协方差与相关系数

2
4
这表示 Y与X无线性关系。 X与Y不相关。
但 P{ X 2,Y 1} 0 P{ X 2}P{Y 1} X与Y不 独 立 。 事实上， Y X2
例4 设 ~ [ , ]上的均匀分布, 且 X sin , Y cos ,
判断 X 与Y 是否相关，是否独立.


E ( g( X )) g( x ) f ( x )dx


数学期望的性质 性质1 E (c ) c
性质2 E( X c ) E ( X ) c 性质3 E ( kX ) kE( X ) 性质4 E (kX c ) kE( X ) c 性质5 E ( X Y ) E ( X ) E (Y )
为随机变量 X 和Y的相关系数 , 记作 XY 或 .
特别地，当 XY 0时，称X与Y不相关。
相关系数的性质
(1) 不相关与相互独立的关系 相互独立 不相关 (2) 不相关的充要条件 1o X , Y 不相关 ρXY 0; 2o X , Y 不相关 Cov( X ,Y ) 0; 3o X , Y 不相关 E ( XY ) E ( X ) E (Y ). (3) XY 1 XY 越接近1，Y与X线性相关程度越高；
4 x(1 x 2 ), f X ( x) 0,

求 cov( X , Y ).
0 x1 其它
1
4 y3 , 0 y 1 fY ( y ) 其它 0,
2
8 E ( X ) xf ( x )dx x 4 x(1 x )dx 0 15 1 4 3 E (Y ) yf ( y )dy y 4 y dy 0 5
D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2 cov(X ,Y ) 116 D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2 cov(X ,Y ) 32
2. 设( X ,Y )为二维随机变量， E ( X ) E (Y ) 0, E ( X 2 ) 9, E (Y 2 ) 16, XY 0.2, 求 cov( X ,Y ).
练习： P 89 : 4.20 求协方差。
E ( XY ) 0 cov(X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y )
0.95 0.15 0.1425
例2 设二维随机变量 ( X , Y )的密度函数为
8 xy, 0 x y 1, f ( x, y ) ＝ 其它 0,
7 E ( X ) E (Y ) , 6
4 E ( XY ) , 3
二、相关系数
协方差是对两个随机变量的协同变化的度量 , 但是其 受度量单位的影响。 例如 , KX与 KY之间的统计关系和 X与Y之间的统计关 2 系应该一样，但协方差却扩大了K 倍。
即 cov(kX , kY ) k 2 cov(X , Y ).
两点分布
二项分布
p
np
0 p1
泊松分布
均匀分布
0
ab θ0
μ, σ 0

θ
μ

θ
2
(a b) 2 (b a )2 12
指数分布
正态分布
σ2
练习：
7 .2 1.设随机变量X ~ B(6, p), 且E( X ) 2.4, 则E( X 2 ) ____
2.设X ~ P ( ), 且P{X 1} P{X 2}, 2 D( X ) ____ 2 . 则E ( X ) ____,
方差的性质
性质1
D( c ) 0
性质2 D( X c ) D( X ) 性质3 D(cX ) c D( X )
2
性质4
若X与Y相互独立，则 D( X Y ) D( X ) D(Y )
常见分布的期望与方差 分 布 参数
0 p1 n 1,
数学期望
方差
p(1 p ) np (1 p )
1 ( x y ), 0 x , y 2, 8 f ( x, y ) ＝ 0, 其它
( x 1) , f X ( x) 4 0, 0 x2 其它
求 cov( X , Y ).
1 cov( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y ) 36
例5 已知 X ~ N (1 , 9), Y ~ (0,16) , 且 XY
1 , 2
X Y 设Z , 求 D( Z )及 XZ . 3 2 分析: 已知条件没有告诉 X与 Y 独立，所以求 Z 的方差 必须先求出 X与 Y 的协方差。 解: cov( X ,Y ) D( X )D(Y ) XY 6 X Y D( Z ) D( ) 3 2 1 1 X Y D( X ) D(Y ) 2 cov( , ) 9 4 3 2 1 1 1 1 D( X ) D(Y ) 2 cov( X , Y ) 7 9 4 3 2
35 ___, 2
6.设X与Y相 互 独 立 ， 且 D( X ) 2, D(Y ) 1,
17 则D( 2 X 3Y ) ___
7.设 连 续 型 随 机 变 量 X的 分 布 函 数 为 ： x0 0 1 3 3 3 0 3 x dx . 4 F ( x) x 0 x 1, 则E ( X ) ________ 1 x1 8. 设 连 续 型 随 机 变 量 X的 密 度 函 数 为 ：
1 E( X ) 2 1 E(Y ) 2
cosd 0,


