二次函数中构建特殊三角形存在性问题(含答案)
(完整版)二次函数与三角形的存在性问题的解法
二次函数与三角形的存在性问题一、预备知识1、坐标系中或抛物线上有两个点为P （x1，y ），Q （x2，y ）(1)线段对称轴是直线2x 21x x +=(2)AB 两点之间距离公式：221221)()(y y x x PQ -+-=中点公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫ ⎝⎛++222121y y ,x x 。
2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y +=如果这两天两直线互相垂直，则有121-=⋅k k3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2（1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2（2）当k1≠k2， ，L1与L2相交（3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直二、三角形的存在性问题探究：三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形（一）三角形的性质和判定：1、等腰三角形性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。
判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。
2、直角三角形性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。
判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。
3、等腰直角三角形性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。
判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形4、等边三角形性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。
判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
总结：（1）已知A 、B 两点，通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求的点（不与A 、B 点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上（2）已知A 、B 两点，通过“两线一圆”可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与A 、B 点重合）即在圆上以及在两条与直径AB 垂直的直线上。
初三数学中考复习：二次函数中特殊三角形的存在问题(含答案)
特殊三角形存在性问题一、等腰三角形存在性问题【例4】如图，抛物线y＝－x2＋mx＋n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(－1，0)，C(0，3)．(1)求抛物线的解析式．解：把A(－1，0)，C(0，3)代入y＝－x2＋mx＋n，得解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.(2)判断△ACD的形状，并说明理由．先确定点D的坐标，求出△ACD的各边长，然后判断△ACD的形状．解：△ACD是等腰三角形．由(1)知，抛物线的对称轴为x＝1，∴D(1，0)．∵A(－1，0)，C(0，3)，∴AD＝2，AC＝＝，CD＝＝.∴AC＝CD.∴△ACD是等腰三角形．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．先找出所有符合条件的点，然后再求线段长确定P点坐标．解：由(2)知CD＝.∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，∴CP1＝DP2＝DP3＝CD.过点C作CM垂直对称轴于M，∴MP1＝MD＝3.∴DP1＝6.∴符合条件的点P的坐标为(1，6)，(1，)，(1，－)．(4)点P是线段BC上的一动点，是否存在这样的点P，使△PCD是等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标，如果不存在，请说明理由．先求出BC的解析式，分三种情况讨论计算出m.解：∵B(3，0)，C(0，3)，∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.设点P(m，－m＋3)(m＞0)．∵C(0，3)，D(1，0)，∴CP2＝2m2，DP2＝(m－1)2＋(－m＋3)2，CD2＝10.∵△PCD是等腰三角形：①当CP＝DP时，则CP2＝DP2.∴2m2＝(m－1)2＋(－m＋3)2.∴m＝.∴P.1②当CP＝CD时，则CP2＝CD2.∴2m2＝10.∴m＝或m＝－(舍去)．(，3－)．∴P2③当DP＝CD时，则DP 2＝CD 2.∴(m－1)2＋(－m＋3)2＝10.∴m＝4或m＝0(舍去)．∴P(4，－1)．3综上所述，符合条件的点P的坐标为，(，3－)或(4，－1)．(5)设抛物线的顶点为E，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PEC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．分“以CE为底”和“以CE为腰”两种情况讨论．利用腰长相等列关系式，再结合抛物线解析式，求出点P的坐标．解：由(1)知，E点坐标为(1，4)，对称轴为直线x＝1.①若以CE为底边，则PE＝PC.设点P的坐标为(x，y)，则(x－1)2＋(y－4)2＝x2＋(3－y)2，即y＝4－x.又∵点P(x，y)在抛物线上，∴4－x＝－x2＋2x＋3.解得x＝.∵＜1，应舍去．∴x＝，y＝4－x＝.即点P的坐标为.②若以CE为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线的对称性可知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时P点坐标为(2，3)．综上所述，符合条件的点P坐标为或(2，3)．关于等腰三角形找点(作点)和求点的方法①等腰三角形找点(作点)方法：以已知边为边长，作等腰三角形，运用“两圆一问题找点已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△P AB为等腰三角形分别以点A，B为圆心，以线段AB长为半径作圆，再作线段AB的垂直平分线，两圆和垂直平分线与l的交点即为所有要求的P点②等腰三角形求点方法：以已知边为边长，在抛物线或坐标轴或对称轴上找点，与已知点构成等腰三角形，先设所求点的坐标，然后求出三点间的线段长度，分不同顶点进行讨论．二、直角三角形的存在性问题【例5】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；解：把A(－1，0)，B(3，0)代入y＝ax2＋2x＋c，得解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.设AC的解析式为y＝kx＋3.把A(－1，0)代入解析式，得k＝3.∴直线AC的解析式为y＝3x＋3.(2)动点E在y轴上移动，当△EAC是以AC边为直角边的直角三角形时，求点E的坐标．解：设E的坐标为(0，t)．AC2＝OA2＋OC2＝12＋32＝10，EA2＝OA2＋OE2＝12＋t2，CE2＝(3－t)2.在Rt△EAC中，AC2＋EA2＝CE2，∴10＋(12＋t2)＝(3－t)2，解得t＝－.∴点E的坐标为.(3)试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．分直角顶点在点A处和点C处两种情况讨论．解：存在．①直角顶点在点C处．如图，过点C作CQ⊥AC交x轴于点Q，△ACQ为直角三角形．又∵CO⊥AQ，∴△COA∽△QOC.∴＝.∵A(－1，0)，C(0，3)，∴OA＝1，OC＝3.∴＝.∴OQ＝9.∴Q(9，0)．由C(0，3)，Q(9，0)可求出直线CQ的解析式为y＝－x＋3.联立方程解得x1＝0(舍去)，x2＝.当x＝时，y＝.∴P1.②直角顶点在点A处．如图，过点A作AP2∥CQ交抛物线于点P2.设直线AP2的解析式为y＝－x＋b，把A(－1，0)代入解析式，得－×(－1)＋b＝0，∴b＝－.∴直线AP2的解析式为y＝－x－. 联立方程解得x1＝－1(舍去)，x2＝，当x＝时，y＝－.∴P2.综上所述，符合条件的点P的坐标为或.(4)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得以B，C，P为顶点的三角形为直角三角形？若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．分直角顶点在点B处、点C处和点P处三种情况讨论．解：设点P(1，m)，B(3，0)，C(0，3)．∴BC2＝18，PB2＝(1－3)2＋m2＝m2＋4，PC2＝12＋(m－3)2＝m2－6m＋10.①当以点C为直角顶点时，BC2＋PC2＝PB2，即18＋ (m2－6m＋10)＝m2＋4，解得m＝4.②当以点B为直角顶点时，BC2＋PB2＝PC2，即18＋ (m2＋4)＝m2－6m＋10，解得m＝－2.③当以点P为直角顶点时，PB2＋PC2＝BC2，即m2＋4＋ (m2－6m＋10) ＝18，解得m1＝，m2＝.综上，存在点P，使得以点B，C，P为顶点的三角形为直角三角形，点P的坐标为(1，4)，(1，－2)，，.（5）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC，BC于点M，N.问在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由．分三种情况进行讨论：①∠PMN＝90°，PM＝MN；②∠PNM＝90°，PN＝MN；③∠MPN＝90°，PM＝PN.解：存在．设M，N的纵坐标为m，由B(3，0)，C(0，3)可求出直线BC的解析式为y＝－x＋3.∴M，N(3－m，m)①当∠PMN＝90°，PM＝MN时，如图1所示，∵MN＝，PM＝m，∴＝m，解得m＝，则P的横坐标为－.∴P.②当∠PNM＝90°，PN＝MN时，同理可得P.③当∠MPN＝90°，PM＝PN时，作MN的中点Q，连接PQ，则PQ＝m.又∵PM＝PN，∴PQ⊥MN.则MN＝2PQ，即＝2m，解得m＝，点P的横坐标为＝＝.∴P.综上，存在点P使得△PMN是等腰直角三角形，点P的坐标为，或.关于直角三角形找点和求点的方法①找点：以已知边为边长，作直角三角形，运用两线一圆法，在图上找出存在点的个数．所谓的“两线”就是指以已知边为直角边，过已知边的两个端点分别作垂线与抛物线或坐标轴或对称轴的交点，就是所求的点；“一圆”就是以已知边为直径，以已知边的中点作圆，与抛物线或坐标轴或对称轴的交点即为所求的点．②求点：以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1·k2＝－1；以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用三角形相似求解，或者三条边分别用代数式表示之后，利用勾股定理求解．。
中考数学复习---二次函数中三角形存在性问题压轴题练习(含答案解析)
中考数学复习---二次函数中三角形存在性问题压轴题练习（含答案解析）一．相似三角形的存在性1．（2022•陕西）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y 轴的交点为C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的右侧，过点P分别作l，x 轴的垂线，垂足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OBC相似，求点P的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：，解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；（2）如图：∵y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣1）2﹣，∴抛物线y＝x2﹣x﹣4的对称轴是直线x＝1，在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OB＝OC＝4，∴△BOC是等腰直角三角形，∵△PMN和△OBC相似，∴△PMN是等腰直角三角形，∵PM⊥直线x＝1，PN⊥x轴，∴∠MPN＝90°，PM＝PN，设P（m，m2﹣m﹣4），∴|m﹣1|＝|m2﹣m﹣4|，∴m﹣1＝m2﹣m﹣4或m﹣1＝﹣m2+m+4，解得m＝+2或m＝﹣+2或m＝或m＝﹣，∵点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线x＝1的右侧，∴P的坐标为（+2，+1）或（，1﹣）．2．（2022•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵顶点D的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A（﹣1，0），∴B（3，0），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入抛物线的解析式，则﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．（2）存在，P（0，﹣1），理由如下：∵∠APB+∠ACB＝180°，∴∠CAP+∠CBP＝180°，∴点A，C，B，P四点共圆，如图所示，由（1）知，OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠APC＝∠ABC＝45°，∴△AOP是等腰直角三角形，∴OP＝OA＝1，∴P（0，﹣1）．（3）存在，理由如下：由（1）知抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，∴D（1，4），由抛物线的对称性可知，E（2，3），∵A（﹣1，0），∴AD＝2，DE＝，AE＝3．∴AD2＝DE2+AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠AED＝90°，DE：AE＝1：3．∵点M在直线l下方的抛物线上，∴设M（t，﹣t2+2t+3），则t＞2或t＜0．∴EF＝|t﹣2|，MF＝3﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t，若△MEF与△ADE相似，则EF：MF＝1：3或MF：EF＝1：3，∴|t﹣2|：（t2﹣2t）＝1：3或（t2﹣2t）：|t﹣2|＝1：3，解得t＝2（舍）或t＝3或﹣3或（舍）或﹣，∴M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．综上，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．3．（2022•恩施州）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+c与y 轴交于点P（0，4）．（1）直接写出抛物线的解析式．（2）如图，将抛物线y＝﹣x2+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．（3）直线BC与抛物线y＝﹣x2+c交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．（4）若将抛物线y＝﹣x2+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y＝﹣x2+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+c与y轴交于点P（0，4），∴c＝4，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4；（2）△BCQ是直角三角形．理由如下：将抛物线y＝﹣x2+4向左平移1个单位长度，得新抛物线y＝﹣（x+1）2+4，∴平移后的抛物线顶点为Q（﹣1，4），令x＝0，得y＝﹣1+4＝3，∴C（0，3），令y＝0，得﹣（x+1）2+4＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴B（﹣3，0），A（1，0），如图1，连接BQ，CQ，PQ，∵P（0，4），Q（﹣1，4），∴PQ⊥y轴，PQ＝1，∵CP＝4﹣3＝1，∴PQ＝CP，∠CPQ＝90°，∴△CPQ是等腰直角三角形，∴∠PCQ＝45°，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠BCO＝45°，∴∠BCQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴△BCQ是直角三角形．（3）在x轴上存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似．∵△ABC是锐角三角形，∠ABC＝45°，∴以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，必须∠NBT＝∠ABC＝45°，即点T在y轴的右侧，设T（x，0），且x＞0，则BT＝x+3，∵B（﹣3，0），A（1，0），C（0，3），∴∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝3，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x+3，由，解得：，，∴M（﹣，），N（，），∴BN＝×＝，①当△NBT∽△CBA时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；②当△NBT∽△ABC时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；综上所述，点T的坐标T（，0）或（，0）．（4）抛物线y＝﹣x2+4的顶点为P（0，4），∵直线BC的解析式为y＝x+3，∴直线BC与y轴的夹角为45°，当抛物线沿着垂直直线BC的方向平移到只有1个公共点时，平移距离最小，此时向右和向下平移距离相等，设平移后的抛物线的顶点为P′（t，4﹣t），则平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣t）2+4﹣t，由﹣（x﹣t）2+4﹣t＝x+3，整理得：x2+（1﹣2t）x+t2+t﹣1＝0，∵平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点，∴Δ＝（1﹣2t）2﹣4（t2+t﹣1）＝0，解得：t＝，∴平移后的抛物线的顶点为P′（，），平移的最短距离为．二．直角三角形的存在性4．