5 空间中的距离

第5讲 空间中的距离

一、知识梳理

∙异面直线间的距离：指夹在两异面直线之间的 公垂线段的长度。如图PQ 是两异面直线间的距离

（异面直线的公垂线是唯一的，指与两异面直线垂直且相交的直线）

∙点到平面的距离：指该点与它在平面上的

射影的连线段的长度。

如图：O 为P 在平面α上的射影， 线段OP 的长度为点P 到平面α的距离 求法通常有：定义法和等体积法

等体积法：就是将点到平面的距离看成是 三棱锥的一个高。如图在三棱锥V ABC -

中有：S ABC

A SBC

B SA

C C SAB V V V V ----===

二、典例精析

【例1】如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点.

(1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线；(2)求AB 和CD 间的距离

【练习】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，E 为棱1CC 上异于C 、

1C 的一点，1EA EB ⊥，已知2AB =

，1

2BB =，1BC =，

13

BCC π

∠=，求：异面直线AB 与1EB 的距离.

A

B

C

1A

1B

1C

E

C

A

D

B

O E

P

B

E

D

C

A

【例2】菱形ABCD 中，∠BAD =60°,AB =10 cm,P A ⊥平面ABCD ,且P A ＝5 cm. 求(1)P 到AD 的距离；（2）P 到BD 的距离；（3）P 到CD 的距离.

【例3】如图，在底面是矩形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，

4BC =．E 是PD 的中点．

（1）求证：平面PDC ⊥平面PAD ； （2）求B 点到平面EAC 的距离．

【例4】如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=2 （1）求证：⊥AO 平面BCD ；

（2）求点E 到平面ACD 的距离．

【例5】棱长均为a 的正三棱柱中，D 为AB 的中点，连结1A D ，DC ，1A C . （1）求证：1BC ∥平面1A DC ； （2）求1BC 到平面1A DC 的距离.

【练习】1、如下图（左），正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，O 是底面1111A B C D 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离为（ ）

.

A 2

1

.B 42 .C 22 .D 23

2、如上图（右）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E F ,

分别为棱11AA BB ,的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1AG λ=（0≤λ≤1）．则点G 到平面1D EF 的距离为（ ） .

A 3

.

B 2

2

.

C 23

.

D 55

三、课后练习

1、A ∉平面α，,AB AC 是平面α的两条斜线，O 是A 在平面α内的射影，4AO =，3OC =，BO OC ⊥，30OBA ∠=︒，则点C 到直线AB 的距离为

2、在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，13AA =，则直线11B C 与平面11A BCD 的距离是（ ） .

A 12

5

.B 4 .C 3 .D 135

A

B

C

1A

1B

1C

D

A

B

C

M

1B

N

1A

1C

3、如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点，

A 、

B 、M 是顶点，那么点M 到截面ABCD 的距离是__________

4、如图，直二面角D AB E --中，四边形ABCD 是边长

为2的正方形，AE EB =，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE . （1）求证：AE ⊥平面BCE ； （2）求点D 到平面ACE 的距离.

5、如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长均为1，M 是底面BC 边上的中点，N 是侧棱1CC 上的点，且12CN C N =.求点1B 到平面AMN 的距离