四川大学线性代数课件第三章第二节 初等矩阵和逆矩阵求法
线性代数：初等变换法求逆矩阵(finalff3)
初等变换法求逆矩阵及 解矩阵方程
初等变换法求逆矩阵
线性代数
两个已知结论 1、n阶矩阵A可逆当且仅当A能够表示成若干初等 矩阵的乘积，即存在初等矩阵P1, P2, … , Pm使得
A= P1P2…Pm .
2、在矩阵A的左边乘以一个初等矩阵相当于对A进 行一次相应的初等行变换;
在A的右边乘以一个初等矩阵相当于对A进行一 次相应的初等列变换.
例 求矩阵X，使AX=B，其中
1 2 3
2 5
A
2
2
1
,
B
3
1
.
3 4 3
4 3
解 若A可逆，则X= A−1B.
1 2 3 2 5
(A
B)
2
2
1
3
1
3 4 3 4 3
3 2
X
2
3
.
1 3
1 0 0 3 2
0 0
1 0
0 1
2 1
3 3
小结
线性代数
1、初等变换求逆矩阵
(A E) 初等行变换 (E A−1 )
或
A
E
初等列变换
E
A1
2、初等变换求解矩阵方程
(1) A可逆，AX=B
X= A−1B
(A B) 初等行变换 (E A−1 B )
(2) A可逆， XA=C
X= CA−1
A 初等列变换 E
C
CA1
初等行变换法求逆矩阵
线性代数
若A可逆，则A−1可逆，因而A−1可以表示成若干初 等矩阵Q1, Q2, … , Qm 的乘积，即A−1= Q1Q2…Qm .
A可逆， A1 A E
线性代数3.2初等矩阵与求逆矩阵的初等变换法
1
1
1
1 A) 。 A
0
a2n
a n 2 a nn
0 0 1 0 0 0 1
【注】上面介绍的方法中，只能用行变换，不能用列变换。
16
例2 设
1 1 1 A 1 1 1 1 1 1
PP t t 1
1 P ( A , E ) ( E , A ) 1
1
15
或
初等行变换 ( A, E ) ( E, A1 )
即对矩阵 ( A, E ) 作初等行变换，当把
A 化为 E
时，
E 就化成了 A ( A
a11 a 21 a n1 a12 a 22 a1n
求 A 1 。 解
( A, E )
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 r r2 r1 +r3 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 2 2 0 2 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1
所以
A 1
1 2 1 2 0
1 2 0 1 2
0 1 2 1 2
18
同样地，也可以利用矩阵的初等列变换方法求矩阵的
逆矩阵。这时，对
2n n
An 阶矩阵 E 进行初等列变换， n
1
当上半子块化为 En 时，A可逆，且下半子块就是 A 。即
后得到的初等矩阵；
（2）用任意常数 k 0 去乘某行（或列）。Ei (k ) 表示单位
矩阵 第i行（列）乘非零常数k后得到的初等矩阵；
2
（3）以数
线性代数3.2初等矩阵与求逆矩阵的初等变换法
可经这同一系列初等行变换化为 A1。用分块矩阵形
式，两式可以合并为
Pt Pt1 L P1 ( A, E) (E, A1 )
或
( A, E) 初等行变换(E, A1)
即对矩阵 ( A, E) 作初等行变换，当把 A 化为 E 时，
E 就化成了 A1 ( A 1
初等矩阵。
1
O
Eij
0
0L M 1L
1 M 0
O
0 第i行 第j行
1
1
M
O
Ei
(k
)
0
M
0
1
M
O
0
Eij
(k
)
M
0 L M
0
k O
1 MO kL M 0L
0
0 第i行
1
1 MO 0
0 第i行 第j行
1
这样，初等矩阵共有三类： Eij , Ei (k ), Eij (k )。
1r3r2
0
1
1
3r2 r3
0
1
1
2r3 r1
1r3r2
0
1
0
0 3 2
0 0 1
0 0 1
0 0 1
E2 (1)E32 (1)E31 (2)E23 (3)E21 (2)E32 (1)E12 (2) AE13 E
A
E 1 12
(2)
E32
1
(1)
E 1 21
(2)
E 1 23
(3)
E 1 31
(2)
E 1 32
(1)
E2
1
《线性代数》课件-第3章 矩阵
§3.1 矩阵的运算（1）第三章矩阵矩阵的加法定义1111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b a b a b a b +++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦A B 设有两个 矩阵 和 n m ⨯[]ij a =A [],ij b =B 那么矩阵与 的和 A B 记作 规定为,+A B 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.（可加的条件）注矩阵的加法235178190, 645, 368321-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设矩阵矩阵则A B 213758169405336281+-++⎡⎤⎢⎥=+-++⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦3413755.689⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应元相加例1+A B矩阵的加法;+=+A B B A ()()++=++A B C A B C ；+=+=；A OO A A 矩阵加法的运算律 [],ij a =A 设矩阵 （交换律）（结合律）（加法单位元）(1)(2) (3) (4) 规定 [],ija -=-A 称之为 的负矩阵.A ()(),+-=-+=A A A A O ().-=+-A B A B （加法逆元）规定矩阵的减法为：+=+⇒=.A B A C B C (5) 加法消去律成立，即数量乘法111212122211[].n nij m n m m mn ka ka ka kaka ka k ka ka ka ka ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 规定数 k 与矩阵 A 的数量乘积为定义2数量乘法()();k l kl =A A ()k l k l +=+A A A ；()k k k +=+.A B A B 数量乘法的运算规律(1) (2)(3)矩阵的加法和数量乘法统称为矩阵的线性运算 .设为A , B 为矩阵，k, l 为数： m n ⨯矩阵的乘法（矩阵与矩阵相乘）定义3设 是一个 矩阵， m n ⨯[]ij a =A 记作 C =AB.[]ij b =B 是一个 矩阵， n s ⨯规定矩阵 与 的乘积是一个 的矩阵 A Bm s ⨯[],ij c =C 其中 11221nij i j i j in nj ikkjk c a b a b a b ab ==+++=∑()1,2,;1,2,,,i m j s ==矩阵的乘法1212[,,,]j j i i in nj b b a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1122i j i j in nj a b a b a b =+++1n ik kj ij k a b c ===∑行乘列法则可乘条件：左矩阵的列数=右矩阵的行数11211300514-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦设，A 034121.311121⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦B 例20311212113031051412⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦-⎣⎦C AB .⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦5-61022-17乘积矩阵的“型” ？ A m n ⨯B n s ⨯C m s⨯=1111⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦设，A 例300,00⎡⎤=⎢⎥⎣⎦AB 22,22⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦BA .BA AB ≠故1111-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，B 则矩阵的乘法（1）矩阵乘法一般不满足交换律； 若 ，则称矩阵 与是乘法可交换的. =AB BA A B 定义3=AB O ⇒;==或A O B O （2） ()≠-=若而A O A B C O，⇒=B C.注意：(),+=+A B C AB AC ();+=+B C A BA CA ()()()k k k ==AB A B A B （其中 k 为数）;n m ;m n m n m n ⨯⨯⨯==A E E A A 矩阵的乘法()();=AB C A BC 矩阵乘法的运算规律 (1) (2) (3) (4) （结合律） （左分配律）（右分配律）（乘法单位元）11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩，，，11121121222212n n m m mn n a a a x a a a x a a a x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111122121122221122n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ⎡⎤+++⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦12m b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦=AX =β⇔=（矩阵形式）AX β ==00（齐次线性方程当时组的矩阵形式），AX β .例4cos sin ,,sin cos OP ϕϕϕϕ-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设矩阵平面向量x A y cos ,sin ,x r y r θθ=⎧⎨=⎩于是x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A cos sin sin cos x y ϕϕϕϕ-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦cos()sin()r r θϕθϕ+⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦例5cos cos sin sin cos sin sin cos r r r r θϕθϕθϕθϕ-⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦,,OP r θ设的长度为幅角为则cos sin sin cos x y x y ϕϕϕϕ-⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦111x OP y ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦.OP ϕ这是把向量按逆（或顺）时针旋转角的旋转变换xyopp 1θϕ11cos sin ,sin cos .x x y y x y ϕϕϕϕ=-⎧⎨=+⎩（线性变换）小结（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算；（2） ≠=若而A O AB AC ，⇒;=B C 且矩阵相乘一般不满足交换律；（3）只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同； 可交换的典型例子：同阶对角阵；数量阵与任何同阶方阵. k n E ≠=若而A O BA CA ，⇒=B C.( 4 )§3.1 矩阵的运算（2）方阵的幂·矩阵多项式·迹第三章矩阵定义1注1A 设为阶方阵，为正整数n k ，A A AA∆=kk 个.A 为的次幂k 01,.A E A A ==规定n 称,AA A km k m +=m k mkA A =（），其中m , k 为非负整数.定义1注1A 设为阶方阵，为正整数n k ，A A AA∆=kk 个.A 为的次幂k 01,.A E A A ==规定n 称,AA A km k m +=m k mkA A =（），其中m , k 为非负整数.一般地， (),,.AB A B A B ⨯≠∈k k k n n注2 注3时，以下结论成立：AB BA =当 (1)();AB A B =kkk222(2)()2;A B A AB B +=++22(3)()();A B A B A B +-=-,,A B ⨯∈n n11(4)()C C .A B A AB AB B --+=+++++mmm k m kkmmm例1解 ,A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2121214=01010112.01A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦设求其中为正整数mm ,（）32141216,010101A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()122.01A ⎡⎤=≥⎢⎥⎣⎦mm m 由此归纳出方阵的幂112(1)1212,010101A A A --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦k k k k ()122.01A ⎡⎤=≥⎢⎥⎣⎦m m m 用数学归纳法证明当 时，显然成立.2=m 假设 时成立， 1=-m k 所以对于任意的m 都有=m k 则时，方阵的幂解法二 利用二项式定理122()m m m mA EB EC B=+=+202,.00⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B B O 其中=且这种方法适用于主对角元全相同的三角形矩阵求幂 2,=+A E B ,E B 显然与乘法可交换由二项式定理有2E B=+m 100212.010001m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦m1110()A A A A E --=++++m m m m n f a a a a 为方阵 A 的矩阵多项式.例如 2()524,f x x x =--12,11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 22524A A E --1412101116524211101811--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦定义2A ⨯∈设n n ，称()A =f：注f g g fA A A A()()()()运算性质 定义3设A 是n 阶方阵，称A 的主对角线上所有元素之和为方阵的迹(trace )，记为11221tr .A ==+++=∑nnn ii i a a a a (1) tr()tr tr ;A B A B ⨯⨯⨯⨯+=+n n n n n n n n (2) tr()tr();A A ⨯⨯=n n n n k k (3) tr()tr().A B B A ⨯⨯⨯⨯=m n n m n m m ntr()tr().A B B A ⨯⨯⨯⨯=m n n m n m m n设A , B 为 n 阶方阵， 求证.AB BA E -≠n tr()tr()tr()0,--AB BA =AB BA = 证明： tr()0,n n =≠E 故 . n -≠AB BA E 例2§3.1 矩阵的运算（3）矩阵的转置·方阵的行列式第三章矩阵例 123,458A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦T ;A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦142538叫做 的转置矩阵， m n A ⨯m n A ⨯把矩阵的行依次变为同序数的列得到的新矩阵， 定义1T A 记作. 思考 T A A 与的关系?