7第七讲 现代投资理论：资本资产定价模型(CAPM)(讲义)

(0, R )
f
A
M’
σp
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可以由基金T和无风险资产组合而成。
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B.分离定理 9定理7-3[分离定理]：投资者对风险和收益的偏好状况与 该投资者风险资产组合的最优构成是无关的。 在齐性预期假设前提下，所有投资者，无论其风险偏 好如何，对最优风险资产组合的看法都是相同的，都会选 择相同的T点组合。而他们对风险的不同厌恶程度则可以 通过无风险资产和最优风险资产组合的搭配来满足，即由 射线AT与投资者的无差异曲线的切点决定。
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3.资产配置线[CAL]与资本市场线[CML]
假设风险资产或风险资产组合的预期收益率和方差分 别为ERr , σ r ；无风险资产的收益率为Rf，标准差为0。引入
2
ER p = Wr ERr + (1 − Wr )R f
σ p = Wrσ r
因此
ER p = R f +
ERr − R f
σr
σp
无风险资产后的投资组合的预期收益率和标准差分别为
由此可见，新的投资组合点一定落在由点A和该风险资 产或者风险资产组合点确定的线上，我们将其称为资产配置 线[capital allocation line，CAL][其实这一点我们在前面已经 详细论证了，我们只是没有明确界定资产配置线而已]。
解得：
* t1* = 1 .776 ; t 2 = 2 .408
σ M = 10.33% 因此切点坐标为(10.33%,8.46%)。连接无风险证券
A(0，4%)与切点坐标即可得到有效前沿：
进行标准化：
z1 = 0 .424 ; z 2 = 0 .576
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ER p = 0.04 + 0.4318σ p
2 p
取得极值的一阶条件为：
∂L = 2(w1σ 11 + w2σ 12 + L + wnσ 1n ) + λ (R f − ER1 ) = 0 ∂w1
2 minσ p =
∑∑ w w σ
i j i =1 j =1
n
n
ij
s.t. (1 − ∑ wi )R f + ∑ wi ERi = ER p
∂L = 2(w1σ 21 + w2σ 22 + L + wnσ 2 n ) + λ (R f − ER2 ) = 0 ∂w2 ∂L = 2(w1σ n1 + w2σ n 2 + L + wnσ nn ) + λ (R f − ERn ) = 0 ∂wn
wi 得到：
t1σ 11 + t 2σ 12 + L + t nσ 1n = ER1 − R f t1σ 21 + t2σ 22 + L + t nσ 2 n = ER2 − R f
λ
2
LL
LL
t1σ n1 + t 2σ n 2 + L + t nσ nn = ERn − R f
[*]
λ
令 ti =
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目的：找到最小方差集 目的：找到最小方差集
L = ∑ ∑ wi w jσ ij + λ ER p − (1 − ∑ wi )R f − ∑ wi ERi
n n i =1 j =1
[
]
我们假定对组合给定的预期收益率ERp，求wi (i=1, 2, 3, …, n)使组合的方差σ 最小，即求解如下规划问题。
均衡时，切点处投资组合中各证券的构成比例等于市 场组合[market portfolio]中各证券的构成比例。因此习惯上
2 0 0 0.4 ER = 0.6 V = 0 2 0 0 0 2 0.8
人们将切点处的组合叫市场组合，并用字母M代替T[以后 我们也遵守这一习惯]。 注:市场组合指由所有风险证券构成的组合，每一种风险 证券的构成比例等于该证券市值占所有证券市值的比重。
ERM = ∑ zi ERi = 42.4% × 6.10% + 57.6% ×10.20% = 8.46%
2 2 σ 2 = z12σ12 + 2z1 z2σ12 + z2 σ 2 = 0.01067
M
代入具体数据得到：
0 .64 t1 + 0 .4t 2 = 2 .1 0 .4t1 + 2 .28t 2 = 6 .2
2 wi*
例7-1：假设存在两种风险证券，它们的预期收益率和 风险分别是：