sind 0 ,

1 E ( XY ) 2



sin cosd 0 ,
E ( XY ) E ( X ) E (Y )
X与Y不相关. 但是 X 2 Y 2 1，所以 X与Y 不独立.
反之，若E{[ X E( X )][Y E(Y )]} 0, 则X与Y不独立。
这说明 E{[ X E ( X )][Y E (Y )]} 在一定程度上
反映了X与Y之间的关系。
设(X,Y)为二维随机变量， 若
E{[ X E ( X )][Y E (Y )]}
存在，则称其为随机变量 X和Y 的协方差. 记作 cov(X,Y), 即
XY 越接近0，Y与X线性相关程度越弱。
当 XY 1时，Y与X有严格的线性关系；
例3 设（ X ，Y ）的联合分布律为
Y 1
X
2
0 1
1
1 4 0
1
1 4 0
2
0 1
4 4 判断 X与Y的相关性和独立性。 5 E ( X ) 0, E(Y ) , E ( XY ) 0, XY 0
性质1 性质2 性质3 性质4
cov( X , aX b) ? aD( X )
例1 设二维随机变量 ( X , Y )的联合分布律为: 求 cov( X , Y ).
X
Y -1
0 1 2 0.1 0.3 0.15
0
0.2 0.05 0
2
0 0.1 0.1
解： E( X ) 0.95,
E(Y ) 0.15,
◆ 离散型随机变量 X 的方差
D( X )

i 1
源自文库

[ xi E ( X )]2 pi
◆ 连续型随机变量 X 的方差
D( X ) [ x E ( X )] f ( x )dx
2

由期望的性质，可得方 差的简便公式 D( X ) E( X 2 ) [ E( X )]2
E ( XY )



xyf ( x, y )dxdy
1
4 dx xy 8 xydy 0 9 x

1

cov(X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y )
4 32 9 75
4 225
练习： 设二维随机变量 ( X ,Y )的密度函数为
cov( X , Y ) E{[ X E ( X )][Y E (Y )]}
若( X , Y )是离散型，则 cov( X , Y )
[ x
i, j
i
E ( X )][ y j E (Y )] pij
若( X , Y )是连续型，则 cov( X , Y )


XZ
cov( X , Z ) D( X ) D( Z )
6

2 7 3 7 7
6
思考与练习：
求D( X Y )与D( X Y ). cov(X ,Y ) 21,
1. 设( X ,Y )为 二 维 随 机 变 量 ， D( X ) 49, D(Y ) 25, XY 0.6
华软软件学院课件
第16讲
协方差与相关系数
2、相关系数 3、数字特征复习
主要内容：1、协方差
重点：1-3 难点：2
1
一、协方差
对于多维随机变量，期望和方差只反映了各自的 平均值与偏离程度，并没有反映随机变量间的关系.
若X , Y相互独立，则 由方差性质的证明知， E{[ X E ( X )][Y E (Y )]} 0
3.设X ~ E(1),则E( X e 2 X )
4 ____ 3
1 D(Y ) __ 4 . 4.设X ~ N (0,1), 且Y 2 X 1, 则E(Y ) __,
5. 掷5颗骰子, 则其点数和X的期望E ( X ) 方差D( X )
175 _____ . 12

[ x E ( X )][ y E (Y )] f ( x, y )dxdy
此外，由期望的性质， 易得
cov( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y )
特别地，当X与Y相互独立时，有
cov(X , Y ) 0.
协方差的性质
cov( X , X ) D( X ) cov(X , Y ) cov(Y , X ) cov(aX , bY ) abcov(X , Y ) a, b, c为常数 cov( X , c ) 0 性质5 cov(X1 X 2 ,Y ) cov(X1 , Y ) cov(X 2 , Y ) 性质6 若X与Y相互独立, 则cov(X ,Y ) 0 性质7 D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2 cov( X , Y )
D ( X ) 9,
cov( X , Y ) 6,
D( Z ) 7,
X Y 又 cov( X , Z ) cov( X , ) 3 2 1 1 cov( X , X ) cov( X , Y ) 3 2 1 1 D( X ) cov( X , Y ) 3 2

D( X ) 9, D(Y ) 16,
cov(X ,Y ) XY D( X ) D(Y ) 2.4
课 后 作业
重点回顾 数学期望（均值）
E ( X ) xk pk
k 1
E ( g( X )) g( xk ) pk
k
E ( X ) x f ( x ) dx
推论
E( X1 X 2 X n ) E( X1 ) E( X 2 ) E( X n )
方差
定义 随机变量 X 离差的平方的数学 期望称为 X 的方差 , 记作 D( X ) 或 2 . 即 D( X ) E[ X E ( X )]2 .
方 差 的 算 术 平 方 根 D( X ) , 称 为 X 的 均 方 差 或标准差 .
X E( X ) Y E (Y ) * X , Y D( X ) D(Y )
*
为避免量纲的影响，取标准化随机变量
X E( X ) Y E (Y ) * X , Y D( X ) D(Y )
*
则cov(X * ,Y * )不再有量纲的影响。 定 义 设(X,Y)为 二 维 随 机 变 量 ， D(X ) 0, D(Y ) 0, 称 cov( X , Y ) * * XY cov( X , Y ) D( X ) D(Y )