⨯→⨯的变化型m n n m(1) : '(,)=元的变化ij ji i j a a (2) ：TA A 与的关系?矩阵的转置()()T T 1;=A A ()()T T T 2;+=+A B A B ()()T T 3;A A =k k 注 性质(2)和(4)可推广到有限个矩阵的情形()()T T T T12122;s s '+=+A A ++A A A ++A ()()T T T T 12114.s s s -'=A A A A A A ()()T T T 4.=AB B A (倒序)矩阵的转置与其它矩阵运算的关系若矩阵A 满足 A A =T ，()n ,,,j ,i a a ji ij 21==201035.157A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦例为对称阵如注：对称矩阵为方阵，元素以主对角线为对称轴 对应相等 .例1 (对称矩阵）则称 A 为对称矩阵 .注 对任意矩阵 A,和 均是对称矩阵. T A A T AA对称矩阵的数乘、和、乘积是否为对称矩阵？思考：练习1 对任意实矩阵 A, 若 则 . T A A =O ,A =O练习2 若实对称矩阵 A 满足 则 . 2A =O ,A =O 设A ，B 为同阶实对称矩阵，则AB 为实对称矩阵当且仅当AB =BA .若矩阵A 满足 A A =-T ，013105.350A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦例为反对称阵如注：反对称矩阵为方阵，且例2 (反对称矩阵）则称 A 为反对称矩阵 . 0-≠⎧=⎨=⎩ji ij a i j a i j证明任一 n 阶方阵 A 都可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和. 证明： ()T T A A +T A A =+()T T A A -T A A =-22T T A A A A A -++=证毕.例3所以 为对称矩阵.T A A +T ,A A =+T ()A A =-- 所以 为反对称矩阵. T A A -方阵的行列式设 A 与 B 都是数域 上的 n 阶方阵, 则()T1;A A =()3;AB A B =()2,;A A =∀∈n k k k 矩阵的运算与行列式的关系方阵的行列式n n n n n A O E B ⨯⨯-A B =n n nO AB E B ⨯=-2(1)n n E AB =--2(1)n n AB +=-.AB =证明： 22222A O E B ⨯⨯-111221221112212200001001a a a a b b b b =--12111111122122111221220001001a a b a b a a b b b b =--111112211112122221221112212200001001a b a b a b a b a a b b b b ++=--111112211112122221112221211222221112212200001001a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b ++++=--222O AB E B ⨯=-设 A 与 B 都是数域 上的 n 阶方阵, 则 ()T 1;A A =()3;AB A B =(可推广到有限个) 一般的， +.A B A B ≠+特别地 ,A A =mm ()2,;A A =∀∈n k k k 矩阵的运算与行列式的关系 其中m 为非负整数.24000200,00430034A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦设2.A 求k 22A A =k k2242443()(4(25))10.0234=⋅=⋅-=-k k k 解 例4证明奇数阶反对称矩阵的行列式为零.例5§3.2 初等矩阵第三章矩阵定义1elementary matrix 阶单位矩阵经过一次矩阵的初等变换所得到的矩阵称为阶即初等矩阵n n （），E B −−−−−→一次初等变换行或列为一个初等矩阵n 1,23100010010100.001001E B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦对换行为一个初等矩阵例如初等矩阵的类型及表示方法1[()],0E ≠初等倍乘矩阵n i k k ） .0E ≠即以数乘单位矩阵的第行(或第列).n k i i i i r c 11[()]11E E ⨯⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦kn n ki k k 或i ←第行初等矩阵的类型及表示方法2[()],0E +≠初等倍加矩阵n i j k k ） .0E ≠即将的某行元素的倍加到另一行(或列)上去.n k 11[())]11E E ++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i jj ir kr n n c kc k i j k 或←i 第行←j 第行[()]E >+n i j k i j 当时,为下三角 .初等矩阵的类型及表示方法3[,],E 初等对换矩阵n i j ） E n 即对调的某两行或某两列.11011[,]11011E E ↔↔⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i ji jr r n n c c i j 或i ←第行j ←第行11[()]11E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n i k k i ←第行1[()],0E ≠初等倍乘矩阵n i k k ） .2[()],0E +≠初等倍加矩阵n i j k k ） .11[())]11E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n k i j k ←i 第行←j 第行()i j <3[,],E 初等对换矩阵n i j ） 11011[,]11011E E ↔↔⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i ji jr r n n c c i j 或i ←第行j ←第行注初等矩阵的转置矩阵仍为同类型的初等阵.Ti k i k=1)[()][()];E En nT+=+i j k j i kE E2)[()][()];n nTi j i j=3)[,][,].E En n初等矩阵的应用揭示： 初等矩阵与矩阵的初等变换的关系.11121314212223243132333411⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦a a a a a a a a k a a a a 111213142122232313233434⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦k a a a a a a a a a ka ka ka 111213142122232431323334111a a a a a a a a k a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111214212221323343133234a a a a a a a a a ka ka a k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦()i k A i r k ⨯相当于以数乘的第行；111211212[()]E A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n m m m m i i in n a a a i k a ka ka a a a k i ←第行[()]E A 左以矩阵乘m i k ，[()]n E i k A 右乘而以矩阵，其结果结论: 相当于以数k 乘A 的第i 列 .()i c k ⨯。
线性代数-逆矩阵
=
6
2 0 0
0 4 0
0 1 0 −0 7 0
0 1 0
0 0 1
−1
=
6
1 0 0
0 3 0
0 −1
0 6
1 0 0−1 1 0 = 6 0 3 0 = 6 0 1 3
0 6 0 0 0 = 0 2 0.
