河南省郑州一中2019届高三高考适应性测试数学理科含答案
河南省郑州一中2019届高三第四次联合质量测评(理数参考答案)
河南省郑州一中2019届高三第四次联合质量测评
数学（理科）参考答案
数学试题命题质量报告
总体看来，本次联考试卷设计合理，梯度适中，覆盖面广，以重点知识构建试卷的主体，既注重基础、通则通法，对知识点的考查又不失灵活，突出能力立意，整体难度较去年真题有所下降。
试卷平和贴切，坡度适中，层次鲜明，稳中求变。
试题的命制突出了日常教学以课本为主线、坚持对基础知识、数学思想方法进行考查，宽角度、多视点、有层次地考查了数学理性思维能力，考生对数学本质的了解能力及考生的数学素养和潜能。
试卷对中学教育有很好的导向作用，但同时试题中出现的变化和新意，要想真正得到高
分，除了扎实的基本功，还需要较高的学科能力。
试卷加强基础性和创新性，以数学基础知识、基本能力、基本思想方法为考察重点，注重对数学通性通法的考察。
考察时从学科整体意义和思想价值的高度立意，淡化特殊技巧，加强针对性，有效地检测学生对数学知识中所蕴含的数学思想方法的掌握程度。
理数的第4题、文数的第6题试题考察了函数在实际生活中的应用，理数的第4题、文数的第8题等试题考察了空间几何能力与数形结合的思想，理数的第15题、第19题，文数的第6题、第18题等试题考察了统计与概率的思想。
2019年河南省郑州一中高考数学二模试卷(理科)解析版
2019年河南省郑州一中高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2-4x-5＜0}，集合B={x|-2＜x＜2}．则A∩B=（）A. B. C. D.2.已知复数z=（i为虚数单位），则=（）A. B. C. D.3.已知命题p：方程ax2+by2=1表示双曲线；命题q：b＜0＜a．命题p是命题q的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知等差数列{a n}各项均为正数，a1+a2+a3=12，a1•a2•a3=48，则数列{a n}的通项公式为（）A. 2nB.C.D. n5.函数y=的图象大致为（）A.B.C.D.6.已知F1，F2分别为椭圆C的两个焦点，P为椭圆上任意一点．若的最大值为3，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.7.如图所示的程序框图，则输出结果为（）A.B.C. 3D. 8.已知函数f（x）=，，＜，则不等式f（x）≤1的解集为（）A. B. ， C. D.9.将曲线x2+y2=|x|+|y|围成的区域记为Ⅰ，曲线x2+y2=1围成的区域记为Ⅱ，曲线x2+y2=1与坐标轴的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD围成的区域记为Ⅲ，在区域Ⅰ中随机取一点，此点取自Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，则（）A. B. C. D.10.第十四届全国运动会将于2021年在陕西举办，为宣传地方特色，某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访报导．工作过程中的任务划分为：“负重扛机”，“对象采访”，“文稿编写”“编制剪辑”等四项工作，每项工作至少一人参加，但两名女记者不参加“负重扛机”，则不同的安排方案数共有（）A. 150B. 126C. 90D. 5411.若关于x的方程2019|x-1|+a sin（x-1）+a=0只有一个实数解，则实数a的值（）A. 等于B. 等于1C. 等于2D. 不唯一12.已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若球O的表面积为20π，则三棱柱的体积为（）A. B. 12 C. D. 18二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知实数x，y满足线性约束条件，则2x-3y的最小值为______．14.已知||=1，=（，），||=2，则在方向上的投影为______．15.将y=sin（x）的图象向右平移φ个单位后（φ＞0），得到y=cos x的图象，则φ的最小值为______．16.已知二进制和十进制可以相互转化，例如89=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20，则十进制数89转化为二进制数为（1011001）2，将n对应的二进制数中0的个数，记为a n（例如：4=（100）2，51=（110011）2，89=（1011001）2，则a4=2，a51=2，a89=3，），记f（n）=，则f（22018）+f（22018+1）+f（22018+2）+…+f（22019-1）=______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f（x）=sin2sin x-，△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．（1）求f（A）的取值范围；（2）若C＞A，f（A）=0，且2sin A=sin B+，△ABC的面积为2，求b的值．18.如图所示，在多面体BC-AEFD中，矩形BCFE所在平面与直角梯形AEFD所在平面垂直，AE∥DF，AE⊥EF，G为CD的中点，且AE=BE=BC=1，DF=2．（1）求证：AG∥平面BCFE；（2）求直线AB与平面AGE所成角的正弦值．19.某校要通过选拔赛选取一名同学参加市级乒乓球单打比赛，选拔赛采取淘汰制，败者直接出局．现有两种赛制方案：三局两胜制和五局三胜制．问两选手对决时，选择何种赛制更有利于选拔出实力最强的选手，并说明理由．（设各局胜负相互独立，各选手水平互不相同．）20.已知点G在抛物线C：x2=4y的准线上，过点G作抛物线C的两条切线，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）证明：x1x2+y1y2为定值；（2）当点G在y轴上时，过点A作直线AM，AN交抛物线C于M，N两点，满足AM⊥MN．问：直线MN是否恒过定点P，若存在定点，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．21.设函数f（x）=x lnx-+a-x（a∈R）．（1）若函数f（x）有两个不同的极值点，求实数a的取值范围；（2）若a=2，k∈N，g（x）=2-2x-x2，且当x＞2时不等式k（x-2）+g（x）＜f（x）恒成立，试求k的最大值．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ+a=0．（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程，并指出两曲线的轨迹图形；（2）曲线C1与两坐标轴的交点分别为A、B，点P在曲线C2运动，当曲线C1与曲线C2相切时，求△PAB 面积的最大值．23.已知函数f（x）=|2x+1|+|x-1|．（1）解不等式f（x）＞2；（2）记函数g（x）=f（x）+f（-x），若对于任意的x∈R，不等式|k-1|＜g（x）恒成立，求实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A={x|-1＜x＜5}；∴A∩B={x|-1＜x＜2}．故选：A．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】C【解析】解：∵z=，∴z（1+i）2=1-i，∴2zi=1-i，则-2z=i（1-i）=1+i，∴z=-，则．故选：C．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：方程ax2+by2=1表示双曲线等价于ab＜0，即命题p：ab＜0，由ab＜0推不出b＜a＜0，充分性不具备，由b＜a＜0能推出ab＜0，必要性具备，故命题p是命题q的必要不充分条件，故选：B．命题p等价为ab＜0，在和命题q对比即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用好双曲线方程系数的关系是解决本题的关键，比较基础．4.【答案】A【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1+a2+a3=12，可得：3a2=12，解得a2=4，又a1•a2•a3=48，∴a1•a3=12，又a1+a3=8，∴a1，a3是方程x2-8x+12=0的两根，又等差数列{a n}各项均为正数，∴a1=2，a3=6，∴d=2故数列{a n}的通项公式为：a n=2+2（n-1）=2n．故选：A．利用等差数列的性质及通项公式求得首项与公差，即可得到数列{a n}的通项公式．本题考查了等差数列的通项公式及性质、一元二次方程的根与系数的关系及其解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：由f（x）的解析式得f（-x）+f（x）=0，∴f（x）是奇函数图象关于原点对称，当x=1时，f（1）=＜1，排除A，当x＞0时，f（x）==，函数在（0，+∞）上单调递减，故可排除B，D故选：C．