（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C 坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△P AB为直角三角形，请求出点P 的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；（2）存在．理由：如图1中，设D （t ，t 2+t ﹣4），连接OD ．令y ＝0，则x 2+x ﹣4＝0，解得x ＝﹣4或2，∴A （﹣4，0），C （2，0），∵B （0，﹣4），∴OA ＝OB ＝4，∵S △ABD ＝S △AOD +S △OBD ﹣S △AOB ＝×4×（﹣﹣t +4）+×4×（﹣t ）﹣×4×4＝﹣t 2﹣4t ＝﹣（t +2）2+4，∵﹣1＜0，∴t ＝﹣2时，△ABD 的面积最大，最大值为4，此时D （﹣2，﹣4）； （3）如图2中，设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，过点B 作BM ⊥抛物线的对称轴于点M ．则N （﹣1.0）．M （﹣1，﹣4）；∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，当∠P1AB＝90°时，△ANP1是等腰直角三角形，∴AN＝NP1＝3，∴P1（﹣1，3），当∠ABP2＝90°时，△BMP2是等腰直角三角形，可得P2（﹣1，﹣5），当∠APB＝90°时，设P（﹣1，n），设AB的中点为J，连接PJ，则J（﹣2，﹣2），∴PJ＝AB＝2，∴12+（n+2）2＝（2）2，解得n＝﹣2或﹣﹣2，∴P3（﹣1，﹣2），P4（﹣1，﹣﹣2），综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）．5．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC 于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣3x+4；（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+4，设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），∴DH＝﹣n2﹣4n，∵DH∥OC，∴＝＝，∵OC＝4，∴DH＝3，∴﹣n2﹣4n＝3，解得n＝﹣1或n＝﹣3，∴D（﹣1，6）或（﹣3，4）；（3）设F（t，t+4），当∠FDO＝90°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，∵∠DOF＝45°，∴DF＝DO，∵∠MDF+∠NDO＝90°，∠MDF+∠MFD＝90°，∴∠NDO＝∠MFD，∴△MDF≌△NOD（AAS），∴DM＝ON，MF＝DN，∴DN+ON＝﹣t，DN＝ON+（﹣t﹣4），∴DN＝﹣t﹣2，ON＝2，∴D点纵坐标为2，∴﹣x2﹣3x+4＝2，解得x＝或x＝，∴D点坐标为（，2）或（，2）；当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，∵∠KFD+∠LFO＝90°，∠KFD+∠KDF＝90°，∴∠LFO＝∠KDF，∵DF＝FO，∴△KDF≌△LFO（AAS），∴KD＝FL，KF＝LO，∴KL＝t+4﹣t＝4，∴D点纵坐标为4，∴﹣x2﹣3x+4＝4，解得x＝0或x＝﹣3，∴D（0，4）或（﹣3，4）；综上所述：D点坐标为（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．三．等腰三角形的存在性6．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O 为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠BOF＝∠BDF；（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．【解答】（1）解：设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入得：，解得，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）证明：∵正方形OBDC，∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，∵BF＝BF，∴△BOF≌△BDF，∴∠BOF＝∠BDF；（3）解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，∴令y＝3，则3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，∴E（2，3），①如图，当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角，∴∠FDM为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴DF＝DM，∴∠M＝∠DFM，∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M，∵BM∥OC，∴∠M＝∠MOC，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°，∴∠M＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BM﹣BE＝3﹣2；②如图，当M在线段BD上时，∠DMF为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴MF＝DM，∴∠BDF＝∠MFD，∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BMO＝2∠BOM，∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°，∴∠BOM＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BE﹣BM＝2﹣，综上所述，ME的值为：3﹣2或2﹣．7．（2022•山西）综合与探究如图，二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E．（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P 运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝8或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），设直线BC解析式为y＝kx+4，将B（8，0）代入得：8k+4＝0，解得k＝﹣，∴直线BC解析式为y＝﹣x+4；（2）过C作CG⊥PD于G，如图：设P（m，﹣m2+m+4），∴PD＝﹣m2+m+4，∵∠COD＝∠PDO＝∠CGD＝90°，∴四边形CODG是矩形，∴DG＝OC＝4，CG＝OD＝m，∴PG＝PD﹣DG＝﹣m2+m+4﹣4＝﹣m2+m，∵CP＝CE，CG⊥PD，∴GE＝PG＝﹣m2+m，∵∠GCE＝∠OBC，∠CGE＝90°＝∠BOC，∴△CGE∽△BOC，∴＝，即＝，解得m＝0（舍去）或m＝4，∴P（4，6）；（3）存在点P，使得CE＝FD，理由如下：过C作CH⊥PD于H，如图：设P（m，﹣m2+m+4），由A（﹣2，0），C（0，4）可得直线AC解析式为y＝2x+4，根据PF∥AC，设直线PF解析式为y＝2x+b，将P（m，﹣m2+m+4）代入得：﹣m2+m+4＝2m+b，∴b＝﹣m2﹣m+4，∴直线PF解析式为y＝2x﹣m2﹣m+4，令x＝0得y＝﹣m2﹣m+4，∴F（0，﹣m2﹣m+4），∴OF＝|﹣m2﹣m+4|，同（2）可得四边形CODH是矩形，∴CH＝OD，∵CE＝FD，∴Rt△CHE≌Rt△DOF（HL），∴∠HCE＝∠FDO，∵∠HCE＝∠CBO，∴∠FDO＝∠CBO，∴tan∠FDO＝tan∠CBO，∴＝，即＝，∴﹣m2﹣m+4＝m或﹣m2﹣m+4＝﹣m，解得m＝2﹣2或m＝﹣2﹣2或m＝4或m＝﹣4，∵P在第一象限，∴m＝2﹣2或m＝4．8．（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接CB交对称轴于点Q，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A、B关于对称轴x＝1对称，∴AQ＝BQ，∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，∵C（0，﹣3），B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，∴Q（1，﹣2）；（3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB，∴M点与A点重合，∴M（﹣1，0）；当∠PBM＝90°时，PB＝BM，如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH 交于H，过点M作MG⊥HG交于G，∵∠PBM＝90°，∴∠PBH+∠MBG＝90°，∵∠PBH+∠BPH＝90°，∴∠MBG＝∠BPH，∵BP＝BM，∴△BPH≌△MBG（AAS），∴BH＝MG，PH＝BG＝2，设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t＝2+或t＝2﹣，∴M（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），∵M点在对称轴的左侧，∴M点坐标为（1﹣，﹣2）；如图2，当P点在M点下方时，同理可得M（3+t，2），∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣，∴M（1﹣，2）；综上所述：M点的坐标为（1﹣，﹣2）或（1﹣，2）或（﹣1，0）．9．（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE 内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）如图，过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），∴直线OE的解析式为：y＝x，∴G（m，m），∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，∴S△OPE ＝S△OPG+S△EPG＝PG•AE＝×3×（﹣m2+5m﹣3）＝﹣（m2﹣5m+3）＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴当m＝时，△OPE面积最大，此时，P点坐标为（，﹣）；（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则E（3，3），∵直线OE的解析式为：y＝x，∴M（2，2），∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m＝（舍）或，∴P的坐标为（，）；②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m1＝（舍）或m2＝，∴P的坐标为（，）；③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m1＝或m2＝（舍）；P的坐标为（，）；④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图，同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m＝或（舍），P的坐标为：（，）；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．方法二：作直线DE：y＝x﹣2，E（1，﹣1）是D点（2，0）绕O点顺时针旋转45°并且OD缩小倍得到，易知直线DE即为对称轴上的点绕O点顺时针旋转45°，且到O点距离缩小倍的轨迹，联立直线DE和抛物线解析式得x2﹣4x+3＝x﹣2，解得x1＝，x2＝，同理可得x3＝或x4＝；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．10．（2023•澄城县一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B，与y轴交于点C（0，3），直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在对称轴l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）、点C（0，3）分别代入y＝﹣x2+bx+c，得．解得．故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知，该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．则该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1．故设M（1，m）．∵A（﹣1，0）、点C（0，3），∴AC2＝10，AM2＝4+m2，CM2＝1+（m﹣3）2．①若AC＝AM时，10＝4+m2，解得m＝±．∴点M的坐标为（1，）或（1，﹣）；②若AC＝CM时，10＝1+（m﹣3）2，解得m＝0或m＝6，∴点M的坐标为（1，0）或（1，6）．当点M的坐标为（1，6）时，点A、C、M共线，∴点M的坐标为（1，0）；③当AM＝CM时，4+m2＝1+（m﹣3）2，解得m＝1，∴点M的坐标为（1，1）．综上所述，符合条件的点M的坐标为（1，）或（1，﹣）或（1，0）或（1，1）．11．（2023•碑林区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．【解答】解：（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，∴a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+2；（2）∵BM＝5﹣2t，∴M（2t﹣1，0），设P（2t﹣1，m），∵PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2，∵PB＝PC，∴（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2，∴m＝4t﹣5，∴P（2t﹣1，4t﹣5），∵PC⊥PB，∴×＝﹣1，∴t＝1或t＝2，∴M（1，0）或M（3，0），∴D（1，3）或D（3，2）．12．（2023•东洲区模拟）抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴正半轴交于点C．（1）求此抛物线解析式；（2）如图①，连接BC，点P为抛物线第一象限上一点，设点P的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S最大时P点坐标；（3）如图②，连接AC，在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）点P作PF⊥x轴于点F，交BC于点E，设BC直线解析式为：y＝kx+b，∵B（3，0），C（0，3），∴，解得，∴y＝﹣x+3，由题意可知P（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），S＝S△PBE+S△PCE，S＝PE•OB＝（﹣m2+2m+3+m﹣3）×3，，∵，∴当时，S有最大值，此时P点坐标为；（3）存在，M1（1，0），，，M4（1，1），①当AC＝AM时，如图，设对称轴l与AB交于点E，则，∵AM2＝AE2+EM2，∴，解得：，∴M点的坐标为或，②当AC＝MC时，则OC为AM的垂直平分线．因此M与E重合，因此，M点的坐标为（1，0），③当AM＝CM时，如图，设M点的坐标为（1，n），则AM2＝22+n2＝4+n2，CM2＝12+（3﹣n）2，∴4+n2＝12+（3﹣n）2，解得：n＝1，∴M点的坐标为（1，1），综上可知，潢足条件的M点共四个，其坐标为M1（1，0），，，M4（1，1）．13．（2023•三亚一模）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），顶点为D，连接AC，CD，DB，直线BC 与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（2）求四边形ABDC的面积；（3）P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC ＝S△ABC时，求点P的坐标；（4）在抛物线的对称轴l上是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）过点A（﹣2，0）和C（0，8），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+8．令y＝0，得．解得x1＝﹣2，x2＝8．∴点B的坐标为（8，0）．设直线BC的解析式为y＝kx+b．把点B（8，0），C（0，8）分别代入y＝kx+b，得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+8．（2）如图1，设抛物线的对称轴l与x轴交于点H．∵抛物线的解析式为，∴顶点D的坐标为．∴S四边形ABDC ＝S△AOC+S梯形OCDH+S△BDH＝＝＝70．（3）∵．∴．如图2，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F．设点．∵点F在直线BC上，∴F（t，﹣t+8）．∴．∴．∴．解得t1＝2，t2＝6．∴点P的坐标为（2，12）或P（6，8）．（4）存在．∵△BEM为等腰三角形，∴BM＝EM或BE＝BM或BE＝EM，设M（3，m），∵B（8，0），E（3，5），∴BE＝＝5，EM＝|m﹣5|，BM＝＝，当BM＝EM时，＝|m﹣5|，∴m2+25＝（m﹣5）2，解得：m＝0，∴M（3，0）；当BE＝BM时，5＝，∴m2+25＝50，解得：m＝﹣5或m＝5（舍去），∴M（3，﹣5）；当BE＝EM时，5＝|m﹣5|，解得：m＝5+5或m＝5﹣5，∴M（3，5+5）或（3，5﹣5），综上所述，点M的坐标为（3，0）或（3，﹣5）或（3，5+5）或（3，5﹣5）．14．（2023•南海区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a ＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC 于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）中，得，解得，∴解析式为y＝x2﹣2x﹣3，故抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）当x＝0时，y＝3，∴C（0，﹣3），∵B（3，0），∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PN∥y轴，∴∠MNP＝45°，∵PM⊥BC，∴PM＝PN，则当PN最大时，PM也最大，设BC的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴BC解析式为y＝x﹣3，设P（x，x2﹣2x﹣3），N（x，x﹣3），∴PN＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，PN最大，则PM＝PN＝×＝，∴P（，），故PM最大值为，P点坐标为（，﹣）；（3）存在，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．∵CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，∴设Q（x，x2﹣2x﹣3），①如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，∵∠CEQ＝90°，∴∠QEM+∠CEN＝90°，∵∠QEM+∠MQE＝90°，∴∠EQM＝∠CEN，∵∠CNE＝∠QME＝90°，EC＝EQ，∴△EMQ≌△CNE（AAS），∴CN＝EM＝x2﹣2x﹣3，MQ＝EN＝3，∴|x Q|+MQ＝CN，﹣x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝﹣2，x＝3（舍去），∴OE＝CM＝2+3＝5，E（﹣5，0），②如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴﹣x+x2﹣2x﹣3＝3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），③如图，点E和点O重合，点Q和点B重合，此时E（0，0），④如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），综上所述，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）41。