0 0 6 0 0 1 6 0 0 1
1 0 0 0 0
0 2 0 0 0
证明 由A2 − A − 2E = 0,
A−1
得A(A − E ) = 2E ⇒ A A − E = E
2 ⇒ A A − E = 1 ⇒ A ≠ 0, 故A可逆.
2
∴ A−1 = 1 (A − E ).
2
又由A2 − A − 2E = 0
⇒ (A + 2E )(A − 3E ) + 4E = 0
1 5 − 11
123 1 2 3
解
A = 2 1 2= 0 −3 −4
133 0 1 0
12 3 = 0 − 3 − 4 = − 3 − 4 = 4≠ 0, 所以A可逆.
01 0 1 0
A11
=
1 3
2 = −3, 3
A12
=
−
2 1
2 = −4, 3
A13
=
2 1
1 = 5, 3
同理可求得 A21 = 3, A22 = 0, A23 = −1, A31 = 1, A32 = 4, A33 = −3.
1 1
−1 1
1 1 0X1
−1 1
1 4 0 = 0
2 −1
3 5
2 1 1 3 2 1 2 1 1
初等矩阵与逆矩阵的求法
阵。于是存在优先多个初等矩阵P1 Pr，Q1 Qt
使得 P1 Pr AQ1 Qt =E,从而
A=（ P1
Pr）-1E（Q1
Q
）-1
t
=Pr-1
P1-1 • Qt-1
Q1-1 .
推论1方阵A可逆旳充分必要条件是存在有 限个初等方阵 P1, P2 ,, Pl ,使A P1P2 Pl .
19
推论2 方阵A可逆旳充分必要条件是A可经过有限屡 次初等行变换化为单位阵E.
等 矩阵 P(i(k))
1
P(i(k))
1 k 1
第 i 行
1
6
(3)以数 k 0 乘某行(列)加到另一行(列)上去
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 (ri krj )
或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j kci )
得到初等矩阵 P(i, j(k))
20
5、利用初等行变换求逆阵旳措施：
当 A 0时，由 A P1P2 Pl，有
Pl1Pl11P11 A E, 及 Pl1Pl11P11E A1,
Pl1Pl11 P11 A , E Pl1Pl11 P11 A , Pl1Pl11 P11E E , A1
即对 n 2n 矩阵 ( A , E) 施行初等行变换 ,
P(i, j)1 P(i, j)
P(i(k ))1 P(i( 1 )) k
P(i, j(k))1 P(i, j(k))
9
初等矩阵旳应用
定理1 设 A 是一种 m n 矩阵 , 对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 旳 左边乘以相应旳 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换 , 相当于在 A 旳 右边乘以相应旳 n 阶初等矩阵.
线性代数课件-逆矩阵与矩阵的初等变换
0 1 A . 1 2
1
定理1 矩阵 A 可逆的充要条件是 A 0 ，且 1 1 A A, A
其中A为矩阵A的伴随矩阵.
证明 若 A 可逆，即有A1使AA 1 E .
故 A A1 E 1,
所以 A 0.
当 A 0时,
当 A 0时,
2a c 1, 2b d 0 , a 0, b 1,
又因为
a 0, b 1, c 1, d 2.
AB
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0 , 1 0 1 2 1 2 1 0 0 1
1 A 则矩阵 称为 A 的可逆矩阵或逆阵.
二、逆矩阵的概念和性质
定义
,使得
对于 n 阶矩阵 A ，如果有一个n 阶矩阵 B
AB BA E ,
1
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵.
A的逆矩阵记作 A .
例
1 1 1 2 1 2 , B , 设 A 1 1 1 2 1 2
对n阶单位矩阵E分别施行上述三种初等变换后，所 得之矩阵称为初等矩阵．相应的三种初等矩阵分别是
（1） 互换E的 i，j 两行(两列)所得之矩阵
（2） 用（ 0）乘E的第i行（列）所得之矩阵
将E的j行（i列）的倍加到i行（j列）上去（ i j）所得之矩阵 （3）
引理：对矩阵 A (aij )mn 施行某一初等行（列）变换，其结果等于对A左 （右）乘一个相应的m阶（n阶）初等矩阵。
例3
1 2 3 1 3 2 1 , C 2 0 , 设 A 2 2 1 , B 5 3 3 4 3 3 1
免费第3章课件 线性代数 矩阵的初等变换与线性方程组
广矩阵行相抵的矩阵中,找一个最简单的,然后求解 这个最简单的矩阵所对应的方程组.
