2015年中考中的数学思想方法---分类讨论思想(方法指导及例题解析)
初中数学思想方法之分类讨论
初中数学思想方法之分类讨论数学是一门既抽象又具体的学科,它需要学生具备一定的思维方法和思想能力。
在初中数学中,分类讨论是一种常用的思想方法,它可以帮助学生分析问题、归纳规律并解决问题。
本文将详细介绍初中数学中分类讨论的基本思想和具体步骤,并通过例题来说明如何运用这种方法。
一、分类讨论的基本思想分类讨论是指将问题进行细化,将其分解成几个易于分析和解决的小问题,并分别进行讨论和解决。
通过这种方法可以更好地理解问题的本质,找到解题的关键点,并最终得到问题的解决办法。
分类讨论的基本思想包括以下几点:1.具体问题具体分析。
将问题进行细化后,每个小问题都有其独特的特点和解决思路,需要根据具体情况展开分析。
2.归纳总结。
在分析过程中,要总结出各个小问题之间的共同点和规律,以便更好地理解问题,并找到解决办法。
3.统一思考。
将各个小问题的解决办法进行归纳和整合,形成对大问题的解决思路。
二、分类讨论的具体步骤分类讨论的具体步骤可以简单概括为以下几点:1.理解问题。
仔细阅读题目,了解问题的背景和要求,确定需要解决的具体问题。
2.分析问题。
将大问题分解成几个小问题,每个小问题都有明确的目标和限制条件。
在分析过程中,可以通过画图、列举数据等方式进行辅助分析。
3.解决小问题。
按照特定的思路和方法,分别解决各个小问题。
在解决过程中,可以运用已经学过的数学知识、规律和公式。
4.总结归纳。
在解决小问题的过程中,要总结各个小问题之间的共同点和规律,归纳出解决大问题的关键思路和方法。
5.整合答案。
将各个小问题的解答整合成对大问题的解答。
在整合过程中,要仔细检查各个小问题的解答是否符合大问题的要求,并进行必要的修正和调整。
三、分类讨论的具体例题下面以一些常见的初中数学题目为例,说明如何运用分类讨论的方法解决问题。
例题1:现有一些白球和红球,共18个。
白球的个数不超过红球的个数。
问,最少有多少个红球?解题思路:根据题目要求和条件,可以将问题进行分类讨论。
2015年广西中考数学总复习课件第36课时 数学思想方法(共61张PPT)
过程中往往会把函数问题转化为方程(不等式)来解决.
第36课时
数学思想方法
(5) 分类讨论思想:数学中许多问题题设交代笼统,或题意
复杂,包含多种情况,往往需要分类讨论,在解决这种问题时,
要认真审题,全面考虑,根据其数量差异与位置逐一讨论,做到 不重不漏、条理清晰.
第36课时
数学思想方法
┃考向互动探究┃
►图Z-36-1,在直角坐标系中,O是原
点,已知A(4,3),P是坐标轴上的一点,若以O,A,P三点组成
的三角形为等腰三角形,则满足条件的点P共有________ 个,写 8 出其中一个点P的坐标是________ (5,0) .
图Z-36-1 第36课时 数学思想方法
从而使复杂问题简单化、抽象问题具体化.如利用数轴研究实数 和不等式(组)的解集;利用图形的剪拼验证整式的一些性质,利 用函数的图象研究函数的性质等.
第36课时
数学思想方法
(2) 整体思想:把研究对象的某一部分 (或全部 )看成一个整
体,通过观察与分析,找出整体与局部的联系,从而在客观上寻
求解决问题的新途径.整体是与局部对应的,按常规不容易求某 一个(或多个)未知量时,可打破常规,根据题目的结构特征,把 一组数或一个代数式看作一个整体,从而使问题得到解决. (3) 方程思想:从分析问题的数量关系入手,适当设定未知
第36课时
数学思想方法
变式题 1
[2014·钦州] 如图 Z-36-2,正比例函数 y=x
4 与反比例函数 y= 的图象交于 A(2,2),B(-2,-2)两点,当 y x 4 =x 的函数值大于 y= 的函数值时,x 的取值范围是( D ) x
图 Z-36-2
第36课时
2015年辽宁省地区中考数学总复习专题课件 专题六 数学思想方法(共22张PPT)
数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识 , 是 解决数学问题的根本策略.数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质 ,是沟通基础知识与能力的桥梁,是数学知识的重要组成部分.数学思 想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括,它蕴含于数学知识的发 生、发展和应用的过程中. 抓住数学思想方法 , 善于迅速调用数学思想方法 , 更是提高解题能 力根本之所在.因此,在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试 题中所体现的数学思想和方法,培养用数学思想方法解决问题的意识. 数学思想方法是数学的精髓 , 是读书由厚到薄的升华 , 在复习中一 定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯,中考常用到的数学思想方 法有:整体思想、转化思想、方程与函数思想、数形结合思想、分类讨 论思想等.在中考复习备考阶段,教师应指导学生系统总结这些数学思 想与方法,掌握了它的实质,就可以把所学的知识融会贯通,解题时可 以举一反三.
解:(2)设 y1=k1x+120,代入(2,0)解得 y1=-60x+120,y2=k2x+90, 代入(3,0)解得 y2=-30x+90,由-60x+120=-30x+90 解得 x=1,则 y1= y2=60,所以 P(1,60)表示经过 1 小时甲与乙相遇且距 C 村 60 km. 2 (3)当 y1-y2=10,即-60x+120-(-30x+90)=10,解得 x=3,当 y2-y1 4 =10,即-30x+90-(-60x+120)=10,解得 x=3,当甲走到 C 地,而乙距离 8 2 4 C 地 10 km 时,-30x+90=10,解得 x=3;综上所知当 x=3 h,或 x=3 h, 8 或 x=3 h 时,乙距甲 10 km
1 (3)由(1)得△BGF 为等腰三角形,由(2)得∠BAC=2∠BGF,∴当△BGF 为 AB 锐角三角形时,∠BGF<90°,∴∠BAC<45°,∴AB>BC,∴k= BC>1; 当△BGF 为直角三角形时,∠BGF=90°,∴∠BAC=45°∴AB=BC,∴k AB =BC=1;当△BGF 为钝角三角形时,∠BGF>90°,∴∠BAC>45°,∴AB AB <BC,∴k=BC<1;∴0<k<1 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的运用、等 腰三角形的判定定理的运用、外角与内角的关系的运用、分类讨论思想在实际 问题中的运用, 解答时灵活运用直角三角形的性质及外角与内角的关系是关键.
中考数学专题分类讨论的思想方法
分类讨论的思想方法
在数学中,当被研究的问题存在多种情况,不能一概 而论时,就需要按照可能出现的各种情况分类讨论,从而 得出各种情况下的结论,这种处理问题的思维方法叫分类 讨论思想。 它不仅是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的 解题策略.在研究问题时,要认真审题,思考全面,根据 其数量差异或位置差异进行分类,注意分类应不重不漏, 从而得到完美答案.
3 .如图2 - 6 ,点 A 、 B、P 在⊙ O上,且∠ APB= 50 °, 若点M是⊙O上的动点,要使△ABM为等腰三角形,则所有 符合条件的点M有 ( D )
A.1个
B.2个 C.3个 D.4个
4.关于x的一元一次不等式(2m+3)x>2m+3的解是___
x>1或x<1 .
5.若直角三角形ABC的三边长分别为4,2,m,则m的 取值为 - 5或1 . ______
思路分析:只知道两弦平行,却没有给画出图形,AB、
CD这两条弦在圆中的位置有两种情况,可能在圆心同侧或
异侧,如图2-3所示,再根据垂径定理向弦AB、CD作垂线 构造出直角三角形求出OM、ON的距离,由MN=OM+ON 或MN=ON-OM可得MN有两个结果.
答案:D
在一些综合性计算、证明题中,由于条件可能发生一
分子分母的正负性,以此建立不等式或不等式组求解.
4-x 【例 5】已知分式 的值为负数,则 x 的取值范围 2x-3 是________.
