流体运动学II

w y

（11）
刚体转动角速度
• 流体微团的刚体转动角速度在某方向的投影，可 用垂直于该方向的平面上两条正交流体线的平均 角速度来计算，
OC
y

lim
t
1
t

u z
（12）

OB
y
lim 2
t t
w x
（13）


xz
（8）
• 对于OC，
COM COM 1

1 2

1


2

（9）
• 式（9）与（7）完全相同，因而角变形速 率也相等。
• 同理，
xy

yx

1
2

u y

v x

（10）
yz

zy

1 2

v z
Ñ P0 P0
V dr
P0B1PB2P0




V


（单连通域要求）
ndA
A
0
• 上式说明：在单连通域中不可能存在封闭流线。
Ñ V dr 0 V dr V dr
P0B1PB2P0
P0B1P
PB2P0
V dr V dr
y

1 2

u z

w x

（14）
• 同理，
z

1 2

v x

u y

（15）
x

1 2

w y

v z

（16）
• （14）-（16）统一写为矢量形式，
ω 1 V （17） 2
• 思考：在前面公式推导过程中， 角度以顺时针为正？
角变形速率
• 角变形速率：过任意点作正交微元流体面，每个面上任作 两条过Ｏ点的正交流体线，在时间间隔 t 前后有两条相
应的角平分线，则每条流体线与这两条角平分线的夹角的 减小值对时间的导数称为该平面上的角变形速率。
• 由图形几何关系，


1 2
1

2

（4）
1

tan
1

u j 44x3i
dx j
symmetric tensor
anisymmetric tensor
ijdx j ij dx j
反对称张量
ij

1 2
u j xi

ui x j

, ji

ij
• 对偶矢量（dual vector），
k
海姆霍兹（Helmholtz）速度分解
• 在点 M0 处，速度场可表示为，
u(x, y, z,t), v(x, y, z,t), w(x, y, z,t)
• 在领域一点 M1 处，速度场可表示为，
u(x x, y y, z z,t) v(x x, y y, z z,t) w(x x, y y, z z,t)
• 以x方向速度为例，由泰勒级数得，
u(x x, y y, z z,t)
u(x, y, z,t) u x u y u z （18）
x y z
•
将上式加、减两项，1
2

v x

y,
1 2

w x

z,
u(x x, y y, z z,t)
V , u , v , w
x y
z
• 只要满足无旋条件，必有速度势存在，而不论流体是 否可压缩，也不论是定常流动还是不定常流动。
速度势与环量
• 在无旋流动中，无限接近的相邻两点的速度势之 差为，
d dr V dr
• 其中，B1, B2表示在某一时刻t，连接无旋流场中的 两点P0(x0, y0, z0)和P(x, y, z)的任意两条曲线，A是以 封闭曲线P0B1PB2P0为边界的开口曲面。如果沿着 P0B1PB2P0积分，可以得到同一点上势函数的差值，
流体微团的运动形式与速度分解定理
• 流体微团在运动过程中，将发生刚体运动 （平动和转动）与变形运动（线变形和角 变形运动）。
• 例如，一个正六面体， 经过 t 时间后，会 变成斜六面体。
线变形速率
• 线变形速率：单位时间内流体微元线的相 对伸长。
• X方向OB绝对伸长，ux xt
• OB相对伸长，ux t
就是涡管的涡通量守恒定理。
• 证明：
Ò
Ω ndA Ωd 0

A1

A2

A

ÒA Ω ndA 0 （涡管表面）
乙 Ω ndA Ω ndA
A1
A2
速度环量
• 定义：在速度场中沿封闭周线的线积分 Ñ V dl 称 l 为绕该周线的速度环量，记为 l 。
涡管。涡面上，Ω n 0，正如流面上，V n 0。
• 给定空间曲面，则面积分 I Ω ndA 称为涡通量。
A
n 是曲面A的外法线单位向量，I 0 称为流出曲面
的涡通量，I 0称为流入曲面的涡通量。
涡通量守恒定理
• 给定瞬时，流入涡管的涡通
量等于流出涡管的涡通量，这
• 定理：速度环量等于张在封闭周线上任意曲面的
涡通量，其中曲面的法向量 n 由右手法则确定。
• 证明：
Ñ V dl V ndA Ω ndA
l
A
A
无旋流动的一般性质
• 定义：任意时刻，在流场中速度旋度量处处为0，即
处处满足V 0 的流动。
• 速度有势：无旋必然有势，有势必须无旋。无旋条件 是速度有势的充分和必要条件。无旋流场又叫有势流 场或简称位势流。
• OB相对伸长率，ux xx
• Y方向OG相对伸长率，yv yy
•
Z方向OC相对伸长率，w
z


zz
• 体积膨胀率：单位时间内流体微元体积的 相对变化，

1
u x

x

1
v y

y

1

w z

z

xyz
式中，k为常数（k不等于0），请判别： （1）是否是定常流场； （2）是否是不可压流场； （3）是否是有旋流场。

1 2

kij ij
• 对偶张量（dual tensor），
ij ijk k
dui ijdx j ijdx j
ijdx j ijkk dx j
ijdx j ikj k dx j
E dx ω dx
i
i
• 思考：如果定义如下反对称张量，则对速 度分解的表达式有何不同？
• 涡量场的散度为0，
Ω = V 0
涡线
• 涡线是这样一条曲线，曲 线上任意一点的切线方向 与在该点的流体的涡量方
向一致。因为 Ω 2ω ，
所以涡线也可看作流体微 团的瞬时转动轴线。涡线 是对同一时刻而言的，不 同时刻涡线可能不同。
涡线方程
• 根据涡线定义，
Ω dr = 0 （ dr 为涡线切线方向的向量）
有旋与无旋运动
• 流体质点的涡量定义为，
i jk
Ω = V = rotV = Hale Waihona Puke x y = 2ω z
（25）
u vw
• 涡量表示流体质点绕自身轴旋转角速度的2 倍。并由涡量是否为零，定义无旋流动与 有旋运动。
有旋流动的一般性质
• 有旋流动又叫旋涡运动，它是流体运动的 一种重要类型。流动究竟是有旋还是无旋， 是根据流体微团本身是否旋转来决定的， 而不是根据流体微团的轨迹形状来决定的。
• 亥姆霍兹速度分解定理对于流体力学的发 展有深远的影响，正是由于把旋转运动从 一般运动中分离出来，才使我们有可能把 运动分成无旋运动和有旋运动，从而可对 它们分别进行研究；也正是由于把流体的 变形运动从一般运动中分离出来，才使我 们有可能将流体变形速率与流体的应力联 系起来，这对于粘性规律的研究有重大的 影响。
u(x x, y y, z z,t)
u(x, y, z,t) yz zy xxx xyy xzz
（20）
• 同理，
v(x x, y y, z z,t)
v(x, y, z,t) zx xz yxx yyy yzz

u(
x,
y,
z,
t)

u x
x

1 2

v x

u y

y

1 2

w x

u z

z

1 2

v x

u y

y

1 2

u z

w x

z
（19）
• 根据前面线变形速率、角变形速率，及刚 体转动角速度公式，上式可简写为，
• 其中，第一项表示流体微元的平动速度， 第二项表示微元转动引起的速度，第三项 表示微元变形引起的速度。
速度分解的泰勒展开法
• 领域两点的速度差，
dui

ui x j
dx j

1 2 1
44xu2ij
u j 44x3i
dx j