以后我们把这个最简单的矩阵叫做(行)最简阶 梯形矩阵.
-9-
下面形状的矩阵称为(行)阶梯形矩阵 定义 …
1 1 2 0
0
2
1
2
0 0 0 1
0 0 0 0
O O
-15-
第三章
矩阵的初等变换与线性方程组的解
§3.1 矩阵的初等变换 §3.2 初等矩阵 §3.3 矩阵的秩 §3.4 线性方程组的解
§3.2 初等矩阵
矩阵初等变换前后两个矩阵之间的关系是 什么？
A B, 如何把它们用等号联系起来？
-17-
回顾 eiTA? Aje?
a11 A a21
a12 a22
a13 a23
r1r3
a31 a32 a33
a31 a32 a21 a22 a11 a12
a33 a23 B a13
B
e e
T 3 T 2
A
A
e e
T 3 T 2
A
0 0
0 1
1a11 0a21
a12 a22
a13 a23
e
T 1
A
e
T 1
1 0 0a31 a32 a33
把单位矩阵作同样变换得 到的矩阵放在A的左边！
4 1 4 2
4 1 4 2
这个矩阵所对应的方程组与原 方程组同解吗?逆变换是什么? 以后每一步都思考同样的问题.
-3-
1 1 2 1 2 1 2 4
r22r1 r34r1
1 0
1 3
线性代数课件第三章
定理 任何矩阵都可经过单纯的初等行变换化为行
最简形矩阵. 任何矩阵都可经过初等变换化为标准形矩 阵.
下面我们还是通过例子来说明该定理.
单击这里开始
从上面的例子可见, 任何矩阵经单纯的初等行变换 必能化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵, 但不一定能化 成标准形矩阵, 如果再使用初等列变换, 则一定能化成 标准形矩阵. 将矩阵化为行阶梯形矩阵的方法不是唯一 的, 所得结果也不唯一. 但一个矩阵的标准形是唯一的, 这反映了矩阵的另一个属性, 即矩阵的秩的概念.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第一节 矩阵的初等变换 第二节 矩阵的秩 第三节 线性方程组的解 知识要点 释疑解难 习题课
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
本章先引进矩阵的初等变换, 建立矩阵的秩的概念; 然后利用矩阵的秩讨论齐次线性方程组有非零解的充要 条件和非齐次线性方程组有解的充要条件, 并介绍用初 等变换解线性方程组的方法.
(i) 对调两行(对调 i, j 两行, 记作 ri rj ); (ii) 以数 k 0 乘某一行中的所有元素
(第 i 行乘 k , 记作 ri k ); (iii) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素 上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上,记作 ri + krj).
把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变 定义换. 的矩阵的初等行变换与初等列变换, 统称初等变换.
①
①-② ②-③
x2 x3 3, x4 3,
② ③
(B5)
0 0. ④
至此消元结束, 且得到 (1) 的同解方程组 (B5), (B5) 是方程组 (1) 的所有同解方程组中最简单的一个, 其中
线性代数3.2初等矩阵和求逆矩阵的初等变换法-文档资料
初等变换化为单位矩阵 E 。
所以，AE11E21 Et1。 若记 Ei1 Pi ，则 AP1P2 Pt 是初等矩阵的乘积。
（充分性）若存在初等矩阵P1, P2, , Pt，使 AP1 P2 Pt
因为P1, P2, , Pt 可逆，从而 P1 P2 Pt 可逆，所以 A
a in
a m n
第 i行 第 j行
其结果相当于对矩阵 A 施第一种初等行变换：
A 的第 i 行与第 j 行对调（ ri r j ）。类似地，
n 阶初等矩阵
E
i j 右乘 A
aij
，其结果相当于对
mn
矩阵 A 施第一种初等列变换：把 A 的第 i 列与第
j 列对调（ ci c j ）。
，则存在初等矩阵 P 使
BPA
若 A 可逆，则 PAB可逆；又若 B 可逆，则
P1B A 可逆。
由定理1，可得：
定理2 A 为 n 阶矩阵，则 A 可逆的充分必要条件是
A 只通过初等行（列）变换化为单位矩阵。
n 定理3 设 A 为 阶矩阵，则 A 可逆的充分必要条件是
存在有限个初等矩阵 P1, P2, , Pt 使 AP1P2 Pt 。
后得到的初等矩阵；
（2）用任意常数 k 0 去乘某行（或列）。E i ( k ) 表示单位
矩阵 第i行（列）乘非零常数k后得到的初等矩阵；
（3）以数 k 乘某行（或列）加到另一行（或列）上。
E ij ( k ) 表示单位矩阵第i行乘常数k加到第j行后得到的初等
i j 矩阵或表示单位矩阵第 列乘常数k加到第 列后得到的
矩阵的逆及其求法PPT课件
(A
E )
4
0
2
.
8 1 3
6 1 1
所以
(A
E )1
1 2
(A
E )
1 2
4 8
0 1
2
,
3
6 1 1 2 1 1 8 1
B
1 2
4 8
0 1
2
2
3 2
6 1
4
3
1 2
4 8
2 1
故
6
1 2
1
2
A B 4 7 3 .
2
3
11
2 2
1
2
.
