高中数学选修部分不等式选讲辅导讲义
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不等式选讲辅导讲义
一、基础知识：
（一）不等式的形式与常见不等式： 1、不等式的基本性质：
（1）a b b a >⇔< （对称性） （2）,a b b c a c >>⇒>（传递性）
注：,a b b c a c ≥≥⇒≥，a c ≥等号成立当且仅当前两个等号同时成立 （3）a b a c b c >⇒+>+ （可加性）
（4）,0;,0a b c ac bc a b c ac bc >>⇒>><⇒< （可乘性） （5）()02,n
n
a b a b n n N >>⇒>≥∈ （乘方性）
（6
）)02,a b n n N >>>≥∈（开方性）
2、绝对值不等式：a b a b a b -≤+≤+ （三角不等式） （1）a b a b +≤+等号成立条件当且仅当0ab ≥ （2）a b a b -≤+等号成立条件当且仅当0ab ≤
（3）a b b c a c -+-≥-：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且仅当()()0a b b c --≥ 3、均值不等式
（1）涉及的几个平均数： ① 调和平均数：12
111n n
n
H a a a =
+++
② 几何平均数：2n n G a = ③ 代数平均数：12n
n a a a A n
++
+=
④ 平方平均数：2n
n a Q n
+
+=
（2）均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===
（3）三项均值不等式：
①
a b c ++≥ 222
3a b c abc ++≥
② 3
3a b c abc ++⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
③
a b c ++≤4、柯西不等式：(
)()()2
22
2222
12121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥++
+
等号成立条件当且仅当
12
12
n
n
a a a
b b b ===
或120n b b b ====
（1）二元柯西不等式：(
)()()2
22
2
2a b
c d ac bd ++≥+，等号成立当且仅当ad bc =
（2）柯西不等式的几个常用变形 ① 柯西不等式的三角公式：
()
()()2
2
2
222
2
121122n n n n a b b b a b a b a b +
++++
+≥
±+±+
+±
② ()2
22
2
1
21212
12n n
n n
a a a a a a
b b b b b b +++++
+≥++
+
()()22
2
2
12121212n
n n n a a a b b b a a a b b b ⎛⎫⇔++
++++≥+++ ⎪⎝⎭
②式体现的是当各项2
2
212,,
,n a a a 系数不同时，其“平方和”与“项的和”之间的不等关系，
刚好是均值不等式的一个补充。
③ ()2
121212
1122n n n n n
a a a a a
a
b b b a b a b a b +++++
+≥+++ 5、排序不等式：设1212,n n a a a b b b ≤≤
≤≤≤
≤为两组实数，12,,
,n c c c 是
12,,,n b b b 的任一排列，则有： 121111221122n n n n n n n a b a b a b a c a c a c a b a b a b -++
+≤++
+≤++
+
即“反序和≤乱序和≤顺序和” （二）不等式选讲的考察内容：
1、利用不等式的变形与常见不等式证明不等式成立
2、利用常见不等式（均值不等式，柯西不等式）求表达式的最值，要注意求最值的思路与利用基本不等式求最值的思路相似，即“寻找合适的模型→将式子向定值放缩（消元）→验证等号成立条件”
3、解不等式（特别是含绝对值的不等式——可参见“不等式的解法”一节） 二、典型例题：
例1：若不等式131x x m +++≥-恒成立，则m 的取值范围为________．
思路：本题为恒成立问题，可知()
min
113
m x x -≤+++，所以只需求出13
x x +++的最小值即可，一种思路可以构造函数()13f x x x =+++，通过对绝对值里的符号进
行分类讨论得到分段函数：()24,12
,3124,3x x f x x x x +≥-⎧⎪
=-≤<-⎨⎪--<-⎩
，进而得到()min 2f x =，另一种思路可以想到绝对值不等式：()()13132x x x x +++≥+-+=，进而直接得到最小值，所以12m -≤，从而13m -≤≤ 答案：13m -≤≤
例2：若存在实数x 使得2
4210x x a a ++-+-=成立，求实数a 的取值范围 思路：本题可从方程有根出发，得到关于a 的不等式，从而解出a 的范围 解：依题意可知二次方程24210x x a a ++-+-=有解
()164210a a ∴∆=--+-≥ 即214a a -+-≤
当2a ≥时，72342a a -≤⇒≤
72,2a ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦
当12a ≤<时，21414a a -+-≤⇒≤恒成立 [)1,2a ∴∈ 当1a <时，12142a a a -+-≤⇒≥-
1,12a ⎡⎫
∴∈-⎪⎢⎣⎭
综上所述，可得17,22
a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
例3：已知函数()()20f x x x a a =+->