结合函数图象性质，利用函数的单调性及特殊值即可作出判断．本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的定义域，函数的单调性，函数的奇偶性，判断图象的对称性；函数的特征点，利用排除法是解决本题的关键．6.【答案】B【解析】解：P到椭圆C焦点的最大距离为a+c，最小距离为a-c，又的最大值为3，∴，∴e=．故选：B．P到椭圆C焦点的最大距离为a+c，最小距离为a-c，结合题意可得结果．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围），常见方法：求出a，c，代入公式e=只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2=a2-c2转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）．7.【答案】D【解析】解：模拟执行程序框图，可得程序的功能是求S=log23×log34×log45×log56×log67×log78×log89值，由于S=log23×log34×log45×log56×log67×log78×log89=×==log29．故选：D．模拟执行程序框图，可得程序的功能是求S=log23×log34×log45×log56×log67×log78×log89值，即可求得S的值．本题主要考查了程序框图和算法，模拟执行程序框正确得到程序的功能是解题的关键，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：当x≥1时，f（x）≤1即为：log2x≤1解得1≤x≤2当x＜1时，f（x）≤1，即为：解得x≤0．综上可得，原不等式的解集为（-∞，0][1，2]故选：D．对x讨论，当x＞0时，当x≤0时，运用分式函数和对数函数的单调性，解不等式，即可得到所求解集．本题考查分段函数的运用：解不等式，注意运用分类讨论的思想方法，以及分式函数和对数函数的单调性，考查运算能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：由方程x2+y2=|x|+|y|，得：，或者，或者，或者，曲线x2+y2=|x|+|y|围成的区域Ⅰ、曲线x2+y2=1围成的区域Ⅱ、四边形ABCD围成的区域Ⅲ，如图：可知区域Ⅰ的面积为=2+π；区域Ⅱ的面积为π×12=π；区域Ⅲ的面积=2；∴由几何概率公式得：，，故p1+p2=1．故选：C．由题意分别计算出三个区域的面积，即可得到p1+p2=1，本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出对应的面积，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：记两名女记者为甲乙，三名男记者为丙、丁、戊根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了“负重扛机”的三项工作之一：C31×A33=18种；②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；1°丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作，有A32×C32×A22=3×2×3×2=36种；2°甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同一份工作：A32×C31×C21×A22=72种；由分类计数原理，可得共有18+36+72=126种，故选：B．记两名女记者为甲乙，三名男记者为丙、丁、戊，根据题意，按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论，①甲乙一起参加除了“负重扛机”的三项工作之一，②甲乙不同时参加一项工作；分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案．本题考查排列、组合的综合运用，注意要根据题意，进而按一定顺序分情况讨论．11.【答案】A【解析】解：令t=x-1，则关于x的方程2019|x-1|+asin（x-1）+a=0只有一个实数解等价于关于t的方程2019|t|+asint+a=0只有一个实数解，若a≥0，则由sint≥-1及y=2019x为增函数，得：2019|t|+asint+a≥20190-a+a=1＞0，方程无解，故a＜0，令f（t）=2019|t|+a，g（t）=asint，则y=f（t）在t=0时取最小值1+a，又函数y=g（t）的图象关于点（0，0）对称，当a=-1时，两函数y=f（t）、y=g（t）的图象有且只有一个交点，此而满足题意，当a＜-1时，两函数y=f（t）、y=g（t）的图象有两个交点，此而不合题意，当-1＜a＜0时，两函数y=f（t）、y=g（t）的图象没有交点，此而不合题意，所以a=-1为所求，故选：A．由函数的对称性得：令f（t）=2019|t|+a，g（t）=asint，则y=f（t）在t=0时取最小值1+a，又函数y=g（t）的图象关于点（0，0）对称，由分类讨论的数学思想方法得：分别讨论当a=-1时，当a＜-1时，当-1＜a＜0时，两函数y=f（t）、y=g（t）的图象的交点个数即可得解，本题考查了函数的对称性及函数图象的交点，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属难度较大的题型12.【答案】A【解析】解：为三棱柱ABC-A1B1C1的五个面所在的平面截球面所得的圆的大小相同，所以该三棱柱的底面是等边三角形，设三棱柱底面边长为a，高为h，截面圆的半径为r，球半径为R，∵球O的面积为20π，4πR2=20π，解得，底面和侧面截得的圆的大小相同，∴，∴，①又∵，②由①②得，h=2，三棱柱的体积为．故选：A．由题意可知该三棱柱的底面是等边三角形，设三棱柱底面边长为a，高为h，截面圆的半径为r，球半径为R ，可得，，从而得到结果．空间几何体与球接、切问题的求解方法（1）求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．（2）若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2=a2+b2+c2求解．13.【答案】【解析】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，令z=2x-3y，则，作出直线l ：，平移直线l，由图可得，当直线经过点C时，直线在y轴上的截距最大，此时z=2x-3y取得最小值，由，可得，即，∴z=2x-3y 的最小值是．故答案为：．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x-3y直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．14.【答案】【解析】解：∵||=1，=（），||=2，∴=4，∴∴则在方向上的投影为：故答案为：-．对向量的模两边平方得到数量积，代入投影公式得到结果．本题考查平面向量的数量积的性质，考查向量的模，向量的投影的概念，考查运算能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：将y=sin（x）的图象向右平移φ个单位后（φ＞0），可得y=sin（x-φ）的图象；又因为得到y=cosx=sin（x+）的图象，∴sin（x+）=sin（x-φ），∴=2kπ-φ-，k∈Z，∴φ=2kπ-，则当k=1时，φ取得最小值为，故答案为：．利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式，求得φ的最小值．本题主要考查了三角函数的图象变换，诱导公式、考查了函数与方程思想，属于中档题．16.【答案】32018【解析】解：依题意=1×22018+0×22017+0×22016+……+0×20=2018，可以理解为在1×22018后的2018个数位上，有2018选择0，∴f（22018）=22018，=1×22018+0×22017+……+0×21+1×20=2017，可以理解为在1×22018后的2018个数位上，有2017选择0，∴f（22018+1）=22017，根据计数原理，在f（22018），f（22018+1），f（22018+2），…，f（22019-1）中等于22017共有个，同理在f（22018），f（22018+1），f（22018+2），…，f（22019-1）中等于22016的共有个，……在f（22018），f（22018+1），f（22018+2），…，f（22019-1）中等于20的有个．所以f（22018）+f（22018+1）+f（22018+2）+…+f（22019-1）=++……+=（1+2）2018=32018．故填：32018．根据计数原理将原式转化为求和问题，再用二项式定理处理．