二次根式讲义

二次根式讲义

知识点一：二次根式的概念和性质

1 定义：形如

（

）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式， 把握的重点：（1）二次根式是形式上定义的，必须含有二次根号

。

（2）被开方数a 必须是非负数，即a ≧0 （3）

的根指数是2，一般省略根指数2，写作

，这一点一定要切实注意，

不可误认为根指数为 “1”，“0”。

2.

性

质 1、两个非负性：（1）根号下的a 必须是非负数，表示为a ≥0； （2）a （a ≥0≥0

2、a （a ≥0）的平方根是±a ， a （a ≥0）的算术平方根是a 3a │=

要特别注意：不能直接将根号、平方一起去掉，应该有绝对值号，然后

再计算绝对值。计算绝对值的时候，要注意绝对值内代数式的正负性，绝对值内是一个整体

4、2＝a （a ≥0）

注意：与的异同点

1、不同点：

与表示的意义是不同的，表示一个正数a 的算术平方根的平

方，而

表示一个实数a 的平方的算术平方根；在

中

，而中a 可以是正实数，0，负实数。但

与

都是非负数，即

，

。因而

它的运算的结果是有差别的， ，而

a (a ≥0) -a (a ＜0)

2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.

知识点二：二次根式的乘除运算

1 乘法

公式1

a≥0，b≥0）即二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。

注意（1）在进行二次根式乘法运算中，一定不要忽略被开方数a，b均为非负数。

（2）此法则可以推广到多个二次根式相乘的运算。

（3）若含有系数的二次根式相乘，可类比单项式的乘法法则，将它分为系数和根式两部分的运算，然后相乘。

公式2

·（a≥0，b≥0）要注意式子成立的条件限制。

2 除法

公式1

=（a≥0，b>0）即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。

注意（1）除法运算的结果也要进行化简

(2) 在运算过程中要注意条件（a≥0，b>0）

（3）若含有系数的二次根式相除，可类比单项式的除法法则，将它分为系数和根式两部分分别运算，然后想乘。

公式2

（a≥0，b>0）

3 最简二次根式

（1）应满足的条件：

（1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式；

（2）被开方数中不含开得尽方的因数或因式

最简二次根式定义中第（1）条说明被开方数不含有分母；分母是1的例外。第（2）条说明被开方数中每个因式的指数小于2；特别注意被开方数应化为因式连乘积的形式。）

（2）化简最简二次根式的方法：

(1) 把被开方数(或根号下的代数式)化成积的形式，即分解因式；

(2) 化去根号内的分母（或分母中的根号），即分母有理化；

(3) 将根号内能开得尽方的因数(或因式)开出来．（此步需要特别注意的是：开到根号外

的时候要带绝对值，注意符号问题）

知识点三：二次根式的加减运算

1 同类二次根式定义

几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．

2 二次根式加减法的法则

先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并，合并方法为系数

相加减，根式不变．

3 二次根式的有理化（即去根号）

一般常见的互为有理化因式有如下几类：

①与；②与；

③与；④与．

说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化．

知识点四：二次根式比较大小

1 移动因式法

此法好学，适用。就是将根号外的正因式移入根号内，从而转化为比较被开方数的大小

如：比较的大小。

2运用平方法

两边同时平方,转化为比较幂的大小。此法的依据是：两个正数的平方是正数，平方大的数就大；两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小

如：：比较与的大小。

3. 分母有理化法

此法是先将各自的分母有理化，再进行比较

如：比较与的大小。

4 分子有理化法

此法是先将各自的分子有理化，再比较大小。

如：比较与的大小

5求差或求商法

6求倒数法

先求两数的倒数，而后再进行比较。

例5：比较的大小。

【随堂演练】

知识点一

例1 x是怎样的实数时，式子√5x−10在实数范围有意义？

例2 当字母取何值时，下列各式为二次根式：

（1）(2)(3)(4)

例3 下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的条件：

（1）； （2）； （3）； （4）

知识点二

例1 计算

（1）；（2）；（3）； (4)；

例2下列各根式是否为最简二次根式，不是最简二次根式的说明原因：

例3把下列各式化成最简二次根式：

知识点三

例1 加减计算

（1） （2）

2

14

181

22-+- 例2 有理化：（1）； （2）；

综合

1若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是（ ） A ．m=0 B ．m=1 C ．m=2 D ．m=3

2 小明的作业本上有以下四题： ①

2

4416a

a =；②

a a a 25105=⨯；③a a

a a a

=•=1

12；④a a a =-23。做错的题是（ ）

A ．①

B ．②

C ．③

D ．④

3 比较大小：

4 化简