【数学】3.2.1《导数的概念》课件(北师大版选修1-1)

1 2 物体作自由落体运动,运动方程为 s 运动方程为： 例1 物体作自由落体运动 运动方程为： = 2 gt 其 2
解:
__
(1)将 Δt=0.1代入上式，得: 将 代入上式， 代入上式 __
1 ∆s v= = 2 g + g ( ∆t ) 2 ∆t
O s(2) s(2+∆t)
v = 2.05g = 20.5m / s.
如何求（比如， =2时的 瞬时速度？ 时的） 如何求（比如， t=2时的）瞬时速度？
趋近于0时 平均 当∆t趋近于 时,平均 趋近于 速度有什么变化趋势? 速度有什么变化趋势 通过列表看出平均速度的变化趋势
：
瞬时速度?
• 我们用
h(2 + ∆t ) − h(2) lim = −13.1 ∆t →0 ∆t
第三章 导数及其应用
3.2 导数的概念
• 在高台跳水运动中 平均速度不能反映他在 在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在 这段时间里运动状态， 这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描 述运动状态。 述运动状态。我们把物体在某一时刻的速 度称为瞬时速度 瞬时速度. 度称为瞬时速度
又如何求 瞬时速度呢?
表示 “当t=2, ∆t趋近于0时,平均速度趋于确定值 -13.1”. • 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?
h (t0 + ∆ t ) − h (t0 ) lim ∆t→ 0 ∆t
导数的定义:
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
应用：
移单位是m,时间单位是 时间单位是s,g=10m/s .求： 中位 移单位是 时间单位是 求 (1) 物体在时间区间 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度； 上的平均速度； 上的平均速度 (2) 物体在时间区间 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度； 上的平均速度； 上的平均速度 (3) 物体在 物体在t=2(s)时的瞬时速度 时的瞬时速度. 时的瞬时速度
它说明在第2（h)附近，原油 温度大约以3 0C/H的速度下降； 在第6（h)附近，原油温度大 约以5 0C/H的速度上升。
应用：
• 例3．质量为１０kg的物体，按照s(t)=3t2+t+4的 规律做直线运动， （１）求运动开始后４s时物体的瞬时速度；
1 2 （２）求运动开始后４s时物体的动能。 ( E = mv ) 2
x →0
t
x →0
t ) − s (t ) . t
• 1由导数的定义可得求导数的一般步骤： （1）求函数的增量∆y=f(x0+∆t)-f(x0)
(2)求平均变化率 （3）求极限 f ' ( x0 ) = lim
x →0
y x
y xLeabharlann 作业：应用：• 例2 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同 产品，需要对原由进行冷却和加热。如果第 x(h) 时，原由的温度（单位：0C）为 f(x)=x27x+15(0≤x≤8).计算第2（h) 和第6（h）时，原由 温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。
关键是求出：
f = x −3 x f 再求出lim x x →0
∆s
(2)将 Δt=0.01代入上式，得: 将 代入上式， 代入上式 __
( 3 )当 ∆ t → 0,2 + ∆ t → 2,
__
v = 2.005g = 20.05m / s.
的极限为： 从而平均速度 v 的极限为： __ ∆s v = lim v = lim = 2g = 20m / s. s ∆t →0 ∆t →0 ∆t 即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于 等于20(m/s). 即物体在时刻 的瞬时速度等于 当时间间隔Δ 逐渐变小时,平均速度就越接近 当时间间隔Δt 逐渐变小时 平均速度就越接近 t0=2(s) 时的瞬时速度 时的瞬时速度 瞬时速度v=20(m/s).
练习:
• 求函数y=3x2在x=1处的导数. 分析：先求∆f=∆y=f(１＋∆x)-f(１) =6∆x+(∆x)2
f 再求 = 6+ x x y 再求 lim =6 x→0 x
小结：
• 1求物体运动的瞬时速度： （1）求位移增量∆s=s(t+∆t)-s(t)
(2)求平均速度 v = s ; t s （3）求极限 lim = lim s(t +