二次函数特殊三角形存在性问题(等腰三角形、直角三角形)
特殊图形存在性问题一、等腰三角形1、情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为等腰三角形。
2、思想：分类讨论（1）A为顶点：AB=AP（以A为圆心、AB长为半径画圆）（2）B为顶点：AB=BP（以B为圆心、AB长为半径画圆）（3）P为顶点：PA=PB（AB中垂线）【注】：1.利用两圆一线，找到符合要求的点，如P在抛物线对称轴上，在x轴上等；然后将问题转化为，求线段等长。
2.求线段等长：两点间距离（最笨的方法）；向坐标轴做垂线，构造一线三等角例1.如图，抛物线y=−x2+2x+3y=−x2+2x+3与y轴交于点C，点D(0,1)，点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为______．练习1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B 两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于C(0,−3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．练习2、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△DBO∽△EBC；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．练习4.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交A(−1,0),B(−3,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)，其顶点为D．(1)求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a(x−h)2+k的形式；(2)动点M从点D出发，沿抛物线对称轴方向向上以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t，连接OM,BM，当t为何值时，△OMB为等腰三角形？练习5.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n （m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E 两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，与x轴交于点A（5，0），第一象限的点C（m，4）在抛物线上，y轴上有一点B（0，10）．（Ⅰ）求抛物线的解析式及它的对称轴；（Ⅱ）点P（0，n）在线段OB上，点Q在线段BC上，若OP＝2BQ，且P A＝QA．求n 的值；（Ⅲ）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19-红桥一模25．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．(17河北一模)25(10分）如图，己知抛物线y=x2+bx+c图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣3），抛物线与x轴的另一个交点为C．（1）求这个抛物线的解析式：（2）若抛物线的对称轴上有一动点D，且△BCD为等腰三角形（CB≠CD），试求点D的坐标；二、直角三角形1.情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为直角三角形2.思想：分类讨论（1）A为顶点：∠A（过A做垂线）（2）B为顶点：∠B（过B做垂线）（3）P为顶点：∠C（AB为直径的圆）【注】1.等腰直角三角形，只需在两直线上上下找与AB等长以及过O做AB垂线与圆交点即可例1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过矩形OABC的顶点A，B与x 轴交于点E，F且B，E两点的坐标分别为B(2，32)E(−1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线上是否存在点Q，使△QBF为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．练习1.如图，抛物线y=x2+bx+3顶点为P，且分别与x轴、y轴交于A、B两点，点A在点P的右侧，tan∠ABO=13(1)求抛物线的对称轴和PP的坐标．(2)在抛物线的对称轴上是否存在这样的点D，使△ABD为直角三角形？如果存在，求点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．例2.如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于AB两点，与y 轴相交与点C，且点B与点CC 的坐标分别为(3,0)，C(0,3)，点M是抛物线的顶点．(1)求二次函数的关系式(2)在MB上是否存在点P，过点P作PD⊥x轴于点D,OD=m,使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由练习2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=−13x+2交x轴点P，交y轴于点A．抛物线y=x2+bx+c的图象过点E(−1,0)，并与直线相交于A、B两点．(1)求抛物线的解析式（关系式）；(2)过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；(3)除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标．（18东丽-一模）25.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，1）、（1，2），过点A、B分别作y轴的垂线，垂足为D、C，得到正方形ABCD，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，点P为第一象限内抛物线上一点（不与点A重合），过点P分别作x轴y轴的垂线，垂足为E、F，设点P的横坐标为m，矩形PFOE与正方形ABCD重叠部分图形的周长为l．（1）直接写出抛物线所对应的函数表达式．（2）当矩形PFOE的面积被抛物线的对称轴平分时，求m的值．（3）当m＜2时，求L与m之间的函数关系式．（4）设线段BD与矩形PFOE的边交于点Q，当△FDQ为等腰直角三角形时，直接写出m的取值范围．三、平行四边形存在性问题类型一：1.情景：一直平面内三点A、B、C，求一点P使四边形ABCP为平行四边形2.思想：分类讨论（1）以AC为对角线：ABCP1（2）以AB为对角线：ACBP3（3）以BC为对角线：ACP2B【注】找到P点后，用平行四边形的判定定理，求等长线段，或利用等角度、平行线求坐标即可。
二次函数与几何综合-特殊三角形存在问题(解析版)
专项12 二次函数与几何综合-特殊三角形存在问题等腰三角形的存在性问题【方法1 几何法】“两圆一线”（1）以点A 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有AB=AC ；（2）以点B 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有BA=BC ；（3）作AB 的垂直平分线，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有CA=CB ．注意：若有重合的情况，则需排除．以点 C 1 为例，具体求点坐标：过点A 作AH ⊥x 轴交x 轴于点H ，则AH=1， 又32121131311==-=∴=HC AC ，()03211，坐标为故点-C 类似可求点 C 2 、C 3、C 4 ．关于点 C 5 考虑另一种方法．【方法2 代数法】点-线-方程表示点：设点C 5坐标为(m ,0)，又A （1,1）、B （4,3），表示线段：11-m 225+=）（AC 94-m 225+=）（BC 联立方程：914-m 1-m 22+=+）（）（，623m =解得：，），坐标为（故点06232C直角三角形的存在性【方法1 几何法】“两线一圆”（1）若∠A 为直角，过点 A 作 AB 的垂线，与 x 轴的交点即为所求点 C ；（2）若∠B 为直角，过点 B 作 AB 的垂线，与 x 轴的交点即为所求点 C ；（3）若∠C 为直角，以 AB 为直径作圆，与 x 轴的交点即为所求点 C ．（直径所对的圆周角为直角）如何求得点坐标？以C 2为例：构造三垂直．），坐标为（故代入得：坐标得、由易证0213232222C C C BN AM B A N MBBN AM BN AMB ===∆≈∆()），坐标为（，，坐标为故或故又即代入得：，设，坐标得、由易证求法相同，如下：、040231a ,4a ,3ab ,3ab 1N a,31,4333333343C C C C C C C C C C b bM BN AM B A NBM N AMNB AM ==+=======∆≈∆【方法2 代数法】点-线-方程23m 20352235110,m 135-m 1-m 35-m 11-m 22222122111=+=+=+=+==，解得：）代入得方程（，，，）表示线段：（）；，（）、，（），又坐标为（）表示点：设（：不妨来求下）（）（）（）（BC C C C A AB B A【考点1 等腰角形的存在性】【典例1】（2020•泰安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A （﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝，（2）m＝时，△ADE的面积取得最大值为（3）点P坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），∴，解得，所以二次函数的解析式为：y＝，（2）y＝的对称轴为x＝﹣1，设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求P A2＝9+n2，PE2＝1+（n+2）2，AE2＝16+4＝20，当P A2＝PE2时，9+n2＝1+（n+2）2，解得，n＝1，此时P（﹣1，1）；当P A2＝AE2时，9+n2＝20，解得，n＝，此时点P坐标为（﹣1，）；当PE2＝AE2时，1+（n+2）2＝20，解得，n＝﹣2，此时点P坐标为：（﹣1，﹣2）．综上所述，P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．【变式1-2】（2020•贵港）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与线段BC 交于点M，连接PC．当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3 （2）①n＝时，PM最大＝②P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）．【解答】解：（1）将A，B，C代入函数解析式，得，解得，这个二次函数的表达式y＝x2﹣2x﹣3；（2）解法一：当PM＝PC时，（﹣n2+3n）2＝n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，解得n1＝n2＝0（不符合题意，舍），n3＝2，n2﹣2n﹣3＝﹣3，P（2，﹣3）．当PM＝MC时，（﹣n2+3n）2＝n2+（n﹣3+3）2，解得n1＝0（不符合题意，舍），n2＝3﹣，n3＝3+（不符合题意，舍），n2﹣2n﹣3＝2﹣4，P（3﹣，2﹣4）．综上所述：P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）．解法二：当PM＝PC时，∵BC：y＝x﹣3∴∠ABC＝45°∵PH⊥AB∴∠BMH＝∠CMP＝45°∴PM＝PC时，△CPM为等腰直角三角形，CP∥x轴设P（n，n2﹣2n﹣3），则CP＝nMP＝﹣n2+3n∴n＝﹣n2+3n解得n＝0（舍去）或n＝2，∴P（2，﹣3）当PM＝CM时，设P（n，n2﹣2n﹣3），则＝﹣n2+3n＝﹣n2+3n∵n＞0∴n＝﹣n2+3n解得n＝3﹣∴P（3﹣，2﹣4）综上所述：P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）【变式1-2】（2022•澄海区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，3），对称轴为x＝1．点M为线段OB上的一个动点（不与两端点重合），过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC 于点Q．（1）求抛物线及直线BC的表达式；（2）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为x＝1，点B与A（﹣1，0）关于直线x＝1对称，∴B（3，0），设y＝a（x﹣3）（x+1），把C（0，3）代入得：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣3）（x+1）＝﹣x2+2x+3，设直线BC的解析式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，故抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，直线BC的解析式为y＝﹣x+3；（2）存在，设Q（m，﹣m+3）（0＜m＜3），∵A（﹣1，0），C（0，3），∴AC2＝OA2+OC2＝12+32＝10，AQ2＝（m+1）2+（﹣m+3）2＝2m2﹣4m+10，CQ2＝m2+m2＝2m2，∵以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，∴AC＝AQ或AC＝CQ或AQ＝CQ，当AC＝AQ时，10＝2m2﹣4m+10，解得：m＝0（舍去）或m＝2，∴Q（2，1）；当AC＝CQ时，10＝2m2，解得：m＝﹣（舍去）或m＝，∴Q（，3﹣）；当AQ＝CQ时，2m2﹣4m+10＝2m2，解得：m＝，∴Q（，）；综上所述，点Q的坐标为（2，1）或（，3﹣）或（，）．【考点2 直角三角形的存在性】【典例2】（2021秋•建华区期末）抛物线y＝x2+bx+c经过A、B（1，0）、C（0，﹣3）三点．点D为抛物线的顶点，连接AD、AC、BC、DC．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴上是否存在一点E，使△ADE为直角三角形？若存在，请你直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过B（1，0）、C（0，﹣3），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3．（4）在y轴上存在点E，使△ADE为直角三角形，理由如下：∵抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴D（﹣1，﹣4），设E点坐标为（0，m），∴AE2＝m2+9，DE2＝m2+8m+17，AD2＝20，当∠EAD＝90°时，有AE2+AD2＝DE2，∴m2+9+20＝m2+8m+17，解得m＝，∴此时点E的坐标为（0，）；当∠ADE＝90°时，DE2+AD2＝AE2，m2+8m+17+20＝m2+9，解得m＝﹣，∴此时点E的坐标为（0，﹣）；当∠AED＝90°时，AE2+DE2＝AD2，m2+9+m2+8m+17＝20，解得m＝﹣1或m＝﹣3，∴此时点E的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）．综上所述，符合题意的点E的坐标为（0，）或（0，﹣）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．【变式2-1】（2022•灞桥区校级模拟）如图，抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；（2）连接BC，在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使△BCE是直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），将点C（0，3）代入y＝a（x﹣1）（x﹣3），∴3a＝3，∴a＝1，∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点为（2，﹣1）；（2）存在一点E，使△BCE是直角三角形，理由如下：∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，设E（2，t），∵△BCE是直角三角形，∴BE⊥CE，∵B（3，0），C（0，3），∴BC＝3，BE＝，CE＝，①当BC为斜边时，∴18＝（）2+（）2，解得t＝，∴E点坐标为（2，）或（2，）；②当BE为斜边时，∴18+（）2＝（）2，解得t＝5，∴E点坐标为（2，5）；③当CE为斜边时，∴18+（）2＝（）2，解得t＝﹣1，∴E点坐标为（2，﹣1）；综上所述：E点坐标为（2，）或（2，）或（2，5）或（2，﹣1）．