思路分析:欲求 x 的取值范围,需要建立关于 x 的不等 式(组),由“两数相除,异号得负”知 4-x 与 2x-3 异号,
4-x>0 因此得 2x-3<0 4-x<0 ; 2x-3>0
在直角三角形中,如果没有指明哪条边是直角边、斜 边,这需要根据实际情况讨论;当然,在不知哪个角是直 角时,有关角的问题也需要先讨论后求解.在等腰三角形
最新中考数学《分类讨论思想》复习课件教学讲义ppt课件
三.与相似三角形有关的分类
8。在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB
边从点A出发向B以2cm秒的速度移动;点Q沿DA边从点D
开始向A以1cm/秒的速度移动。如果P、Q同时出发,用t
秒表示移动的时间(0<x<6)那么:
(1)当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形?
(2)求四边形QAPC的面积; D
y
O AB
C
X D
解(1)A(-1,0),B(1,0),C
(0,-2)
(2) 当 △ PDB ∽ △ BOC时,BPOD
m
有P(m, 2
-
1 2
)
=
BD CO
O AB
C
P
X D
当 △ PDB ∽ △ COB时, 有P(m, 2m-2);
病因
概说
一、病因的涵义 二、病因学说涵义 三、中医病因学的发展沿革 四、中医病因学的特点 五、病因分类
则∠BAC的度数是
。
C B
A
5。△ABC是半径为2cm的圆的
A
C
内接三角形,
若BC=2 3 cm,则角A的度数
是
。
B
C
B
C
6。在Rt△ABC中,∠C=90,AC=3,BC=4。若以AC为圆
心,R为半径的圆与斜边只有一个公共点,则R的值为多少?
A
A
B
C
B
C
B
C
A
7..半径为R的两个等圆外切,则半径为2R且和这两个圆都相切 的圆有几个?
分类思想是根据数学本质属性的相同点和不 同点,将数学研究对象分为不同种类的一种 数学思想。分类以比较为基础,比较是分类 的前提,分类是比较的结果。
初中数学思想方法篇——分类讨论
新梦想教育中高考名校冲刺教育中心【老师寄语:每天进步一点点,做最好的自己】解题思想之分类讨论一、注解:分类讨论思想又称为逻辑划分,是中学数学最常用的数学思想方法之一,也是中考数学中经常出现的数学思想。
分类讨论就是依据一定的标准,对问题进行分类,求解,然后综合出问题的答案。
当被研究的问题包含多种可能情况,不能一概而论时,必须按照可能出现的情况进行分类,分别讨论,得出各种不同情况下的相应结论。
分类原则:分类的对象是明确的;标准是统一的,不遗漏、不重复、分层次;不越级讨论。
分类方法:明确讨论的对象,确定对象的全体,然后确立分类标准,正确进行分类;逐步进行讨论,获取阶段性结果;归纳总结,综合得出结论。
二、实例运用:1.在实数中的运用【例1】若1a =,4b =且a b <0,则a+b= 【例2】若2m-4与3m-1是同一个数的平方根,求m 。
2. 在代数式中的运用 【例3】若实数x 满足22110x x x x +++=,求1x x+的值。
【例4】分式22943x x x --+的值为0,则x= ( )A 3B 3或-3C -3D 03. 在方程(组)中的运用【例5】已知关于x 的方程ax 2+2x-1=0有实根,求a 的取值范围。
【例6】黄金周期间,某商场购物有如下优惠方案:(1)一次性购物在100元内(不含100元)时,不享受优惠;(2)100元到300元(不含300元)时,一律享受9折优惠;(3)300元以上时,享受8折优惠。
张伟在本商场分两次购物,分别付款80元和252元。
如果改为在该商场一次性购买,需要支付多少钱?4.在不等式中的运用【例7】国家规定个人发表文章,出版图书获得稿费的纳税计算办法是:(1)稿费不高于800元的,不纳税;(2)稿费高于800元,不高于4000元的,缴纳超过800那部分的14%;(3)稿费高于4000元的,应缴纳全部稿费的12%。
已知某作家获得一笔稿费,并交纳个人所得税a元(a>0),求这笔稿费有多少元。
中考数学专题知识突破专题五数学思想方法
2015中考数学专题知识突破专题五数学思想方法(一)(整体思想、转化思想、分类讨论思想)一、中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识,是解决数学问题的根本策略。
数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质,是沟通基础知识与能力的桥梁,是数学知识的重要组成部分。
数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括,它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。
抓住数学思想方法,善于迅速调用数学思想方法,更是提高解题能力根本之所在.因此,在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法,培养用数学思想方法解决问题的意识.二、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓,是读书由厚到薄的升华,在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯,中考常用到的数学思想方法有:整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等.在中考复习备考阶段,教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法,掌握了它的实质,就可以把所学的知识融会贯通,解题时可以举一反三。
三、中考考点精讲考点一:整体思想整体思想是指把研究对象的某一部分(或全部)看成一个整体,通过观察与分析,找出整体与局部的联系,从而在客观上寻求解决问题的新途径。
整体是与局部对应的,按常规不容易求某一个(或多个)未知量时,可打破常规,根据题目的结构特征,把一组数或一个代数式看作一个整体,从而使问题得到解决。
例1 若a-2b=3,则2a-4b-5= .1.已知实数a,b满足a+b=2,a-b=5,则(a+b)3•(a-b)3的值是.2.(2014•威海)已知x2-2=y,则x(x-3y)+y(3x-1)-2的值是()A.-2 B.0 C.2 D.4考点二:转化思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。
在研究数学问题时,我们通常是将未知问题转化为已知的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将抽象的问题转化为具体的问题,将实际问题转化为数学问题。
数学中考专题15 数学思想方法-分类讨论
数学思想方法——分类讨论思想 【考向分析】分类讨论思想是重要的数学思想之一,在具体解题时,对一个较为复的问题往往要采取分类的方法,以达到化难为易的目的,这种方法是较为高级的数学思想方法,能将一个较为复杂的问题转化成较为简单的问题是重要的数学能力之一,在中考的综合题中,分类讨论思想所起的作用不容忽视.【典型例题】例1 如图(1)所示,OA ,OB 是⊙O 的两条半径,且OA ⊥OB ,点C 是OB 延长线上任意一点,过点C 作CD 切⊙O 于点D ,连接AD 交OC 于点E ,(1)求证CD=CE ;(2)若将图(1)中的半径OB 所在直线向上平移交OA 于F ,交⊙O 于B /,其他条件不变,(如图(2)所示,那么上述结论CD=CE 还成立吗?为什么?(3)若将图(1)中的半径OB 所在直一向上平行移动到⊙O 外的CF ,点E 是DA 的延长线与CF 的交点,其他条件不变(如图(3)所示,那么上述结论CD=CE 还成立吗?为什么?· AOE B CD(1)· A OE B /C D(2)F · AOE CD(3)F GF C例2 Rt ABC ∆中,90ACB =∠,M 为AB 中点,将线段BM 绕点B 顺时针旋转90°,得到线段BP ,连CP 、AP ,CP 交于AB 于O (如图1)(1)当AC=BC 时,求证:OPB ∆∽PAB ∆;(2)若BC=2,AC=b ,当b 为多长时,ACB ∆与ABP ∆相似?(3)图1中,将点A 沿直线AC 向下运动(其余条件不变),则Rt ABC ∆、PAB ∆、PBC ∆都会变化,如图2所示,如果点A 一直运动到BC 下方,如图3所示,请在图3中按题意把图画完整。
若CB=2,设AC=x ,BCP ∆的面积为1y ,PAB ∆的面积为2y ,试问1y 、2y 是否都为定值?若是,求出这个定值;若不是,求出其关于x 的函数关系式。
中考数学专题复习一分类讨论思想PPT课件
AC
∴AD=AC×sin 45°, 在Rt△ABD中,∠B=30°,
∴AB=2AD=2AC×sin 45°=750 2 m.
