复数的乘除运算
复数代数形式的乘法运算 课件
复数乘法
设 z1=a+bi, z2=c+di是任意两个复数
z1z2=(a+bi)(c+di) =ac+bci+adi+bdi2
类似多项 式相乘
=(ac-bd)+(ad+bc)i
注:把i2换成-1
两个复数的积仍是一个确定的复数
我们比较容易证明这些性质：
1.交换律：z1·z2=z2·z1 2.结合律: (z1·z2) ·z3=z1·(z2·z3) 3.分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
(2)z1•z2是一个怎样的数?
y
b
Z1
(b Z2
(2)是一实数
z1•z2=(a+bi)(a-bi)=a2+b2
复数的除法法则
除法是乘法的逆运算
a bi c di (c+di≠0)
a bi
c di
a c
bic dic
di di
分子分母都乘以 分母的共轭复数
(实数化)
分析: 代入化简后，通过复数相等，把复数问题转 化为实数问题来解
例2 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i) 解 (1-2i)(3+4i)(-2+i) = (11-2i)(-2+i) = -20+15i
练习 计算 (1) (7-6i)(-3i);
-21i-18 (2) (3+4i)(-2-3i);
6-17i (3) (1+2i)(3-4i)(-2-i)
-20-15i
例3 计算
(1) (3+4i)(3-4i);
(2) (1+i)2
复数的乘除法
ac bd bc ad (a+bi) c+di = 2 2 i 2 2 c d c d
这种方法叫做公式法
复数相除的另一种解法.
②利用分母实数化：
a bi (a bi)(c di) [ac bi (di)] (bc ad )i c di (c di)(c di) c2 d 2
三、复数的除法运算规则：
①设复数a+bi (a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商 为x+yi (x，y∈R)， 即(a+bi)÷(c+di)=x+yi ∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i. ∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi. 由复数相等定义可知解这个方程组，得于是有
(ac bd ) (bc ad )i ac bd bc ad 2 2 i 2 2 2 2 c d c d c d
这种方法叫做分母实数化法 给分子分母同乘以分母的共轭复数
例2计算
(1 2iBiblioteka (3 4i)1 2i 解： (1 2i ) (3 4i) 3 4i
(1 2i)(3 4i) 3 8 6i 4i 5 10i 1 2 i 2 2 (3 4i)(3 4i) 3 4 25 5 5
除法：先把两个复数相除写成分数形式，然后把分子 与分母都乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”，最 后再化简，这种方法叫做分母实数化法 。
5.求1 i i i .... i
2 3
2008
______
注意: i 4n 1, i 4n1 i, i 4n2 1, i 4n3 i
复数代数形式的乘除运算
把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的复数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数c+di的商,
(c di)( x yi) (cx dy) (dx cy)i ac bd x cx dy a 2 2 c d 解得 dx cy b bc ad y i 2 2 c d
4、一些常用的计算结果
①如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i. (事实上可以把它推广到n∈Z.）
__ 1 3 3 2 2 ②设 i,则有: 1; ;1 0. 2 2
事实上, 与 统称为1的立方虚根,而且对于,也 有类似于上面的三个等式.
2
= (8 i )(1 3i )
= 8 24i i 3i
2
= 5 25 i
复数的乘法与多项式的乘法是类似的. 我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算, 类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.
实数集R中正整数指数的运算律, 在复数集C中仍然成立.即对 z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:
分母实数化
复数代数形式的除法实质： 分母实数化
例5.计算 (1 2i ) (3 4i )
1 2i (1 2i)(3 4i) 解: (1 2i ) (3 4i ) 3 4i (3 4i)(3 4i)
3 8 6 i 4 i 5 10 i 1 2 i 2 2 3 4 25 5 5
2
称为关于x的实系数一元二次方程
b b xx (实根) 2a 2a 2a
原创3：3.2.2复数的乘除运算
记法：复数 = + 的共轭复数记作
z
= −
z
口答：说出下列复数的共轭复数
⑴z=2+3
(2-3)
⑵z= -6
( 6)
⑶z= 3
(3)
注意：⑴当虚部不为0时的共轭复数称为共轭虚数
⑵实数的共轭复数是它本身
思考：若z1 ,z2是共轭复数，那么
⑴在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？
分母实数化
+ = +
2、复数乘法满足交换律、结合律的证明
设 = + , = + , = + .
