四川大学线性代数课件第三章第二节 初等矩阵和逆矩阵求法

另：利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可用于求矩阵 A1B. A1( A B) (E A1B)
即 (A B)
初等行变换
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E A1B
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例3：求矩阵 X ,使 AX B，其中
1 2 3
2 5
A 2 2 1, B 3 1.
3 4 3

0
1
0

0 0 1

2
1
2

0 0 1


1
2
2

0 1 0
1
12
c2 ( 110)

0
2


1
0
0 1 0 0.1 0.2 0.1
0
1
19 c1 c2 12 0
1
c3 c2 19
Ps L P2P1 A E, 等号两边右乘 A1,
(Ps L P2P1 )E A1
即， A, E 初等行变换 E，A1
又AA1 E , A Ps L P2P1 E,
E Ps L P2P1 A1,
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即，

相 当 于 在A的 左 边 乘 一 个 相 应 的m阶 初 等 矩 阵 ； 对A施 行 一 次 初 等 列 变 换 ，相 当 于 在A的 右 边 乘 一 个 相 应 的n阶 初 等 矩 阵 。
证明：
设A按行分块，对A施行倍加变换，将A的第j行 k倍加到第i行上，即
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A

1
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必要性： n 阶可逆矩阵
a11 a12 L
A

a21 M
a22 M
L O
an1 an2 L
a1n a2n
M ann
的行列式|A|0, 所以它的第一列元素不全为零. 不妨假设a110(如a11=0, 必存在ai10, 此时先把 第1行与第i行交换), 先将第一行乘1/a11, 再将变 换后的第一行乘(-ai1)加至第i行(i=2,3,...,n)得


1 1
2 0
3 c3 c1 3

1
0
0
1 2
0

c3 (1)
3

0
1
0

0
1
0

0 0 1
0 0 1
2 1 2
5 12 14

1
0
0

1 2 3

0
1
0

0 0 1
以数kC 0乘单位矩阵的第i行(ri k)，得初等 矩阵EP (i(kC)).
1 P(i(c))
1 c 1





第
i
行



1
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(3) 以数 k 0 乘某行（列）加到另一行（列）上， 得初等倍加矩阵。
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 (ri krj ) 或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j kci )，
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1 a12 L a1n
P1m L
P12
P11
A

0 M
a22 M
L O
a2 n

M
0 an1 L ann

1 0

A

B,
其中P11,P12,...,P1m是对A所作初等行变换所对应的 初等矩阵. 由于|A1|=|P1m...P12P11A|0, 故对B中 A1继续作如对A所作的初等变换, 直至把B化为主对


0
3
0.8
2


1.4
0
1.2
0 1 0 0.1 0.2 0.1
0
0
1

1.1
1.8 1.9
A-1
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注： 1. 求逆时,若用初等行变换必须坚持始 终,不能夹杂 任何列变换.（作列变换时也一样）
2. 若作初等行变换时,出现全行为0，则矩阵的行列式 等于0。结论：矩阵不可逆!
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2
用矩阵形式来表示此线性方程组：
a11

a21
M
a12 L a1n x1 b1
a22 L
a2n


x2



b2

M M M M M

am1
am 2
L
amn


xn


bm

令 A aij mn
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变 换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．
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因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数 进行运算，未知量并未参与运算．
若记
a11 a12 L a1n b1
B

(A
b)


a21
a22 L
a2n
b2

M M M M M
4 3
解： 若 A 可逆，则 X A1B.
方法1：先求出 A1，再计算 A1B 。 方法2：直接求 A1B 。
( A B)初等行变换 (E A1B)

am1
am 2
L
amn
bm

则对方程组的变换完全可以转换为
对矩阵B（方程组的增广矩阵）的行的变换．
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即，求解线性方程组实质上是对增广矩阵
施行3种初等运算：
统称为矩阵的初
等行变换，对矩
阵而言同样可以
(1) 对调矩阵的两行。
作列变换
(2) 用非零常数k乘矩阵的某一行的所有元素。
同理可定义矩阵的初等列变换 (把“r”换成
“c”)．
初等行、列变换统称初等变换。
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矩阵的等价
对矩阵A实行有限次初等变换得到矩阵B，则称矩
阵A与B等价，记作 A B.
等价矩阵具有自反性、对称性、传递性。 故是一种等价关系。即：
A A;
A BB A;
A B,BC AC
角元为1的上三角矩阵, 即
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1 a12 L

P2l L
P22 P21B


1L O

a1n
a2n


C.
M
1
再将C中第n,n-1,...,2行依次分别乘某些常数加到前 面的第n-1,n-2,...,1行, 就可使C化为单位矩阵, 即
P3k...P32P31C=I.
(3) 将矩阵的某一行所有元素乘以非零常数k后
加到另一行对应元素上。
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定义：下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j两行,记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素; 3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 记作ri krj）.