本题考查了二进制，计数原理，二项式定理等知识，综合性强，难度大，属于难题．17.【答案】解：（1）f（x）=sin2sin x-=+-=sin（x-）．由题意0＜A＜π，则A-∈（-，），可得：sin（A-）∈（-，1]．可得：f（A）的取值范围为（-，]．（2）方法一：由题意知：sin（A-）=0，∴A-=kπ，k∈Z，∴A=+kπ，k∈Z．又∵A为锐角，∴A=．由余弦定理及三角形的面积得：，解得b=2．方法二：2sin=sin（-C）+sin C，且C＞A，可得C=，则△ABC为等腰直角三角形，由于：b2=2，所以：b=2．【解析】（1）由题易得f（x）=sin（x-），利用正弦函数的图象与性质可得f（A）的取值范围；（2）利用f（A）=0，可得A=，结合余弦定理及三角形的面积公式可得结果．解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向．第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化．第三步：求结果．18.【答案】（1）证明：取CF的中点H，连结EH．∵H是CF的中点，G是CD的中点．∴GH∥FD，GH=FD．又AE∥DF，AE=DF．∴AE∥GH，AE=GH．∴四边形AGHE是平行四边形，∴AG∥EH．又∵AG⊄平面EFCB，EH⊂平面EFCB．∴AG∥平面EFCB．（2）∵平面BEFC⊥平面AEFD，CF⊥EF，平面AEFD∩平面EFCB=EF，∴CF⊥平面AEFD．∴CF⊥EF，CF⊥FD．∵AE∥DF，AE⊥EF，∴EF⊥DF．以F为原点，分别以FE、FD、FC为x，y，z轴，建立空间直角坐标系F-xyz，则E（1，0，0），F（0，0，0），D（0，2，0），C（0，0，1），A（1，1，0），B（1，0，1），G（0，1，），∴=（-1，0，），=（0，-1，0）．设平面AGE的一个法向量为=（x，y，z），则，令z=2，得=（1，00，2）．又=（0，-1，1），∴cos＜，＞==．∴直线AB与平面AGE所成角的正弦值为．【解析】（1）取CF的中点H，连结EH，证明四边形AGHE为平行四边形即可得出AG∥EH，故而AG∥平面BCFE；（2）以F为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出直线AB与平面AGE所成角的正弦值．本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查空间向量坐标法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19.【答案】解：甲乙两人对决，若甲更强，则其胜率p＞．采用三局两胜制时，若甲最终获胜，其胜局情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”．而这三种结局互不相容，于是由独立性得甲最终获胜的概率为：，采用五局三胜制，若甲最终获胜，至少需比赛3局，且最后一局必须是甲胜，而前面甲需胜二局，由独立性得五局三胜制下甲最终获胜的概率为：（1-p）+．而p2-p1=p2（6p3-15p2+12p-3）=3p2（p-1）2（2p-1）．∵p＞，∴p2＞p1，即五局三胜的条件下甲最终获胜的可能更大．∴五局三胜制更能选拔出最强的选手．【解析】分别求出三局两胜制甲胜的概率和五局三胜制甲胜的概率，由此能得到采用“五局三胜制”对甲有利．本题考查概率的求法及应用，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（1）法1：抛物线C：x2=4y的准线为l：y=-1，故可设点G（a，-1），由x2=4y，得，所以．所以直线GA的斜率为．因为点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线C上，所以，．所以直线GA的方程为．因为点G（a，-1），在直线GA上，所以，即．同理，可知．所以x1，x2是方程x2-2ax-4=0的两个根，所以x1x2=-4．又，所以x1x2+y1y2=-3为定值．法2：设过点G（a，-1），且与抛物线C相切的切线方程为y+1=k（x-a），由，消去y得x2-4kx+4ka+4=0，由△=16k2-4（4ak+4）=0，化简得k2-ak-1=0，所以k1k2=-1．由x2=4y，得，所以．所以直线GA的斜率为．直线GB的斜率为．所以，即x1x2=-4．又，所以x1x2+y1y2=-3为定值．（2）存在，由（1）知．不妨设x1＜x2，则x1=-2，x2=2，即A（-2，1），B（2，1）．设设M（x M，y M），N（x N，y N）．则，两式作差，可得（x1-x M）（x1+x M）=4（y1-y M），所以直线AM的斜率为，同理可得，因为AM⊥MN，所以，整理得x M•x N-2（x M+x N）+20=0，又，①又因为因为，，两式作差，可得（x M-x N）（x M+x N）=4（y M-y N），从而可得直线MN的斜率为，所以直线MN的方程为，化简可得4y=（x M+x N）x-x M x N，将①代入上式得4y=（x M+x N）x-2（x M+x N）+20，整理得4（y-5）=（x M+x N）（x-2）．所以直线MN过定点（2，5），即P点的坐标为（2，5）．【点睛】圆锥曲线中定点问题的常见解法（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．【解析】（1）求导，求得直线PA的方程，将P代入直线方程，求得，同理可知．则x1，x2是方程x2-2ax-4=0的两个根，则由韦达定理求得x1x2，y1y2的值，即可求证x1x2+y1y2为定值；（2）设M（x M，y M），N（x N，y N ）．利用点差法可得，同理可得，结合垂直关系可得x M•x N-2（x M+x N）+20=0，又因为，两式作差，可得（x M-x N）（x M+x N）=4（y M-y N），，从而可得结果．本题主要考查圆锥曲线中定点问题的常见解法，假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；属于较难题目．21.【答案】解：（1）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f （x）=ln x-ax，令f （x）=0，可得ln x-ax=0，∴a=，令h（x）=，则由题可知直线y=a与函数h（x）的图象有两个不同的交点，h （x）=，令h （x）=0，得x=e，可知h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，h（x）max=h（e）=，当x趋向于+∞时，h（x）趋向于零，故实数a的取值范围为（0，）．（2）当a=2时，f（x）=x lnx-x2+2-x，k（x-2）+g（x）＜f（x），即k（x-2）＜x lnx+x，因为x＞2，所以k＜，令F（x）=（x＞2），则F （x）=，令m（x）=x-4-2ln x（x＞2），则m （x）=1-＞0，所以m（x）在（2，+∞）上单调递增，m（8）=4-2ln8＜4-ln e2=0，m（10）=6-2ln10＞6-2ln e3=0，故函数m（x）在（8，10）上唯一的零点x0，即x0-4-2ln x0=0，故当2＜x＜x0时，m（x）＜0，即F （x）＜0，当x0＜x时，F （x）＞0，所以F（x）min=F（x0）===，所以k＜，因为x0∈（8，10），所以∈（4，5），所以k的最大值为4．【解析】（1）求出函数的导数，得到a=，令h（x）=，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）代入a的值，问题转化为k ＜，令F（x）=（x＞2），求出函数的导数，根据函数的单调性求出k的最大值即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．22.【答案】解（1）曲线C1化为普通方程为x+y+3=0，是一条直线，对于曲线C2：由x=ρcosθ及x2+y2=ρ2代入曲线C2的极坐标方程得其直角坐标方程为x2+y2-2x+a=0，即为（x-1）2+y2=1-a．当a＜1，曲线C2是以（1，0）为圆心，为半径的圆．当a=1，曲线C2表示一点（1，0）．当a＞1，曲线C2不存在．（2）由（1）知曲线C1化为普通方程为x+y+3=0，令x=0，y=-3；y=0，x=-3，所以A（-3，0），B（0，-3），又由题可知a＜1，曲线C2：（x-1）2+y2=1-a，由直线与圆相切可知=，解得a=-7，此时C2：（x-1）2+y2=8，所以（S△PAB）max=|AB|•2R=×3×=12，所以△PAB面积的最大值为12．【解析】（1）曲线C1化为普通方程，表示一条直线；曲线C2化为普通对a分类讨论明确轨迹的形态；（2）先求出A，B的坐标，得到|AB|，利用圆的切线求出圆上点到直线的最大距离，即可得到结果．本题考查三角形面积最值的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.【答案】解：（1）依题意得f（x）=，，＜＜，，于是得＞或＜＜＞或；解得x＜-，或x＞0；即不等式f（x）＞2的解集为{x|x＜-或x＞0}；（2）g（x）=f（x）+f（-x）=|x-1|+|x+1|+（|2x+1|+|2x-1|）≥|（x-1）-（x+1）|+|（2x+1）-（2x-1）|=4，当且仅当，即x∈[-，]时取等号，若对于任意的x∈R，不等式|k-1|＜g（x）恒成立，则|k-1|＜g（x）min=4，所以-4＜k-1＜4，解得-3＜k＜5，即实数k的取值范围为（-3，5）．【解析】（1）讨论x的取值范围，解不等式组即可得到结果；（2）不等式|k-1|＜g（x）恒成立即|x-1|＜g（x）min恒成立，求函数的最小值即可．本题考查了解绝对值不等式的应用问题问题，也考查了不等式恒成立求参数的范围问题，考查了分类讨论思想，转化思想，是中档题．。