【变式2-2】（2022•碑林区校级四模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx+c 交x轴于点A（﹣5，0），B（﹣1，0），交y轴于点C（0，5）．（1）求抛物线C1的表达式和顶点D的坐标．（2）将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2，点E为抛物线C2上一点若△DOE是以DO为直角边的直角三角形，求点E的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣5，0），B（﹣1，0），C（0，5）代入y＝ax2+bx+c，∴，解得，∴y＝x2+6x+5，∵y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，∴顶点D（﹣3，﹣4）；（2）设抛物线C2上任意一点（x，y），则（x，y）关于y轴对称的点为（﹣x，y），∵点（﹣x，y）在抛物线C1上，∴抛物线记作C2的解析式为y＝x2﹣6x+5，设E（t，t2﹣6t+5），过点D作DG⊥x轴交于点G，过点E作EH⊥x轴交于点H，∵∠DOE＝90°，∴∠GOD+∠HOE＝90°，∵∠GOD+∠GDO＝90°，∴∠HOE＝∠GDO，∴△GDO∽△HOE，∴＝，∵DG＝4，GO＝3，HE＝﹣t2+6t﹣5，OH＝t，∴＝，∴t＝4或t＝，∴E（4，﹣3）或E（，﹣）．【变式2-3】（2022•武功县模拟）如图，经过点A（2，6）的直线y＝x+m与y轴交于点B，以点A为顶点的抛物线经过点B，抛物线的对称轴为直线l．（1）求点B的坐标和抛物线的函数表达式；（2）在l右侧的抛物线上是否存在点P，使得以P、A、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵直线y＝x+m经过点A（2，6），∴2+m＝6，解得m＝4，即y＝x+4．令x＝0，得y＝4，即点B的坐标为（0，4）．∵点A（2，6）为抛物线的顶点，∴可设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣2）2+6（a≠0），将点B（0，4）代入，得4＝4a+6，解得，∴抛物线的函数表达式为．∴点B的坐标为（0，4），抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+4；（2）∵点A（2，6）为抛物线的顶点，∴抛物线的对称轴l：x＝2．①当AB为该等腰三角形的底边时：如图，点P在P2的位置．过点A作AC⊥y轴于点C，过点P2作P2D⊥AC交CA的延长线于点D，作P2E⊥y轴于点E，连接P2A，P2B，则P2A＝P2B，∠D＝∠P2EB＝90°．∵A（2，6），B（0，4），AC⊥BC，∴AC＝BC＝2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠CBA．∵P2A＝P2B，∴∠P2AB＝∠P2BA，∴180°﹣∠CAB﹣∠P2AB＝180°﹣∠CBA﹣∠P2BA，即∠P2AD＝∠P2BE．在△P2AD和△P2BE中，∠D＝∠P2EB，∠P2AD＝∠P2BE，P2A＝P2B，∴△P2AD≌△P2BE（AAS），∴P2D＝P2E．设，则P2E＝m，，∴，解得（舍去）或，∴；②当AB为该等腰三角形的腰时，作点B关于l的对称点P1，由抛物线的对称性可知，AB＝AP1．∵B（0，4），抛物线的对称轴为直线x＝2，∴P1（4，4）．综上可知，在l右侧的抛物线上存在点P，使得以P、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为（4，4）或．【考点3 等腰直角三角形的存在性】【典例3】（2022•黔东南州一模）抛物线y＝ax2+bx﹣经过点（1，﹣1），现将一块等腰直角三角板ABC（∠ACB＝90°）按照如图的方式放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A、C坐标分别为（0，2）、（﹣1，0）．B点在抛物线y＝ax2+bx﹣图象上．（1）求点B的坐标：（2）求抛物的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D．∵∠BCD+∠ACO＝90°，∠ACO+∠CAO＝90°，∴∠BCD＝∠CAO，又∵∠BDC＝∠COA＝90°，CB＝AC，∴△BCD≌△CAO（AAS），∴BD＝OC＝1，CD＝OA＝2，∴点B的坐标为（﹣3，1）；（2）抛物线y＝ax2+bx﹣经过点（1，﹣1），点B（﹣3，1），则，解得，所以抛物线的解析式为y＝x2+x﹣；（3）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：①若以点C为直角顶点；则延长BC至点P1，使得P1C＝BC，得到等腰直角三角形△ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，∵CP1＝BC，∠MCP1＝∠BCD，∠P1MC＝∠BDC＝90°，∴△MP1C≌△DBC（AAS），∴CM＝CD＝2，P1M＝BD＝1，∵OC＝1，∴OM＝1，∴P1（1，﹣1）；②若以点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2＝AC，得到等腰直角三角形△ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，∴NP2＝OA＝2，AN＝OC＝1，∴点P2（2，1），③以A为直角顶点的等腰Rt△ACP的顶点P有两种情况．即过点A作直线L⊥AC，在直线L上截取AP＝AC时，点P可能在y轴右侧，即现在解答情况②的点P2；点P也可能在y轴左侧，即还有第③种情况的点P3．因此，然后过P3作P3G⊥y轴于G，同理：△AGP3≌△CAO，∴GP3＝OA＝2，AG＝OC＝1，∴P3为（﹣2，3）；经检验，点P1（1，﹣1）与在抛物线y＝x2+x﹣上，点P2（2，1）点P3（﹣2，3）都不在抛物线y＝x2+x﹣上．综上，存在，点P的坐标为（1，﹣1）．【变式1-1】（2022•兴宁区校级模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0），点A为抛物线的顶点．（1）求二次函数的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是等腰三角形？如果存在，请求出点M的坐标．如果不存在，请说明理由；【解答】解：（1）由题意，解得：，∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x；（2）过点A作直线AF⊥x轴于点F，由（1）得y＝（x﹣4）2﹣4，∴抛物线的顶点A（4，﹣4），①AM＝BM，∵B（8，0），∴BF＝4，∵∠AFB＝90°，AF＝BF＝4，∴△ABF是等腰直角三角形，∴M在点F处，△ABM是等腰直角三角形，此时M为（4，0），②AB＝AM，由①得△ABF是等腰直角三角形，BF＝4，∴AB＝＝＝4，∴M为（4，﹣4﹣4）或（4，﹣4+4），③AB＝BM，∵AB＝BM，BF⊥AM，∴MF＝AF，∴M为（4，4），综上所述，M为（4，0），（4，﹣4﹣4）或（4，﹣4+4）或（4，4）；【变式3-2】（2022•禅城区二模）如图，抛物线经过原点O，对称轴为直线x＝2且与x轴交于点D，直线l：y＝﹣2x﹣1与y轴交于点A，与抛物线有且只有一个公共点B，并且点B在第四象限，直线l与直线x＝2交于点C．（1）连接AD，求证：AD⊥AC．（2）求抛物线的函数关系式．（3）在直线l上有一点动点P，抛物线上有一动点Q，当△PBQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形时，直接写出此时点P的坐标．【解答】解：（1）如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，则∠AEC＝∠DOA＝90°，∵直线y＝﹣2x﹣1与y轴交于点A，与直线x＝2交于点C，∴A（0，﹣1），C（2，﹣5），∴E（0，﹣5），∴OA＝1，OD＝2，CE＝2，AE＝4，∴＝，＝＝，∴＝，∵∠AEC＝∠DOA，∴△AEC∽△DOA，∴∠CAE＝∠ADO，∵∠ADO+∠DAO＝90°，∴∠CAE+∠DAO＝90°，∴∠DAC＝180°﹣（∠CAE+∠DAO）＝180°﹣90°＝90°，∴AD⊥AC．（2）设抛物线的函数关系式为y＝ax2+bx，∵对称轴为直线x＝2，∴＝2，∴b＝﹣4a，∴y＝ax2﹣4ax，由ax2﹣4ax＝﹣2x﹣1，整理得ax2+（2﹣4a）x+1＝0，∵直线y＝﹣2x﹣1与抛物线有且只有一个公共点B，∴Δ＝（2﹣4a）2﹣4a＝0，解得：a1＝，a2＝1，当a＝时，抛物线解析式为y＝x2﹣x，联立得x2﹣x＝﹣2x﹣1，解得：x1＝x2＝﹣2，∴B（﹣2，3）与点B在第四象限矛盾，故a＝不符合题意，舍去，当a＝1时，y＝x2﹣4x，联立得x2﹣4x＝﹣2x﹣1，解得：x1＝x2＝1，∴B（1，﹣3），点B在第四象限符合题意，∴a＝1，∴该抛物线的函数关系式为y＝x2﹣4x．（3）如图2，过点B作BQ⊥AB交抛物线于点Q，作GH∥x轴交y轴于点G，过点Q 作QH⊥GH，则∠AGB＝∠BHQ＝∠ABQ＝90°，∴∠ABG+∠QBH＝∠ABG+∠BAG＝90°，∴∠QBH＝∠BAG，∴△ABG∽△BQH，∴＝，设Q（t，t2﹣4t），∵A（0，﹣1），B（1，﹣3），∴AG＝2，BG＝1，BH＝t﹣1，QH＝t2﹣4t+3，∴＝，解得：t＝1（舍去）或t＝，∴BH＝﹣1＝，QH＝（）2﹣4×+3＝，过点B作EF∥y轴，过点P1作P1E⊥EF，过点P2作P2F⊥EF，∵△PBQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形，∴P1B＝BQ＝P2B，∵∠P1BE+∠EBQ＝∠EBQ+∠QBH＝90°，∴∠P1BE＝∠QBH，∵∠BEP1＝∠BHQ＝90°，∴△BEP1≌△BHQ（AAS），∴EP1＝QH＝，BE＝BH＝，∴P1（﹣，﹣），同理可得：P2（，﹣），综上，点P的坐标为P1（﹣，﹣），P2（，﹣）．1．（2022•榆阳区一模）如图，已知抛物线y＝mx2+4x+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．直线y＝x﹣3经过B，C两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的顶点为M，在该抛物线的对称轴l上是否存在点P，使得以C，M，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）y＝x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），令y＝0，则x＝3，∴B（3，0），将C（0，﹣3），B（3，0）代入y＝mx2+4x+n中，∴，解得，∴y＝﹣x2+4x﹣3；（2）存在点P，使得以C，M，P为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴M（2，1），对称轴为直线x＝2，设P（2，t），∴MP＝|t﹣1|，MC＝2，CP＝，①当MP＝MC时，|t﹣1|＝2，∴t＝2+1或t＝﹣2+1，∴P（2，2+1）或（2，﹣2+1）；②当MP＝CP时，|t﹣1|＝，解得t＝﹣，∴P（2，﹣）；③当MC＝CP时，2＝，解得t＝1（舍）或t＝﹣7，∴P（2，7）；综上所述：P点坐标为（2，2+1）或（2，﹣2+1）或（2，﹣）或（2，7）．2．（2022•岚山区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣3，0），B（8，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一个动点，且点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，将直线BC沿y轴向下平移5个单位，交x轴于点M，交y轴于点N．过点P作x轴的垂线，交直线MN于点D，是否存在一点P，使△BMD是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣3，0），B（8，0）两点，∴，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+8；（3）易证线BC的解析式为y＝﹣x+8，向下平移5个单位得到y＝﹣x+3，当y＝0时，x＝3，∴M（3，0），当x＝0时，y＝3，∴N（0，3），由题意得PD⊥MB，∵MB＝8﹣3＝5，D（m，﹣m+3），∴MD2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，BD2＝（8﹣m）2+（﹣m+3）2，若△BMD是等腰三角形，可分三种情况：①当MB＝MD时，∴（m﹣3）2+（﹣m+3）2＝25，解得m1＝3+，m2＝3﹣，②当MB＝BD时，∴（8﹣m）2+（﹣m+3）2＝25，解得，m1＝3（舍去），m2＝8（舍去），③当MD+BD时，∴（8﹣m）2+（﹣m+3）2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，解得，m＝5.5．综上所述，m的值为3+或3﹣或5.5时，△BMD是等腰三角形．3．（2022•兴宁区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A、B，抛物线的对称轴交x 轴于点D，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，且．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）对于直线y＝﹣x+3，令y＝0，即﹣x+3＝0，解得：x＝3，令x＝0，得y＝3，∴B（3，0），C（0，3），∵A为x轴负半轴上一点，且OA＝OB，∴A（﹣1，0）．将点A、B的坐标分别代入y＝﹣x2+bx+c中，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（3）存在．如图2，∵点P在x轴上，∴设P（m，0）．∵C（0，3），D（1，0），∴由勾股定理，得：CD2＝OC2+OD2＝32+12＝10，PD2＝（m﹣1）2，CP2＝OP2+OC2＝m2+32＝m2+9，分为三种情况讨论：①当CD＝PD时，CD2＝PD2，即10＝（m﹣1）2，解得m1＝1+，m2＝1﹣，此时点P的坐标为（1+，0）或（1﹣，0）；②当CD＝CP时，CD2＝CP2，即10＝m2+9，解得m1＝﹣1，m2＝1（不符合题意，舍去），此时点P的坐标为（﹣1，0）；③当PC＝PD时，PC2＝PD2，即m2+9＝（m﹣1）2，解得m＝﹣4，此时点P的坐标为（﹣4，0）．综上所述，在x轴上存在点P，使得△PDC为等腰三角形，满足条件的点P的坐标为（1+，0）或（1﹣，0）或（﹣1，0）或（﹣4，0）．4．（2022•鞍山模拟）抛物线与坐标轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，4），连接AC、BC．（1）求抛物线的解析式；（3）如图2，点E是抛物线上第一象限内对称轴右侧的一点，连接EC，点D是抛物线的对称轴上的一点，连接ED、CD，当△CED是以点E为顶点的等腰直角三角形时，直接写出点E的横坐标．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，∵抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）三点，∴．解得：．∴抛物线对应的二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4；（2）设G（x，﹣x2+3x+4），∵S△BHG＝S△ABG﹣S△ABH，S△AHC＝S△ABC﹣S△ABH，△BHG与△AHC的面积差为1，∵A（﹣1，0）、B（4，0），∴AB＝5，（3）∵y＝﹣x2+3x+4，∴抛物线对称轴为x＝﹣＝，，点E分别作EM⊥y轴于M，作EN⊥EM，过点D作DN⊥EN，垂足为N，∴∠CME＝∠DNE＝90°，∠MEN＝90°，∵△CED是以点E为顶点的等腰直角三角形，∴∠CED＝90°，∴∠CEM+∠MED＝∠DEN+∠MED＝90°，CE＝DE，∴∠CEM＝∠DEN，∴△EMC≌△END（AAS），∴CM＝DN，设E（m，﹣m2+3m+4）（m＞），∴4﹣（﹣m2+3m+4）＝m﹣，∴m＝或（不合题意，舍去），∴点E的横坐标为．5．（2022•渭滨区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，∴，解得，∴抛物线的表达式为：；（2）存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：令x＝0，则y＝4，∴点C（0，4），∵A（﹣3，0）、C（0，4），∴AC＝5，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+4，设点M（m，0），则点Q（m，﹣m+4），①当AC＝CQ时，过点Q作QE⊥y轴于点E，连接AQ，∵CQ2＝CE2+EQ2，即m2+[4﹣（﹣m+4）]2＝25，解得：舍去负值），∴点；②当AC＝AQ时，则AQ＝AC＝5，在Rt△AMQ中，由勾股定理得：[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2＝25，解得：m＝1或m＝0（舍去0），∴点Q（1，3）；③当CQ＝AQ时，则2m2＝[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2，解得：舍去）；综上所述，点Q的坐标为（1，3）或．31。
2023年中考数学一轮复习课件 二次函数综合题特殊三角形存在性问题
直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(2)存在．理由如下：
设点P(1，p)，
∵A(－1，0)，C(0，3)，
∴AC2＝12＋32＝10，
AP2＝(1＋1)2＋p2＝CAP＝90°，
例题图①
则AC2＋AP2＝CP2，
∴10＋4＋p2＝p2－6p＋10，
解得p＝－ 2 ，
3
∴此时点P的坐标为(1，－
2
)；
3
②若∠ACP＝90°，则AC2＋CP2＝AP2，
∴10＋p2－6p＋10＝4＋p2，
解得p＝ 8 ， ∴此时点3P的坐标为(1，8 )；
3
③若∠APC＝90°，则AP2＋CP2＝AC2，
例题图①
即4＋p2＋p2－6p＋10＝10，
随堂练习
1. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和B，与y
轴交于点C，对称轴为直线x＝ 5 .
2
(1)求抛物线的解析式；
a b 4 0
解：(1)根据题意，得
b 2a
5 2
,
解得
a b
1 ,
5
∴抛物线的解析式为y＝x2－5x＋4；
第1题图
(2)如图①，若点P是线段BC上的一个动点(不与点B，C重合)，过点P作y 轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ.当线段PQ长度最大时，判断四边 形OCPQ的形状并说明理由； (2)四边形OCPQ是平行四边形，理由如下： 令x＝0，则y＝4， 令y＝0，即x2－5x＋4＝0， 解得x1＝1，x2＝4.∴B(4，0)，C(0，4)， ∴直线BC的解析式为y＝－x＋4.