答案:750 2 m
【知识归纳】解直角三角形实际应用的两点技能 1.转化:利用直角三角形或构造直角三角形解决实际问题,一 般先把实际问题转化为数学问题,若题目中无直角三角形,需 要添加辅助线(如作三角形的高等)构造直角三角形,再利用解 直角三角形的知识求解. 2.前提:解直角三角形时结合图形分清图形中哪个三角形是直 角三角形,哪条边是角的对边、斜边、邻边,此外正确理解俯 角、仰角、坡度、坡角等名词术语是解答此类题目的前提条件.
5.一次函数:已知一次函数与坐标轴围成的三角形的面积,求k 的值,常分直线交于坐标轴正半轴和负半轴讨论;确定反比例函 数与一次函数交点个数,常分一、三象限或二、四象限两种情 况讨论. 6.圆:圆的一条弦(直径除外)对两条弧,常分优弧和劣弧两种情 况讨论;求圆中两条平行弦的距离,常分两弦在圆心的同旁和两 旁两种情况讨论;圆与圆的相切,此时要考虑分外切和内切两种 情况讨论.
4.在几何中的应用:对于几何问题,我们常通过图形,找出边、 角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等.
【例2】(2013·兰州中考)已知反比例函数y1= k 的图象与
x
一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1,4)和点B(m,-2). (1)求这两个函数的解析式. (2)视察图象,当x>0时,直接 写出y1>y2时自变量x的取值范围. (3)如果点C与点A关于x轴对称, 求△ABC的面积.
5.(2013·十堰中考)如图,在小山的东侧A点有一个热气球,由
历年初三数学中考思想方法-分类讨论思想方法指导及例题解析及答案
中考中的数学思想方法----分类讨论思想一、概述:当我们面对一大堆杂乱的人民币时,我们一般会先分10元,5元,2元,1元,5角,…… 等不同面值把人民币整理成一叠叠的,再分别数出各叠钱数,最后把各叠的钱数加起来得出这一堆人民币的总值。
这样做,比随意一张张地数的方法要快且准确的多,因为这种方法里渗透了分类讨论的思想。
在数学中,分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点,把数学的研究对象区分为不同种类的一种数学思想,正确应用分类思想,是完整解题的基础。
而在中考中,分类讨论思想也贯穿其中,几乎在全国各地的重考试卷中都会有这类试题,命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度,很多压轴题也都涉及分类讨论,由此可见分类思想的重要性,下面精选了几道有代表性的试题予以说明。
二、例题导解:1、直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于 .③ 解:①当6、8是直角三角形的两条直角边时,斜边长为10,此时这个三角形的外接圆半径等于21╳ 10 =5 ②当6是这个三角形的直角边,8是斜边时,此时这个三角形的外接圆半径等于21╳ 8=4 2、在△ABC 中,∠B =25°,AD 是BC 边上的高,并且AD BD DC 2=·,则∠BCA 的度数为____________。
解:①如图1,当△ABC 是锐角三角形时,∠BCA=90°-25°=65°①如图2,当△ABC 是钝角三角形时,∠BCA=90°+25°=115°图1 图23、如图1,已知Rt ABC △中,30CAB ∠=o,5BC =.过点A 作AE AB ⊥,且15AE =,连接BE 交AC 于点P .(1)求PA 的长;(2)以点A 为圆心,AP 为半径作⊙A ,试判断BE 与⊙A 是否相切,并说明理由;(3)如图2,过点C 作CD AE ⊥,垂足为D .以点A 为圆心,r 为半径作⊙A ;以点C 为圆心,R 为半径作⊙C .若r 和R 的大小是可变化的,并且在变化过程中保持⊙A 和⊙C 相.切.,且使D 点在⊙A 的内部,B 点在⊙A 的外部,求r 和R 的变化范围.(1)Q 在Rt ABC △中,305CAB BC ∠==o ,, 210AC BC ∴==.AE BC Q ∥,APE CPB ∴△∽△.::3:1PA PC AE BC ∴==.:3:4PA AC ∴=,3101542PA ⨯==. (2)BE 与⊙A 相切.Q 在Rt ABE △中,AB =15AE =,tan AE ABE AB ∴∠===60ABE ∴∠=o . 又30PAB ∠=o Q ,9090ABE PAB APB ∴∠+∠=∴∠=o o ,, BE ∴与⊙A 相切.(3)因为5AD AB ==,,所以r的变化范围为5r <<.当⊙A 与⊙C 外切时,10R r +=,所以R的变化范围为105R -<<; 当⊙A 与⊙C 内切时,10R r -=,所以R的变化范围为1510R <<+4、直角坐标系中,已知点P (-2,-1),点T (t ,0)是x 轴上的一个动点.(1) 求点P 关于原点的对称点P '的坐标;C D 图1 图2(2) 当t 取何值时,△P 'TO 是等腰三角形?解:(1)点P 关于原点的对称点P '的坐标为(2,1).(2)5='P O .(a )动点T 在原点左侧. 当51='=O P O T 时,△TO P '是等腰三角形.∴点)0,5(1-T .(b )动点T 在原点右侧.①当P T O T '=22时,△TO P '是等腰三角形.得:)0,45(2T . ② 当O P O T '=3时,△TO P '是等腰三角形.得:点)0,5(3T .③ 当O P P T '='4时,△TO P '是等腰三角形.得:点)0,4(4T .综上所述,符合条件的t 的值为4,5,45,5-. 5、如图,平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于A (3,0),B (0,3)两点, ,点C 为线段AB 上的一动点,过点C 作CD ⊥x 轴于点D . (1)求直线AB 的解析式;(2)若S 梯形OBCD =433,求点C 的坐标; (3)在第一象限内是否存在点P ,使得以P ,O,B 为顶点的三角形与△OBA 相似.若存在,请求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)直线AB 解析式为:y=33-x+3.(2)方法一:设点C坐标为(x ,33-x+3),那么OD =x ,CD =33-x+3. ∴OBCD S 梯形=()2CD CD OB ⨯+=3632+-x . 由题意:3632+-x =334,解得4,221==x x (舍去) ∴ C(2,33) 方法二:∵ 23321=⨯=∆OB OA S AOB ,OBCD S 梯形=334,∴63=∆ACD S . 由OA=3OB ,得∠BAO =30°,AD=3CD .∴ ACD S ∆=21CD×AD =223CD =63.可得CD =33. ∴ AD=1,OD =2.∴C (2,33). (3)当∠OBP =Rt ∠时,如图①若△BOP ∽△OBA ,则∠BOP =∠BAO=30°,BP=3OB=3,∴1P (3,33). ②若△BPO ∽△OBA ,则∠BPO =∠BAO=30°,OP=33OB=1. ∴2P (1,3).当∠OPB =Rt ∠时③ 过点P 作OP ⊥BC 于点P(如图),此时△PBO ∽△OBA ,∠BOP =∠BAO =30° 过点P 作PM ⊥OA 于点M .方法一: 在Rt △PBO 中,BP =21OB =23,OP =3BP =23. ∵ 在Rt △P MO 中,∠OPM =30°,∴ OM =21OP =43;PM =3OM =433.∴3P (43,433).。
2015年备战中考数学培优专题一数学思想方法