2019年河南省高考适应性考试数学试题(理)及答案
河南省普通高中2019年新课程高考适应性考试（一）数学（理）试题本试题卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（必考题和选考题两部分）。
考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效。
考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共1 2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U=R ，集合A={1，2，3，4，5}，B={|2x x ≥}，下图中阴影部分所表示的集合为A ．{0，1，2}B ．{1，2}C ．{1} C ．{0，1} 2．复数321iz i i=-+，在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第二象限D ．第四象限3．若13sin cos ,(0,)αααπ-+=∈，则tan α= A ．3 B ．3- C ．3 D ．3-4．已知命题:,p x R ∃∈使得12,x x+<命题2:,10q x R x x ∀∈++>，下列命题为真的是A ．p ∧ qB ．（)p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝5．某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．43B ．83C ．123D ．2436．已知△ABC 中，C=45°，则sin 2A=sin 2B 2A ．14B ．12 C 2D ．34 7．如图是计算函数ln(),2,0,23,2,3x x x y x x ⎧-≤-⎪=-<≤⎨⎪>⎩的值的程序框图，在①、②、③处分别应填入的是A ．y=ln （一x ），y=0，y=2xB ．y=0，y=2x，y=In （一x ）C ．y=ln （一x ），y=2z，y=0D ．y=0，y=ln （一x ），y=2x8．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足 （a-c ）·（b 一c ）=0，则|c|的最大值是A ．1BC ．2D 9．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中△ABC 是正三角形，AD⊥平面ABC ，AD=2AB=6则该球的表面积为A ．16πB ．24πC ．π D ．48π103)nx+的展开式中，各项系数之和为M ，各项二项式系数之和为N ，且M+N=72，则展开式中常数项的值为 A ．18 B ．12 C ．9 D ．611．已知函数()sin cos (0)f x x x ωωω=+>，如果存在实数x 1，使得对任意的实数x ，都有11()()(2012)f x f x f x ≤≤+成立，则ω的最小值为A ．12012 B ．2012π C ．14024 D ．4024π 12．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为一1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C ，若A，B ，C 三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为 ABCD第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第2l 题为必考题，每个试题考生都必须做答。
2019年河南省高考数学适应性试题【理科】及答案
河南省普通高中毕业班2019年高考适应性模拟练习理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 函数2()lg(31)f x x =+ 的定义域是A ．（- 13 ,1）B ．（- 13,+∞）C ．（- 13 , 13）D ．(-∞,- 13)2. A ．-1+i B ．-1-i C ．1+i D ．1-i3.抛物线24y x =的焦点到准线的距离是 A ．2 B ．4C ．18D ．144．一个几何体的三视图如图所示，其俯视图 为正三角形，则这个几何体的体积为 A.12 3 B.36 3C.27 3D.65.22)nx 展开式中只有第六项二项式系数最大，则展开式中的常数 项是A. 180B. 90C. 45D.3606.设有算法如图所示：如果输入A=144，B=39，则输出的结果是 A ．144 B ．3 C ．0 D ．127. 已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q ，则q 的一个可能的值是 A. 52 B. 12C. 2D. 328.已知直线l 和双曲线22194x y -=相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M.设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OM 的斜率为k 2,则k 1k 2= A. 23 B. -23C. -49D. 499. 已知 A ．p ∧q B ．⌝p ∧qC ．p ∧⌝qD ．⌝p ∧⌝q10.对于下列①在∆ABC 中，若cos2A=cos2B, 则∆ABC 为等腰三角形； ②∆ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ,若2,5,6a b A π===，则∆ABC 有两组解；③设201420142014sin,cos ,tan ,333a b c πππ=== 则;a b c << ④将函数2sin(3)6y x π=+的图象向左平移π6个单位，得到函数y =2cos(3x+π6)的图象.其中正确 A.0B.1C.2D.311. 四面体ABCD 中，已知AB=CD=29，AC=BD=34，AD=BC=37，则四面体ABCD 的外接球的表面积为A ．25πB ．45πC ．50πD ．100π12.设3,0,()(1),0.x x f x f x x -⎧≤=⎨->⎩若()f x x a =+有且仅有三个解，则实数a 的取值范围是A. [1,2]B.(-∞,2)C.[1,+∞)D.(-∞,1) 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.20(sin )x x dx π+=⎰.14. 已知实数,x y 满足2268230(3)x y x y x +--+<> ，则z x y =-的取值范围是15. 已知P 为三角形ABC 内部任一点（不包括边界），且满足(→PB -→PA )·(→PB +→PA -2→PC )=0，则∆ABC 的形状一定为___________.16.已知对于任意的自然数n, 抛物线22()(21)1y n n x n x =+-++与x 轴相交于A n ,B n 两点，则|A 1B 1|+|A 2B 2|+|A 3B 3|…+|A 2018-2019|= 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在锐角∆ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ,且满足cos 2A-cos 2B=cos(π6-A)cos(π6+A).（Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若b=1, 求a c +的取值范围.18.（本小题满分12分）某次围棋比赛的决赛阶段实行三番棋决定冠军归属（即三局两胜制，和棋无效，加赛直至分出胜负）.打入决赛的两名选手甲、乙平时进行过多次对弈，有记录的30局结果如下表：请根据表中的信息(用样本频率估计概率),回答下列问题：CDEAEOACFBGD（Ⅰ）如果比赛第一局由掷一枚硬币的方式决定谁先，试求第一局甲获胜的概率； （Ⅱ）若第一局乙先，此后每局负者先， ①求甲以二比一获胜的概率；②该次比赛设冠军奖金为40万元，亚军奖金为10万元，如果冠军“零封”对手（即2:0夺冠）则另加5万元.