充分发挥其作用，有必要对它进一步探讨。
定理3 A可逆 A 行 E Pm P2P1A E
Pm P2P1E A1 E 行 A1
求 A1方法 ：( A E) 行(E A1)
21
第21页/共36页
例7 求下列矩阵的逆
矩阵 1 0 1
1. A 2 1 0 3 2 5
解：
1 0 1 1 0 0
A A1 E 1 0 , 因此 A 0.
充分性．设 A 0, 由定理 2.1 知
AA A A A E.
故有 A( 1 A* ) ( 1 A* )A E .
A
A
9
第9页/共36页
由逆矩阵定义知，A 可逆，且其逆为
A1 1 A* . A
定理 2.2 不仅给出了判断矩阵可逆的方法， 还给出了求解逆矩阵的一种方法 .
2
第2页/共36页
一、逆矩阵的概念
定义1 设 A 为 n 阶方阵，如有 n 阶方阵 B ，使 AB = BA = E .
则称 A 为可逆阵，B 为 A 的逆阵，记作 B A1 .
四川大学线性代数教材第三章第二节
1 5 3 3
解：
1 3 1 2
1 3 1 2
A c1 c2 1
5
3
4
r2 (1)r1
0
8
4
6
0 2 1 1 r4 5r1 0 2 1 1
5 1 3 3
0 16 2 7
1 3 1 2
1 3 1 2
r2 r3 0 2 1 1 r3 4r2 0 2 1 1
0 8 4 6 r4 (8)r2 0 0 8 10
1 3 1 2 2 1 1
2 1 1
02 1
1 0
8
4 10 2 5 0 4 5 20
5
0 0 8 10 0 10 15
0 2 3
2 3
0 0 10 15
40
abcd
例 计 算 行 列 式A a
d
c
b .
cdab
c bad
解：将 第1行 的(1)倍 加 到 第2行 ，将 第3行 的(1)倍 加 到 第4行 ，
0 0 0 ab
另解：直接将第1行的(1)倍分别加到第2,3, , n行上，得到
a bb b a b b b b a b b ba ab 0 0 b b a b ba 0 ab 0 b b b a ba 0 0 ab
再将第2,3, , n列都加到第1列上，得到
即得到一个递推公式 Dn (a b)Dn1 b(a c)n1 (1)
由 于D1 a, 不 难 由(1)推 出Dn的 值 。 下面给出另外 一种求Dn的 方 法 ： 由行列式的转置与原行列式相等，
a bb b
c a b b
Dn DnT c c a b ,
c c c a 用与前面相同的计算可得 Dn (a c)Dn1 c(a b)n1 (2)
§3-3初等矩阵与逆矩阵
数 a，b
1 E
方阵 A，B
ab 1 , 则 b a 1 ba 1
AB E ，则 B A 1 BA E
1、可逆矩阵的定义
定义7 对于 n阶矩阵 A，如果有一个 n 阶矩阵 B，使
AB BA E，则称 A可逆， B为A的逆矩阵 , 记作 B A 1 .
对A 施行一次初等行变换,相当A左乘以相应的初等方阵;
对A施行一次初等列变换,相当A 右乘以相应的初等方阵。
1 a11 a12 a13 a11 a12 a13 kr2 E ( 2( k )) A k a 21 a 22 a 23 ka21 ka22 ka23 1 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 a11 a12 a13 1 a11 ka12 a13 kc 2 AE ( 2( k )) a 21 a 22 a 23 k a 21 ka22 a 23 a a 32 a 33 1 a 31 ka32 a 33 31
求 (1) E (1, 2) A, AE (1, 2); ( 2) E ( 2( k )) A, AE ( 2( k )); ( 3) E (1, 2( k )) A, AE (1, 2( k )).
解
0 1 0 a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 r r 2 1 E (1，) A 1 0 0 a 21 a 22 a 23 a11 a12 a13 2 0 0 1 a a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 31
a1 例4 n阶方阵 A
线性代数第三章 初等矩阵和矩阵的逆
a11 a12 a1n a j 1 a j 2 a jn ( ri ) p( i , j ) A a ai 2 ain ( r j ) i1 a am 2 amn m1 a11 a1 j a1i a1n a21 a2 j a2 i a2 n AEn ( i , j ) a amj ami amn m1 (c j ) (c )
P Pt P2 P1 , Q Q1Q2 Qm .
故B Pt P2 P1 AQ1Q2 Qm .由于初等矩阵 左（右）乘矩阵相当与对矩阵作初等行（列） 变换，故A可经过一系列初等变换变为B，即 : A与B等价。
三、初等矩阵的应用
| A | 0 A p1 p2 ps A1 ps 1 p2 1 p11 A
一、初等矩阵的概念
ET E P , P 就称为初等矩阵. 定义4 一次
相应的，三种初等变换对应着三种初等方阵. １、对调 1 0 1 ( ri ) 1 0 记作 p(i,j) ( r ) 1 0 0 1 j 1 (c j ) ( ci )
1
例
设
1 2 3 1 3 2 1 A 2 2 1 , B , C 2 0 , 5 3 3 4 3 3 1
求矩阵X使满足 AXB C .
