理论力学11—达朗贝尔原理1

若选质心C为简化中心，则 rC=0，有：
M IC 0
故平移刚体的惯性力系可以 简化为通过质心的合力，其 力大小等于刚体质量与加速 度的乘积，合力的方向与加 速度方向相反。
O
11.2.2
刚体绕定轴转动
z
刚体定轴转动时 , 设其角速 度为 w, 角加速度为 a, 刚体 内任一质点的质量为mi，到 转轴的距离为ri, 则刚体内任 一质点的惯性力为FIi＝-miai。 在转轴上任选一点 O 为简化 中心, 建立直角坐标系如图, 质点的坐标为xi, yi, zi, 现分 别计算惯性力系对三个坐标 轴的矩MIx, MIy, MIz。
dt
mg
C
解：1、研究轮C，分析其运动和受力； 用刚体平面运动微分方程解 2、由刚体平面运动微分方程：
1 ( mR 2 )a FS r 2
11.2 刚体惯性力系的简化
对于刚体这种特殊的质点系，每个质 点均受到惯性力的作用，这些惯性力形成 一个力系，如果先利用静力学的力系简化 理论，求出惯性力系的主矢和主矩，会给 解题会带来方便，这里讨论刚体平移、定 轴转动和平面运动时惯性力系的简化。
以FIR表示惯性力系的主矢，则
FIR mi ai maC
第 11 章
达朗贝尔原理
引
言
达朗贝尔原理为解决动力学问 题提供了另一种求解的方法。这种 方法的特点是：用静力学研究平衡 问题的方法来研究动力学的不平衡 问题, 因此这种方法又叫动静法。 由于静力学研究平衡问题的方 法比较简单 , 也容易掌握 , 因此动静 法在工程中被广泛使用。
11.1 达朗贝尔原理 11.1.1 质点的达朗贝尔原理 设一质点质量为m, 加速度为a, 作用于质点的主 动力为F, 约束力为FN 。由牛顿第二定律，有
该式对任何质点系做任意运动都成立，当然适 用于做平移、定轴转动和平面运动的刚体。 主矢的大小和方向与简化中心的位置无关， 主矩一般与简化中心的位置有关。所以下面只 对刚体做平移、定轴转动、平面运动时惯性力 系简化的主矩进行讨论。
11.2.1 刚体作平移 作平移时，刚体任一点的加速度ai与质心的加 速度aC相同，如图，以O为简化中心，有 MIO ri ( mi ai ) ( mi ri ) aC mrC aC
3. 当刚体作匀速转动且转轴通过质心 C时, FIR ＝0, MIO ＝0, 惯性力系自成平衡力系。
11.2.3 刚体作平面运动(平行于质量对称面）
w 工程中 , 作平面运动的刚体常常有 质量对称平面 , 且平行于此平面运 M a IC aC 动。当刚体作平面运动时 , 其上各 C 质点的惯性力组成的空间力系 , 可 FIR 简化为在质量对称平面内的平面力 系。 取质量对称平面内的平面图形如图所示 , 取质
rw a arccos( ) g
例11-2 如图所示,电动绞车安装在梁上,梁的两端搁 在支座上,梁重为P，绞盘半径为R,重量忽略不计,绞 车以加速度a 提升重量为W 的重物,尺寸如图,求支座 A，B处的动反力。
R
A
B
FA
a
l
P
FB
b
W
FI
FI ma
解:梁在主动力、约束力、惯性力作用下平衡：
例11-3 均质圆柱，质量为m，半径为r，无初速地放在倾角为 q =30°的斜面上作纯滚动，滚动摩擦阻力偶不计，求其质心C 的加速度与滑动摩擦力。 解：1、研究轮C，分析其运动和受力； 用动能定理积分形式解 2、计算1和2位置的系统动能：T1 0 mg s ① ② 1 1 2 3 2 2 2 T2 (mr )w mvc mvc C 2 2 4 3、计算由位置1运动到位置2过程中 的所有力的功： W12 mgs sinq Fs FN q
心C为基点, 设质心的加速度为 aC, 绕质心转动 的角速度为w, 角加速度为a, 与刚体绕定轴转动 相似, 此时惯性力系向质心C简化的结果为
FIR maC
M IC J Ca
M IC J Ca
有质量对称平面的刚体, 平行于此平面运动时, 刚体的惯性力系简化为在此平面内的一个力和 一个力偶。这个力通过质心 , 其大小等于刚体 的质量与质心加速度的乘积 , 其方向与质心加 速度的方向相反; 这个力偶的矩等于刚体对过质心且垂直于 质量对称面的轴的转动惯量与角加速度的乘积 , 转向与角加速度相反。
例1 球磨机的滚筒以匀角速度w 绕水平轴O转 动, 内装钢球和需要粉碎的物料, 钢球被筒壁带 到一定高度脱离筒壁 , 然后沿抛物线轨迹自由 落下，从而击碎物料 , 如图。设滚筒内壁半径 为r，试求钢球的脱离角a。 解：以某一尚未脱离筒壁的钢球为研究对象, 受力如图。
钢球未脱离筒壁前 , 作圆周 运动, 其加速度为
2
MIy J yza J xzw
2
M Iz J za
MIO M Ix i M Iy j M Iz k
工程中绕定轴转动的刚体常常有质量对称平面。 如果刚体有质量对称面且该平面与转轴 z 垂直 , 简化点O取为此平面与转轴z的交点, 则
J xz mi xi zi 0, J yz mi yi zi 0
qi
x
为对z轴的惯性积, 它取决 于刚体质量对于坐标轴的 分布情况。
于是
a O w qi ri xi
yi
cosqi
y
MIx J xza J yzw
2
Ft Ii
Fn Ii
xi y , sin qi i ri ri
x
z
惯性力对x轴的矩为MIx J xza J yzw2 同样可推出惯性力对y轴的矩为
k
ai ri mi FIi z i y O j xi i y i x
qi w a
质点的惯性力 FIi ＝－ miai 可以分解为切向 惯性力FIit与法向惯性力FIin, 它们的方向如 z 图, 大小分别为
F m a mi ria
t Ii t i i
ai
mi n t F F k Ii z Ii y O j i xi i y i