班级 姓名数学思想方法是学习数学知识的精髓,是培养数学分析问题、解决问题能力提升的有效途径.在数学学习过程中,如果经常反思总结一些数学思想方法,能达到触类旁通的解题目的,而且能节省审题时间.因此,在中考冲刺阶段一定要多进行题后反思的环节,力争通过反思数学思想方法达到“做一题,会一类”的目的.初中数学思想方法主要有:①转化思想;②数形结合思想;③整体思想;④分类讨论思想;⑤函数与方程思想;⑥统计思想;⑦特殊到一般的思想等.转化思想是一种最基本的数学思想,基本思路是化未知为已知,把复杂的问题简单化,把生疏的问题熟悉化,把非常规问题化为常规问题,把实际问题数学化,实现不同的数学问题间的相互转化,体现了把不容易解决的问题化为容易解决的问题的思想.数形结合思想是利用几何图形的性质研究数量关系或利用数量关系研究几何图形的性质,使数量关系与几何图形巧妙地结合起来,使问题得以解决的一种数学思想.数形结合思想方法的应用,可帮助我们理解题意,分清已知量、未知量,理顺题中的逻辑关系.分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不确定的因素,无法用统一的方法或结论给出统一的表述时,按可能出现的所有情况来分别讨论,得出各种情况下相应的结论,分类讨论思想有利于学会完整地考虑问题,化整为零地解决问题.整体思想,就是在研究和解决有关数学问题时,通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征,从而对问题进行整体处理的解题方法.从整体上去认识问题、思考问题,常常能化繁为简、变难为易,同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性.⊙热点一:数形结合思想1.如图1,点E 为矩形ABCD 边AD 上一点,点P ,点Q 同时从点B 出发,点P 沿BE →ED →DC 运动到点C 停止,点Q 沿BC 运动到点C 停止,它们运动的速度都是1 cm /s ,设P ,Q 出发t 秒时,△BPQ 的面积为y cm 2,已知y 与t 的函数关系的图象如图2(曲线OM 为抛物线的一部分),则下列结论:①AD =BE =5 cm ;②当0<t ≤5时,y =25t 2 ;③直线NH 的解析式为y =-25t +27;④若△ABE 与△QBP 相似,则t =294秒.其中正确的结论个数为( )A .4B .3C .2D .12.如图1,A ,B ,C ,D 为矩形的四个顶点,AD =4 cm ,AB =d cm ,动点E ,F 分别从点D ,B 出发,点E 以1 cm /s 的速度沿边DA 向点A 移动,点F 以1 cm /s 的速度沿边BC 向点C 移动,点F 移动到点C 时,两点同时停止移动,以EF 为边作正方形EFGH ,点F 出发x s 时,正方形EFGH 的面积为y cm 2.已知y 与x 的函数图象是抛物线的一部分,如图2所示.请根据图中信息,解答下列问题:(1)自变量x 的取值范围______________;(2)d =____,m =____,n =____;(3)F 出发多少秒时,正方形EFGH 的面积为16 cm 2?3.如图,抛物线y =ax 2+bx +c(a >0)的顶点为M ,直线y =m 与x 轴平行,且与抛物线交于点A ,B ,若三角形AMB 为等腰直角三角形,我们把抛物线上A ,B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准碟形,线段AB 称为碟宽,顶点M 称为碟顶,点M 到线段AB 的距离称为碟高.(1)抛物线y =12x 2对应的碟宽为____,抛物线y =4x 2对应的碟宽为____,抛物线y =ax 2(a>0)对应的碟宽为____,抛物线y =a(x -2)2+3(a >0)对应的碟宽____;(2)若抛物线y =ax 2-4ax -53(a >0)对应的碟宽为6,且在x 轴上,求a 的值; (3)将抛物线y n =a n x 2+b n x +c n (a n >0)的对应准碟形记为F n (n =1,2,3,…),定义F 1,F 2,…,F n 为相似准蝶形,相应的碟宽之比即为相似比.若F n 与F n -1的相似比为12,且F n 的碟顶是F n -1的碟宽的中点,现在将(2)中求得的抛物线记为y 1,其对应的准碟形记为F 1.①求抛物线y 2的表达式;②若F 1的碟高为h 1,F 2的碟高为h 2,……,F n 的碟高为h n ,则h n =____,F n 的碟宽右端点横坐标为_________.⊙热点二:分类讨论思想1.如图,M是Rt△ABC的斜边BC上异于B,C的一定点,过M点作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,这样的直线共有()A.1条B.2条C.3条D.4条2.如图,在平面直角坐标系xOy中,A(0,2),B(0,6),动点C在直线y=x上.若以A,B,C三点为顶点的三角形是等腰三角形,则点C的个数是()A.2个B.3个C.4个D.6个3.某同学从家里出发,骑自行车上学时,速度v(米/秒)与时间t(秒)的关系如图1,A(10,5),B(130,5),C(135,0).(1)求该同学骑自行车上学途中的速度v与时间t的函数关系式;(2)计算该同学从家到学校的路程;(提示:在OA和BC段的运动过程中的平均速度分别等于它们中点时刻的速度,路程=平均速度×时间)(3)如图2,直线x=t(0≤t≤135)与图1的图象相交于P,Q,用字母S表示图中阴影部分面积,试求S与t的函数关系式;(4)由(2)(3),直接猜出在t时刻,该同学离开家所走过的路程与此时S的数量关系.⊙热点三:转化与化归思想1.如图,3个小正方形的边长都为1,则图中阴影部分面积之和是__________(结果保留π).2.如图,由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格,正六边形的顶点称为格点.已知每个正六边形的边长为1,△ABC的顶点都在格点上,则△ABC的面积是__________.3.如图,A,B,C分别是线段A1B,B1C,C1A的中点,若△ABC的面积是1,那么△A1B1C1的面积是__________.⊙热点四:整体思想★数与式中的整体思想1.已知(m-n)2=8,(m+n)2=2,则m2+n2=()2.已知114a b -=,则2227a ab b a b ab---+的值等于 ( ) A.6 B.6- C.125 D.27- ★方程(组)与不等式(组)中的整体思想已知24122x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩,且03x y <+<,则k 的取值范围是★函数与图象中的整体思想1.已知y m +和x n -成正比例(其中m 、n 是常数)(1)求证:y 是x 的一次函数;(2)如果y =-15时,x =-1;x =7时,y =1,求这个函数的解析式.2.若关于x 的一元二次方程22(1)20x a x a +-+-=有一根大于1,一根小于1-,求a 的取值范围.★几何与图形中的整体思想如图,菱形ABCD 的对角线长分别为3和4, P 是对角线AC 上任一点(点P不与A ,C 重合),且PE ∥BC 交AB 于E , PF ∥CD 交AD 于F ,则图中阴影部分的面积为 .。
初中数学分类讨论思想与例题讲解 讲义
初中数学分类讨论思想与例题讲解中学数学用到的数学思想(或方法)有:(1)转化化归思想(2)方程思想(3)分类讨论思想(4)函数思想(5)整体思想(6)数形结合思想这里重点讲一下分类讨论思想.中学数学与小学数学相比,最明显的一个区别就是中学数学中某些问题的答案并不是唯一的,需要分为两种或两种以上的情况进行讨论,尤其是高中数学.这就要求学生具有一定的分类讨论能力,具备分类讨论思想.分类讨论思想,是一种很重要的数学思想方法,分类讨论题是中考和高考的必考题,具有较高的难度,需要学生对学过的定义(概念)、定理、公里、结论等有一个更加深刻的、全面的掌握.在解答分类讨论题时,思维要全面,要想到问题的每一种可能情况,避免出现漏解、讨论不完整的现象.另外,还有一点需要注意的是,并不是每种情况的解都符合题意,这就需要对这些解作出正确的取舍.讨论完之后,要对讨论的结果作出一个总结,如“综上所述,…”等.对于初中学生来说,只要对分类讨论题多加练习,勤于思考和总结,就能初步具备一定的分类讨论能力,让分类讨论思想植根于大脑.下面列举一些分类讨论的题目,并给出解答,希望你们认真、用心领悟这种重要的思想方法.【例1】解关于x 的方程723=-x .分析:因为绝对值等于7的数有两个,分别是7和7-,所以本题要分723=-x 和723-=-x 两种情况.注意,绝对值为正数的数有两个,它们互为相反数. 解:分为两种情况: 当723=-x 时,解得3=x ;当723-=-x 时,解得35-=x .