抛物线中的内接三角形面积问题

抛物线中的内接三角形面积问题

抛物线与三角形是初中数学的两个支柱型图形，而它们有机的结合，则可以构建综合题和探究型的试题．特别是有关抛物线中的内接三角形面积问题更是成为各地中考的热点题型，求解时若能灵活运用二次函数、方程、三角形等知识，充分利用数形结合、分类讨论和待定系数法等方法，就能找到求解的最佳切入点．

例 （重庆市）已知：m n ，是方程2650x x -+=的两个实数根，且m n <，抛物线

2

y x bx c =-++的图像经过点(0)(0)A m B n ，，，．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设（1）中抛物线与x 轴的另一交点为C ，抛物线的顶点为D ，试求出点C 、D 的坐标和B C D △的面积．

[注：抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫

-- ⎪⎝⎭

，]． （3）P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH ⊥x 轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把

△PCH 分成面积之比为2∶3的两部分，请求出P 点的坐标．

解：（1）解方程2

650x x -+=，得1251x x ==，，由m n <，有15m n ==，，

所以点A 、B 的坐标分别为A （1，0），B （0，5）．

将A （1，0），B （0，5）的坐标分别代入2

y x bx c =-++，得105.

b c c -++=⎧⎨

=⎩，

解这个方程组，得45.

b c =-⎧⎨

=⎩，

所以，抛物线的解析式为2

45y x x =-+．

（2）由2

45y x x =--+，令0y =，得2

450x x --+=．

解这个方程，得15x =-，21x =

所以C 点的坐标为（－5，0）．由顶点坐标公式计算得点D （－2，9）． 过D 作x 轴的垂线交x 轴于M ． 则1279(52)2

2

D M C S =⨯⨯-=

△，

12(95)142

M

D

B O

S =⨯⨯+=梯形，125552

2B O C

S =⨯⨯=

△，

所以2725141522

B C D D M C B O C M D B O S S S S =+-=+

-=△△△梯形．

（3）设P 点的坐标为（a ，0），因为线段BC 过B ，C 两点，所以BC 所在的直线方程为5y x =+．

那么，PH 与直线BC 的交点坐标为(5)E a a +，．

PH 与抛物线245y x x =--+的交点坐标为2

(45)H a a a --+，．

由题意，得①EH EP =， 即2

3(45)(5)(5)2

a a a a --+-+=+．

解这个方程，得32

a =-或5a =-（舍去）．

②23

E H E P =

，即2

2(45)(5)(5)3

a a a a --+-+=

+．

解这个方程，得23

a =-

或5a =-（舍去）．

即P 点的坐标为3

02⎛⎫-

⎪⎝

⎭，或203⎛⎫

- ⎪⎝⎭

，． 说明：处理抛物线的内接三角形的面积问题还要能运用相关的知识来构造出与所求点的坐标相关的方程．要注意在设抛物线上的点的坐标时，应注意与函数表达式的联用，如本题

中(5)E a a +，和2

(45)H a a a --+，

，这样就可以简捷求解． 抛物线内三角形问题题型的覆盖面广，涉及知识点多，求解时既要求我们掌握有关抛物线的基础知识，又要求我们能够熟练地运用直角三角形、相似三角形等图形的性质，综合运

用点坐标与线段长的关系，利用方程、数形结合、转化归纳、分类等数学思想方法，才能顺利解决问题．