求甲队员参加此次决赛获得奖金数X 的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图，四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面BCD, AC=AB,CB=CD,∠DCB=120°.点E 在BD 上，且DE=13DB=2.(Ⅰ)求证：AB ⊥CE ；（Ⅱ）若AC=CE ，求二面角A-CD-B 的余弦值.20.（本小题满分12分）已知点F 是椭圆C 的右焦点，A ，B 是椭圆短轴的两个端点，且∆ABF 是正三角形． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）直线l 与以AB 为直径的圆O 相切，并且被椭圆C 截得的弦长的最大值为23,求椭圆C 的标准方程． 21.（本小题满分12分）已知函数31()ln (),()()(1)6f x x x x ax a R f xg x a x '=--∈=+-. （Ⅰ）当a =2时，求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）对于函数F()x 定义域内的两个自变量的值1212121212()(),(),()02F x F x x xx x x x F x x -+'<-=-若,则我们把有序数对12(,)x x 叫作函数F()x 的“零点对”.试问，函数()f x 是否存在这样的“零点对”？如果存在，请你求出其中一个；如果不存在，请说明理由.请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在⊙O 的直径AB 的延长线上任取一点C ，过点C 引直线与⊙O 交于点D 、E ，在⊙O 上再取一点F,使⌒AE =⌒AF.（1）求证：E 、D 、G 、O 四点共圆； （2）如果CB=OB ，试求 CBCG的值.23. (本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线l 的参数方程为1cos (sin x t t y t αα=+⎧⎨=⎩为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴）中，曲线C 的方程为（Ⅰ）判断直线l 与曲线C 公共点个数，并说明理由；（Ⅱ）当4πα=时，求直线l 与曲线C 公共点的坐标.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲（I （II ）如果存在[2,4]x ∈- ，使不等式()(2)f x f x m ++≥成立，求实数m 的取值范围．。
2019年河南省高考数学理科适应性试卷(1)含答案解析
2019年河南省普通高中高考数学适应性试卷（理科）（1）一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．已知集合A={0，1，2}，B={y|y=2x，x∈A}，则A∪B中的元素个数为（）A．6 B．5 C．4 D．32．如果复数（b∈R，i为虚数单位）的实部与虚部相等，则b的值为（）A．1 B．﹣6 C．3 D．﹣93．已知tan（α﹣）=，则的值为（）A．B．2 C．2D．﹣24．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．25．给出下列四个结论：①已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）=0.6，则P（ξ＞2）=0.2；②若命题P：∃x0∈[1，+∞），x﹣x0﹣1＜0，则￢p：∀x∈（﹣∞，1），x2﹣x﹣1≥0；③已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是=﹣3；④设回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加一个单位时，y平均增加2个单位．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（）A．10 B．11 C．12 D．137．等差数列{a n}的前n项和为S n，若=，则下列结论中正确的是（）A．=2 B．=C．=D．=8．六个人站成一排照相，则甲、乙两人之间恰好站两人的概率为（）A．B．C．D．9．已知正数x，y满足x+4y=4，则的最小值为（）A．B．24 C．20 D．1810．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．9 B．C．18 D．2711．已知函数f（x）=ln（2x+）﹣，若f（a）=1，则f（﹣a）=（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣312．已知函数f（x）=|lnx|﹣1，g（x）=﹣x2+2x+3，用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}，则函数h（x）的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知不等式组表示的平面区域的面积为25，点P（x，y）在所给平面区域内，则z=2x+y的最大值为______．14．（2x+﹣4）9的展开式中，不含x的各项系数之和为______．15．四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在一个球面上，底面ABCD是矩形，其中AB=3，BC=4，又PA⊥平面ABCD，PA=5，则该球的表面积为______．16．已知各项均为正数的数列{a n}满足a n+1=a n+，a1=，S n为数列{a n}的前n项和，若对于任意的n∈N*，不等式≥2n﹣3恒成立，则实数k的取值范围为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量=（cosB，2cos2﹣1），=（c，b﹣2a），且•=0．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若点D为边AB上一点，且满足=，||=，c=2，求△ABC的面积．18．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5（Ⅰ）根据上表数据，用最小二乘法，求出y关于x的线性回归方程=•x+；（Ⅱ）若周六同一时间段车流量200万辆，试根据（Ⅰ）求出的线性回归方程，预测此时PM2.5的浓度为多少？（参考公式：=，=﹣•；参考数据：x i=540，y i=420）19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=BC=2AC=4．（Ⅰ）若点P为AA1的中点，求证：平面B1CP⊥平面B1C1P；（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得二面角B1﹣CP﹣C1的大小为60°？若存在，求出|AP|的值；若不存在，说明理由．20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（，1），点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若OP⊥OQ，求点Q的纵坐标的值．21．已知函数f（x）=a﹣﹣lnx，其中a为常数．（Ⅰ）若f（x）=0恰有一个解，求a的值；（Ⅱ）（i）若函数g（x）=a﹣﹣﹣f（x）﹣lnp，其中p为常数，试判断函数g（x）的单调性；（ii）若f（x）恰有两个零点x1，x2（x1＜x2），求证：x1+x2＜3e a﹣1﹣1．四、请考在第22、23、24三题中任选一题作答：注意：只能做所选定的题目：如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．如图，直线AB经过圆O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，圆O交直线OB于点E、D，连接EC、CD．（Ⅰ）求证：直线AB是圆O的切线；（Ⅱ）若tan∠CED=，圆O的半径为2，求OA的长．23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P的直角坐标为（1，0），圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|+|PB|的值．24．已知函数f（x）=|x﹣2|．（Ⅰ）解不等式f（x）+f（x+5）≥9；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，求证：f（ab+3）＞f（a+b+2）．2019年河南省普通高中高考数学适应性试卷（理科）（1）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．已知集合A={0，1，2}，B={y|y=2x，x∈A}，则A∪B中的元素个数为（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】并集及其运算．【分析】根据集合的定义与运算法则，进行计算即可．