(1)因为 ∙ = ( + )( + )
= ( − ) + ( + ),
(事实上可以把它推广到 ∈ .）
1
1 i
1 i
2
i;
i.
② (1 i ) 2i; i;
i
1 i
1 i
2复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在运算过程中把
换成－1，然后实、虚部分别合并.
3 除法：先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分母
的共轭复数,化简后写成代数形式(分母实数化).即
化简等.
z1 1 i , z 2 2 i
（2）已知
求
+
,
,
-4
∙
8+6
（3）
1 ± 2 = ±2
1
=−
1+
=
1−
1−
= −
1+
复数代数形式的乘除运算
课本P112： A组4、5、6；B组1。
下节复习结合
3.2.2
X
阅读课本P109页至P111页，回答问题：
【说明】
1.复数的乘法 (1)乘法法则：复数的乘法与多项式的乘法是类似 的，但要注意结果中的 i2换成－1，并且把实部与虚部分
别合并．
(2)运算律：复数乘法仍满足乘法交换律、结合律 和分配律． 注意：乘法公式：正整数指数幂的运算律在复数 集C中仍成立．
?
2 2 2 2 A = 2 a c + 2 b d ； B = a + b + c + d 。 易 BA 。
练 2
(2008· 山东高考)设 z 的共轭复数是 z ，若 z＋
z z ＝4，z· z ＝8，则 z 等于( A．i B．－i
D
) C．± 1 D．± i
例3 求1＋i＋i2＋…＋i2011的值． 拓 展 ： G P 求 和 公 式 。 答： 0.
例1.计算: （） 1 1 2i 3 4i 2 i ;
2 3 4i 3 4i ; 2 31 i ; 4 1 2i 3的复数相乘可按从左到右
的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一
2．复数的除法 在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷ (c＋di)写 a＋bi 成 的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数 c＋di c－di，化简后可得结果，实际上就是将分母实数化，这 与根式除法的分母“有理化”很类似．注意最后结果一 般写成实部与虚部分开的形式．
3．共轭复数的性质 (1)实数的共轭复数仍是它本身，即 z＝ z ⇔z∈R. (2)z· z ＝|z|2＝| z |2.
复数的乘除法
3.2.2复数代数形式的乘除运算教学目标：知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题情感、态度与价值观：让学生体会自主学习自主探究提高运算能力的过程。
教学重点：复数代数形式的除法运算。
教学难点：对复数除法法则的运用一、课前预习（一）知识梳理1．复数乘法的运算法则（1）设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积为：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i（2)复数的乘法与多项式乘法是类似的，只是在运算过程中把的2i换成－1，然后实部、虚部分别合并即可.（3)易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律即对于任意z1 , z2 ,z3∈C,有2.共轭复数（1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数（2）两个共轭复数的和、积是实数；两个共轭虚数的差是虚数。
3.复数代数形式的除法运算（1）．复数除法的运算法则(a＋bi)÷(c＋di)= （3）求两复数商的步骤在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di) (c＋di≠0)写成的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数c－di，化简求得结果．（二）预习评估1．在复平面内，复数z ＝i(1＋2i)对应的点位于（B ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知复数z 的实部为－1，虚部为2，则Z i ＝(A )A ．2－iB ．2＋iC ．－2－iD ．－2＋i3.1-3i 的共轭复数是4．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2等于(D)A. 4＋2iB. 2＋4iC. 2－4iD. 4－2i5．