椭圆的几何性质教案

椭圆的几何性质

教学目标：（1）知识与技能目标

1．掌握椭圆的范围，对称性，顶点，离心率等几何性质．

2．能根据椭圆的几何性质对椭圆方程进行讨论，画椭圆图形．

（2）过程与方法目标

培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能

力和运用数形结合思想解决实际问题的能力。教学重点：对椭圆的范围，对称性，顶点，离心率等几何性质的探索．最后给出列表、描点画椭圆的简便方

法．

教学过程：

一、复习提问

师：在上节课中我们学习了椭圆的两个定义，请同学们回答其具体内容．(教师指定学生回答，并引导其他学生进行更正．)

师：我们还学习了焦点分别在x轴和y轴上的椭圆的标准方程，请分别说出各是什么形式？

生：当焦点在x轴上时方程为：22

221

x y

a b

+=

当焦点在y轴上时方程为：22

221

y x

a b

+=

二、课题引入

“曲线与方程”是解析几何中最重要最基本的内容其中有两类基本问题：一是由曲线求方程，二是由方程画曲线．前面由椭圆定义推导出椭圆的标准方程属于第一类问题，本节课将研究第二类问题，由椭圆方程画椭圆图形，为使列表描点更准确，避免盲目性，有必要先对椭圆的范围、对称性、截距进行讨论．还应明确影响椭圆扁平程度的重要参数——离心率．

三、探索新知

（一）椭圆的基本性质

（1）、范围

1）、观察法：观察图1，看出横坐标的范围_[-a,a]__,看出纵坐标的范围_[-b,b]；

2）代数法（利用方程）： x的范围是__[-a,a]___

同理，y的范围是__[-b,b]_

(2)对称性

1）、观察法：观察图1，椭圆可以对折吗？绕中心旋转180度后可以与原图重合吗？

答：可以对折；

绕中心旋转180度后可以与原图重合。

2）、代数法（利用方程）:把x=-x,y=-y代入方程，方程是否改变?

因此椭圆既是中心_对称图形又是_ 轴___对称图形。

椭圆的对称轴有 2_条，分别是_x轴和y轴，对称中心是_原点.

（3）、顶点

因此，椭圆与它对称轴的交点叫椭圆的顶点，如图1线段A 1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，他们的长度分别为_ 2a，2b__，而__OA1或OA2,OB1或OB2_叫椭圆的长半轴长和短半轴长。

图1.

4、离心率

把一个圆压扁就是椭圆这种说法是否正确？如何衡量椭圆的扁平程度呢？

请观察动画回答问题：

（1）、(a>b>0)保持a大小不变，改变b的大小，发现b越接近a，椭圆越__圆_____（圆或扁）

（2）、(a>c>0)保持a大小不变，改变c的大小，发现c越接近a，椭圆越__扁_____（圆或扁）

因为从椭圆的定义，a,c是最原始的量，更能刻画椭圆的性质，所以我们把称为椭圆的离心率，用e表示，即___c

=

e

a __,其中e的范围是___(0,1)___，e越接近1，椭圆越_扁（圆或扁）; e越接近0，椭圆越__圆__（圆或扁）。（3）、你能用三角函数的知识来解析（2）的结论吗？

小结：a,b,c的值会改变椭圆性质吗？请根据以上的特例的性质概括椭圆的性质

（二）典型例题

例1．求椭圆16x

2＋25y 2

＝400的长轴、短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出它的图形．

22

12516

x y +=解：原椭圆可以化为

得：

5,4

3

a b c ====那么

那么：长轴2a=10 短轴2b=8

35

c e a =

= 焦点：（-3，0）和（3，0）

定点坐标：在x 轴上（-5,0）(5,0)

在y 轴上（0,-4）(0,4)

如图：

1．说出下列各椭圆的长轴、短轴的长，离心率、焦点坐标、顶点坐标，并画出草图．

（1）226464x y += （2）22416x y +=

2．下面每组的椭圆中，哪个更接近于圆？ （1）8x 2

＋7y 2

＝56 与 8x 2

＋y 2

＝56 （2）9x 2

＋4y 2

＝36 与 8x 2

＋4y 2

＝36

例2．求长轴的长为16，离心率为12

，焦点在y 轴上的椭圆

的标准方程．

解：由于：2a=16,

得：a=8;

由于：12

8

c c e a

===，

得：c=4; 又因为：222a b c =+，

222b a c -==64-16=48；

所以：22

16448

y x +=。

练习：

1．说出下列各椭圆的长轴、短轴的长，离心率、焦点坐标、顶点坐标，并画出草图．

（1）226464x y += （2）22416x y +=

2．下面每组的椭圆中，哪个更接近于圆？

（1）8x 2

＋7y 2

＝56 与 8x 2

＋y 2

＝56 （2）9x 2

＋4y 2

＝36 与 8x 2

＋4y 2

＝36

3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）a＝9，，焦点在x轴上

（2）c＝4，，焦点在y轴上

作业、

求过点（2，0），且长轴长是短轴长的2倍．的椭圆的标准方程