【解答】解：∵集合A={0，1，2}，B={y|y=2x，x∈A}，∴B={0，2，4}；∴A∪B={0，1，2，4}；∴A∪B中的元素个数为4．故选：C．2．如果复数（b∈R，i为虚数单位）的实部与虚部相等，则b的值为（）A．1 B．﹣6 C．3 D．﹣9【考点】复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部和虚部相等求得b的值．【解答】解：∵=的实部和虚部相等，∴6﹣b=﹣（2b+3），解得：b=﹣9．故选：D．3．已知tan（α﹣）=，则的值为（）A．B．2 C．2D．﹣2【考点】三角函数的化简求值．【分析】由tan（α﹣）=，求出tanα，然后对表达式的分子、分母同除以cosα，然后代入即可求出表达式的值．【解答】解：由tan（α﹣）==，得tanα=3．则=．故选：B．4．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】由于双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与（x﹣2）2+y2=3相切，可得圆心（2，0）到渐近线的距离d=r，利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：取双曲线的渐近线y=x，即bx﹣ay=0．∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与（x﹣2）2+y2=1相切，∴圆心（2，0）到渐近线的距离d=r，∴=，化为2b=c，两边平方得3c2=4b2=4（c2﹣a2），化为c2=4a2．∴e==2．故选：C．5．给出下列四个结论：①已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）=0.6，则P（ξ＞2）=0.2；②若命题P：∃x0∈[1，+∞），x﹣x0﹣1＜0，则￢p：∀x∈（﹣∞，1），x2﹣x﹣1≥0；③已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是=﹣3；④设回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加一个单位时，y平均增加2个单位．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据正态分布的性质进行判断，②根据含有量词的命题的否定进行判断．③根据直线垂直的等价条件进行判断．④根据回归直线的性质进行判断．【解答】解：①若ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）=0.6，则P（ξ＞2）===0.2，故①正确，②若命题p：∃x0∈[1，+∞），x﹣x0﹣1＜0，则￢p：∀x∈[1，+∞），x2﹣x﹣1≥0；故②错误③当b≠0时，两直线的斜率分别为，，由•（）==﹣1，即a=﹣3b，当b=0，a=0时，两直线分别为l1：3y﹣1=0，l2：x+1=0，满足l1⊥l2，故l1⊥l2的充要条件是错误，故③错误，④设回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加一个单位时，y平均减少2.5个单位．故④错误，故正确是①，故选：A．6．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（）A．10 B．11 C．12 D．13【考点】绘制结构图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第1次执行循环体后，S=2，k=2，不满足退出循环的条件，第2次执行循环体后，S=6，k=3，不满足退出循环的条件，第3次执行循环体后，S=14，k=4，不满足退出循环的条件，第4次执行循环体后，S=30，k=5，不满足退出循环的条件，第5次执行循环体后，S=62，k=6，不满足退出循环的条件，第6次执行循环体后，S=126，k=7，不满足退出循环的条件，第7次执行循环体后，S=510，k=8，不满足退出循环的条件，第8次执行循环体后，S=1022，k=9，不满足退出循环的条件，第9次执行循环体后，S=2046，k=10，满足退出循环的条件，故输出的k值为10，故选：A7．等差数列{a n}的前n项和为S n，若=，则下列结论中正确的是（）A ． =2B ． =C ． =D ． =【考点】等差数列的前n 项和．【分析】由等差数列的求和公式和性质可得=3•=2，解方程可得．【解答】解：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且=，∴==2，由等差数列的求和公式和性质可得：===3•=2，∴ =故选：C8．六个人站成一排照相，则甲、乙两人之间恰好站两人的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】六个人站成一排照相，先求出基本事件总数，再求出甲、乙两人之间恰好站两人包含基本事件个数，由此能求出甲、乙两人之间恰好站两人的概率．【解答】解：六个人站成一排照相，基本事件总数n==720，甲、乙两人之间恰好站两人包含基本事件个数m==144，∴甲、乙两人之间恰好站两人的概率p===． 故选：B ．9．已知正数x ，y 满足x +4y=4，则的最小值为（ ）A ．B ．24C ．20D ．18 【考点】基本不等式．【分析】根据已知可将，化为，利用基本不等式可得≥2=8xy ，从而原式：≥=18．【解答】解：∵x+4y=4，可得：=1，∴====，∵≥2=8xy，∴≥=18．故选：D．10．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．9 B．C．18 D．27【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图和正方体可得该几何体一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥A﹣BCD，三棱锥的外面是长、宽、高为6、3、3的长方体，∴几何体的体积V==9，故选：A．11．已知函数f（x）=ln（2x+）﹣，若f（a）=1，则f（﹣a）=（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【考点】函数的值．【分析】易知f（a）=ln（2a+）﹣=1，化简f（﹣a）=ln（﹣2a+）﹣=ln（）﹣，从而求得．【解答】解：由题意知，f（a）=ln（2a+）﹣=1，故f（﹣a）=ln（﹣2a+）﹣=ln（）﹣=﹣ln（2a+）﹣2+=﹣（ln（2a+）﹣）﹣2=﹣3，故选：D．12．已知函数f（x）=|lnx|﹣1，g（x）=﹣x2+2x+3，用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}，则函数h（x）的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据min{m，n}的定义，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出函数f（x）和g（x）的图象如图，两个图象的下面部分图象，由g（x）=﹣x2+2x+3=0，得x=﹣1，或x=3，由f（x）=|lnx|﹣1=0，得x=e或x=，∵g（e）＞0，∴当x＞0时，函数h（x）的零点个数为3个，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知不等式组表示的平面区域的面积为25，点P（x，y）在所给平面区域内，则z=2x+y的最大值为17．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，结合可行域的面积求得a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（4，4），联立，解得A（a，a），联立，解得B（8﹣a，a），∴，即a=﹣1，∴B（9，﹣1），化目标函数z=2x +y 为y=﹣2x +z ，由图可知，当直线y=﹣2x +z 过点B 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为17． 故答案为：17．14．（2x +﹣4）9的展开式中，不含x 的各项系数之和为 ﹣1 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】先将问题转化为二项展开式的各项系数和问题，再利用赋值法求出各项系数和．【解答】解：（2x +﹣4）9的展开式中，不含x 的各项系数之和，即（﹣4）9的各项系数之和．令y=1，可得（﹣4）9的各项系数之和为（﹣1）9=﹣1，故答案为：﹣1．15．四棱锥P ﹣ABCD 的五个顶点都在一个球面上，底面ABCD 是矩形，其中AB=3，BC=4，又PA ⊥平面ABCD ，PA=5，则该球的表面积为 50π ．【考点】球的体积和表面积．【分析】把四棱锥补成长方体，根据长方体的对角线长等于球的直径求得外接球的半径，代入球的表面积公式计算．