设z ＝3＋i ，则 1Z等于( D )A.3＋iB. 3－iC. 311010i + D. 311010i - 二、新课导学学习探究探究任务一：复数代数形式的乘法运算规定，复数的乘法法则如下：设12,z a bi z c di =+=+，是任意两个复数，那么2()()a bi c di ac bci adi bdi ++=+++ =()()ac bd ad bc i -++ 即：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并即可.问题：复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律？例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i.例2计算：（1）(3+4i) (3-4i) ； （2）（1+ i)2.解：（1）(3+4i) (3-4i) =32-（4i ）2=9-(-16)=25;(2) （1+ i)2=1+2 i+i 2=1+2 i-1=2 i.变式：计算：（1）)（2）2(1)i -（3）(2)(12)i i i --探究任务二：共轭复数新知：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
复数的乘除运算
复数的乘除运算是数学中基础的一部分，也是实际生活中经常会用到的概念。
复数是由实数部分和虚数部分构成的。
实数部分一般用字母a表示，虚数部分一般用字母b表示，虚数部分带有一个i，即√-1，其中√表示根号。
复数通常用z来表示，即z=a+bi。
复数的乘法是指两个复数相乘的运算，公式为：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i，其中a、b、c、d都是实数。
举个例子，假设有两个复数，分别为z1=2+3i和z2=1+4i，求两个复数的乘积。
解法如下，将两个复数代入公式中，得到：z1z2=(2+3i)(1+4i)=(2×1-3×4)+(2×4+3×1)i=-10+11i因此，z1z2=-10+11i。
复数的除法是指两个复数相除的运算，公式为：z1/z2=(a1+ib1)/(a2+ib2)，其中a1、b1、a2、b2都是实数。
举个例子，假设有两个复数，分别为z1=2+3i和z2=1+4i，求两个复数的商。
解法如下，将两个复数代入公式中，并对分母有理化，得到：z1/z2=(2+3i)/(1+4i)=((2+3i)(1-4i))/((1+4i)(1-4i))=((2+3i-8i-12)/17=(-10-6i)/17因此，z1/z2=-10/17-6i/17。
需要注意的是，复数的除法并不满足乘法的交换律和结合律，因此在计算时需要格外小心。
同时，在除数为零的情况下，复数的除法也是不存在的。
总的来说，是数学中基础的一部分，它的应用非常广泛，涵盖了物理、工程、经济等多个领域，在实际生活中也有着广泛的应用。
对于学习数学的人来说，深刻理解是非常重要的。
复数运算的基本法则
复数运算的基本法则复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为a+bi的形式，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位。
复数运算是对复数的加减乘除以及其他常见操作的统称。
一、复数的加法法则两个复数相加的结果，实部与实部相加，虚部与虚部相加。
即：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i二、复数的减法法则两个复数相减的结果，实部与实部相减，虚部与虚部相减。
即：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i三、复数的乘法法则两个复数相乘的结果，使用分配律展开后并整理，得到以下公式：(a+bi)*(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i四、复数的除法法则两个复数相除的结果，先将除数乘以其共轭复数，然后使用分数除法展开并整理，得到以下公式：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i这些是复数运算的基本法则，可以用于计算复数的加减乘除等操作。
在实际应用中，复数运算广泛应用于工程学科、物理学科、电路分析等领域，具有重要的实际意义。
例如，在电路分析中，使用复数可以简化电路的计算和分析过程。
通过将电阻、电感、电容等元件的阻抗用复数表示，可以方便地进行相量运算，简化计算步骤，提高计算效率。
此外，复数还可以用于描述波动和振动现象。
在物理学中，复数形式的指数函数可以表示周期性运动，如正弦波和余弦波。
通过复数运算，可以方便地计算波的传播、幅度、相位等参数。