1 2 3
1 0, 解 A 2 2 1 2 0, B 5 3 3 4 3
1 b12 0 1 B C 0 0 0 0 b1,n1 0 1 0 b1n 0 b ( i行 ) (1行 ) 1i n En i 2, 3,..., 0 1
线代课件-逆矩阵
則
A1
|
1 A|
A*
A*
A11 A12 A13
A21 A22 A23
A31 A32
A33
M11 M12
M21 M 22
M 31 M32
7 6
4 3
9
7
M13 M23 M33 3 2 4
| A | 0
方陣A可逆
此時，稱矩陣A 為非奇異矩陣
A1 1 A* | A|
定理: 方陣A可逆的充要條件是 | A | 0 ．
A B
A B 1
1
1
( AT )1 ( A1 )T
例 设A为3阶方阵，且 | A| 1 , 求 | 3A1 2A* |。 2
答案： | 3A1 2A* | 4A* 或 2A1 16
（矩陣方程的求解） 例： 書上P45 例8, 9
例 设 A可逆. 证明:( A* )1 ( A1 )* A 。 A
amn xn bm ：
线性方程组的向量表示
1x1 2 x2 n xn b 其中 j =（a1j ,a2 j , amj）T, j 1,2, , n
例：證明克蘭姆法則. （見書上P52）
3、分块对角矩阵
设
A
B O
O C
，其中
B,C
均为方阵，则：
（ⅰ） A B C
；
（ⅱ）
An
x2
b2
amn
xn
bm
：
a11 a12
其中
A
a21
a22
am1
am2
a1n
a2n
x1
，
x
x2
,
b1
b
b2
.
3_2初等矩阵和逆矩阵的求法
4 2 B1 2 9
2 r2 31 1 1 r 1 r3 21 0 2 2r 1 B1 3 2 0 5 1 r4 1 3r 3 0 3 9 6
r2 4 r3 r3 0 2r1 B2 r4 6 3r1 3
（1） 反身性 A A；
（2）对称性 若 A B , 则 B A; （3）传递性 若 A B, B C, 则 A C.
具有上述三条性质的关系称为等价． 例如，两个线性方程组同解，
就称这两个线性方程组等价
Page 4
引例 求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, x x 2 x x 4, 1 2 3 4 4 x1 6 x2 2 x3 2 x4 4, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9,
1 0 0 c5 4c1 3c2 3c3 0
c3 c4 c4 c1 c2
矩阵 F 称为矩阵 B 的标准形.
Page 12
特点：F的左上角是一个单位矩 阵，其余元素全
为零.
m n 矩阵 A 总可经过初等变换化为 标准形
Er O F O O mn 此标准形由m , n, r 三个数唯一确定，其中r 就是
把 A的第 j 行乘 k 加到第 i 行上 ( ri krj ).
Page 21
类似地，以 En ( ij ( k )) 右乘矩阵 A，其结果相当于 把 A 的第i列乘 k 加到第 j列上 (c j kci ).
AEn ( ij ( k )) a11 a1i a1 j ka1i a1n a21 a2 i a2 j ka2 i a2 n a ami amj kami amn m1
线性代数课件_第3章_矩阵的初等变换与线性方程组
-13-
定理 (等价标准形定理 等价标准形定理) 等价标准形定理 用初等变换必能将矩阵化为如下等价标准形 等价标准形（ 用初等变换必能将矩阵化为如下等价标准形（也称 相抵标准形）： 相抵标准形）：Er Fra bibliotek O O
等价标准形是唯一的。 等价标准形是唯一的。
-14-
例2
（接例1） 接例 ）
1 2 1 1 1 2 1 1 4 6 2 2 3 6 9 7
1 0 0 0
0 2 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0
1 2 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
-10-
只用初等行变换必能将矩阵化为阶梯形， 定理 只用初等行变换必能将矩阵化为阶梯形， 从而再化为最简阶梯形。阶梯形不唯一，最简阶梯形 从而再化为最简阶梯形。阶梯形不唯一， 唯一。 唯一。
-8-
在 m × n 的矩阵集合 R 中的一个等价关系? 中的一个等价关系
m×n
A r 中, 如果
B ,
具有行相抵的关系,问行相抵是不是 行相抵的关系 则称 A 与 B 具有行相抵的关系 问行相抵是不是 R m × n
Gauss消元法的思想又可表述为 在与方程组增 消元法的思想又可表述为, 消元法的思想又可表述为 广矩阵行相抵的矩阵中,找一个最简单的 找一个最简单的,然后求解 广矩阵行相抵的矩阵中,找一个最简单的,然后求解 这个最简单的矩阵所对应的方程组. 这个最简单的矩阵所对应的方程组 以后我们把这个最简单的矩阵叫做(行 最简阶 以后我们把这个最简单的矩阵叫做 行)最简阶 梯形矩阵. 梯形矩阵
a11 = a 21 a 31
a12
a 22 a 32
a13 1 0 0 a 23 0 1 0 a 33 0 0 k
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即 (A B)
初等行变换
2020/3/4
E A1B
25
例3：求矩阵 X ,使 AX B，其中
1 2 3
2 5
A 2 2 1, B 3 1.