第1题解图
当△BEF是等腰三角形时，分三种情况讨论：
(完整版)二次函数中的存在性问题(等腰三角形的存在性问题)
二次函数中的存在性问题(等腰三角形)[07福建龙岩]如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =． （1）求抛物线的对称轴；（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点， 是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条 件的点P 坐标；不存在，请说明理由． 解：（1）抛物线的对称轴5522a x a -=-= （2）(30)A -， (54)B ， (04)C ，把点A 坐标代入254y ax ax =-+中，解得16a =-215466y x x ∴=-++（3）存在符合条件的点P 共有3个．以下分三类情形探索．设抛物线对称轴与x 轴交于N ，与CB 交于M ．过点B 作BQ x ⊥轴于Q ，易得4BQ =，8AQ =， 5.5AN =，2BM = ① 以AB 为腰且顶角为角A 的PAB △有1个：1P AB △．222228480AB AQ BQ ∴=+=+= 在1Rt ANP △中，1PN ==== 152P ⎛∴ ⎝⎭ ② AB 为腰且顶角为角B 的PAB △有1个：2P AB △．在2Rt BMP △中，22MP ==== 252P ⎛∴ ⎝⎭③以AB 为底，顶角为角P 的PAB △有1个，即3P AB △．画AB 的垂直平分线交抛物线对称轴于3P ，此时平分线必过等腰ABC △的顶点C ．过点3P 作3P K 垂直y 轴，垂足为K ，显然3Rt Rt PCK BAQ △∽△．312P K BQ CK AQ ∴==． 3 2.5P K = 5CK ∴= 于是1OK = 3(2.51)P ∴-，[07广西河池]如图，已知抛物线224233y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ． 点M 从O 点出发，以每秒1的速度向B 运动，过M 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ，交BC 于（1）求点B 和点C 的坐标；（2）设当点M 运动了x （秒）时，四边形OBPC 的面积为S ， 求S 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围．（3）在线段BC 上是否存在点Q ，使得△DBQ 成为以BQ 等腰三角形？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．（1）把x =0代入224233y x x =-++得点C 的坐标为C （0，2） 把y =0代入224233y x x =-++得点B 的坐标为B （3，0）（2）连结OP ，设点P 的坐标为P （x ，y ）OBPC S 四边形=OPC S △+OPB S △ =112322x y ⨯⨯+⨯⨯= 3223x ⎛+- ⎝∵ 点M 运动到B 点上停止，∴03x ≤≤∴23324S x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（03x ≤≤）（3）存在． BC=13 ① 若BQ = DQ∵ BQ = DQ ，BD = 2 ∴ BM = 1 ∴OM = 3-1 = 2 ∴2tan 3QM OC OBC BM OB ∠=== ∴QM =23 所以Q的坐标为Q （2，23） ． ② 若BQ =BD =2 ∵ △BQM ∽△BCO ，∴BQ BC =QM CO =BMBO∴=2QM∴ QM∵BQ BC =BM OB ∴ 3BM∴ BM ∴ OM = 3 ··················································· 11分 所以Q 的坐标为Q （313-，13） ··················································· 12分[07年云南省]已知：如图，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A 、(5,0)B 、(0,5)C 三点． （1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点C 的直线y kx b =+与抛物线相交于点E （4，m ）， 请求出△CBE 的面积S 的值；（3）在抛物线上求一点0P 使得△ABP 0为等腰三角形并 写出0P 点的坐标；（4）除（3）中所求的0P 点外，在抛物线上是否还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P （要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P ，请说明理由． 解：（1）∵抛物线经过点(1,0)A 、(5,0)B ∴(1)(5)y a x x =--． 又∵抛物线经过点(0,5)C ∴55a =，1a =．∴抛物线的解析式为2(1)(5)65y x x x x =--=-+．（2）∵E 点在抛物线上， ∴m = 42–4×6+5 = -3．∵直线y = kx +b 过点C （0， 5）、E （4， –3）， ∴5,4 3.b k b =⎧⎨+=-⎩解得k = -2，b = 5．设直线y =-2x +5与x 轴的交点为D ，当y =0时，-2x +5=0，解得x =52．∴D 点的坐标为（52，0）． ∴S =S △BDC + S △BDE =1515(5)5+(5)32222⨯-⨯⨯-⨯=10．（3）∵抛物线的顶点0(3,4)P -既在抛物线的对称轴上又在抛物线上，∴点0(3,4)P -为所求满足条件的点．（4）除0P 点外，在抛物线上还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形．理由如下：∵220024254AP BP ==+=>，∴分别以A 、B 为圆心半径长为4画圆，分别与抛物线 交于点B 、1P 、2P 、3P 、A 、4P 、5P 、6P ， 除去B 、A 两个点外，其余6个点为满足条件的点． （说明：只说出P 点个数但未简要说明理由的不给分）xyC B AE–1 1 O[07山东威海]如图①，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(12)，，点B 的坐标为(31)，，二次函数2y x =的图象记为抛物线1l ．（1）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过点A ，但不过点B ，写出平移后的一个抛物线的函数表达式： （任写一个即可）．（2）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过A B ，两点，记为抛物线2l ，如图②，求抛物线2l 的函数表达式． （3）设抛物线2l 的顶点为C ，K 为y 轴上一点．若ABK ABC S S =△△，求点K 的坐标．（4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线2l 上是否存在点P ，使ABP △为等腰三角形．若存在，请判断点P 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由．解：（1）有多种答案，符合条件即可．例如21y x =+，2y x x =+，2(1)2y x =-+或223y x x =-+，2(1)y x =+，2(1y x =-．（2）设抛物线2l 的函数表达式为2y x bx c =++，点(12)A ，，(31)B ，在抛物线2l 上，12931b c b c ++=⎧∴⎨++=⎩，解得9211.2b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线2l 的函数表达式为291122y x x =-+． （3）229119722416y x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，C ∴点的坐标为97416⎛⎫⎪⎝⎭，．过A B C ，，三点分别作x 轴的垂线，垂足分别为D E F ，，， 则2AD =，716CF =，1BE =，2DE =，54DF =，34FE =． ABC ADEB ADFC CFEB S S S S ∴=--△梯形梯形梯形117517315(21)22122164216416⎛⎫⎛⎫=+⨯-+⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．x图①x图②x图③x延长BA 交y 轴于点G ，设直线AB 的函数表达式为y mx n =+， 点(12)A ，，(31)B ，在直线AB 上，213.m n m n =+⎧∴⎨=+⎩，解得125.2m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AB 的函数表达式为1522y x =-+．G ∴点的坐标为502⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 设K 点坐标为(0)h ，，分两种情况： 若K 点位于G 点的上方，则52KG h =-．连结AK BK ，． 151553122222ABK BKG AKG S S S h h h ⎛⎫⎛⎫=-=⨯⨯--⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△△． 1516ABK ABC S S ==△△，515216h ∴-=，解得5516h =．K ∴点的坐标为55016⎛⎫ ⎪⎝⎭，．若K 点位于G 点的下方，则52KG h =-．同理可得，2516h =．K ∴点的坐标为25016⎛⎫⎪⎝⎭，． （4）作图痕迹如图③所示． 由图③可知，点P 共有3个可能的位置．注：作出线段AB 的中垂线得1分，画出另外两段弧得1分．x[07山东泰安]如图，在OAB △中，90B ∠=，30BOA ∠=，4OA =，将OAB △绕点O 按逆时针方向旋转至OA B ''△，C 点的坐标为（0，4）． （1）求A '点的坐标； （2）求过C ，A '，A 三点的抛物线2y ax bx c =++的解析式；（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P ，使以O A P ，，为顶点的三角形 是等腰直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由 解：（1）过点A '作A D '垂直于x 轴，垂足为D ,则四边形OB A D ''为矩形 在A DO '△中，A D OA ''=sin 4sin 6023A OD '∠=⨯=2OD A B AB''=== ∴点A '的坐标为(2 （2）(04)C ，在抛物线上，4c ∴= 24y ax bx∴=++(40)A ，，(2A '，在抛物线24y ax bx =++上 16440424a b a b ++=⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，3a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴所求解析式为23)42y x x =++． （3）①若以点O 为直角顶点，由于4OC OA ==，点C 在抛物线上，则点(04)C ，为满足条件的点． ②若以点A 为直角顶点，则使PAO △为等腰直角三角形的点P 的坐标应为(44)，或(44)-，，经计算知；此两点不在抛物线上．③若以点P 为直角顶点，则使PAO △为等腰直角三角形的点P 的坐标应为(22)，或(22)-，，经计算知；此两点也不在抛物线上．综上述在抛物线上只有一点(04)P ，使OAP △为等腰直角三角形[08广东梅州]如图11所示，在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ， AD ⊥DB ， AD =DC =CB ，AB =4．以AB 所在直线为x 轴，过D 且垂直于 AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系．（1）求∠DAB 的度数及A 、D 、C 三点的坐标；（2）求过A 、D 、C 三点的抛物线的解析式及其对称轴L ． （3）若P 是抛物线的对称轴L 上的点，那么使∆PDB 为等腰三角形的点P 有几个?（不必求点P 的坐标，只需说明理由）解： （1） DC ∥AB ，AD =DC =CB ， ∴ ∠CDB =∠CBD =∠DBA ， ∠DAB =∠CBA ， ∴∠DAB =2∠DBA ，∠DAB +∠DBA =90 ， ∴∠DAB =60 ， ∠DBA =30 ， AB =4， ∴DC =AD =2， R t ∆AOD ，OA =1，OD =3，.∴A （-1，0），D （0， 3），C （2， 3）．（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点A （－1，0），B （3，0）， 故可设所求为 y =a （x +1）（ x -3） 将点D （0，3）的坐标代入上式得， a =33-． 所求抛物线的解析式为 y =).3)(1(33-+-x x ···································· 7分 其对称轴L 为直线x =1． ········································································· 8分 （3） ∆PDB 为等腰三角形，有以下三种情况：①因直线L 与DB 不平行，DB 的垂直平分线与L 仅有一个交点P 1，P 1D =P 1B ，∆P 1DB 为等腰三角形； ·········································································· 9分 ②因为以D 为圆心，DB 为半径的圆与直线L 有两个交点P 2、P 3，DB =DP 2，DB =DP 3， ∆P 2DB ， ∆P 3DB 为等腰三角形；③与②同理，L 上也有两个点P 4、P 5，使得 BD =BP 4，BD =BP 5． ··················· 10分 由于以上各点互不重合，所以在直线L 上，使∆PDB 为等腰三角形的点P 有5个．[08福建南平]如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC ，O 为原点，点A C ，分别在x 轴，y 轴上，点B 坐标为(2)m ，（其中0m >），在BC 边上选取适当的点E 和点F ，将OCE △沿OE 翻折，得到OGE △；再将ABF △沿AF 翻折，恰好使点B 与点G 重合，得到AGF △，且90OGA ∠=．（1）求m 的值；（2）求过点O G A ，，的抛物线的解析式和对称轴； （3）在抛物线的对称轴．．．上是否存在点P ，使得OPG △是 等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接答出．．．． 所有满足条件的点P 的坐标（不要求写出求解过程）． （1）(2)B m ，，由题意可知2AG AB ==2OG OC ==OA m =90OGA ∠=，222OG AG OA ∴+= 222m ∴+=．又0m >，2m ∴=（2）过G 作直线GH x ⊥轴于H ，则1OH =，1HG =，故(11)G ，．又由（1）知(20)A ，， 设过O G A ，，三点的抛物线解析式为2y ax bx c =++ 抛物线过原点，0c ∴=．又抛物线过G A ，两点，1420a b a b +=⎧∴⎨+=⎩解得12a b =-⎧⎨=⎩∴所求抛物线为22y x x =-+ ∴它的对称轴为1x =．（3）答：存在,满足条件的点P 有(10)，，(11)-，，(112)，，(112)+，．[08湖南株洲]如图（1），在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，-2），点B 的坐标为（3，-1），二次函数2y x =-的图象为1l .（1）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过点A ，但不过点B ，写出平移后的抛物线的一个解析式（任写一个即可）.（2）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过A 、B 两点，记抛物线为2l ，如图（2），求抛物线2l 的函数解析式及顶点C 的坐标.（3）设P 为y 轴上一点，且ABC ABP S S ∆∆=，求点P 的坐标.（4）请在图（2）上用尺规作图的方式探究抛物线2l 上是否存在点Q ，使QAB ∆为等腰三角形. 若存在，请判断点Q 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由.（1）222345y x x y x x =-+-=-+-或等 （满足条件即可） ……1分（2）设2l 的解析式为2y x bx c =-++，联立方程组21193b c b c-=-++⎧⎨-=-++⎩， 解得：911,22b c ==-，则2l 的解析式为291122y x x =-+-， ……3分点C 的坐标为（97,416-） ……4分（3）如答图23-1，过点A 、B 、C 三点分别作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则2AD =，716CF =，1BE =，2DE =，54DF =，34FE =.得：1516ABC ABED BCFE CFD S S S S ∆=--=梯形梯形梯形A . ……5分延长BA 交y 轴于点G ，直线AB 的解析式为1522y x =-，则点G 的坐标为（0，52-），设点P 的坐y ox 图（1）yo x 图（2） l 1l 2标为（0，h ）①当点P 位于点G 的下方时，52PG h =--，连结AP 、BP ，则52ABP BPG APG S S S h ∆∆∆=-=--，又1516ABC ABP S S ∆∆==，得5516h =-，点P 的坐标为（0，5516-）. …… 6分②当点P 位于点G 的上方时，52PG h =+，同理2516h =-，点P 的坐标为（0，2516-）.综上所述所求点P 的坐标为（0，5516-）或（0，2516-） …… 7分(4) 作图痕迹如答图23-2所示.由图可知，满足条件的点有1Q 、2Q 、3Q 、4Q ，共4个可能的位置. …… 10分答图23-2EF 答图23-1[08浙江温州]如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在， 请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）Rt A ∠=∠，6AB =，8AC =，10BC ∴=． 点D 为AB 中点，132BD AB ∴==． 90DHB A ∠=∠=，B B ∠=∠．BHD BAC ∴△∽△，DH BD AC BC ∴=，3128105BD DH AC BC ∴==⨯=．（2）QR AB ∥，90QRC A ∴∠=∠=．C C ∠=∠，RQC ABC ∴△∽△，RQ QC AB BC ∴=，10610y x-∴=， 即y 关于x 的函数关系式为：365y x =-+． （3）存在，分三种情况：①当PQ PR =时，过点P 作PM QR ⊥于M ，则QM RM =．1290∠+∠=，290C ∠+∠=，1C ∴∠=∠．84cos 1cos 10C ∴∠===，45QM QP ∴=，1364251255x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴=，185x ∴=．②当PQ RQ =时，312655x -+=，6x ∴=． ③当PR QR =时，则R 为PQ 中垂线上的点，于是点R 为EC 的中点，11224CR CE AC ∴===．tan QR BA C CR CA ==， 366528x -+∴=，152x ∴=．综上所述，当x 为185或6或152时，PQR △为等腰三角形．A BCD ER P H QA BCD ER P H QM2 1 HA B CDE RPHQ二次函数中的存在性问题(直角三角形)[08辽宁十二市]如图16，在平面直角坐标系中，直线y =-x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2(0)3y ax x c a =-+≠经过A B C ，，三点． （1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．x。
中考数学二次函数存在性问题及参考答案
中考数学二次函数存在性问题及参考答案一、二次函数中相似三角形的存在性问题1.如图，把抛物线2=向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2y x=-+.y x h k()所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D.（1）写出h k、的值；（2）判断△ACD的形状，并说明理由；（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.2.如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．二、二次函数中面积的存在性问题3.如图，抛物线()20y ax bx a >=+与双曲线ky x=相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为（－2，－2），点A 在第一象限内，且tan ∠AOX ＝4．过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 的面积；（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由．4.如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上， 其中A （－2,0），B （－1, －3）． （1）求抛物线的解析式；（3分）（2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；（2分） （3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．（4分） (4)在抛物线的BD 段上是否存在点Q 使三角形BDQ 的面积最大，若有，求出点Q 的坐标，若没有，请说明理由。
2018每日一题46-50 二次函数背景下的直角三角存在性问题1
3m n 0, m 1,
得 n 3.
解得 n 3. ∴直线 y=mx+n 的解析式为 y=x+3.
将 A（1,0）和 C（0,3）代入 ax2 bx c 0 ，
b 得 a+b+c=0，c=3.由对称轴公式，得 2a =-1,.
有
a c
b 2a b
3.
1, c
0,
解得
a b c
将 A(-3,0),B(0,3)代入抛物线 y x2 bx c
答案
0 9 3b c b 2
得
3c
解得
c
3
y x2 2x 3
(2)由题得 AN 2t ， OM t AM OA OM 3 t
若△AMN 为直角三角形，要分两种情况：
当∠AMN=90°时， 则cos AMN AM AN
不积跬步无以至千里！
每日一题 50 二次函数背景下特殊三角形存在性问题
班级
姓名
50.（2018 泰安市）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y ax2 bx c 交 x 轴于点 A(4, 0) 、
B(2, 0) ，交 y 轴于点 C(0, 6) ，在 y 轴上有一点 E(0, 2) ，连接 AE .
理由：
AM 2t AI NI t I (3 t,0) N (3 t,t) OM t, M (t,0)
∵MH∥AB，则△MIH 为等腰直角三角形，
∴HO=MO=t H (3 t,t)
∵H 在抛物线 y x2 2x 3上， t (3 t )2 2(3 t ) 3，
不积跬步无以至千里！
每日一题 46 二次函数背景下特殊三角形存在性问题
班级
姓名
46. （2018 贵州安顺）如图，已知抛物线 ax2 bx c 0(a 0) 的对称轴为直线 x=-1,且抛物线与
二次函数中等腰三角形点的存在性问题(共15张PPT)
1. 如图，已知点A (-2，1)，B (4，3)， 则线段AB的长是________.
C
练习：如图，已知点A (-2，3)，B (4，-1)， 则线段AB的长是________.
y
(-2，3) A.
x o
B. (4，-1)
例题精讲
1. 如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴 交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P， 使△PBC是等腰三角形？若存在， 请写出符合条件的P点坐标， 若不存在，请说明理由．
四.问题应用
①注意分类方式，要做到不重、不漏； ②操作分三步进行；
P1(0, 2), P2 (0, 2), P3(0, 2
3),
P4
(0,
2 3
3)
一、回顾两点间距离公式
1.两点间距离公式
平面直角坐标系中，点A坐标为(x1，y1)，点B坐标为(x2，y2)，
则两点间距离公式
AB
(x2 x1)2 ( y2 y1)2 .