综上所述，复数运算的基本法则是进行复数加减乘除等操作的规则。
掌握了这些基本法则，可以更好地理解和应用复数，提高复数运算的准确性和有效性。
在实际应用中，复数运算扮演着重要的角色，对于解决工程和物理问题具有重要意义。
复数的运算
引言：复数的运算是数学中的重要概念之一，它涉及到复数的加减乘除以及其他运算规则。
在上一篇文章中，我们已经介绍了复数的加减法运算，本文将进一步探讨复数的乘法和除法运算，并对其进行详细阐述。
通过学习本文，读者将更深入地理解复数的运算规则，并能够熟练进行相关计算。
概述：复数的乘法和除法运算是在实数基础上对虚数单位i进行运算的结果。
通过乘法和除法运算，我们可以更灵活地处理复数，并应用于复杂的数学问题中。
本文将依次介绍复数的乘法和除法运算的基本规则，包括运算法则、运算性质以及应用实例等。
正文内容：一、复数乘法运算1.1乘法法则1.1.1乘法的定义1.1.2乘法的交换律1.1.3乘法的结合律1.1.4乘法的零元和幺元1.1.5乘法的分配律1.2乘法性质1.2.1乘法的逆元1.2.2乘法的平方1.2.3乘法的倒数1.2.4乘法的绝对值1.2.5乘法的应用实例二、复数除法运算2.1除法法则2.1.1除法的定义2.1.2除法的零除法2.1.3除法的结合律2.1.4除法的分配律2.1.5除法的可逆性2.2除法性质2.2.1除法的逆元2.2.2除法的倒数2.2.3除法的绝对值2.2.4除法的应用实例三、复数乘法与除法运算综合应用3.1解复数方程3.2求复数的倒数3.3求复数的幂3.4求复数的乘法逆元3.5求复数的绝对值3.6综合应用实例四、常见乘法与除法的错误和注意事项4.1乘法与除法计算中的常见错误4.1.1忘记交换律和结合律4.1.2遗忘乘法的特殊性质4.1.3忽略乘法的分配律4.2乘法与除法运算的注意事项4.2.1注意复数的特殊形式4.2.2注意分母为零的情况4.2.3注意复数运算的结果4.2.4注意保留有效数字总结：复数的乘法和除法运算是数学中的重要概念，通过本文的介绍，我们对复数乘法和除法运算有了更深入的认识。
学习复数的运算规则和性质，有助于我们更好地理解复数的数学特性，并能够灵活应用于实际问题中。
在进行复数乘法和除法的计算时，我们还需要注意一些常见错误和注意事项，以确保计算的准确性和有效性。
《复数的乘除运算》课件与练习
实数 的值
【解】设方程的实数根为 = ，
则 32 − 2 − 1 + 22 + − 10 ⅈ = 0
∴
32 − 2
− 1 = 0,
22 + − 10 = 0,
解得 = 11 或 = −
71
5
将方程转化为等号两
边均为复数 + ⅈ(, ∈
) 的形式，确定两边复数
2
复数代数形式的乘方
实数集内的乘法、乘方的一些重要结论和运算法则在复数集内不一
定成立，如：
当 ∈ 时， 2 = ||2；当 ∈ 时， = 2 ∈ , 2 ∈ , 故 2 与 ||2 不
一定能比较大小
若 , ∈ ，则 2 + 2 = 0 ⇔ = = 0 ；若 1, 2 ∈ ，则 12 +
c＋di
[提醒]
在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的
共轭复数 c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把
分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．
小试牛刀
)
1．复数(3＋2i)i 等于(
B．－2＋3i
A．－2－3i
C．2－3i
D．2＋3i
答案 B
2. 已知复数 z＝2－i，则 z·z 的值为(
和实数一样，复数的乘方就是相同复数的乘积，比如： 3 表示3个 相乘
2
复数乘方的运算律
根据复数乘法的运算律，实数范围内的正整数指数幂的运算律在复
数范围内仍然成立，即对任意 , 1, 2 ∈ , , ∈ ∗ ，有：
= +
=
4.复数的乘法与除法
已知|z|=1,求|z2+z+1|的最值 的最值. 例7:已知 已知 求 的最值 解1:设z=x+yi(x,y∈R),则x2+y2=1,|x|≤1,|y|≤1. 设 ∈ 则 故|z2+z+1|=|x2+2xyi-y2+x+yi+1| =|(x2-y2+x+1)+(2xy+y)i| =|(2x2+x)+(2x+1)yi| =|2x+1||x+yi|=|2x+1|. 所以,当 所以 当x=1时,|z2+z+1|最大值=3; 时 当x=-1/2时,|z2+z+1|最小值=0. 时 由于z 故若设z=x+yi(x,y∈R),则有 解2:由于 z=|z|2=1,故若设 由于 故若设 ∈ 则有 |z2+z+1|=|z2+z+z z|=|z||z+1+z|=|2x+1|(以下同解 以下同解1). 以下同解
∴ OB = OA + OC , 即 z B = z A + zC .