3 4 3
0
1
0
0 0 1
2
1
2
0 0 1
1
2
2
0 1 0
1
12
c2 ( 110)
0
2
1
0
0 1 0 0.1 0.2 0.1
0
1
19 c1 c2 12 0
1
c3 c2 19
Ps L P2P1 A E, 等号两边右乘 A1,
(Ps L P2P1 )E A1
即， A, E 初等行变换 E，A1
又AA1 E , A Ps L P2P1 E,
E Ps L P2P1 A1,
2020/3/4
即，
相 当 于 在A的 左 边 乘 一 个 相 应 的m阶 初 等 矩 阵 ； 对A施 行 一 次 初 等 列 变 换 ，相 当 于 在A的 右 边 乘 一 个 相 应 的n阶 初 等 矩 阵 。
证明：
设A按行分块，对A施行倍加变换，将A的第j行 k倍加到第i行上，即
2020/3/4
14
A
1
2020/3/4
16
必要性： n 阶可逆矩阵
a11 a12 L
A
a21 M
a22 M
L O
an1 an2 L
a1n a2n
M ann
的行列式|A|0, 所以它的第一列元素不全为零. 不妨假设a110(如a11=0, 必存在ai10, 此时先把 第1行与第i行交换), 先将第一行乘1/a11, 再将变 换后的第一行乘(-ai1)加至第i行(i=2,3,...,n)得
1 1
2 0
3 c3 c1 3
1
0
0
1 2
0
c3 (1)
3
0
1
0
0
1
0
0 0 1
0 0 1
2 1 2
5 12 14
1
0
0
1 2 3
0
1
0
0 0 1
以数kC 0乘单位矩阵的第i行(ri k)，得初等 矩阵EP (i(kC)).
1 P(i(c))
1 c 1
第
i
行
1
2020/3/4
11
(3) 以数 k 0 乘某行（列）加到另一行（列）上， 得初等倍加矩阵。
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 (ri krj ) 或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j kci )，
2020/3/4
17
1 a12 L a1n
P1m L
P12
P11
A
0 M
a22 M
L O
a2 n
M
0 an1 L ann
1 0
A
B,
其中P11,P12,...,P1m是对A所作初等行变换所对应的 初等矩阵. 由于|A1|=|P1m...P12P11A|0, 故对B中 A1继续作如对A所作的初等变换, 直至把B化为主对
0
3
0.8
2
1.4
0
1.2
0 1 0 0.1 0.2 0.1
0
0
1
1.1
1.8 1.9
A-1
2020/3/4
24
注： 1. 求逆时,若用初等行变换必须坚持始 终,不能夹杂 任何列变换.（作列变换时也一样）
2. 若作初等行变换时,出现全行为0，则矩阵的行列式 等于0。结论：矩阵不可逆!
2020/3/4
2
用矩阵形式来表示此线性方程组：
a11
a21
M
a12 L a1n x1 b1
a22 L
a2n
x2
b2
M M M M M
am1
am 2
L
amn
xn
bm
令 A aij mn
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变 换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．
2020/3/4
4
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数 进行运算，未知量并未参与运算．
若记
a11 a12 L a1n b1
B
(A
b)
a21
a22 L
a2n
b2
M M M M M
4 3
解： 若 A 可逆，则 X A1B.
方法1：先求出 A1，再计算 A1B 。 方法2：直接求 A1B 。
( A B)初等行变换 (E A1B)
am1
am 2
L
amn
bm
则对方程组的变换完全可以转换为
对矩阵B（方程组的增广矩阵）的行的变换．
2020/3/4
5
即，求解线性方程组实质上是对增广矩阵
施行3种初等运算：
统称为矩阵的初
等行变换，对矩
阵而言同样可以
(1) 对调矩阵的两行。
作列变换
(2) 用非零常数k乘矩阵的某一行的所有元素。
同理可定义矩阵的初等列变换 (把“r”换成
“c”)．
初等行、列变换统称初等变换。
2020/3/4
7
矩阵的等价
对矩阵A实行有限次初等变换得到矩阵B，则称矩
阵A与B等价，记作 A B.
等价矩阵具有自反性、对称性、传递性。 故是一种等价关系。即：
A A;
A BB A;
A B,BC AC
角元为1的上三角矩阵, 即
2020/3/4
18
1 a12 L
P2l L
P22 P21B
1L O
a1n
a2n
C.
M
1
再将C中第n,n-1,...,2行依次分别乘某些常数加到前 面的第n-1,n-2,...,1行, 就可使C化为单位矩阵, 即
P3k...P32P31C=I.
(3) 将矩阵的某一行所有元素乘以非零常数k后
加到另一行对应元素上。
2020/3/4
6
定义：下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j两行,记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素; 3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 记作ri krj）.
M
i
M
j
M
m
r i kr j
i
1
M
k j
M
j
M
m
1
1
P(i, j(k))A
9
(1) 对调两行或两列，得初等对换矩阵。
对调 E 中第 i, j 两行，即(ri rj )，得初等方阵
1
1
0 1
第
i
行
1
P(i, j)
1
1 0
第 j 行
1
1
2020/3/4
10
(2) 以数 kC 0 乘某行或某列，得初等倍乘矩阵。
A E
初等列 变换
E A1
20
1 2 3
例1：
设
A 2
2
1 ,求 A1.
3 4 3
1 2 3 1 0 0
解：
A
E
2
2
1
0
1
0
3 4 3 0 0 1
r2 2r1 r3 3r1
1 0 0
2 2 2
3 5 6
1 2 3
0 1 0
0 0 1
r1r2 r3 r2
能否
写成
“=”？
2020/3/4
21
1 0 2 1 1 0
1 0 0 1 3 2
0 0
2 0
5 1
2 1
1 1
0 1
r1 2 r3 r2 5r3
k
的 逆 变 换 为 ri
1， k
则 EP (i(k ))1 EP (i( 1 )); k
变换 ri krj 的逆变换为ri (k )rj，
则 EP (ij(k))1 PE(ij(k)) .