【解答】解：把四棱锥补成长方体，则四棱锥的外接球是长方体的外接球，∵长方体的对角线长等于球的直径，∴2R==5，∴R=，外接球的表面积S=4πR 2=50π．故答案为：50π．16．已知各项均为正数的数列{a n }满足a n +1=a n +，a 1=，S n 为数列{a n }的前n 项和，若对于任意的n ∈N *，不等式≥2n ﹣3恒成立，则实数k 的取值范围为 ． 【考点】数列递推式．【分析】各项均为正数的数列{a n }满足a n +1=a n +，a 1=，变形为：a n +1﹣=（a n ﹣），a 1﹣=3，利用等比数列的通项公式可得：a n =3×+，可得S n ．不等式≥2n ﹣3化为：k ≥．再利用数列的单调性即可得出．【解答】解：∵各项均为正数的数列{a n }满足a n +1=a n +，a 1=，∴a n﹣=（a n﹣），a1﹣=3，+1∴数列是等比数列，首项为3，公比为．∴a n﹣=3×，即a n=3×+，∴S n=+=+．不等式≥2n﹣3化为：k≥．令f（n）=，则f（n+1）﹣f（n）=﹣=．则n≤2，a1＜a2＜a3．n≥3，a3＞a4＞a5＞…．∴f（3）最大为．对于任意的n∈N*，不等式≥2n﹣3恒成立，∴k≥．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量=（cosB，2cos2﹣1），=（c，b﹣2a），且•=0．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若点D为边AB上一点，且满足=，||=，c=2，求△ABC的面积．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则计算列出关系式，根据二倍角的余弦函数公式，利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出cosC的值，（Ⅱ）利用向量的几何意义和向量的模的计算以及余弦定理和三角形的面积公式即可求出．【解答】解：（Ⅰ）∵向量=（cosB，2cos2﹣1），=（c，b﹣2a），且•=0，∴c•cosB+（b﹣2a）cosC=0，由正弦定理可得，sinCcosB+（sinB﹣2sinA）cosC=0，∴sinA﹣2sinAcosC=0，∵sinA ≠0，∴cosC ﹣，∵C ∈（0，π），∴C=，（Ⅱ）=，||=，c=2，∴=﹣，∴2=+，两边平方得4||2=b 2+a 2+2accosC=b 2+a 2+ac=28，（1），∵c 2=b 2+a 2﹣2accosC=b 2+a 2﹣ac=12，（2），由（1），（2）可得ab=8，∴S △ABC =absinC=2．18．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5（Ⅰ）根据上表数据，用最小二乘法，求出y 关于x 的线性回归方程=•x +； （Ⅱ）若周六同一时间段车流量200万辆，试根据（Ⅰ）求出的线性回归方程，预测此时PM2.5的浓度为多少？（参考公式： =， =﹣•；参考数据： x i =540， y i =420）【考点】线性回归方程．【分析】（I ）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；（II ）将x=200代入回归方程计算．【解答】解：（Ⅰ）×=108，（78+80+84+88+90）=84．=（﹣8）×（﹣6）+（﹣6）×（﹣4）+0+6×4+8×6=144，=（﹣8）2+（﹣6）2+0+62+82=200．∴=，=84﹣0.72×108=6.24．∴y关于x的线性回归方程为=0.72x+6.24．（II）当x=200时，=0.72×200+6.24=150.24．∴此时PM2.5的浓度为150.24微克/立方米．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=BC=2AC=4．（Ⅰ）若点P为AA1的中点，求证：平面B1CP⊥平面B1C1P；（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得二面角B1﹣CP﹣C1的大小为60°？若存在，求出|AP|的值；若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出B1C1⊥A1C1，B1C1⊥CC1，从而B1C1⊥平面ACC1A1，进而B1C1⊥CP，再求出CP⊥C1P，从而CP⊥平面B1C1P，由此能证明平面B1CP⊥平面B1C1P．（Ⅱ）以C为原点，CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在棱AA1上存在一点P，使得二面角B1﹣CP﹣C1的大小为60°，且|AP|=2【解答】证明：（Ⅰ）∵∠A1C1B1=∠ACB=90°，∴B1C1⊥A1C1，由直三棱锥性质得B1C1⊥CC1，且A1C1∩CC1=C1，∴B1C1⊥平面ACC1A1，∵CP⊂平面ACC1A1，∴B1C1⊥CP，由A1A=BC=2AC=4，P为A1A中点，知CP=C1P=2，∴=，即CP⊥C1P，B1C1∩C1P=C1，∴CP⊥平面B1C1P，∵CP⊂平面B1CP，∴平面B1CP⊥平面B1C1P．解：（Ⅱ）如图，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设|AP|=a，P（2，0，a），C（0，0，0），B1（0，4，4），B（0，4，0），=（2，0，a），=（0，4，4），设平面B1CP的法向量为=（x，y，z），则，取z=﹣1，得=（），平面C1CP的一个法向量=（0，4，0），∵二面角B1﹣CP﹣C1的大小为60°，∴cos60°===，解得a=2，∴在棱AA1上存在一点P，使得二面角B1﹣CP﹣C1的大小为60°，且|AP|=220．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（，1），点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若OP⊥OQ，求点Q的纵坐标的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（，1），列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）由圆O的方程为x2+y2=4，设点Q的纵坐标为t，则Q（2，t），当MP⊥x轴时，求出t=﹣2；当PM不垂直于x轴时，设直线OP：y=kx（k＞0，x＞0），则直线OQ：y=﹣，由|OP|•|OQ|=|PQ|•|OM|，能求出点Q的纵坐标的值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（，1），∴，解得a2=8，b2=4，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）得圆O的方程为x2+y2=4，①设点Q的纵坐标为t，则Q（2，t），当MP⊥x轴时，∵点P在椭圆C上，且在第一象限内，∴P（2，），∵，解得t=﹣2．②当PM不垂直于x轴时，设直线OP：y=kx（k＞0，x＞0），∴直线OQ：y=﹣，则P（x0，kx0），Q（﹣tx，t），在△OPQ中，|OP|•|OQ|=|PQ|•|OM|，∴=2，即=4[（x0+kt）2+（kx0﹣t）2]，，∴，∴，又由，∴，又由，∴，∴，∴=0，∴t2=8，解得t=．∴点Q的纵坐标的值为．21．已知函数f（x）=a﹣﹣lnx，其中a为常数．（Ⅰ）若f（x）=0恰有一个解，求a的值；（Ⅱ）（i）若函数g（x）=a﹣﹣﹣f（x）﹣lnp，其中p为常数，试判断函数g（x）的单调性；（ii）若f（x）恰有两个零点x1，x2（x1＜x2），求证：x1+x2＜3e a﹣1﹣1．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求得单调区间，由单调性，即可判断函数的零点个数；（Ⅱ）（i）求出g（x）的导数，从而判断出g（x）的单调性，（ii）要证x1+x2＜3e a﹣1﹣1，可知知，p是h（x）的唯一最大值点，故有，作函数m（x）=lnx﹣﹣lnp，通过导数判断单调性，整理，变形，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=，令f′（x）=0，解得：x=1，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1）递增，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）递减，f（x）max=f（1）=a﹣1，①当f（x）max=0，解得：a=1，此时最大值点唯一，符合题意，②当f（x）max＜0，即a＜1时，f（x）＜0恒成立，不符合题意，③当f（x）max＞0，即a＞1时，e a＞1，f（e a）=﹣＜0，e﹣a＜1，∴f（e﹣a）=2a﹣e a≤2a﹣ea＜0，（易证e x≥ex），∴f（x）有2个零点，不符合题意，综上：a=1；（Ⅱ）（i）由g（x）=a﹣﹣﹣f（x）﹣lnp，得：g（x）=lnx﹣﹣lnp，函数g（x）的定义域是（0，+∞），且p＞0，∵g′（x）=≥0，∴g（x）在（0，+∞）单调递增；（ii）f（x）=0⇔h（x）=ax﹣1﹣xlnx=0，故x1，x2也是h（x）=0的两个零点．