→ → →
y B
a ∴−2a + 3i = a + i + (−b + ai) 2 3 即− 2a + 3i = (a − b) + ai. 2
c
A x O
− 2a = a − b a = 2 3 . ∴ ⇒ b = 6 3= 2a
zC − 6 + 2i ∴ = = −2 + 2i . zA 2+ i
已知复数z满足 是纯虚数,求 例5:已知复数 满足 已知复数 满足|z|=5且(3+4i)z是纯虚数 求 z. 且 是纯虚数 解1:设z=a+bi(a,b∈R),则(3+4i)z=(3a-4b)+(4a+3b)i. 设 ∈ 则
复数的乘除运算
练习 1、设复数z1 1 3i，z2 2 i, 计算：
（ 1 ）z1 z 2 (2) z1
2
z1 (3) z2
2、计算： （ 1 ）（3 2i） (4i )(1 i ) （2）（2 i） （3）（ 8 7i） （ 1 i）
3
小结：复数的乘除法
复数代数形式的代数运算
---------乘除运算
知识回顾
已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数）
(1)加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).
(2) z
2 1
例1：设复数 z1 2 3i, z2 3 2i ，计算：
(1) z1 z2
(2) z
2 1
例2：设复数 z 3 2i ,求 z z
结论：z z (a bi)(a bi) a b
2
2
2 3i 例3、计算：（1 ）i ；（2） 3 2i
1
1 1 i i 解：（1 ）i 2 i i ii i
1
2 3i (2 3i)(3 2i) 解：（ 2） 3 2i (3 2i)(3 2i)
6 4i 9i 6i 2 2 9 4i
12 15i 13
12 5 i 13 13
பைடு நூலகம்即对于任何z1 , z2 ,z3 ∈C,有
z1 z2 z2 z1
,
( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 ),
复数的乘除运算
21 28i 3i 4i2 32 (4i)2
25 25i 1 i 25
小结
＊ 复数的乘法：
(a bi)(c di) (ac bd) (bc ad)i
课本P77-80
复习回顾
＊ 复数的加减法：
(a bi) (c di) (a c) (b d)i
(a,b, c, d R)
＊ 交换律和结合律：
z1 z2 z2 z1
(z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 )
新课讲解
复数的乘法：
设 z1 a bi, z2 c di ，（ a,b, c, d R ）
交换率 z1 z2 z2 z1
结合率 z1 ( z2 z3 ) ( z1 z2 )z3
分配率 z1 ( z2 z3 ) z1 z2 z1 z 3
正整数指数幂运算率：
z m z n z mn , ( z m )n z mn ,
( z1z2 )n
z1n
z
n 2
(m, n Z )
复数的除法：
＊ 复数的除法：
a bi ac bd bc ad i c di c2 d 2 c2 d 2
作业
＊ 课本P80 习题7.2
第1题 （1）、（2） 第3题（1）、（2） 第4题（1）、（2）、（3）、（4）
是任意两个复数，则定义复数的乘法：
(a bi)(c di) (ac bd) (bc ad)i
两个复数的积还是一个复数。两个复数相乘， 类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2 换成 1，并且把实部与虚部分别合并即可。
例１ 计算：
(1) (2 i)(3 i) (2) (2 3i)(1 3i) (3) ( 2 2i)( 6 i) (4) (1 2i)(3 4i)(2 i) 解： (1)原式 23 2i 3i i2 5 5i
复数的乘除运算
= (3 + 4i)(3 - 4i)
(2) 原式=13+i3+3×12×i+3×1×i2
25 - 25i = = 1-i 25
3 +4
2
2
=1-i+3i-3=-2+2i
三.小结
⑴复数乘法的运算法则、运算规律，共轭 复数概念. ⑵复数除法运算法则.