ER1 = 6.10%;σ 1 = 8% ER2 = 10.20%;σ 2 = 15.1%
zi =
∑t
t
* i
2
* i
=λ
wi*
* i
∑t
= λ 2
λ
∑ wi*
=
∑w
w
* i
* i
两种证券之间的斜方差σ12=0.4%。同时，假设无风险证 券A的收益率为4%，试求该无风险证券与两种风险证券的切 点组合与有效前沿。
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一、资本市场线[CML] 1.基本假设 CAPM理论的基本假设除了包括Markowitz资产组合理 论的基本假设外，还包括如下假设： 9投资者完全理性假设：即所有投资者都能遵循Markowitz 投资组合理论的基本原则进行资产的最优选择和投资组合 的优化；
这个方面的研究在1964年左右，由Markowitz的学生 Sharpe以及Mossin和Lintner等人分别独立地解决了。他们 在Markowitz研究基础上，提出了资本资产定价模型 [CAPM]，从而给出了在市场均衡的状态下，系统风险的 定价和任意资产或资产组合预期收益率的确定方法问题。
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思考：给定投资者的风险厌恶系数，投 思考：给定投资者的风险厌恶系数，投 资者最终的投资组合应该如何确定？ 资者最终的投资组合应该如何确定？
t1σ 11 + t 2σ 12 = ER1 − R f t1σ 21 + t 2σ 22 = ER2 − R f
于是切点组合应该是M=(42.4%,57.6%)。 因此，我们得到：
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思考：无风险资产 ““ 加 思考：无风险资产 加 浓 ”” 或者 ““ 稀释 ”” 组合风 浓 或者 稀释 组合风 险的机制何在？ 险的机制何在？
C.切点组合的求解：一种替代的方法 我们假设存在n种风险证券Si(i=1, 2, 3, …, n)，其预期 收益率分别为ERi(i=1, 2, 3, …, n)。 存在无风险证券A，其收益率为Rf，方差为0，从而该 证券与任意的风险证券或风险证券组合之间的斜方差也为 0。然后我们作A, S1, S2, … , Sn的一个风险证券组合p=(y, w1, w2, w3, …, wn)，其中，
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回忆：
ER p
II I T,M B
CML CAL
在数学上，该射线可以用无风险利率与市场组合的回 报率加以刻画[两点确定一条直线或将市场组合坐标代入
CAL公式即可]：
(0, R )
f
A
M’
ERp = Rf +
ERM − Rf
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2.引入无风险借贷和卖空假设后的投资组合有效前沿 A.图形 无风险资产由于其预期收益率在事先是基本确定的， 因此其风险接近于0。因此，在预期收益—风险的二维坐 标系中，无风险资产即是点(0,Rf)。
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图7-1
ER p
II I T B
定理7-1[有效前沿定理]：在引入无风险资产和卖空假设 后，有效组合边界MB就变成了图7-1中的射线AT。该射线 由无风险利率点A处向上延伸，与原有的有效前沿曲线相切 于点T，它是证券投资组合T与无风险借贷的组合。它包含 了所有风险证券投资组合T与无风险借贷的组合。 定理7-2[单基金定理，one-fund theorem]：存在一只由 风险资产组合而构成的基金T，使得任意的有效投资组合都
i f i i
LL
= ER p
建立拉氏函数得到：
L = ∑∑ wi w jσ ij + λ ER p − (1 − ∑ wi )R f − ∑ wi ERi
n n i =1 j =1
[
]
(1 − ∑ w )R + ∑ w ER
两端除以λ后，移项得到：
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2
λ
2
(w1σ 11 + w2σ 12 + L + wnσ 1n ) = ER1 − R f (w1σ 21 + w2σ 22 + L + wnσ 2 n ) = ER2 − R f (w1σ n1 + w2σ n 2 + L + wnσ nn ) = ERn − R f
σp
A
A
(0, R f )
B C
σp