由h′（x）=a﹣1﹣ln x=0，得x=e a﹣1（记p=e a﹣1）．可知，p是h（x）的唯一最大值点，故有，作函数m（x）=lnx﹣﹣lnp，则m′（x）=≥0，故m（x）单调递增．当x＞p时，h（x）＞h（p）=0；当0＜x＜p时，h（x）＜0．于是，ax1﹣1=x1ln x1＜+x1lnp．整理，得（2+lnp﹣a）x12﹣（2p+ap﹣plnp﹣1）x1+p＞0，即x12﹣（3e a﹣1﹣1）x1+e a﹣1＞0．同理x22﹣（3e a﹣1﹣1）x2+e a﹣1＜0．故x22﹣（3e a﹣1﹣1）x2+e a﹣1＜x12﹣（3e a﹣1﹣1）x1+e a﹣1，即（x2+x1）（x2﹣x1）＜（3e a﹣1﹣1）（x2﹣x1），于是x1+x2＜3e a﹣1﹣1．四、请考在第22、23、24三题中任选一题作答：注意：只能做所选定的题目：如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．如图，直线AB经过圆O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，圆O交直线OB于点E、D，连接EC、CD．（Ⅰ）求证：直线AB是圆O的切线；（Ⅱ）若tan∠CED=，圆O的半径为2，求OA的长．【考点】相似三角形的性质．【分析】（I）利用等腰三角形的性质和切线的定义即可证明；（II）利用圆的性质可得=．再利用切线的性质可得△CBD∽△EBC，于是==．设BD=x，BC=3x，利用切割线定理可得BC2=BD•BE，代入解出即可．【解答】（Ⅰ）证明：如图，连接OC，∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB，∴AB是⊙O的切线．（Ⅱ）解：∵ED是直径，∴∠ECD=90°，在Rt△BCD中，∵tan∠CED=，∴=．∵AB是⊙O的切线，∴∠BCD=∠E．又∵∠CBD=∠EBC，∴△CBD∽△EBC，∴==．设BD=x，BC=3x，又BC2=BD•BE，∴（3x）2=x•（x+4）．解得：x1=0，x2=，∵BD=x＞0，∴BD=．∴OA=OB=BD+OD=．23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P的直角坐标为（1，0），圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|+|PB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）把直线l的参数方程消去参数t可得，它的直角坐标方程；把圆C的极坐标方程依据互化公式转化为直角坐标方程．（Ⅱ）把直线l方程与圆C的方程联立方程组，求得A、B两点的坐标，可得|PA|+|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得3x+y﹣3=0．圆C的方程为ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y，即x2+=3．（Ⅱ）由求得，或，故可得A（，﹣）、B（﹣， +）．∵点P（1，0），∴|PA|+|PB|=+=（2﹣）+（2+）=4．24．已知函数f（x）=|x﹣2|．（Ⅰ）解不等式f（x）+f（x+5）≥9；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，求证：f（ab+3）＞f（a+b+2）．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的复合函数形式，通过讨论x的范围，求出各个阶段上的x的范围，从而求出不等式的解集；（Ⅱ）问题转化为：|ab+1|＞|a+b|，通过作差法证明即可．【解答】（Ⅰ）解：f（x）+f（x+5）=|x﹣2|+|x+3|=，当x＜﹣3时，由﹣2x﹣1≥9，解得：x＜﹣5，当﹣3≤x≤2时，f（x）≥9不成立，当x＞2时，由2x+1≥9，解得：x≥4，∴不等式的解集是{x|x≤﹣5或x≥4}；（Ⅱ）证明：f（ab+3）＞f（a+b+2）即|ab+1|＞|a+b|，∵|a|＜1，|b|＜1，∴（ab+1）2﹣（a+b）2=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，∴|ab+1|＞|a+b|，故所证不等式成立．2019年10月4日。
河南省郑州第一中学2019届高三第二次联合质量测评理科数学试题(解析版)
河南省郑州一中2019届高三第二次联合质量测评数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知集合，集合.则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】直接解一元二次不等式化简集合A，再求A交B，则答案可求．【详解】解：A＝{x|}＝{x|x＜5}．又则A∩B＝．故选：A．【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．2.已知复数（为虚数单位），则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【详解】解：∵z（1+i）2＝1﹣i，∴2zi＝1﹣i，∴﹣2z＝i（1﹣i）＝1+i，∴z i，∴═i，故选：C．【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．3.已知命题：方程表示双曲线；命题：.命题是命题的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】等价转化命题，利用充分必要性定义结合不等式性质判断即可.【详解】方程表示双曲线等价于，即命题：，由推不出，充分性不具备，由能推出，必要性具备，故命题是命题的必要不充分条件，故选：B【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用好双曲线方程系数的关系是解决本题的关键，比较基础．4.已知等差数列各项均为正数，，，则数列的通项公式为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的性质及通项公式求得首项与公差，即可得到数列的通项公式.【详解】设等差数列的公差为d，由可得：，即，又，∴，又∴是方程的两根，又等差数列各项均为正数，∴，∴d=2故数列的通项公式为故选：A【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函数的单调性及特殊值即可作出判断．【详解】由易得f（﹣x）+f（x）＝0，∴f（x）是奇函数；当x=1时，排除A，当x＞0时，，函数在上单调递减，故可排除Ｂ，Ｄ故选：Ｃ【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.6.已知，分别为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点.若的最大值为3，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】点到椭圆的焦点的最大距离为最小距离为，结合题意可得结果．【详解】点到椭圆的焦点的最大距离为最小距离为，又的最大值为3，∴，∴ｅ＝故选：Ｂ【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．7.如图所示的程序框图，则输出结果为（）A. B. C. 3 D.【答案】D【解析】【分析】模拟执行程序框图，可得程序的功能是求的值，即可求得S的值．【详解】解：模拟执行程序框图，可得程序的功能是求S的值，由于S．故选：D．【点睛】本题主要考查了程序框图和算法，模拟执行程序框正确得到程序的功能是解题的关键，属于基础题．8.已知函数，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】对x讨论，当x＞0时，当x≤0时，运用分式函数和对数函数的单调性，解不等式，即可得到所求解集．【详解】解：当时，，即为：，解得x2；当时，，即为：，解得x0．综上可得，原不等式的解集为．故选：D．【点睛】本题考查分段函数的运用：解不等式，注意运用分类讨论的思想方法，以及分式函数和对数函数的单调性，考查运算能力，属于基础题．9.将曲线围成的区域记为Ⅰ，曲线围成的区域记为Ⅱ，曲线与坐标轴的交点分别为、、、，四边形围成的区域记为Ⅲ，在区域Ⅰ中随机取一点，此点取自Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意分别计算出三个区域的面积，即可得到【详解】由方程，得：或，∴曲线围成的区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，如图：可知区域Ⅰ的面积为；区域Ⅱ的面积为；区域Ⅲ的面积为；∴由几何概率公式得：，，故。