四.作业： P111 2(1)(3)、P112A组5(3)(4)、6 名师金典:P83一层2、二层6
3.探究
复数的乘法是否满足交换律,结合律以及乘法对 加法的分配律？
对任意复数z1=a+bi,z2=c+di,z3=m+ni 则z1·2=(a+bi)(c+di )=ac+adi+bci+bdi2 z =ac+adi+bci-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i 而z2·1= (c+di )(a+bi)=ac+bci+adi+bdi2 z =(ac-bd)+(ad+bc)i
发现 : 两个复数的积是一个确定的复数
把i2换成-1然 后实、虚部分 别合并
2.应用举例
牛刀小试：计算 (3+4i)(-2-3i)
解：原式= -6-9i-8i-12i2 = -6-17i+12 = 6-17i 例2 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i) 解：原式 =(11-2i)(-2+i) = -20+15i
10 5i
2.多项式与多项式乘积计算:
(a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2
复数的四则运算：乘除
2 2
（化简） （最后写成代数形式）
ac bd bc ad 2 2 i 2 2 c d c d
问题探究1
复数的除法法则：
a bi ac bd bc ad (a bi ) (c di ) 2 2 i 2 2 c di c d c d
课后作业
练习册p25 9.2（3）/1、练习册p25 9.2（4）/1（1）（2）
复数的四则运算
——复数的乘法
知识回顾
已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数）
(1)加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
(2)减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).
问题引入
设a，b，c，d∈R，则(a＋b)(c＋d)怎样展开？
(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd
问题探究1
设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中a，b，c， d∈R，则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)，按照上述运 算法则将其展开，z1z2等于什么？
(a bi )(c di ) ac adi bci bdi
2
（ac bd ) (bc ad )i
，
2 5 -2
问题探究1
设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中a，b，c， d∈R，则z1÷z2=？
( a bi )( c di ) （再把分子与分母都乘以分母的共轭复数） ( c di )( c di )
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2.应用举例
计算
(3+4i)(-2-3i) 解：原式= -6-9i-8i-12i2 = -6-17i+12 = 6-17i
分析：类似两个多项式相乘，把i2换成-1
3.探究：
复数的乘法是否满足交换律，结合律 以及乘法对加法的分配律？ 对任意复数z1=a+bi,z2=c+di,z3=m+ni 则z1·2=(a+bi)(c+di )=ac+adi+bci+bdi2 z =ac+adi+bci-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i 而z2·1= (c+di )(a+bi)=ac+bci+adi+bdi2 z =(ac-bd)+(ad+bc)i ∴z1·2=z2·1 (交换律) z z
提示：这里分子分母都乘以分母 的“实数化因式”（共轭复数）从而使分母“实数化”。 a bi (a bi )(c di ) 即： bi ) ( c di ) (a (c di )(c di ) c di
ac bd (bc ad )i ac bd bc ad 2 2 i 2 2 2 2 c d c d c d
5 10i 25 1 2 i 5 5
结果化简成 代数形式
9.沙场练兵
计算:
⑴ (1-2i)(3+4i)(-2+i)
解: (7 + i)(3 - 4i) 2)(-2+i) (2)原式 = ⑴ 原式= (3+4i-6i-8i (3 + 4i)(3 - 4i) = (11-2i)(-2+i) 2 21 - 25i - 4i2 = -22+11i+4i-2i = = -20+15i 32 + 4 2 25 - 25i = 25
⑵ 7 +i 3 + 4i
= 1 -i
三.小结
⑴复数乘法的运算法则、运算规律，共轭 复数概念. ⑵复数除法运算法则.
