(xB xA ∀→∀=1任意取一个结构，和这个结构任意一个指派，对于任意一个赋值f ，满足 f(),(B A x →∀)=1，则f()(xB xA ∀→∀)=1.任意取一个结构,一个赋值映射f ，f 满足f(),(B A x →∀)=1： 证明：f()(xB xA ∀→∀)=1.f(),(B A x →∀)=1, f(xA ∀)=1,证明:f(xB ∀)=1 D, B(d)=1;f((A →B)(d))=1 f(A(d)→B(d))=1; f(A)(d)=1f(A(d))=0,或者f(B(d))=1;;; f(A)(d)=1 f(B(d))=1对于论域中的任意一个个体，d, f(A(d)→B(d))=1, f(A(d))=1, F(B(d))=1f( (A(S[x|d])→B(S[x|d])) =1 A(d)=1,A(d)→B(d) 对于论域中的任意一个个体，d, f(A(S[x|d]))＝1求证：对于论域中的任意一个个体，d, f(B(S[x,|d])＝1证明：只要证明对任意结构U 和指派S ，对于任一赋值v ：1))()((=∀→∀→→∀xB xA B A x v 成立。

由演绎定理可知，要证明╞)()(xB xA B A x ∀→∀→→∀，则只需证明：xA B A x ∀→∀),(╞xB ∀。

因此，只需证明对于任意结构U 和指派S ，如果U 和S 满足：╞)(B A x →∀和╞xA ∀成立；则在结构U 和指派S 下 ╞xB ∀在S 和U 下成立。

只需对任意元素d ，进行验证： 对于)|(d x S 和任意赋值v 由于：[]1))|()((=→d x S B A v （1）已知 []1))|((=d x S A v（2）已知由（1）可知，或者[]0))|((=d x S A v 或者[]1))|((=d x S B v 。

由（2）可知，[]1))|((=d x S A v ，因此[]1))|((=d x S B v 。

因此，命题成立。

5、语义构造的例子一阶谓词形式系统的语义结构为：只有一个函词、一个谓词和一个常元的形式系统（推理和符号与一阶谓词相同）。

P2, f1,a个体域：},23,1{ =U ，即自然数集合N 谓词：)2(P 为N 上的≤关系。

函词：)1(f为N 上的后继，即1)()1(+=x x f常元：1=a判断以下公式的真值：))(,(v f a P =1)),((2121v v f P v v ∃∀ ∀v1∃v2P(v1+1,v2)=1P(x1+1, x1+2))),((222v v f P v ∃=04.6 一阶元理论 4.6.1 语法构成对于一阶谓词形式系统的语法构成，主要有以下定理：✓ 独立性：FSFC 的公理集合是独立的。

✓ 一致性：FSFC 是一致的，即不存在FSFC 的公式A ，使├A 及├A ⌝同时成立✓ FSFC 是不完全的，即存在FSFC 的公式A ，使├A 及├A ⌝都不成立。

只需证明对于原子公式P(x), ├P(x), ├)(x P ⌝均不成立。

* FSFC 的不一致扩充为完全的。

A4 -(A-->(B-->A))✓ 半可判定性：FSFC 是半可判定的，即存在一个机械的实现过程，能对FSFC中的定理作出肯定判断，但对非定理的FSFC 公式未必能作出否定判决。

推广：设∑为FSFC 的一个可判定公式集（递归集），那么∑的演绎结果集合{}A A →∑|是半可判定的。

4.6.2 语义结构对于一阶谓词形式系统的语义主要有以下定理： ✓ 紧致性：对FSFC 的任何公式集合，如果∑的所有有穷子集可满足，那么∑也是可满足的。