数理统计单元自测题(五)

《数理统计B 》单元自测题（五）

一、填空题

1）设12,,,,n X X X ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或

～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意

的n ，都精确有X ～

或～ .

2）设12,,,,n X X X ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=，2

i D X σ=(1,2,)i =⋅⋅⋅

那么

2

1

1

n

i i X n

=∑依概率收敛于 .

3）设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的样本，令221234()(),Y X X X X =++- 则当C = 时C Y ～2(2)χ。

4）设容量n = 10 的样本的观察值为（8，7，6，9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，

样本方差=

5）设X 1,X 2,…X n 为来自正态总体2

(,)N μσ

X 的一个简单随机样本，则样本均值

1

1

n

i i n

=X =

X ∑服从

二、选择题

1）设X ～2(,)N μσ其中μ已知，2σ未知，123,,X X X 样本，则下列选项中不是统计量 的是

A ）123X X X ++

B ）123m ax{,,}X X X

C ）2

3

2

1

i

i X σ

=∑

D ）1X μ-

2）设X ～(1,)p β 12,,,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自X 的样本，那么下列选项中不正确的是 A ）当n 充分大时，近似有X ～(1),

p p N p n -⎛

⎫

⎪⎝⎭

B ）{}(1),k k n k

n P X k C p p -==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅

C ）{}(1)

,k

k

n k

n k P X C p p n

-=

=-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅

D ）{}(1),1k k n k

i n P X k C p p i n -==-≤≤

3）若X ～()t n 那么2

χ～

A ）(1,)F n

B ）(,1)F n

C ）2

()n χ D ）()t n

4）设n X X X ,,21为来自正态总体),(2

σμN 简单随机样本，X 是样本均值，记

2

1

21

)(1

1

X X n S

n

i i

--=

∑=，2

1

22

)(1

X X n

S

n

i i

-=

∑=，2

1

23

)(1

1

μ--=

∑=n

i i

X n S

，

22

4

1

1

()n

i

i S X n

μ==

-∑，则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是

A) 1

/

1--=

n S X t μ B) 1

/

2--=

n S X t μ C) n

S X t /

3μ-=

D) n

S X t /

4μ-=

5）设X 1,X 2,…X n ，X n+1, …,X n+m 是来自正态总体2(0,)N σ的容量为n+m 的样本，则统计量

2

12

1

n

i

i n m

i

i n m V n

=+=+X =

X ∑∑

服从的分布是 A) (,)F m n B) (1,1)F n m -- C) (,)F n m D) (1,1)F m n -- 三、解答题

1）设供电网有1000盏电灯，夜晚每盏电灯开灯的概率均为0.7，并且彼此开闭与否相互独立，试用切比雪夫不等式和中心极限定理分别估算夜晚同时开灯数在6800到7200之间的概率。 2）一系统是由n 个相互独立起作用的部件组成，每个部件正常工作的概率为0.9，且必须至少由 80%的部件正常工作，系统才能正常工作，问n 至少为多大时，才能使系统正常工作的概率不低于 0.95？

3）甲乙两电影院在竞争1000名观众，假设每位观众在选择时随机的，且彼此相互独立，问甲至少应设多少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于1%。

4）设总体X 服从正态分布，又设X 与2S 分别为样本均值和样本方差，又设2

1(,)n X N μσ+ ，

且1n X +与12,,,n X X X ⋅⋅⋅相互独立，求统计量

的分布。

5) 在天平上重复称量一重为α的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布

2

(,0.2)N α，若以n X 表示n 次称量结果的算术平均值，为使()

0.10.95n

P

X

a -<≥成立，

求n 的最小值应不小于的自然数？ 四、证明题

设 12,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自总体X 的简单样本，()(1,2,3,4)i i E X a i ==存在2

42(0)a a ->，

证明当n 充分大时，

2

1

i X n

∑近似服从正态分布。