一.问题的提出
如图，点A、B为两定点，在直 线m上是否存在一点P，使得 △PAB是等腰三角形？
二.问题分析
演示
三.问题解决——几何作图法
分类： ①以P为顶点,PA=PB ②以A为顶点,AP=AB ③以B为A为圆心AB为半径 ③以B为圆心BA为半径
【方法小结】
1. 若一个三角形是等腰三角形，没有明确给出底边和腰，则需 要进行分类讨论. 2. 以线段AB为边的等腰三角形构造方法如上图所示（基本图 形）. 等腰三角形的另一个顶点在线段AB的垂直平分线上，或 以点A、点B为圆心，AB长为半径的圆周上（不与线段AB共 线）.（两圆一线法找点）
专题训练(三) 二次函数中的存在性问题
专题训练(三)二次函数中的存在性问题▶类型一构造特殊三角形1.如图1,抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C,点D 的坐标为(0,1),P是抛物线上的动点.若△PCD是以CD为底的等腰三角形,则点P的坐标为.图12.如图2,直线y=-√3x+n交x轴于点A,交y轴于点C(0,3√3),抛物线y=23x2+bx+c经过点A,交y轴于点B(0,-2).P为抛物线上一个动点,过点P作x轴的垂线PD,过点B作BD⊥PD于点D,连结PB,设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的表达式;(2)当△BDP为等腰直角三角形时,求线段PD的长.图2▶类型二构造特殊四边形3.如图3,抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C,A为x轴上方的抛物线上任意一点,过点A作x轴的垂线交x轴于点B,设点A的横坐标为m,当四边形ABOC为平行四边形时,m的值为.图34.如图4,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-43x+2(a≠0)过点B(1,0).(1)求抛物线的函数表达式;(2)求抛物线与y轴的交点C的坐标及与x轴的另一交点A的坐标;(3)以AC为边在第二象限画正方形ACPQ,求P,Q 两点的坐标.图45.如图5,在平面直角坐标系中,已知抛物线L:y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A(-3,0)和B(1,0)两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(1)求抛物线的函数表达式和顶点D的坐标;(2)将抛物线L沿B,D所在的直线平移,平移后点B 的对应点为点B',点C的对应点为点C',点D的对应点为点D',当四边形BB'C'C是菱形时,求此时平移后的抛物线的表达式.图5▶类型三构造相等的角或特殊度数的角6.[2020·绍兴柯桥区期末]如图3-ZT-6,直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B,C两点,抛物线y=-x2+bx+c 经过B,C两点,与x轴另一交点为A,顶点为D.(1)求抛物线的函数表达式.(2)在x轴上找一点E,使△EDC的周长最小,求符合条件的点E的坐标.(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得∠APB=∠OCB?若存在,求出PB2的值;若不存在,请说明理由.图6专题训练(三)教师详解详析1.(1+√2,2)或(1-√2,2)[解析] ∵△PCD 是以CD 为底的等腰三角形, ∴点P 在线段CD 的垂直平分线上.如图,作CD 的垂直平分线l 交抛物线于点P 1,P 2,交y 轴于点E ,则E 为线段CD 的中点.∵抛物线y=-x 2+2x+3与y 轴交于点C , ∴C (0,3).而D (0,1), ∴点E 的坐标为(0,2), ∴点P 的纵坐标为2.在y=-x 2+2x+3中,令y=2,可得-x 2+2x+3=2,解得x=1±√2,∴点P 的坐标为(1+√2,2)或(1-√2,2).2.解:(1)∵直线y=-√3x+n 交y 轴于点C (0,3√3), ∴n=3√3,∴y=-√3x+3√3. 令y=0,得x=3, ∴A (3,0).∵抛物线y=23x 2+bx+c 经过点A ,交y 轴于点B (0,-2).∴c=-2,6+3b-2=0, ∴b=-43,∴抛物线的表达式为y=23x 2-43x-2.(2)∵点P 的横坐标为m ,且点P 在抛物线上, ∴Pm ,23m 2-43m-2. ∵PD ⊥x 轴,BD ⊥PD , ∴点D 的坐标为(m ,-2), ∴BD=|m|,PD=23m 2-43m-2+2.当△BDP 为等腰直角三角形时,PD=BD , ∴|m|=23m 2-43m , m 2=23m 2-43m 2,解得m 1=0(舍去),m 2=72,m 3=12,∴当△BDP 为等腰直角三角形时,线段PD 的长为72或12.3.2 [解析] 当x=0时,y=3, ∴点C 的坐标为(0,3),则OC=3.∵点A 的横坐标为m ,且点A 在抛物线上, ∴点A 的坐标为(m ,-m 2+2m+3).当四边形ABOC 是平行四边形时,AB=3,当AB=3时,-m 2+2m+3=3,解得m 1=0(舍去),m 2=2,∴m=2. 4.解:(1)将B (1,0)代入y=ax 2-43x+2,得a-43+2=0,∴a=-23,∴抛物线的函数表达式为y=-23x 2-43x+2.(2)当y=0时,-23x 2-43x+2=0,解得x 1=1,x 2=-3. 当x=0时,y=2,∴抛物线与y 轴的交点C 的坐标为(0,2),与x 轴的另一交点A 的坐标为(-3,0).(3)如图,过点P ,Q 分别作PH ⊥y 轴,QG ⊥x 轴,垂足分别为H ,G.∵四边形ACPQ 是正方形,∴易证△AOC ≌△QGA ≌△CHP , ∴AO=QG=CH=3,OC=GA=HP=2, ∴P (-2,5),Q (-5,3).5.解:(1)把A (-3,0)和B (1,0)代入抛物线L :y=ax 2+bx+3,得{9a -3b +3=0,a +b +3=0,解得{a =-1,b =-2,即抛物线L :y=-x 2-2x+3,化为顶点式为y=-(x+1)2+4,故顶点D 的坐标为(-1,4). (2)∵B (1,0),D (-1,4),由待定系数法可得直线BD 的表达式为y=-2x+2. 设平移后点B 的对应点B'的坐标为(x ,-2x+2), 则BB'2=(x-1)2+(-2x+2-0)2=5(x-1)2.∵抛物线L :y=-x 2-2x+3,∴点C 的坐标为(0,3),∴BC 2=12+32=10, ∴5(x-1)2=10,解得x 1=√2+1,x 2=-√2+1.∴点B'的坐标为(√2+1,-2√2)或(-√2+1,2√2).当点B'的坐标为(√2+1,-2√2),即点B 向右平移√2个单位,再向下平移2√2个单位,可得点B',∴抛物线L :y=-x 2-2x+3=-(x+1)2+4向右平移√2个单位,再向下平移2√2个单位,可得y=-(x+1-√2)2+4-2√2.当点B'的坐标为(-√2+1,2√2),即点B 向左平移√2个单位,再向上平移2√2个单位,可得点B',∴抛物线L :y=-x 2-2x+3=-(x+1)2+4向左平移√2个单位,再向上平移2√2个单位,可得y=-(x+1+√2)2+4+2√2.综上所述,当四边形BB'C'C 是菱形时,此时平移后的抛物线的表达式为y=-(x+1-√2)2+4-2√2或y=-(x+1+√2)2+4+2√2.6.解:(1)直线y=-x+3与x 轴、y 轴分别交于B ,C 两点,则点B ,C 的坐标分别为(3,0),(0,3). 将点B ,C 的坐标代入y=-x 2+bx+c ,得 {-9+3b +c =0,c =3,解得{b =2,c =3,故抛物线的函数表达式为y=-x 2+2x+3.(2)如图①,作点C 关于x 轴的对称点C',连结C'D 交x 轴于点E ,此时EC+ED 的值最小,则△EDC 的周长最小.抛物线的顶点D 的坐标为(1,4),点C'(0,-3).用待定系数法可求得直线C'D 的表达式为y=7x-3. 当y=0时,x=37,故点E 的坐标为37,0.(3)存在.①当点P 在x 轴上方时,如图②, ∵OB=OC=3,∠BOC=90°, ∴∠OCB=45°=∠APB. 令y=0,则-x 2+2x+3=0, 解得x 1=-1,x 2=3, ∴A (-1,0),∴AB=4.过点B 作BH ⊥AP 于点H ,设PH=BH=a , 则PB=P A=√2a.由勾股定理得AB 2=AH 2+BH 2, 即16=(√2a-a )2+a 2, 解得a 2=8+4√2,则PB 2=2a 2=16+8√2. ②当点P 在x 轴下方时, 同理可得PB 2=16+8√2.综上可得,PB 2的值为16+8√2.。
《二次函数专题提优》：特殊三角形存在性问题
《二次函数专题提优》：特殊三角形存在性问题（一）、直角三角形存在性问题：1、在平面直角坐标系x O y 中，抛物线y =ax 2+bx +2过点A （-2，0），B （2，2），与y 轴交于点C ． （1）、求抛物线y =ax 2+bx +2的函数表达式；（2）、若点D 在抛物线y =ax 2+bx +2的对称轴上，求△ACD 的周长的最小值；（3）、在抛物线y =ax 2+bx +2的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 是直角三角形？若存在直接写出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．2、如图，在矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为（0，8），点C 的坐标为（6，0）．抛物线y ＝﹣94x 2+bx +c 经过点A 、C ，与AB 交于点D ． （1）、求抛物线的函数解析式；（2）、点P 为线段BC 上一个动点（不与点C 重合），点Q 为线段AC 上一个动点，AQ ＝CP ，连接PQ ，设CP ＝m ，△CPQ 的面积为S ．①、求S 关于m 的函数表达式； ②、当S 最大时，在抛物线y ＝﹣94x 2+bx +c 的对称轴l 上，若存在点F ，使△DFQ 为直角三角形， 请直接写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图所示，直线y=x+2与抛物线y=ax 2+bx+6（a ≠0）相交于A （21，25）和B （4，m ），点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C ． （1）、求抛物线的解析式；（2）、是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）、求△PAC 为直角三角形时点P 的坐标．4、如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线2x 41y 交于A ，B 两点，其中点A 的横坐标是﹣2． （1）、求这条直线的函数关系式及点B 的坐标；（2）、在x 轴上是否存在点C ，使得△ABC 是直角三角形？若存在，求出点C 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）、过线段AB 上一点P ，作PM ∥x 轴，交抛物线于点M ，点M 在第一象限，点N （0，1），当点M 的横坐标为何值时，MN +3MP 的长度最大？最大值是多少？（二）、等腰三角形存在性问题：5、如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．（1）、求抛物线的解析式；（2）、已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；（3）、将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．6、如图所示，在平面直角坐标系中，已知点C（0，4），点A、B在x轴上，并且OA＝OC＝4OB，动点P在过A、B、C三点的抛物线上．（1）、求抛物线的函数表达式；（2）、在直线AC上方的抛物线上，是否存在点P，使得△PAC的面积最大？若存在，求出P点坐标及△PAC面积的最大值；若不存在，请说明理由．（3）、在x轴上是否存在点Q，使得△ACQ是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7、如图，在平面直角坐标系中，已知点C（0，4），点A、B在x轴上，并且OA＝OC＝4OB，动点P在过A、B、C三点的抛物线上．（1）、求抛物线的函数表达式；（2）、在直线AC上方的抛物线上，是否存在点P，使得△PAC的面积最大？若存在，求出P点坐标及△PAC面积的最大值；若不存在，请说明理由．（3）、在x轴上是否存在点Q，使得△ACQ是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．8、已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）、求抛物线的函数关系式；（2）、设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）、在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．9、如图1，抛物线与4x 31x 31-y 2++=与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ， 连接AC 、BC ，点D 是线段AB 上一点，且AD ＝CA ，连接CD ．（1）、如图2，点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，在线段BC 上有一动点Q ，连接PC 、PD 、PQ ，当△PCD 面积最大时，求PQ +1010CQ 的最小值； （2）、将过点D 的直线绕点D 旋转，设旋转中的直线l 分别与直线AC 、直线CO 交于点M 、N ，当△CMN 为等腰三角形时，直接写出CM 的长．10、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =√33x 2-2√33x -√3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，点E （4，n ）在抛物线上． （1）求直线AE 的解析式；（2）点P 为直线CE 下方抛物线上的一点，连接PC ，PE ．当△PCE 的面积最大时，连接CD ，CB ，点K 是线段CB 的中点，点M 是CP 上的一点，点N 是CD 上的一点，求KM+MN+NK 的最小值； （3）点G 是线段CE 的中点，将抛物线y =√33x 2-2√33x -√3沿x 轴正方向平移得到新抛物线y ′，y ′经过点D ，y ′的顶点为点F ．在新抛物线y ′的对称轴上，是否存在一点Q ，使得△FGQ 为等腰三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．10、如图，已知二次函数y＝ax2﹣6ax﹣16a（a＜0）的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．（1）、①线段BC的长为；②点A的坐标为（用a的代数式表示）．（2）、设M是抛物线的对称轴上的一点，以点A、C、M为顶点的三角形能否成为以AC为斜边且有一个锐角是30°的直角三角形？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．（3）、若a＝﹣，点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个？（三）、等腰直角三角形的存在性问题：11、如图,抛物线bxaxy+=2经过A(4,0),B(1,3)两点，点B. C关于抛物线的对称轴l对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H.(1)、求抛物线的解析式；(2)、若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，是否存在这样的点M、N，使得以点M为直角顶点的△CNM是等腰直角三角形?若存在，请求出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由。
二次函数与特殊三角形存在性综合问题(原卷版)-九年级数学上册《重难点题型-高分突破》(人教版)
专题2.6二次函数与特殊三角形存在性综合问题（三大题型）【题型1等腰三角形的存在性问题】【题型2直角三角形的存在性问题】【题型3等腰直角三角形存在性问题】等腰三角形的存在性问题【方法1几何法】“两圆一线”（1）以点A 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB 的垂直平分线，与x 轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．注意：若有重合的情况，则需排除．以点C 1为例，具体求点坐标：过点A 作AH⊥x 轴交x 轴于点H，则AH=1，又32121131311==-=∴=HC AC ，()03211，坐标为故点-C 类似可求点C 2、C 3、C 4．关于点C 5考虑另一种方法．【方法2代数法】点-线-方程表示点：设点C 5坐标为(m ,0)，又A （1,1）、B （4,3），表示线段：11-m 225+=）（AC 94-m 225+=）（BC 联立方程：914-m 1-m 22+=+）（）（，623m =解得：，），坐标为（故点06232C 直角三角形的存在性【方法1几何法】“两线一圆”（1）若∠A 为直角，过点A 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；（2）若∠B 为直角，过点B 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；（3）若∠C 为直角，以AB 为直径作圆，与x 轴的交点即为所求点C ．（直径所对的圆周角为直角）如何求得点坐标？以C2为例：构造三垂直．），坐标为（故代入得：坐标得、由易证0213232222C C C BN AM B A N MB BN AM BN AMB ===∆≈∆()），坐标为（，，坐标为故或故又即代入得：，设，坐标得、由易证求法相同，如下：、040231a ,4a ,3ab ,3a b 1N a,31,4333333343C C C C C C C CCC b bM BN AM B A NB M N AM NB AM ==+=======∆≈∆【方法2代数法】点-线-方程23m 20352235110,m 135-m 1-m 35-m 11-m 22222122111=+=+=+=+==，解得：）代入得方程（，，，）表示线段：（）；，（）、，（），又坐标为（）表示点：设（：不妨来求下）（）（）（）（BC C C C A AB B A 【题型1等腰三角形的存在性问题】【典例1】（2023•兴庆区校级模拟）如图，已经抛物线经过点O （0，0），A （5，5），且它的对称轴为x ＝2．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点B 是x 轴上的一点，且△OAB 为等腰三角形，请直接写出B 点坐标．【变式1-1】（2023•青海）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP 的面积（请在图1中探索）；（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．【变式1-2】（2022秋•亳州期末）如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；【变式1-3】（2023春•中山市期中）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-4】（2022秋•怀远县期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；【变式1-5】（2023•兴宁区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；【变式1-6】（2023•隆昌市校级三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．