二次函数中构建特殊三角形存在性问题(含答案)

二次函数中构建特殊三角形存在性问题

一、二次函数与等腰三角形 例1：如图，已知抛物线224

233

y x x =-

++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ． 点M 从O 点出发，以每秒1个单位长度:的速度向B 运动，过M 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ，交BC 于Q ． （1）求点B 和点C 的坐标；

（2）设当点M 运动了x （秒）时，四边形OBPC 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围．

（3）在线段BC 上是否存在点Q ，使得△DBQ 成为以BQ 为一腰的等腰三角形？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．

解：（1）把x =0代入224

233y x x =-

++得点C 把y =0代入224

233

y x x =-++得点B （2）连结OP ，设点P 的坐标为P （x ，y ）

OBPC S 四边形=OPC S △+OPB S △ =

11

2322x y ⨯⨯+⨯⨯233x x =-++

∵ 点M 运动到B 点上停止，∴03x ≤≤

∴2

3324S x ⎛

⎫=--+ ⎪⎝

⎭（03

x ≤≤）

（3）存在．=13 ① 若BQ = DQ

∵ BQ = DQ ，BD = 2 ∴ BM = 1 ∴OM = 3-1 = 2

∴2tan 3QM OC OBC BM OB ∠=== ∴QM =23 所以Q 的坐标为Q （2，2

3

） ． ② 若BQ=BD=2

∵ △BQM ∽△BCO ，∴

BQ BC =QM CO =BM

BO

∴

2QM ∴ QM =13 ∵

BQ

BC =BM OB ∴=3BM

∴ ∴ OM = 3

所以Q 的坐标为Q （313-，13

）

例2：已知二次函数2y ax bx c =++的图象分别经过点（0，3），（3，0），（－2，－5）. 求：(1) 求这个二次函数的解析式； (2) 求这个二次函数的最值；

(3) 若设这个二次函数图象与x 轴交于点C ，D （点C 在点D 的左侧），且点A 是该图象的顶点，请在这个二次函数的对称轴上确定一点B ，使△ACB 是等腰三角形，求出点B 的坐标.

解：（1）因为二次函数y=ax 2

+bx+c 的图象经过（0，3） 所以c=3．所以y=ax 2

+bx+3．

又二次函数y=ax 2

+bx+3的图象经过点（3，0），（﹣2，﹣5），

，

解这个方程组得：

，

所以这个二次函数的解析式为：y=﹣x 2

+2x+3； （2）因为a=﹣1＜0， 所以函数有最大值，

当x=1时，函数的最大值为：4；

（3）当CA=CB 时，可求得B 点的坐标为：（1，﹣4）； 当AC=AB 时，可求得B 点的坐标为：；

当BA=BC 时，可求得B 点的坐标为：．

综上所述B 点的坐标分别为（1，﹣4），，

．

例3：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++经过A （3，0）、B （5，0）、 C （0，5）三点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为D ，求△BCD 的面积；

（3）若在抛物线的对称轴上有一个动点P ，当△OCP 是腰长为5的等腰三角形时，求点P 的坐标．

解：（1）根据题意，c=5． ∴

解得

∴抛物线解析式为；（2分）

（2）

∴抛物线顶点D 的坐标为（3分）

设直线CD 的解析式为y=kx+b ， 则

∴

∴直线CD的解析式为．

设直线CD与x轴交于点F，则F点坐标为．

∴．

∴．（4分）

（3）分四种情况：设对称轴与x轴交于点E．

①当OP=OC=5，且∠COP为锐角时，如图1，

则有，

∴P点坐标为（4，3）（5分）

②当OP=OC=5，且∠COP为钝角时，如图2，

则有，

∴P点坐标为（4，﹣3）．（6分）

③当OC=CP=5，且∠OCP为锐角时，如图3，

作PQ⊥y轴，垂足为Q，

则有，

∴OQ=OC﹣CQ=5﹣3=2．

∴P点坐标为（4，2）（7分）

④当OC=CP=5，且∠OCP为钝角时，如图4，

作PQ⊥y轴，垂足为Q，

则有，

∴OQ=OC+CQ=5+3=8．

∴P点坐标为（4，8）（8分）

综上所述，点P的坐标为（4，3）、（4，﹣3）、（4，2）或（4，8）．

例4：如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在

x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；

（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．

解：（1）由抛物线y=ax 2

﹣5ax+4可知C （0，4），对称轴x=﹣=，

则BC=5，B （5，4），又AC=BC=5，OC=4， 在Rt △AOC 中，由勾股定理，得AO=3， ∴A （﹣3，0）B （5，4）C （0，4）

（2）把点A 坐标代入y=ax 2﹣5ax+4中， 解得a=﹣， 故y=﹣x 2

+x+4．

（2）存在符合条件的点P 共有3个．以下分三类情形探索． 设抛物线对称轴与x 轴交于N ，与CB 交于M ． 过点B 作BQ ⊥x 轴于Q ，

易得BQ=4，AQ=8，AN=5.5，BM=．

①以AB 为腰且顶角为角A 的△PAB 有1个：△P 1AB ．