综上所述,方程723=-x 的解为3=x 或.35-=x【例2】解关于x 的方程.12+=+x b ax 解:12+=+x b ax()b x a b x ax -=--=-1212 分为以下三种情况:(1)当2,02≠≠-a a 即时,方程有唯一解,为21--=a bx ; (2)当1,2,01,02===-=-b a b a 即时,方程有无数个解(0乘以任何数都得0);(3)当1,2,01,02≠=≠-=-b a b a 即时,方程无解.图(3)A AB B【例3】已知50=∠AOB °,30=∠BOC °,求AOC ∠的度数.分析:读题可知,AOB ∠和BOC ∠有一条公共边,但不知道BOC ∠是在AOB ∠的内部还是外部,所以要分为两种情况讨论. 解:分为两种情况:(1)当BOC ∠在AOB ∠的内部时,如图(1)所示,此时: =∠-∠=∠BOC AOB AOC 50°-30°=20°; (2)当BOC ∠在AOB ∠的内部时,如图(2)所示,此时: =∠+∠=∠BOC AOB AOC 50°+30°=80°. 综上所述,AOC ∠的度数为20°或80°.图(1)COBA 图(2)COBA例4.已知线段AB=5cm,BC=3cm,则线段AC 的长为__________. 解:分为两种情况:(1)当点C 在线段AB 的延长线上时,如图(3)所示,此时: AC=AB+BC=5+3=8cm; (2)当点C 在线段AB 上时, 如图(3)所示,此时: AC=AB -BC=5-3=2cm.综上所述,线段AC 的长为8cm 或2cm.注:例3和例4是关于相对位置展开的讨论. 关于等腰三角形的讨论例 5.若等腰三角形中有一个角为50°,则这个等腰三角形的顶角的度数为【 】(A )50° (B )80° (C )50°或65° (D )50°或80° 分析:等腰三角形有一个顶角、两个底角,并且两个底角相等.题目所给的50°角由于不知道是顶角还是底角,所以要分为两种情况进行讨论. 解:分为两种情况:(1)当50°角为顶角时,它的两个底角为︒︒︒=-65250180;(2)当50°角为底角时,顶角为︒︒︒=⨯-100502180. 综上所述,该等腰三角形的顶角为50°或80°,选择(D ). 参看下面的图(4).图(4)50°角为底角时50°角为顶角时拓展:若把题目中的50°角改为100°角,则本题的答案是什么?还需要讨论吗?例6.若等腰三角形的两条边长分别为3cm 、6cm,则它的周长为【 】 (A )9cm (B )12cm (C )15cm (D )12cm 或15cm分析:两条边长分别为3cm 、6cm,其中必有一条边长为腰长,另一条边长为底边长,究竟哪一条边长是腰长,要分为两种情况讨论.注意,并不是每一种情况都符合题意,最后还要根据三角形三条边之间的关系作出取舍.解:分为两种情况:(1)当3cm 为腰长,6cm 为底边长时,由于3+3=6而不大于6,所以这种情况是构不成三角形的;(2)当3cm 为底边长,6cm 为腰长时,可以构成三角形,故这种情况符合题意,此时该等腰三角形的周长为15cm,选择(C ). 拓展:把题目中的3cm 改为5cm,则答案又是什么? 例7已知2,4==n m ,且,0<mn 则=nm__________. 分析:这是七年级上册数学的内容,考查的是关于绝对值的知识点.关于绝对值的题目大多数也需要讨论. 解:∵2,4==n m ∴2,4±=±=n m ∵0<mn∴n m 、异号,分为两种情况:(1)当2,4-==n m 时,224-=-=n m ; (2)当2,4=-=n m 时,224-=-=n m . 综上所述,2-=nm.注意:本题的两种情况虽然是相互独立的,但结果却是一样的. 例8已知=->==b a b a b a 则且,,3,2__________. 解:∵3,2==b a ∴3,2±=±=b a ∵b a >∴分为下面两种情况:(1)当3,2-==b a 时,532)3(2=+=--=-b a ; (2)当3,2-=-=b a 时,132)3(2=+-=---=-b a . 综上所述,b a -的值为1或5.补充:分类讨论思想解决问题的一般步骤是: 1.先明确需要讨论的对象;2.选择分类的标准,进行合理分类(统一标准 不重不漏);3.逐类讨论;4.归纳总结,得出结论(结果). 关于比较大小的讨论例9已知64,222+-=-=m m B m m A ,试比较B A 、的大小. 分析:在比较两个代数式的大小关系时,常采用作差比较法. 解: ∵64,222+-=-=m m B m m A ∴()64222+---=-m m m m B A6264222-=-+--=m m m m m分为以下三种情况:(1)当,062>-m 即3>m 时,B A B A >>-,0;(2)当,062=-m 即3=m 时,;,0B A B A ==- (3)当,062<-m 即3<m 时,.,0B A B A <<- 例10解关于x 的不等式()63>-x a .分析:既然是关于x 的不等式,那么要求3,03≠≠-a a 即,在分类讨论的时候不再讨论这种情况.解:根据不等式的性质,分为两种情况:(1)当3,03>>-a a 即时,该不等式的解集为36->a x ; (2)当3,03<<-a a 即时,该不等式的解集为36-<a x .例11关于x 的不等式()3232+>+m x m 的解集为__________. 你自己写出解的过程. 解:例12一等腰三角形一腰上的高与另一腰成35°角,则此等腰三角形的顶角是__________度. 解:分为三种情况:(1)当顶角为锐角时,如图(5)所示,则顶角为90°-35°=55°; (2)当顶角为直角时,如图(6)所示,不符合题意;(3)当顶角为钝角时,如图(7)所示,则顶角为()︒︒︒︒=--1253590180. 综上所述,该等腰三角形的顶角为55°或125°.图(5) 图(6) 图(7)例13若324--x x的值为负数,则x 的取值范围是____________.分析:乘除法的运算法则是:同号得正,异号得负. 解:∵324--x x的值为负数 ∴324--x x 与异号 ∴分为两种情况:(1)⎩⎨⎧<->-03204x x ,解得该不等式组的解集为23<x ;(2)⎩⎨⎧>-<-03204x x ,解得该不等式组的解集为4>x .综上所述,x 的取值范围是23<x 或4>x . (注意,这里用“或”,不能用“且”) 例14化简ba +1.解:分为两种情况:(1)当b a =时,aaa a a ab a 221211=⋅⋅==+;(2)当b a ≠时,()()b a ba ba b a b a ba --=-+-=+1.例15两条相交的直线所组成的图形的对称轴有__________条.分析:直线相交有两种情形:一般相交和垂直相交,从对称的角度考虑,这两种相交的对称情况是不一样的.解:分为两种情况:(1)若这两条直线不垂直,如图(8)所示,则整个图形的对称轴只有2条;(2)若这两条直线垂直,如图(9)所示,则整个图形的对称轴有4条. 综上所述,两条相交的直线所组成的图形的对称轴有2或4条.图(8)图(9)例16已知942++mxx是完全平方公式,则=m__________. 分析:完全平方公式有两种:()2222bababa+±=±.解:分为两种情况:(1)当942++mxx为完全平方和公式时,有()91249432942222++=+++=++xxmxxxmxx所以12=m;(2)当942++mxx为完全平方差公式时,有()91249432942222+-=++-=++x x mx x x mx x所以12-=m . 综上所述,12±=m .注意:例16为易错题,八年级的学生应该注意.说明:在以后我们还会遇到许多分类讨论的题目,到时候我再给你们补充,这里只选16道例题,希望你们对此类题目加以重视.。
中考数学专题复习:数学思想方法
专题01 数学思想方法【要点提炼】一、【分类讨论的思想方法】有些问题包含的对象比较复杂,很难用一种情况概括它的全貌,这时往往按照一种标准把问题分成几类,分别进行讨论,再综合起来进行说明,这种思想方法称为分类讨论思想。
二、【数形结合思想】数形结合思想就是数学问题的题设与结论之间的内在联系,既分析其数量关系,又揭示其几何意义,使数量关系和几何图形巧妙地结合起来,并充分地利用这种结合,使问题得到解决。