条过点A且与有效边界相切的资本配置线就称为资本市场线
[capital market line，CML]。 资本市场线是所有投资者将市
场组合M与无风险资产A这两者相组合所生成的投资行为的 集合。
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a.无风险资产与风险资产的组合 b.无风险资产与风险资产组合的组合
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为什么？ 为什么？
例7-2：
思考：如果是四种、五种或者是更多呢？ 思考：如果是四种、五种或者是更多呢？
消极投资策略是有 消极投资策略是有 效的 效的
有三种可得资产的收益率和方差—协方差矩阵如下所 示。如果无风险利率为0.2。试求切点组合[最优风险资产组 合]及有效前沿方程。
D.市场组合
y+∑wi=1。因此，我们进一步将组合写作：
p = (1 − ∑ wi , w1 , w2 , L, wn )
该组合的预期收益率为：
ER p = (1 − ∑ wi )R f + ∑ (wi ERi )
组合的方差为：
σ2 p = ∑∑ (wi w jσ ij )
n n i =1 j =1
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9市场完全竞争假设：投资者的个人交易不能影响市场价 格。这意味着市场上有许多投资者，每个投资者的财富与 社会总财富相比，都是微不足道的。 9允许无限制卖空：投资者可以卖空任意数量的证券； 9市场存在一个无风险利率，所有的投资者都可以按照相 同的无风险利率无限制地进行资金的借入和贷出。 在上述假设与 Markowitz 理论的假设前提下的市场， 称为完全市场[complete market]。
ERp,σp，用Wr表示投入到风险资产组合的资金比重，则：
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回忆： 显然，不论投资者的风险—收益偏好程度如何，随着
ER p
B
ER p
D
(σ r , ERr )
CAL线围绕点A逆时针旋转，越在上方的CAL线上的点所代
表的投资组合能够给投资者带来的效用就越大。因此，在存 在无风险资产和允许卖空的情况下，最优投资组合点应在过 点A且与允许卖空的Markowitz有效边界相切的CAL线上，这
现代投资理论
之三：资本资产定价理论 张璟
首先，Markowitz的投资组合理论认为通过多样化或 分散化的投资行为可以有效地规避非系统风险。但在分析 中未能有效解决系统风险的定价问题。 其次，由Markowitz所创立的现代投资组合理论引发 的问题是：如果市场中的所有投资者都按照Markowitz的 E-V原则选择证券，进行投资组合，那么当市场均衡时， 任意资产或资产组合的均衡的预期收益率应为多少。
这样，整个投资过程，即通过资产选择形成投资组 合的过程就可以分为两个相互独立的投资决策过程—— 最优风险资产组合的确定和投资者对该组合与无风险资 产比例的确定。
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9推论7-1：[基金管理公司存在的理论基础] 综合定理7-1、定理7-2与定理7-3有： )由无风险证券与风险证券或风险证券组合所产生的 有效集或有效前沿是一条射线：它是连接无风险证券 A点和切点组合T的射线。该射线以及切点组合T对任 何投资者都是相同的，它与投资者的风险偏好状况无 关，它是独立于投资者的风险偏好状况而客观存在的。 对从事投资服务或资产管理业务的金融机构或金融中 介而言，不论其各个具体客户或投资者的风险—收益偏好 及风险厌恶程度如何，金融中介在设计投资组合的具体过 程中，他们只需要找到切点T所代表的有风险证券的投资 组合，再辅之以一定比例的无风险证券，那么就能为该中 介所有的客户或投资者都提供一个最佳的投资方案，而投 资者的风险—收益偏好就只需反映在组合中无风险证券所 占的比重上面。
2
λ
假设方差—斜方差矩阵为非奇异矩阵[排除了无风险 资产]，该方程组的系数行列式的值不为0，因此，该线性 非齐次方程组有且只有唯一解[Cramer法则]。我们不妨设 其唯一解为：
* * t = t1* , t 2 ,L, tn
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(
)
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令
zi =
于是得到：
ti* ∑ ti*