（1）求此抛物线的表达式：（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【变式1-7】（2023春•沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积；（3）在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．【变式1-8】（2022秋•朔州期末）如图，已知抛物线y＝﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-9】（2022秋•港南区期末）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP，PB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）求△BCP的面积最大值；（3）点M是抛物线的对称轴l上一动点．是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【题型2直角三角形的存在性问题】【典例2】（2022秋•云阳县期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线得解析式；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△P AC的面积为S，求S的最大值并求此时点P的坐标．（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上确定一点M，使得△ADM是直角三角形，写出所有符合条件的点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【变式2-1】（2023春•兴宁区校级月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1与直线l2：x＝﹣2相交于点D，点A是直线l2上的动点，过点A 作AB⊥l1于点B，点C的坐标为（0，3），连接AC，BC．设点A的纵坐标为t，△ABC的面积为s．（1）当点B的坐标为时，直接写出t的值；（2）s关于t的函数解析式为，其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出a与b的值；（3）在l2上是否存在点A，使得△ABC是直角三角形？若存在，请求出此时点A的坐标和△ABC的面积；若不存在，请说明理由．【变式2-2】（2023•庄浪县三模）如图：已知二次函数y＝ax2+x+c的图象与x 轴交于A，B点，与y轴交于点C，其中B（2，0），C（0，4）．（1）求该抛物线的解析式；（2）P是第一象限抛物线的一个动点，当P点运动到何处时，由点P，B，C 构成的三角形的面积最大，求出此时P点的坐标；（3）若M是抛物线上的一个动点，当M运动到何处时，△MBC是以BC为直角边的直角三角形，求出此时点M的坐标．【变式2-3】（2023•喀喇沁旗一模）如图①，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A、B（3，0），与y轴交于点C（0，3），直线l经过B、C两点．抛物线的顶点为D．（1）求抛物线和直线l的解析式；（2）判断△BCD的形状并说明理由．（3）如图②，若点E是线段BC上方的抛物线上的一个动点，过E点作EF ⊥x轴于点F，EF交线段BC于点G，当△ECG是直角三角形时，求点E的坐标．【变式2-4】（2023•铁岭模拟）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y＝的图象与一次函数y＝﹣的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且点D坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEC的面积S；（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．【变式2-5】（2023•怀化二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，E是线段OA的中点．（1）求抛物线的解析式；（2）点F是抛物线上的动点，当∠OEF＝∠BAE时，求点F的横坐标；（3）在抛物线上是否存在点P，使得△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形，若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由；【变式2-6】（2023•金湾区一模）如题22图，抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x＝2，并且经过点A（﹣2，0），交x轴于另一点B，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上有一点P，求点P到直线BC距离的最大值及此时点P的坐标；（3）在直线BC下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBC为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【题型3等腰直角三角形存在性问题】【典例3】（2023•增城区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx ﹣3（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【变式3-1】（2023•抚远市二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A （﹣1，0）和点B（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上有一点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，若△APQ是等腰直角三角形，求点P的坐标．【变式3-2】（2023•富锦市校级一模）如图，是抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上有一点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，若△APQ是等腰直角三角形，求点P的坐标．【变式3-3】（2023•碑林区校级模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）点M为该抛物线的对称轴l上一点，点P为该抛物线上的点且在l左侧，当△AMP是以M为直角顶点的等腰直角三角形时，求符合条件的点M的坐标．【变式3-4】（2023•西安一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx ﹣1的顶点A的坐标为，与y轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P是抛物线上的动点，过点P作PM⊥x轴于点M，以PM为斜边作等腰直角三角形PMN，当点N恰好落在y轴上时，求点P的坐标．【变式3-5】（2023•惠民县自主招生）已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△P AB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．。
二次函数中的三角形问题(含答案)
二次函数中的三角形一．与三角形面积例1：如图，已知在同一坐标系中，直线22k y kx =+-与y 轴交于点P ，抛物线k x k x y 4)1(22++-=与x 轴交于)0,(),0,(21x B x A 两点。
C 是抛物线的顶点。
（1）求二次函数的最小值（用含k 的代数式表示）； （2）若点A 在点B 的左侧，且021<⋅x x 。
①当k 取何值时，直线通过点B ；②是否存在实数k ，使ABC ABP S S ∆∆=？如果存在，请求出此时抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由。
例2：已知抛物线)1(3)4(2-+---=m x m x y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点， （1）求m 的取值范围；（2）若0<m ，直线1-=kx y 经过点A ，与y 轴交于点D ，且25=⋅BD AD ，求抛物线的解析式； （3）若A 点在B 点左边，在第一象限内，（2）中所得的抛物线上是否存在一点P ，使直线P A 平分ACD ∆的面积？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。
例3．已知矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，以AB 的垂直平分线为x 轴，AB 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)。
(1)写出A 、B 、C 、D 及AD 的中点E 的坐标；(2)求以E 为顶点、对称轴平行于y 轴，并且经过点B 、C 的抛物线的解析式； (3)求对角线BD 与上述抛物线除点B 以外的另一交点P 的坐标；(4)△PEB 的面积S △PEB 与△PBC 的面积S △PBC 具有怎样的关系？证明你的结论。
例4.如图1，已知直线12y x =-与抛物线2164y x =-+交于AB ，两点． （1）求AB ，两点的坐标； （2）求线段AB 的垂直平分线的解析式；（3）如图2，取与线段AB 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在AB ，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 将与AB ，构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．y x O yx O P A 图2图1 B BA A BC DO E x y(第25题图)二．与三角形形状例5. 如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．（1）求抛物线的对称轴； （2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．例 6.如图①，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(12)，，点B 的坐标为(31)，，二次函数2y x =的图象记为抛物线1l ．（1）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过点A ，但不过点B ，写出平移后的一个抛物线的函数表达式： （任写一个即可）．（2）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过A B ，两点，记为抛物线2l ，如图②，求抛物线2l 的函数表达式．（3）设抛物线2l 的顶点为C ，K 为y 轴上一点．若ABK ABC S S =△△，求点K 的坐标．（4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线2l 上是否存在点P ，使ABP △为等腰三角形．若存在，请判断点P 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师．B12l2例7. 已知：如图，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A 、(5,0)B 、(0,5)C 三点． （1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点C 的直线y kx b =+与抛物线相交于点E （4，m ），请求出△CBE 的面积S 的值； （3）在抛物线上求一点0P 使得△ABP 0为等腰三角形并写出0P 点的坐标；（4）除（3）中所求的0P 点外，在抛物线上是否还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P （要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P ，请说明理由．例8.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连接OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ． (1)求点B 的坐标；(2)求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？ 若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；(4)如果点P 是(2)中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方， 那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积；若没有，请说明理由．(注意：本题中的结果均保留根号)三．二次函数与三角形相似 例9：已知一次函数1243--=x y 的图象分别交x 轴、y 轴于A 、C 两点， （1）求出A 、C 两点的坐标；（2）在x 轴上找出点B ，使ACB ∆∽AOC ∆，若抛物线过A 、B 、C 三点，求出此抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，设动点P 、Q 分别从A 、B 两点同时出发，以相同速度沿AC 、BA 向C 、A 运动，连结PQ ，使m AP =，是否存在m 的值，使以A 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似，若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由。
二次函数中的特殊三角形存在性问题课件
（5）若点H在抛物线的对称轴上，是否存在点H 使得△BCH是直角三角形？若存在，求出点H的 坐标；若不存在，请说明理由；
（6）设点P是第一象限内抛物线上的动点，点Q 是线段BC上一点，是否存在点P使△PCQ是等腰 直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存 在，请说明理由.
方法总结： 1、 2、
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）连接AC，CF，判断△CAF的形状，并说明 理由；
（3）连接AC，在x轴上是否存在点G使得△ACG 是以AC为底边的等腰三角形？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由；；
（4）若点p在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴 上，是否存在点p使得△PDQ是等边三角形？若 存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
三、课堂小结
二次函数中有关 特殊三角形 存在性问题
1. 复习二次函数相关知识点； 1. 复习特殊三角形的性质。
例. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x 轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点 C，直线BC的解析式为y=kx+3，抛物线的顶点为 D，对称轴与直线BC交于点E，与x轴交于点F. （1）求抛物线解析式;
二次函数中特殊三角形存在性问题(解析版)(北师大版)
专题05二次函数中特殊三角形存在性问题类型一、等腰三角形存在性问题(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AC 下方的抛物线上一点，且ΔΔ2PAC DAC S S =(3)M 为抛物线对称轴上一点，是否存在以B 、C 、M 为顶点的三角形是等腰三角形，的坐标，若不存在，请说明理由．1（3） 点A与点B关于对称轴②如图，以点B 为圆心，BC BCM 为等腰三角形．在Rt BEM 中，BM BC =∴22(210)42EM =-=∴此时点M 的坐标为(2,-2③如图，作线段BC 的垂直平分线，与时MB MC =，BCM 为等腰三角形．∴综上所述：点Ｍ的坐标为【点睛】本题主要考查求二次函数解析式、二次函数因动点产生的三角形面积问题、因动点产生的等腰三角形问题，求出到底边的距离等于高的直线解析式，利用画【变式训练1】．如图，已知直线两点，且与x轴的另一个交点为(1)求抛物线的表达式；(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为坐标；点D 的横坐标为m ，248433D m m m ⎛⎫∴--+ ⎪⎝⎭，248433DF m m ∴=--+∴点P 点B 关于y 轴对称，PC BC ∴=，此题PBC 是等腰三角形，延长BC 交直线=1x -于点90P PB '∠=︒ ，90CP P CBP '∴∠+∠=︒，CBP CPB ∠=∠ ，221BP BC = ，()221117r ∴++=，解得：113r =，2r =-()113P ∴-，，如图4，2BP BC =，且点设直线=1x -与x 轴交于点(1)求这个二次函数的表达式；(2)点P 是直线BC 下方抛物线上的一动点，求(3)直线x m =（不经过点的值．【答案】(1)25y x x =-+设()2,54P t t t -+，则D ()(245PD t t ∴=-+-- BCP PDB PDC S S S =+△△△11S PD OB ∴=⨯=(1)求m 的值及这个二次函数的关系式：(2)求ABC 的面积；(3)在该二次函数的对称轴上是否存在点写出符合条件的Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)1m =，221y x x =++(2)3(1)若直线y mx n =+经过B ，(2)在抛物线的对称轴=1x -上找一点(3)设点P 为抛物线的对称轴【答案】(1)3y x =+，y =-(2)2()1,M -综上，P 点的坐标为(1,1)-，(-【点睛】本题考查待定系数法求解函数解析式，二次函数的性质，两点之间线段最短，等腰三角形的性质；根据几何图形的性质构建方程是解题的关键．类型二、直角三角形存在性问题例．如图，已知抛物线2y ax =(1)求抛物线的解析式；(2)直接写出直线AC 的解析式和点(3)在线段AD 下方的抛物线上求一点(4)在抛物线的对称轴上是否存在点不存在，请说明理由．设215266E x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，其中所以2111226PE x x ⎛=-+- ⎝所以1S S S 2AED AEP PED =+=⨯ 因为203-<，开口向下，所以S AED 有最大值，最大值为把1x =代入21566y x x =-此时813E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，；（4）解：存在，如图(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在这样的点【点睛】考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想思考问题．