在进行二次根式的化简时,可以利用数轴确定字母的取值范围,然后对式子进行化简。
三、【整体思想】整体思想是一种重要的思想方法,它把研究对象的一部分(或全部)视为整体,在解题时,则把注意力和着眼点放在问题整体结构上,从而触及问题的本质,避开不必要的计算,使问题得以简化。
四、【转化的思想方法】如果a.b互为相反数,那么a+b=O,a= -b;如果c,d互为倒数,那么cd=l,c=1/d;如果|x|=a(a >0),那么x=a或-a.【专题训练】一、单选题(共10小题)1.将一元二次方程x2+4x+2=0配方后可得到方程()A.(x﹣2)2=2 B.(x+2)2=2 C.(x﹣2)2=6 D.(x+2)2=6【答案】B【解答】解:x2+4x+2=0,x2+4x=﹣2,x2+4x+4=2,(x+2)2=2.故选:B.【知识点】解一元二次方程-配方法2.若对所有的实数x,x2+ax+a恒为正,则()A.a<0 B.a>4 C.a<0或a>4 D.0<a<4【答案】D【解答】解:令y=x2+ax+a,这个函数开口向上,式子的值恒大于0的条件是:△=a2﹣4a<0,解得:0<a<4.故选:D.【知识点】配方法的应用3.已知a,b,c为有理数,当a+b+c=0,abc<0,求的值为()A.1或﹣3 B.1,﹣1或﹣3 C.﹣1或3 D.1,﹣1,3或﹣3【答案】A【解答】解:∵a+b+c=0,∴b+c=﹣a、a+c=﹣b、a+b=﹣c,∵abc<0,∴a、b、c三数中有2个正数、1个负数,则原式=+﹣=﹣1﹣1﹣1=﹣3或1﹣1+1=1或﹣1+1+1=1.故选:A.【知识点】绝对值、代数式求值4.若a﹣b=3,ab=1,则a3b﹣2a2b2+ab3的值为()A.3 B.4 C.9 D.12【答案】C【解答】解:a3b﹣2a3b2+ab3=ab(a2﹣2ab+b2)=ab(a﹣b)2将a﹣b=3,ab=1代入,原式=1×32=9,故选:C.【知识点】整式的混合运算—化简求值5.实数a、b在数轴上的位置如图所示,化简的结果是()A.﹣2 B.0 C.﹣2a D.2b【答案】A【解答】解:由数轴可知﹣2<a<﹣1,1<b<2,∴a+1<0,b﹣1>0,a﹣b<0,∴=|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|=﹣(a+1)+(b﹣1)+(a﹣b)=﹣a﹣1+b﹣1+a﹣b=﹣2故选:A.【知识点】二次根式的性质与化简、实数与数轴6.若一个正比例函数的图象经过点A(1,﹣2),B(m,4)两点,则m的值为()A.2 B.﹣2 C.8 D.﹣8【答案】B【解答】解:设正比例函数的解析式为y=kx(k≠0),将A(1,﹣2)代入y=kx,得:﹣2=k,∴正比例函数解析式为y=﹣2x.当y=4时,﹣2m=4,解得:m=﹣2.故选:B.【知识点】待定系数法求正比例函数解析式7.下列分式方程无解的是()A.B.C.D.【答案】B【解答】解:∵方程A去分母,得2x=3(x﹣3),解得x=9,当x=9时,x(x﹣3)≠0,所以原方程的解为x=9;方程B去分母,得x2﹣1=2x﹣2,解得x=1,当x=1时,(x﹣1)(x2﹣1)=0,所以原方程无解;方程C去分母,得x+3﹣4x=0,解得x=1,当x=1时,2x(x+3)≠0,所以原方程的解为x=1;方程D去分母,得3x=2x+3x+3,解得x=﹣,当x=﹣时,3x+3≠0,所以原方程的解为x=﹣.故选:B.【知识点】分式方程的解8.当时,x+y的值为()A.2 B.5 C.D.【答案】D【解答】解:∵+=﹣,∴两边平方得出x+y+2=8﹣2,∵=﹣,∴两边同乘2,得2=2﹣2,∴x+y+2﹣2=8﹣2,则x+y=8﹣4+2.故选:D.【知识点】二次根式的化简求值9.已知变量y与x的关系满足下表,那么能反映y与x之间的函数关系的解析式是()x…﹣2 ﹣10 1 2 …y…4 3 2 1 0…A.y=﹣2x B.y=x+4 C.y=﹣x+2 D.y=2x﹣2【答案】C【解答】解:设y与x之间的函数关系的解析式是y=kx+b(k≠0),则,解得,所以,y与x之间的函数关系的解析式是y=﹣x+2.故选:C.【知识点】待定系数法求一次函数解析式10.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(﹣9,7),B(﹣3,0),点P在x轴的正半轴上运动,将线段AB沿直线AP翻折到AC,当点C恰好落在y轴上时,直线AP对应的函数表达式可以是()A.y=x+8 B.y=﹣C.y=﹣x+1 D.y=﹣x+4【答案】B【解答】解:连接BC,交P A于Q,由题意可知,P A垂直平分BC,设直线P A的解析式为y=kx+b,把A(﹣9,7)代入得,7=﹣9k+b,∴b=9k+7,∴直线P A的解析式为y=kx+9k+7,设直线BC的解析式为y=﹣x+n,把B(﹣3,0)代入得0=+n,∴n=﹣,∴C(0,﹣),∴Q(﹣,﹣),∵Q在直线P A上,∴﹣=﹣k+9k+7,整理得,15k2+14k+3=0,解得k1=﹣,k2=﹣,∴直线P A的解析式为y=﹣x+,或y=﹣x+4,故选:B.【知识点】待定系数法求一次函数解析式二、填空题(共8小题)11.用配方法解方程x2﹣2x﹣6=0,原方程可化为﹣.【答案】(x-1)2=7【解答】解:方程变形得:x2﹣2x=6,配方得:x2﹣2x+1=7,即(x﹣1)2=7.故答案为:(x﹣1)2=7.【知识点】解一元二次方程-配方法12.如图,字母b的取值如图所示,化简:|b﹣1|+=.【答案】4【解答】解:由数轴得2<b<5,所以原式=|b﹣1|+=|b﹣1|+|b﹣5|=b﹣1+5﹣b=4.故答案为4.【知识点】实数与数轴、二次根式的性质与化简13.若关于x的方程﹣1=有无解,则m=﹣﹣.【解答】解:去分母得:2mx+x2﹣x2+3x=2x﹣6,整理得:(2m+1)x=﹣6,当2m+1=0,即m=﹣时,整式方程无解,即分式方程无解;当2m+1≠0,即m≠﹣时,x=﹣,由分式方程无解,得到x=0或x=3,把x=0代入整式方程无解;把x=3代入整式方程得:m=﹣,综上,m=﹣或﹣,故答案为:﹣或﹣【知识点】分式方程的解14.如图,点P、A、B、C在同一平面内,点A、B、C在同一直线上,且PC⊥AC,在点A处测得点P在北偏东60°方向上,在点B处测得点P在北偏东30°方向上,若AP=12千米,则A,B两点的距离为千米.【解答】解:∵PC⊥AC,在点A处测得点P在北偏东60°方向上,∴∠PCA=90°,∠P AC=30°,∵AP=12千米,∴PC=6千米,AC=6千米,∵在点B处测得点P在北偏东30°方向上,∠PCB=90°,PC=6千米,∴∠PBC=60°,∴BC===2千米,∴AB=AC﹣BC=6﹣2=4(千米),故答案为:4千米.【知识点】解直角三角形的应用-方向角问题15.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在线段BC上,且∠B=30°,∠ADC=60°,BC=3,则BD的长度为.【解答】解:∵∠C=90°,∠ADC=60°,∴∠DAC=30°,∴CD=AD,∵∠B=30°,∠ADC=60°,∴∠BAD=30°,∴BD=AD,∴BD=2CD,∵BC=3,∴CD+2CD=3,∴CD=,∴DB=2,故答案为:2.【知识点】勾股定理、含30度角的直角三角形16.在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=k1x+b(k1,b均为常数)与正比例函数y=k2x(k2为常数)的图象如图所示,则关于x的不等式k2x<k1x+b的解集为.【答案】x<3【解答】解:两条直线的交点坐标为(3,﹣1),且当x<3时,直线y=k2x在直线y=k1x+b的下方,故不等式k2x<k1x+b的解集为x<3.故答案为x<3.【知识点】一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象17.如图,以△ABC的边BC为直径作⊙O,点A在⊙O上,点D在线段BC的延长线上,AD=AB,∠D=30°.若劣弧的长为,则图中阴影部分的面积为.