M
i

M


j

M
m
r i kr j

i

1
M
k j
M
j
M
m

1
1


P(i, j(k))A
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(1) 对调两行或两列，得初等对换矩阵。
对调 E 中第 i, j 两行，即(ri rj )，得初等方阵
1




1

0 1



第
i
行

1

P(i, j)





1


1 0
第 j 行

1



1
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(2) 以数 kC 0 乘某行或某列，得初等倍乘矩阵。
A E

初等列 变换
E A1

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1 2 3
例1：
设
A 2
2
1 ,求 A1.
3 4 3
1 2 3 1 0 0
解：
A
E



2
2
1
0
1
0
3 4 3 0 0 1
r2 2r1 r3 3r1
1 0 0
2 2 2
3 5 6
1 2 3
0 1 0
0 0 1
r1r2 r3 r2
能否
写成
“=”？
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21
1 0 2 1 1 0
1 0 0 1 3 2
0 0
2 0
5 1
2 1
1 1

0 1
r1 2 r3 r2 5r3

k
的 逆 变 换 为 ri

1， k
则 EP (i(k ))1 EP (i( 1 )); k
变换 ri krj 的逆变换为ri (k )rj，
则 EP (ij(k))1 PE(ij(k)) .
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2、设A是m n矩 阵 ， 对A施 行 一 次 初 等 行 变 换 ，
1 1 1
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例2：用初等列变换求可逆矩阵A的逆矩阵
2 3 4
A 5 2 1,

1
2
3
解：用初等列变换
求A1.
2 3 4
2 1 2




5 1 1 c2 c1 2 5 12 14 c2 (1)

EA

1 k 1


i




j




1


m

另两种情形同理可证
1



i

k
j



j



m

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用初等变换法求可逆矩阵的逆矩阵
定理2：A换为化可为逆单矩位阵矩的阵充E要. 条件是A可以经过若干次初等行变
综上就有
(P3k...P32P31)(P2l...P22P21)(P1m...P12P11)A=I
其中A左边的矩阵都是初等矩阵, 定理得证.
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推论1： 可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积
推论2：
如果对可逆矩阵 等行变换，那么当
A 和同阶单位矩阵 A 变成单位矩阵 E
E 作同样的初 时，E 就变成 A1。
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1 P(i, j(k))
1
k
1


第i行




第j行

1
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1、初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。
变换 ri rj 的逆变换是其本身， 则EP (i, j)1 EP(i, j) ；
变换
ri
0 0
2 0
0 1
3 1
6 1
5 1
1 0 0 1 3 2
r2 ( 2 ) r3 (1)
0
1
0
3
3
5


2
2
0 0 1 1 1 1
1 3 2

A1



3
3
5
.
2
2
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x1
x


x2

M

xn
பைடு நூலகம்
b1
b


b2

M

bm

Ax b 则，线性方程组可表示为
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3
如何解线性方程组？ 可以用高斯消元法求解。
始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换： （1）交换两个方程的次序； （2）以不等于０的数乘以某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的k倍．
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1
初等变换
什么是初等变换?为什么要对矩阵作初等变换？
我们来看线性方程组的一般形式：
a11 x1 a12 x 2 a1n xn b1

a
21
x1


a22 x2


a2n xn

b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
2 5
1 12
2 14
c1

c2

2

0 19
1 12
0 10
c1

c3
1 0 0 12 10 19

1
0
0

c3 c2 2
1
0
0
然后c3
c2
0
0
1

1 2 3
3 2 1
2 1 3
证明： 由定理，知 A : E ,即存在初等矩阵P1, P2 ,L , Ps
使得 Ps L P2P1 A E, 又因为初等矩阵可逆，所以等号两边左乘 Ps L P2P1 1
A Ps L P2P1 1 P11P21L Ps1
初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，充分性得证。
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初等矩阵
矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.
定义：由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵.
1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
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