∥则：CD PN∠=∠∴CDO PNF由题意可得OB OC =，OC BC'⊥∴1452BOF BOC ∠=∠=︒，45D FC OFE ''∠=∠=︒数的性质求出最大值即可得答案；（3）设()P 3m -，，分ACP 90∠=︒时，CAP 90∠=︒时，APC 90∠=︒时，三种情况讨论，利用勾股定理求出m 的值即可得答案.【详解】（1）把()()A 7,0,B 1,0-两点坐标代入2y x bx c=-++得497010b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：67b c =-⎧⎨=⎩，∴抛物线方程为：2y x 6x 7=--+，顶点坐标()M 316-，，（2）如图1，设矩形EMDF 的周长为l ，()2E x x 6x 7，--+，∴2EH x 6x 7=--+，∵A （-7，0），B （1，0），∴抛物线对称轴为直线x=-3，①当7x 3-<<-时，EF 3x =--，()l 2EH EF =+，=()22x 6x 73x --+--=()22x 7x 4--+=()22x 7x 4-+-2(1)求点B的坐标；(2)分别求出直线(3)在抛物线的对称轴上是否存在点出点P的坐标；若不存在，请说明理由．类型三、等腰直角三角形存在性问题（1）点P的坐标为（2）若点M在PC的垂直平分线上，且在第一象限内，当为．2,4(1,1【答案】()【分析】（1）由题意可得点A∴112122EP CP==⨯=．当BPM△是等腰直角三角形时，且只有以点∴PM MB=，∵PME DMB DMB∠+∠=∠+∴PME MBD∠=∠，(1)求抛物线的关系式；(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE、设()2,43P m m m -+，过点P 作PM y ⊥轴于点M ∴四边形OMNH 为矩形，∴2MN OH ==，OM NH =∵PM m =，∴2PN MN PM m =-=-，∵POF 为等腰直角三角形，则∴90MPO FPN ∠+∠=︒，∵90MPO MOP ∠+∠=︒，过点P 作PM y ⊥轴于点M ∴四边形OMNH 为矩形，∴2MN OH ==，OM NH =∵PM m =，∴2PN MN PM m =-=-，同上可得(AAS MOP PNF △≌△∴OM PN =，∴2432m m m -+=-，过点P 作PM x ⊥轴于点M ∴四边形MHFN 为矩形，∴FN HM OM OH m ==-=-∵POF 为等腰直角三角形，则∴90MPO FPN ∠+∠=︒，∵90MPO MOP ∠+∠=︒，∴∴()AAS MOP PNF △≌△，∴∴2432m m m -+-=-，解得：35+过点P 作PM x ⊥轴于点M ，过点(1)直接写出抛物线1C (2)如图，点A 在抛物线求点A 的坐标．【答案】(1)(1:C y x =-设点A ()()2,26m m --，则 OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，AB AO ∴=，∴()HL ABD AOC ≌，BD AC ∴=，2m ∴-=(1)求该抛物线的解析式及顶点Q 的坐标．(2)连结CQ ，判断线段CQ 与线段AE 有何关系，请说明理由．(3)如图2．若点P 是直线AD 上方的抛物线上的一动点，设点P 的横坐标为①连结PA 、PD ，当m 为何值时，12PAD DAB S S =△△．②在直线AD 上是否存在一点H 使PQH 为等腰直角三角形，若存在请求出∵3OB OC AO ==，∴3OB =，1OA =，∴()3,0B ，()1,0A -，设抛物线解析式为2y ax bx c =++，∴30930c a b c a b c =⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为223y x x =-++，∵()222314y x x x =-++=--+，∴顶点()1,4Q ；（2）解：过点Q 作QG OB ⊥与点G ，过点C 作CM QG ⊥于点M ，交AD 于点N ，则1CM OG ==，4QG =，∵4MG OC ==，∴1QM QG MG =-=，∴1CM QM ==，又90CMQ ∠=︒，∴45CQM QCM ∠=∠=︒，对于1y x =+，令0x =，则1y =，∴()0,1E ，又()1,0A -，则3DF =，设()2,23P m m m -++∴223PK m m =-++当12PAD DAB S S =△△时，∵90GQP QPG ∠+∠=︒，90QPG HPM ∠+∠=︒，∴HPM GQP ∠=∠，又90HMP PGQ ∠=∠=︒，PH PQ =，∴PHM QPG ≌ ，∴PG MH =，GQ PM =，∴()2423m m t m --++=-，21231m m m t -=-++--，解得0m =或2m =（舍去）；Ⅱ、当90PQH ∠=︒时，如图，当QP QH =时，则点P 、H 关于抛物线的对称轴对称，即PH 垂直于抛物线的对称轴，∴PH x ∥轴，∴45QHP QPH ∠=∠=︒，同Ⅰ可得0m =或2m =（舍去）；Ⅲ、当90QHP ∠=︒时，点P 在AD 的下方，与题意不符．综上，m 的值为0．【点睛】本题考查了待定系数法确定函数的解析式，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标特征，平行线的判定与性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．(1)求抛物线解析式；(2)点Q 是抛物线上一动点，且满足23ABQ ABC S S = ，求Q (3)P 是对称轴左侧抛物线上一动点，以AP 为斜边作等腰直角三角形，图形并求出P 点坐标．【答案】(1)223y x x =+-；(2)点Q 的坐标为()16,2-+或()16,2--或(12,-+-(3)(2,3)--或()4,5-．①点P 在第三象限时，抛物线223y x x =+-的对称轴为直线=1x -，∴2AQ =，过点P 作PG DM ⊥于G ，∴90PGM MQA ∠=∠=︒，90MPG PMG ∴∠+∠=︒，∵90AMP ∠=︒，∴90PMG AMQ ∠+∠=︒，∴MPG AMQ ∠=∠，在PGM △和MQA △中，90PGM MQA MPG AMQ MP MA ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS PGM MQA ≌，∴2MG AQ ==，PG QM =，设()1,(0)M m m -<，∴QM m =-，∴PG m =-，2QG QM MG m =+=-，∴()1,2P m m --，点P 在抛物线223y x x =+-上，∴()2(1)2132m m m -+--=-，12m ∴-=-或11(m -=舍)，()2,3P ∴--．②当点P 在第二象限时，同①的方法得，()4,5P -；综上所述，点P 的坐标为()2,3--或()4,5-．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积公式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，会利用数形结合的思想及方程的思想方法解决数学问题是关键．。
中考数学 二次函数存在性问题 及参考答案
中考数学二次函数存在性问题及参考答案中考数学二次函数存在性问题及参考答案一、二次函数中相似三角形的存在性问题1.如图，把抛物线 $y=x^2$ 向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线 $y=(x-h)^2+k$。
所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D。
1）写出h、k的值；2）判断△ACD的形状，并说明理由；3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。
2.如图，已知抛物线经过A（$-2,0$），B（$-3,3$）及原点O，顶点为C。
1）求抛物线的解析式；2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x 轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
二、二次函数中面积的存在性问题3.如图，抛物线 $y=ax^2+bx$ （$a>0$）与双曲线$y=\frac{k}{x}$ 相交于点A，B。
已知点B的坐标为（$-2,-2$），点A在第一象限内，且 $\tan\angle AOX=4$。
过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C。
1）求双曲线和抛物线的解析式；2）计算△ABC的面积；3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积。
若存在，请写出点D的坐标；若不存在，请说明理由。
4.如图，抛物线 $y=ax^2+c$ （$a>0$）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（$-2,0$），B（$-1,-3$）。
1）求抛物线的解析式；2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使$\triangle PAD=4\triangle ABM$ 成立，求点P的坐标。
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二次函数中构建特殊三角形存在性问题一、二次函数与等腰三角形 例1：如图，已知抛物线224233y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ． 点M 从O 点出发，以每秒1个单位长度:的速度向B 运动，过M 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ，交BC 于Q ． （1）求点B 和点C 的坐标；（2）设当点M 运动了x （秒）时，四边形OBPC 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围．（3）在线段BC 上是否存在点Q ，使得△DBQ 成为以BQ 为一腰的等腰三角形？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．解：（1）把x =0代入224233y x x =-++得点C 把y =0代入224233y x x =-++得点B （2）连结OP ，设点P 的坐标为P （x ，y ）OBPC S 四边形=OPC S △+OPB S △ =112322x y ⨯⨯+⨯⨯233x x =-++∵ 点M 运动到B 点上停止，∴03x ≤≤∴23324S x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（03x ≤≤）（3）存在．=13 ① 若BQ = DQ∵ BQ = DQ ，BD = 2 ∴ BM = 1 ∴OM = 3-1 = 2∴2tan 3QM OC OBC BM OB ∠=== ∴QM =23 所以Q 的坐标为Q （2，23） ． ② 若BQ=BD=2∵ △BQM ∽△BCO ，∴BQ BC =QM CO =BMBO∴2QM ∴ QM =13 ∵BQBC =BM OB ∴=3BM∴ ∴ OM = 3所以Q 的坐标为Q （313-，13）例2：已知二次函数2y ax bx c =++的图象分别经过点（0，3），（3，0），（－2，－5）. 求：(1) 求这个二次函数的解析式； (2) 求这个二次函数的最值；(3) 若设这个二次函数图象与x 轴交于点C ，D （点C 在点D 的左侧），且点A 是该图象的顶点，请在这个二次函数的对称轴上确定一点B ，使△ACB 是等腰三角形，求出点B 的坐标.解：（1）因为二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过（0，3） 所以c=3．所以y=ax 2+bx+3．又二次函数y=ax 2+bx+3的图象经过点（3，0），（﹣2，﹣5），，解这个方程组得：，所以这个二次函数的解析式为：y=﹣x 2+2x+3； （2）因为a=﹣1＜0， 所以函数有最大值，当x=1时，函数的最大值为：4；（3）当CA=CB 时，可求得B 点的坐标为：（1，﹣4）； 当AC=AB 时，可求得B 点的坐标为：；当BA=BC 时，可求得B 点的坐标为：．综上所述B 点的坐标分别为（1，﹣4），，．例3：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++经过A （3，0）、B （5，0）、 C （0，5）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，求△BCD 的面积；（3）若在抛物线的对称轴上有一个动点P ，当△OCP 是腰长为5的等腰三角形时，求点P 的坐标．解：（1）根据题意，c=5． ∴解得∴抛物线解析式为；（2分）（2）∴抛物线顶点D 的坐标为（3分）设直线CD 的解析式为y=kx+b ， 则∴∴直线CD的解析式为．设直线CD与x轴交于点F，则F点坐标为．∴．∴．（4分）（3）分四种情况：设对称轴与x轴交于点E．①当OP=OC=5，且∠COP为锐角时，如图1，则有，∴P点坐标为（4，3）（5分）②当OP=OC=5，且∠COP为钝角时，如图2，则有，∴P点坐标为（4，﹣3）．（6分）③当OC=CP=5，且∠OCP为锐角时，如图3，作PQ⊥y轴，垂足为Q，则有，∴OQ=OC﹣CQ=5﹣3=2．∴P点坐标为（4，2）（7分）④当OC=CP=5，且∠OCP为钝角时，如图4，作PQ⊥y轴，垂足为Q，则有，∴OQ=OC+CQ=5+3=8．∴P点坐标为（4，8）（8分）综上所述，点P的坐标为（4，3）、（4，﹣3）、（4，2）或（4，8）．例4：如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．解：（1）由抛物线y=ax 2﹣5ax+4可知C （0，4），对称轴x=﹣=，则BC=5，B （5，4），又AC=BC=5，OC=4， 在Rt △AOC 中，由勾股定理，得AO=3， ∴A （﹣3，0）B （5，4）C （0，4）（2）把点A 坐标代入y=ax 2﹣5ax+4中， 解得a=﹣， 故y=﹣x 2+x+4．（2）存在符合条件的点P 共有3个．以下分三类情形探索． 设抛物线对称轴与x 轴交于N ，与CB 交于M ． 过点B 作BQ ⊥x 轴于Q ，易得BQ=4，AQ=8，AN=5.5，BM=．①以AB 为腰且顶角为角A 的△PAB 有1个：△P 1AB ．则AB2=AQ2+BQ2=82+42=80（8分）在Rt△ANP1中，P1N====，∴P1（，﹣）．②以AB为腰且顶角为角B的△PAB有1个：△P2AB．在Rt△BMP2中MP2====，则P2=（，）．③以AB为底，顶角为角P的△PAB有1个，即△P3AB．画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P3，此时平分线必过等腰△ABC的顶点C．过点P3作P3K垂直y轴，垂足为K，∵∠CP3K=∠ABQ，∠CKP3=∠AQB，∴Rt△P3CK∽Rt△BAQ．∴==．∵P3K=2.5∴CK=5于是OK=1，∴P3（2.5，﹣1）．二、二次函数与直角三角形例1：已知：如图一次函数y＝12x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y＝12x2＋bx＋c的图象与一次函数y＝12x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)求四边形BDEC的面积S；(3)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．解：（1）将B（0，1），D（1，0）的坐标代入y=x2+bx+c，得：，得解析式y=x2﹣x+1．（2）设C（x0，y0）（x0≠0，y0≠0），则有解得，∴C（4，3）由图可知：S四边形BDEC=S△ACE﹣S△ABD，又由对称轴为x=可知E（2，0），∴S=AE•y0﹣AD×OB=×4×3﹣×3×1=．（3）设符合条件的点P存在，令P（a，0）：当P为直角顶点时，如图：过C作CF⊥x轴于F；∵∠BPO+∠OBP=90°，∠BPO+∠CPF=90°，∴∠OBP=∠FPC，∴Rt△BOP∽Rt△PFC，∴，即，整理得a2﹣4a+3=0，解得a=1或a=3；∴所求的点P的坐标为（1，0）或（3，0），综上所述：满足条件的点P共有2个．例2：在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C 为 (－1，0) ．如图17所示，B 点在抛物线y ＝12x 2＋12x －2图象上，过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D ，且B 点横坐标为－3．（1）求证：△BDC ≌△COA ；（2）求BC 所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（1）证明：∵AC ⊥BC ，BD ⊥CD ，∴∠BDC=∠COA=90°，∠ACO+∠BCD=90°， ∴∠BCD=∠OAC ，∵△ABC 为等腰直角三角形， ∴BC=AC ，∵在△BDC 和△COA 中∴△BDC ≌△COA （AAS ），（2）解：∵△BDC≌△COA，∴BD=CO，∵C点的坐标为（﹣1，0），∴BD=OC=1，∴B点的纵坐标为1，∵B点的横坐标为﹣3，∴B点的坐标为（﹣3，1），设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b，∴，∴解方程组得，∴直线BC所在直线的解析式为：y=﹣x﹣，（3）解：存在，∵抛物线的解析式为：y=x2+x﹣2，∴y=x2+x﹣2=（x+）2﹣，∴二次函数的对称轴为x=﹣，①若以AC为直角边，C点为直角顶点，做CP1⊥AC，∵BC⊥AC，∴P1点为直线BC与对称轴直线x=﹣的交点，∵直线BC所在直线的解析式为：y=﹣x﹣，∴，∴解得，∴P1点的坐标为（﹣，﹣）；②若以AC为直角边，A点为直角顶点，对称轴上有一点P2，使AP2⊥AC，∴过点A作AP2∥BC，交对称轴直线x=﹣于点P2，∵OD=3，OC=1，∴OA=CD=2，∴A点的坐标为（0，2），∴直线AP2的解析式为y=﹣x+2，∴，∴解得：，∴P2点的坐标为（﹣，），∴P点的坐标为P1（﹣，﹣）、P2（﹣，）．11例3：如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P 为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．解：（1）∵y=0.5x+2交x轴于点A，∴0=0.5x+2，∴x=﹣4，与y轴交于点B，∵x=0，∴y=2∴B点坐标为：（0，2），∴A（﹣4，0），B（0，2），∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2∴可设二次函数y=a（x﹣2）2，把B（0，2）代入得：a=0.51213 ∴二次函数的解析式：y=0.5x 2﹣2x+2；（2）（Ⅰ）当B 为直角顶点时，过B 作BP 1⊥AD 交x 轴于P 1点由Rt △AOB ∽Rt △BOP 1∴=， ∴=，得：OP 1=1，∴P 1（1，0），（Ⅱ）作P 2D ⊥BD ，连接BP 2，将y=0.5x+2与y=0.5x 2﹣2x+2联立求出两函数交点坐标：D 点坐标为：（5，4.5）， 则AD=，当D 为直角顶点时∵∠DAP 2=∠BAO ，∠BOA=∠ADP 2，∴△ABO ∽△AP 2D ， ∴=，=，解得：AP 2=11.25，则OP 2=11.25﹣4=7.25，故P 2点坐标为（7.25，0）；（Ⅲ）当P 为直角顶点时，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，设P 3（a ，0）则由Rt △OBP 3∽Rt △EP 3D 得：， ∴，∵方程无解，∴点P 3不存在，∴点P 的坐标为：P 1（1，0）和P 2（7.25，0）．。