【解答】解:连接OA,如图,∵AD=AB,∴∠B=∠D=30°,∵OA=OB,∴∠OAB=∠B=30°,∴∠AOC=2∠B=60°,∵劣弧的长为,∴=,解得OC=2,∵∠D=30°,∠DOA=60°,∴∠OAD=90°,∴AD=OA=2,∴图中阴影部分的面积=S△AOD﹣S扇形AOC=×2×2﹣=2﹣π.故答案为2﹣π.【知识点】弧长的计算、扇形面积的计算、圆周角定理18.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C(0,3),其对称轴为直线x=﹣1.则该抛物线的解析式为﹣﹣.【答案】y=-x2-2x+3【解答】解:∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B(1,0),对称轴为直线x=﹣1,∴A点坐标为(﹣3,0),设抛物线解析式为y=a(x+3)(x﹣1),把C(0,3)代入得3=a×3×(﹣1),解得a=﹣1,∴抛物线解析式为y=﹣(x+3)(x﹣1),即y=﹣x2﹣2x+3.故答案为y=﹣x2﹣2x+3.【知识点】抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质三、解答题(共8小题)19.解不等式组:并把解集在数轴上表示出来.【解答】解;解不等式x+1<2,得:x<1,解不等式2(1﹣x)≤6,得:x≥﹣2,则不等式组的解集为﹣2≤x<1,将不等式组的解集表示在数轴上如下:【知识点】在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式组20.(1)解方程:.(2)关于x的分式方程无解,求a的值.【解答】解:(1)方程整理得:+=+,即=,当2x+8=0,即x=﹣4时,方程成立;当2x+8≠0,即x≠﹣4时,方程无解,经检验x=﹣4是分式方程的解;(2)去分母得:x2﹣ax﹣3x+3=x2﹣x,即﹣ax﹣3x+3=﹣x,由分式方程无解,得到x=0或x﹣1=0,解得:x=0或x=1,把x=0代入整式方程得:无解;把x=1代入整式方程得:a=0,则a的值为1.【知识点】分式方程的解、解分式方程21.某农场要建一个长方形ABCD的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m)另外三边用木栏围成,木栏长40m.(1)若养鸡场面积为168m2,求鸡场垂直于墙的一边AB的长.(2)养鸡场面积能达到最大吗?如果能,请你用配方法求出;如果不能,请说明理由.【解答】解:(1)设鸡场垂直于墙的一边AB的长为x 米,则x(40﹣2x)=168,整理得:x2﹣20x+84=0,解得:x1=14,x2=6,∵墙长25m,∴0≤BC≤25,即0≤40﹣2x≤25,解得:7.5≤x≤20,∴x=14.答:鸡场垂直于墙的一边AB的长为14米.(2)围成养鸡场面积为S,则S=x(40﹣2x)=﹣2x2+40x=﹣2(x2﹣20x)=﹣2(x2﹣20x+102)+2×102=﹣2(x﹣10)2+200,∵﹣2(x﹣10)2≤0,∴当x=10时,S有最大值200.即鸡场垂直于墙的一边AB的长为10米时,围成养鸡场面积最大,最大值200米2.【知识点】一元二次方程的应用、二次函数的应用、配方法的应用22.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,△AOB是等边三角形.(1)求证:四边形ABCD是矩形.(2)若AB=5cm,求四边形ABCD的面积.【解答】解:(1)平行四边形ABCD是矩形.理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形(已知),∴AO=CO,BO=DO(平行四边形的对角线互相平分),∵△AOB是等边三角形(已知),∴OA=OB=OC=OD(等量代换),∴AC=BD(等量代换),∴平行四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形);(2)因为AB=5,在Rt△ABC中,由题意可知,AC=10,则BC==5,所以平行四边形ABCD的面积S=5×5=25(cm2).【知识点】等边三角形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的性质23.如图,等腰△ABC中,AC=BC=8,点D、E分别在边AB、BC上(不与顶点重合),且∠CDE=∠A=∠B,CE=5,设AD=x,BD=y.(1)求y关于x的函数关系式(不用写x的取值范围);(2)当AB=10时,求AD的值.【解答】解:(1)∵CB=8,CE=5,∴BE=CB﹣CE=3,∵∠ADB是△ADC的一个外角,∴∠BAE+∠CDE=∠A+∠ACD,∵∠CDE=∠A,∴∠ACD=∠BDE,∵∠A=∠B,∴△ACD∽△BDE,∴=,即=,整理得,y=;(2)当AB=10,即x+y=10时,10﹣x=,整理得,x2﹣10x+24=0,解得,x1=4,x2=6,则AD的值为4或6.【知识点】等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质24.四边形ABCD内接于⊙O,AC为其中一条对角线.(Ⅰ)如图①,若∠BAD=70°,BC=CD.求∠CAD的大小;(Ⅱ)如图②,若AD经过圆心O,连接OC,AB=BC,OC∥AB,求∠ACO的大小.【解答】解:(1)∵BC=CD,∴=,∴∠CAD=∠CAB=∠BAD=35°;(2)连接BD,∵AB=BC,∴∠BAC=∠BCA,∵OC∥AB,∴∠BAC=∠OCA,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠BAC=∠BCA=∠OAC,由圆周角定理得,∠BCA=∠BDA,∴∠BAC=∠BDA=∠OAC,∵AD是⊙O的直径,∴∠ABD=90°,∴∠ACO=30°.【知识点】圆心角、弧、弦的关系、圆内接四边形的性质、圆周角定理25.如图,在⊙O中,过半径OD的中点C作AB⊥OD交⊙O于A、B两点,且AB=.(1)求OD的长;(2)计算阴影部分的面积.【解答】解:(1)∵AB⊥OD,∴∠OCB=90°,AC=BC=AB=,∵点C为OD的中点,∴OC=OB,∵cos∠COB==,∴∠COB=60°,∴OC=BC=×=1,∴OB=2OC=2,∴OD=OB=2;(2)阴影部分的面积=S扇形BOD﹣S△COB=﹣××1=π﹣.【知识点】勾股定理、垂径定理、扇形面积的计算26.如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,抛物线的顶点为P.已知B(1,0),C(0,﹣3).请解答下列问题:(1)求抛物线的解析式,并直接写出点P的坐标;(2)抛物线的对称轴与x轴交于点E,连接AP,AP的垂直平分线交直线PE于点M,则线段EM 的长为.注:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=﹣,顶点坐标是(﹣,).【解答】解:(1)∵抛物线经过点B(1,0),C(0,﹣3),代入得:,解得:,∴抛物线表达式为:y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4,∴顶点P的坐标为(﹣1,﹣4);(2)∵直线PE为抛物线对称轴,∴E(﹣1,0),∵B(1,0),∴A(﹣3,0),∴AP==,∵MN垂直平分AP,∴AN=NP=,∠PNM=90°,∵∠APE=∠MPN,∴△PMN∽△P AE,∴,即,解得:PM=,∴EM=PE﹣PM=4﹣=,故答案为:.【知识点】二次函数图象与系数的关系、线段垂直平分线的性质、待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征。
2015年中考备战策略课件(第二部分专题一_数学思想方法问题)
考点知识梳理
中考典例精析
考点训练
宇轩图书
3.方程与函数思想:函数思想,是指用函数的概 念和性质及图象去分析问题、 转化问题和解决问题. 方 程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将 问题中的条件转化为数学模型 (方程 (组 )、不等式 (组) 或方程与不等式的混合组 ),然后通过解方程 (组)或不 等式(组)来使问题获解.有时,还实现函数与方程的互 相转化、接轨,达到解决问题的目的.