ri
qi
x
mi ria cosqi zi mi riw 2 sin qi zi
a mi xi zi w mi yi zi
2
a
w qi ri xi
yi Ft Ii
O
y
xi yi cosqi , sin qi ri ri
Fn Ii
x
z
M Ix M x (F ) M x (F )
ri
F m a mi riw
n Ii n i i
2
x
qi
F m a mi ria
t Ii t i i
z
F m a mi riw
n Ii n i i
2
惯性力对x轴的矩为
M Ix M x (F ) M x (F )
t Ii n Ii
mi n t F k FIi z Ii y O j i xi i y i
t Ii n Ii
ai
ri mi y
n t F F k Ii z FIi i Ii O j xi i y i
mi ria cosqi zi mi riw sin qi zi
2
a mi xi zi w mi yi zi
2
记
J xz mi xi zi , J yz mi yi zi
FI F
M
q
w
r
at 0 an rw
2
2
FN mg O
惯性力的大小为
FI mrw
加上惯性力后, 由达朗贝尔原理 F F I
Fn 0 : FN mg cosq FI 0 M
q
w
r
rw FN mg ( cos q ) g
2
FN mg O
这就是钢球在任一位置q 时所受的法向反力, 显 然当钢球脱离筒壁时, FN＝0 , 由此可求出其脱 离角a 为 2
惯性力系简化的主矩为
M IO M Iz J za
11.2.2 刚体绕定轴转动
FIR maC M IO J Oa
MIO
O FIR C
aC
w a
当刚体有质量对称平面且绕垂直于此对称 面的轴作定轴转动时, 惯性力系向转轴简化为 此对称面内的一个力和一个力偶。这个力等于 刚体质量与质心加速度的乘积 , 方向与质心加 速度方向相反, 作用线通过转轴。 这个力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量 与角加速度的乘积, 转向与角加速度相反。
ai
ri
t
MIy J yza J xzw
2
mi
惯性力对z轴的矩为 M Iz M z (FIin ) M z (FIit )
k FIiBaidu Nhomakorabeaz F i Ii O j xi i y i
FIn i y
qi
由于各质点的法向惯性力均通过轴z t M Iz M z ( FIi ) mi ria ri
将上式改写成 F FN ma 0
令
ma F FN
FI
m FN
F
FI ma
a
FI具有力的量纲, 且与质点的质量有关，称其为 质点的惯性力。它的大小等于质点的质量与加 速度的乘积，方向与质点加速度的方向相反。
11.1.1 质点的达朗贝尔原理
则有
F FN FI 0
即：在质点运动的任一瞬时, 作用在质点 上的主动力、约束力和假想加在质点上的 惯性力构成形式上的平衡力系。这就是质 点的达朗贝尔原理。 应该强调指出，质点并非处于平衡状 态，这样做的目的是将动力学问题转化为 静力学问题求解。达朗贝尔原理与虚位移 原理构成了分析力学的基础。
Fi FNi FIi 0 M o ( Fi ) M o ( FNi ) M o ( FIi ) 0
由此可得： 作用在质点系中所有的主动力、约束力和 惯性力在形式上构成平衡力系。这就是质点系 的达朗贝尔原理(形式2)。 由于质点系的内力总是成对存在，且等值 、反向、共线，因此上式中将不包含内力。
M B 0 : (W FI )(b R) P
2W (b R) Pl FI (b R) FA 2l l
2W (b R) Pl 静反力 2l Wa(b R) 附加动反力 gl
y
l FAl 0 2
R
FI ma
A
B
FA
a
l
P
FB
b
F
0 : FA FB W P FI 0
3 2 mvc mgs sinq T2 T1 W12 4、由动能定理 4 dvc ds 5、两端对t 求导,并注意 ac vc
dv 3 ds mvc c mg sinq 2 dt dt
dt
ac
dvc 1 1 gFS mg dt 3 6
W
FI
2W (l b R) Pl Wa(l b R) FB (静反力) (附加动反力) 2l gl
11.1.2 质点系的达朗贝尔原理 设质点系由n个质点组成，对每一个质点i，有
Fi FNi FIi 0 ( i 1,2,......,n )
该式表明: 质点系中每个质点上作用的主动力、 约束力和惯性力在形式上构成平衡力系。这就 是质点系的达朗贝尔原理(形式1)。 这样的方程共有n个，代表n个平衡力系， 相加后仍然为一平衡力系。由静力学知，空间 任意力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和 对于任一点的主矩等于零，即
x
( mi ri 2 )a J za 综合上述结果得
a O w qi ri xi
yi
cosqi
y
M IO M Ix i M Iy j M Iz k
Ft Ii
Fn Ii
xi y , sin qi i ri ri
x
11.2.2 刚体绕定轴转动
MIx J xza J yzw
11.2.2 刚体绕定轴转动
现在讨论以下三种特殊情况： M
1. 当转轴通过质心C时, aC ＝0, FIR＝0, MIO＝－JCa。 此时惯性力系简化为一惯 性力偶。
IO
O
FIR C
aC
w a
2. 当刚体作匀速转动时, a＝0, 若转轴不过质 心, 惯性力系简化为一惯性力 FIR, 且FIR ＝－ maC, 同时力的作用线通过转轴O。