案例二：1997B截断切割问题=赛题分析

一、模型准备
2、收集资料
方法：可在图书馆、网上查阅、向专家询问、 通过实物切割试验来得到资料，并最好用笔 做好记录。 不过，此问题暂时不需要搜集数据，重 点寻找与之最接近的数学模型资料。
Next：建模，关键是理清不同加工次序下的总加
工费如何计算
3、问题重述（略）
二、模型假设
基本假设及符号说明
1）、(a1，a2, b1, b2, c1, c2) ：待加工长方体和成 品长方体两者的左侧面（右侧面、正面、背面、底面、 顶面）之间的距离，也称为切去长度，单位：cm。 2）、 决策变量为x=x1x2x此问题在模型假设与符 3x4x5x6：表示一种切割方式， 为切割的一个排列，共有6!种排列，xi可以取1，2， 号说明之后，最好给出 3，4，5，6。
三、模型建立
模型二： 0－1整数规划模型
（2）建立模型
所以，得到0－1整数规划模型如下： min f ( x ) 这里用x代表全体决策变量
6 x 0 xij 1, i 1, 2, , 6. j 1 6 s .t . xij 1, j 1, 2, , 6. i 1 xij 0或1, i 1, 2, , 6. j 1, 2, , 6.
对最后一组数据应给出所有最优解，并进行讨论。
一、模型准备
1、审题分析
来自百度文库


“加工费用最少”表明本问题是一个典型的最 优化问题，目标是使得总加工费用最少，而 要做的决策则是确定各面加工次序（“切割 方式”）。 切割方式的决策主要与待加工长方体和成品 长方体的长、宽、高有关，另外还与换刀具 费用e及水平切割单位面积的费用与垂直切割 单位面积费用的r 倍数有关。（影响决策的 因素） 总加工费用包括各面加工费用及换刀具费用。
三、模型建立
模型二： 0－1整数规划模型
（1）重新分析题目
通过对问题的分析，我们可以将原问题抽象为 一个0－1整数规划模型。由于每个面只切割1次， 第i次切割只能切割1个面，从而可以确定模型的约 束条件。
注意：需要重新定义决策变量
定义变量 xij ：如果 xij 1表示第i次切割第j 个面，如果 xij 0 表示第i次不切割第j个面，其 定 中i=1,2,…,6,j=1,2,…,6。 义 变
对最后一组数据应给出所有最优解，并进行讨论。
读完题目之后
你可能会认为是题目很简单，但是
计算总费用时却因“加工次序”而止步 你会想到它是属于哪一类问题？
你会去翻阅什么建模辅导书？ 只有6个面，你是否会尝试穷举法？
这么多问题要求解，你是否弄清楚了？
案例2：截断切割 （1997年B题） 反复读题
某些工业部门（如贵重石材加工等）采用截断切割的加 工方式。这里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成 两部分。从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的 长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过 6次截断切割。水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面 积费用的r 倍，且当先后两次垂直切割的平面(不管它们之 间是否穿插水平切割)不平行时，因调整刀具需额外费用e。 试为这些部门设计一种安排各面加工次序（称“切割方 式”）的方法，使加工费用最少。（由工艺要求，与水平工 作台接触的长方体底面是事先指定的）
ij
三、模型建立
注意到目标函数是个非线性函数， 所以这是一个非线性的0－1整数规划。
思考： 如何建立函数f(x)？ 如何求解模型？ 四、模型求解
模型求解可用Matlab软件（穷举法）略。
总的说来，由于非线性规划问题在计算上常
是困难的，理论上的讨论也不能像线性规划那样 给出简洁的结果形式和全面透彻的结论. 这点又 限制了非线性规划的应用，所以，在数学建模时， 要进行认真的分析，对实际问题进行合理的假设、
图形便于直观理解，这
3）、fi ：第i次切割xi的切割费用（不含换刀费用）。 同时也为解题提供方便。 4）、f(x)：切割方式x的总加工费用，它是切割费用与 换刀具费用的总和。
三、模型建立
模型一：一般切割模型 可将确定最佳切割方式的问题归结为 如下最优化模型：
min f ( x)
注意：这个模型不能用一般的最优化方 法进行求解，因为f(x)是形式较复杂的 非线性函数。
未漏掉最优切割方式所对应的、真正的最小加工费, 那么由某部
门提出的该“准则”仍有可借其快速辅助优化的重要价值.
另外，关于问题4、5的简单分析
计算结果：依准则选出的不同切割方案多达15种，且还表明 了此切割标准一般不可作为优化准则使用. 5.对某部门切割准则的再评价 1） 在切割单价的平竖比r =1与r =1.5且换刀价e =0时, 依 部门准则选出的为数不多的切割方式中包含有最优切割方式(即 切割费最小的方式)；但可能不含有全部可能的最优切割方 式．由于它远比全面搜索的计算量小, 故可用在计算环境差的 现场供手工快速搜索最优切割方式. 2）每次选择加工费最小的待切割面进行切割”虽不可作为优化 准则使用, 但只要其精选出的15种不同切割方式的最小加工费并
案例2：截断切割 （1997年B题）
某些工业部门（如贵重石材加工等）采用截断切割的加 工方式。这里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成 两部分。从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的 长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过 6次截断切割。水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面 积费用的r 倍，且当先后两次垂直切割的平面(不管它们之 间是否穿插水平切割)不平行时，因调整刀具需额外费用e。 试为这些部门设计一种安排各面加工次序（称“切割方 式”）的方法，使加工费用最少。（由工艺要求，与水平工 作台接触的长方体底面是事先指定的）
简化，首先考虑用线性规划模型，若线性近似误
差较大时，则考虑用非线性规划。
五、模型分析与改进 一、模型准备
1、重新分析