宇轩图书
第二部分 专题一
专题突破
强化训练
数学思想方法问题
宇轩图书
考点知识梳理
中考典例精析
考点训练
宇轩图书
初中数学中的主要数学思想方法有:分类讨论思 想、数形结合思想、方程与函数思想、转化与化归思 想等. 1.分类讨论思想:是指当被研究的问题存在一些 不确定的因素,无法用统一的方法或结论给出统一的 表述时,按可能出现的所有情况来分别讨论,得出各 种情况下相应的结论.分类的原则是: (1)分类中的每 一部分是相互独立的; (2)一次分类必须是同一个标准; (3)分类讨论应逐级进行.
考点知识梳理 中考典例精析 考点训练
宇轩图书
2.数形结合思想:是指从几何直观的角度,利用 几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决 途径,或用数量关系研究几何图形的性质,解决几何 问题,将数量关系和几何图形巧妙地结合起来,以形 助数,以数辅形,使抽象问题直观化,复杂问题简单 化,从而使问题得以解决的一种数学思想.
考点知识梳理
中考典例精析
考点训练
宇轩图书
4.(2014· 济宁)“如果二次函数y=ax +bx+c的 图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax +bx +c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话 的理解,解决下面的问题:若m,n(m<n)是关于x的 方程1-(x-a)(x-b)=0的两根,且a<b,则a,b, m,n的大小关系是( A.m<a<b<n C.a<m<b<n
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
2015年中考中的数学思想方法----分类讨论思想
一、概述:
当我们面对一大堆杂乱的人民币时,我们一般会先分10元,5元,2元,1元,5角,…… 等不同面值把人民币整理成一叠叠的,再分别数出各叠钱数,最后把各叠的钱数加起来得出这一堆人民币的总值。
这样做,比随意一张张地数的方法要快且准确的多,因为这种方法里渗透了分类讨论的思想。
在数学中,分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点,把数学的研究对象区分为不同种类的一种数学思想,正确应用分类思想,是完整解题的基础。
而在中考中,分类讨论思想也贯穿其中,几乎在全国各地的重考试卷中都会有这类试题,命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度,很多压轴题也都涉及分类讨论,由此可见分类思想的重要性,下面精选了几道有代表性的试题予以说明。
二、例题导解:
1、(2014年上海市中考题)直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于 .③
解:①当6、8是直角三角形的两条直角边时,斜边长为10,
此时这个三角形的外接圆半径等于
2
1
╳ 10 =5
②当6是这个三角形的直角边,8是斜边时,此时这个三角形
的外接圆半径等于
2
1╳ 8=4
2、(2014年北京市中考题)在△ABC 中,∠B =25°,AD 是BC 边上的高,并且
AD BD DC 2 ·,则∠BCA 的度数为____________。
解:①如图1,当△ABC 是锐角三角形时, ∠BCA=90°-25°=65°
①如图2,当△ABC 是钝角三角形时, ∠BCA=90°+25°=115°
图1 图2
3、(2014年济南市中考题)如图1,已知Rt ABC △中,30CAB ∠=,5BC =.过点A 作AE AB ⊥,且15AE =,连接BE 交AC 于点P . (1)求PA 的长;
(2)以点A 为圆心,AP 为半径作⊙A ,试判断BE 与⊙A 是否相切,并说明理由;
(3)如图2,过点C 作CD AE ⊥,垂足为D .以点A 为圆心,r 为半径作⊙A ;以点C 为圆心,R 为半径作⊙C .若r 和R 的大小是可变化的,并且在变化过程中保持⊙A 和⊙C 相.切.
,且使D 点在⊙A 的内部,B 点在⊙A 的外部,求r 和R 的变化范围. (1)
在Rt ABC △中,30
5CAB BC ∠==,, 210AC BC ∴==.
AE BC ∥,APE CPB ∴△∽△. ::3:1PA PC AE BC ∴==. :3:4PA AC ∴=,31015
42
PA ⨯==. (2)BE 与⊙A 相切.
在Rt ABE △
中,AB =15AE =,
tan AE ABE AB ∴∠=
==60ABE ∴∠=. 又
30PAB ∠=,9090ABE PAB APB ∴∠+∠=∴∠=,,
BE ∴与⊙A 相切.
(3
)因为5AD AB ==,r
的变化范围为5r <<
当⊙A 与⊙C 外切时,10R r +=,所以R
的变化范围为105R -<<;
C D 图1 图2
4、(2014年上海市普陀区中考模拟题)直角坐标系中,已知点P (-2,-1), 点T (t ,0)是x 轴上的一个动点.
(1) 求点P 关于原点的对称点P '的坐标; (2) 当t 取何值时,△P 'TO 是等腰三角形? 解:(1)点P 关于原点的对称点P '的坐标为(2,1)(2)5='P O .
(a )动点T 在原点左侧.
当51='=O P O T 时,△TO P '∴点)0,5(1-T .
(b )动点T 在原点右侧.
①当P T O T '=22时,△TO P '是等腰三角形.
得:)0,4
5(2T .
② 当O P O T '=3时,△TO P '是等腰三角形. 得:点)0,5(3T .
③ 当O P P T '='4时,△TO P '是等腰三角形. 得:点)0,4(4T .
综上所述,
符合条件的t 的值为4,5,4
5
,
5-.
5、如图,平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于A (3,0),B (0,3)两点, ,点C 为线段AB 上的一动点,过点C 作CD ⊥x 轴于点D .
(1)求直线AB 的解析式;
(2)若S 梯形OBCD =
3
,求点C 的坐标; (3)在第一象限内是否存在点P ,使得以P ,O,B 为顶点的 三角形与△OBA 相似.若存在,请求出所有符合条件 的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)直线AB 解析式为:y=3
3
-
x+3. (2)方法一:设点C坐标为(x ,33-
x+3),那么OD =x ,CD =33-x+3. ∴OBCD S 梯形=
()2
CD CD OB ⨯+=36
32
+-
x . 由题意:3632+-
x =
33
4,解得4,221==x x (舍去) ∴ C(2,
3
3
) 方法二:∵ 23321=⨯=
∆OB OA S AOB ,OBCD S 梯形=334,∴6
3=∆ACD S . 由OA=3OB ,得∠BAO =30°,AD=3CD .
∴ ACD S ∆=
21CD×AD =223CD =63.可得CD =3
3.
∴ AD=1,OD =2.∴C (2,
3
3
). (3)当∠OBP =Rt ∠时,如图
①若△BOP ∽△OBA ,则∠BOP =∠BAO=30°,BP=3OB=3,
∴1P (3,
3
3
). ②若△BPO ∽△OBA ,则∠BPO =∠BAO=30°,OP=
3
3
OB=1.
∴2P (1,3).
当∠OPB =Rt ∠时 ③ 过点P 作OP ⊥BC 于点P(如图),此时△PBO ∽△OBA ,∠BOP =∠BAO =30° 过点P 作PM ⊥OA 于点M .
方法一: 在Rt △PBO 中,BP =
21OB =2
3
,OP =3BP =23. ∵ 在Rt △P MO 中,∠OPM =30°, ∴ OM =
21OP =43;PM =3OM =43
3.∴3P (43,4
33). 方法二:设P(x ,33-
x+3),得OM =x ,PM =3
3
-x+3 由∠BOP =∠BAO,得∠POM =∠ABO .
∵tan ∠POM==
OM
PM =x x 3
33
+-
,tan ∠ABO=OB
OA =3.
∴33
-
x+3=3x ,解得x =43.此时,3P (43,4
33).
④若△POB ∽△OBA(如图),则∠OBP=∠BAO =30°,∠POM =30°. ∴ PM =
33OM =4
3
. ∴ 4P (
43,4
3)(由对称性也可得到点4P 的坐标). 当∠OPB =Rt ∠时,点P 在x轴上,不符合要求.
综合得,符合条件的点有四个,分别是:
1P (3,
33),2P (1,3),3P (43,433),4P (43,4
3
).。