四.作业
P62.练习
习题： (1)( 3 2i)( 3 2i)
解：
2
2i (2) 2i
(1)原式 = -3+ 6i- 6i+ 2i 3 2 5 2 2i(2 +i) 4i+ 2i (2)原式 = = 2 2 (2 -i)(2 +i) 2 +1 4i - 2 2 4 = =- + i 5 5 5 返回
8.复数的除法法则
探究：我们规定复数的除法是乘法的逆运算，试探 究复数除法的法则. a bi ( ? (c+di≠0) 复数除法的法则是：a bi ) (c di )=
c di
a a( b - c) = b + c ( b + c)( b - c) ab - ac = (分母有理化) b-c
例4.计算 (1+2i) ÷(3-4i)
先写成分 式形式
解: (1 2i ) (3 4i ) (1 2i )(3 4i ) 1 2i 3 4i (3 4i )(3 4i )
3 6i 4i 8 i 2 32 42
然后分母实数化 分子分母同时乘 以分母的共轭复 数
4.乘法运算律
对任意z1 , z2 , z3 ∈C. 有
z1·2=z2·1 z z (交换律)
(z1·2)·3= z1· 2·3) z z (z z
z1(z2+z3)=z1·2+z1·3 z z
(结合律)
(分配律)
5.例题讲解
例3.计算 ⑴(1+i)2
分析：可利用 复数的乘法法 则计算
⑵(3+4i)(3-4i)
解： ⑴原式= (1+i)(1+i)
= 1+2i+i2
⑵原式= 9-12i+12i-16i2
= 9-(-16)
与实数 系中完 全平方 展开式 注：可用实数系中乘法相应公式进行运算 一样
= 1+2i-1 = 2i (是一个虚数)
= 25 (是一个实数)
6.共轭复数
定义：实部相等，虚部互为相反数的两 个复数叫做互为共轭复数。
记法：复数z=a+bi 的共轭复数记作
z
z = a-bi
口答：说出下列复数的共轭复数
⑴z=2+3i
⑵z= -6i ⑶ z= 3 (
z =2-3i ) ( z =6i ) ( z =3 )
注意：⑴当a=0时的共轭复数称为共轭虚数 (如上⑵) ⑵实数的共轭复数是它本身(如上⑶)
7.思考
若z1 , z2是共轭复数，那么 ⑵z1·2是一个怎样的数？ z
解：⑴作图
y
？
⑴在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？
y (a,b)
y
⑵令z1=a+bi,则z2=a-bi
(a,o)
x
(0,b) o
(0,-b)
o
x
x
则z1·2=(a+bi)(a-bi) z
=a2-abi+abi-bi2 =a2+b2
o
(a,-b)
z1=a+bi
z1=bi
z1=a
得出结论：在复平面内，共轭复 结论：任意两个互为共轭复 数z1 ,z2所对应的点关于实轴对称。 数的乘积是一个实数。
复数代数形式的四则运算 —乘除运算
一、知识回顾
复数的加/减运算法则：
(a bi ) (c di ) (a c) (b d )i
加法运算规律：对任意z1,z2,z3∈C.有
Ζ1 +Ζ2 =Ζ2 +Ζ1
(交换律)
（Ζ1 +Ζ） 3 =Ζ2 + Ζ1 +Ζ） 结合律） +Ζ （ （ 2 3
二、新课教学
1.复数乘法运算： 我们规定，复数乘法法则如下： 设z1=a+bi z2=c+di 是任意两个复数，那 么它们的乘积为： (a+bi)(c+di )= ac+adi+bci+bdi2 = ac+adi+bci-bd = (ac-bd)+(ad+bc)i
注意：两个复数的积是一个确定的复数