首先考虑到一共需要切割6次。按照排列知识， 不同方案应该有6! 720 种。 虽然解决了切割方式的个数， 其次，注意如果两次相继的加工是切割一对相互平 行的平面，那么交换其顺序对整个切割费用将不产 但是为穷举带来了麻烦 生任何影响。
详细要求如下：
1）需考虑的不同切割方式的总数。 2）给出上述问题的数学模型和求解方法。
3）试对某部门用的如下准则作出评价：每次选择一个加工费 用最少的待切割面进行切割。
4）对于e = 0的情形有无简明的优化准则。 5）用以下实例验证你的方法：待加工长方体和成品长方体的 长、宽、高分别为10、14.5、19和3、2、4，二者左侧面、正 面、底面之间的距离分别为6、7、9（单位均为厘米）。垂直 切割费用为每平方厘米1元，r和e的数据有以下4组： a. r =1, e = 0; c. r =8, e =0; b. r =1.5, e =0; d. r =1.5; 2 <= e <= 15.
较了720个加工费后才能达成).理由是: 最佳切割方
式虽然可能不唯一, 但最佳加工费用应是唯一不变的 值. 因此, 若准则选出的不同切割方式有许多, 而 相应的加工费却不全同, 则其至少表明它不具备优 化准则的基本属性．同样，即使精选出的切割方式 唯一, 但加工费却非真正意义上的最佳加工费用， 则准则也无最优性可言。
详细要求如下： 注意要求，建模一定要严格按照要求进行
1）需考虑的不同切割方式的总数。 总的切割方式为多少个？ 2）给出上述问题的数学模型和求解方法。
3）试对某部门用的如下准则作出评价：每次选择一个加工费 用最少的待切割面进行切割。
4）对于e = 0的情形有无简明的优化准则。 5）用以下实例验证你的方法：待加工长方体和成品长方体的 长、宽、高分别为10、14.5、19和3、2、4，二者左侧面、正 面、底面之间的距离分别为6、7、9（单位均为厘米）。垂直 切割费用为每平方厘米1元，r和e的数据有以下4组： a. r =1, e = 0; c. r =8, e =0; b. r =1.5, e =0; d. r =1.5; 2 <= e <= 15.
这种相互平行的平面一共有3对。其中的1对在 加工顺序中相邻的情况共5!种，有某2对相邻的共4! 模型一、二都没给出总加工费 种，3对都相邻的有3!种。 的就是办法，需要修正模型 根据组合学中的容斥原理便可得到结果：
6! 3 5! 3 4! 3! 426 (种)
五、模型分析与改进
2、重新寻找更好的建模方式、方法

此问题涉及次序问题，可以考虑用《排序论》 的相关理论进行讨论求解。 此问题的求解定会参考长方体的切割图形， 所以可以考虑用《图论》的相关理论进行讨 论求解。

另外，关于问题4、5的简单分析
4题.“每次选择加工费最小的待切割面进行切割” 是否可作为优化准则使用？只需按此准则选择切割方 式, 然后考察各方式是否有相同的加工费, 并且该加 工费是否为最小即可说明。(是否为最小原则上需要比