上海七年级-数学-因式分解专题讲解
12.2因式分解的方法(运用完全平方公式因式分解)(课件)-七年级数学上册(沪教版2024)
2
即( x －3 y ) ＝0.∴ x －3 y ＝0.∴ x ＝3 y .∴ ＝3.
16. 将下列各式进行因式分解.
(1)简便计算： 8002－1 600×798＋7982；
【解】原式＝8002－2×800×798＋7982＝(800－798)2
＝4.
(2) b2－4 a2－1＋4 a ；
【解】原式＝ b2－(4 a2－4 a ＋1)＝ b2－(2 a －1)2
的大小关系为( B
)
A. M ＞ N
B. M ≥ N
C. M ≤ N
D. 不能确定
4. [2023太原期末]已知一个圆的面积为9π a2＋6π ab ＋π b2( a ＞0， b
＞0)，则该圆的半径是(
A )
A. 3 a ＋ b
B. 9 a ＋ b
C. 3 ab
D. 3π a ＋π b
5. 将多项式4 x2＋1加上一项，使它能化成( a ＋ b )2的形式，
= 8 + 2 .
2
2 −
2
− 10 2 − + 25.
解： 2 − 2 − 10 2 − + 25
= 2 − 2 − 2 • 2 − • 5 + 52
= 2 − − 5 2 .
分层练习-基础
1.下列可以用完全平方公式因式分解的是(
C )
A. 4 a2－4 a －1
课堂练习
课堂练习12.2 3
1. 口答 下列整式能用完全平方公式因式分解吗？为什么？
1
2 + 4 + 16;
解：不能.
3
9 2 − 24 + 16;
解：能.
12.1因式分解的意义(课件)-七年级数学上册(沪教版2024)
12.1因式分解的意义
学习目标
1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区
别和联系.（重点）
2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式
法分解因式.（难点）
情景导入
我们已经学习了整式的乘法，可以将几个整式的乘积化为一个整式如：
+ + = + + ;
因式分解一般要分解到每个因式都不能再分解为止，
如在 4 − 1的因式分解的过程中，因式 2 + 1不能继续因式分解，
2 − 1还能继续因式分解为 + 1 − 1 .
课本例题
例1
1
分析
Hale Waihona Puke 下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解？
− 2 + 3 = 2 + − 6;
1 等式 − 2 + 3
b=_______；
9
解题秘方：利用因式分解与整式乘法是互逆变形，可以
将因式分解的结果利用整式乘法算出多项式，并与已知
多项式比较解决问题.
(3)仿照以上方法解答下面的问题：已知把二次三项式
2x2+5x－k分解因式后有一个因式为2x－3，求其另一个
因式及k的值.
解题秘方：利用因式分解与整式乘法是互逆变形，可以
根据上述算式，完成下列因式分解：
5
2
（6）25
− 1 = (5x+1))(5x−1) 。
3² + 6 = 3x(x+2) 。
（7）a²−8a+16=
−4 ²
。
（8）2 − 5 − 6= − 6 + 1。
沪科版七年级下册数学精品教学课件-第8章-整式乘法与因式分解-公式法(2024版)
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有 分解到不能再分解为止.
1. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A．a2 ＋ ( - b)2
B．5m2 - 20mn
C．- x2 - y2
D． - x2 ＋ 9
2. 分解因式 ( 2x + 3 )2 - x2 的结果是（ D ）
A．3(x2 + 4x + 3)
B．3(x2 + 2x + 3)
C．(3x + 3)(x + 3)
x＋y ＝ 1①，
所以 x - y ＝ -2②.
联立①②组成二元一次方程组，
解得
x y
3 2
1 2
.
，
方法总结：在与 x2－y2，x±y 有关的求代数式 或未知数的值的问题中，通常需先因式分解， 然后整体代入或联立方程组求值.
例3 计算下列各题： (1) 1012 - 992； (2) 53.52×4 46解.52：×(41.) 原式＝(101＋99)(101－99)＝400.
因式吗？ 是 a，b 两数的平方差的形式
平方差公式： 整式乘法
( a + b )( a - b ) = a2 - b2 a2 - b2 = ( a + b )( a - b )
因式分解
两个数的平方 差，等于这两 个数的和与这 两个数的差的 乘积.
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，
为什么？ （1）x2 + y2 （2）x2 - y2
解析：∵ 16 = (±4)2，∴ - m = 2×(±4)，即 m = ±8.
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构 特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数 与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值. 计算过程中，要注意积的 2 倍的符号，避免漏解.
沪教版(上海)七年级第一学期9.5《因式分解》知识点与练习
一．因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
⑴因式分解与整式乘法互为逆变形：（乘积形式）()m a b c ma mb mc −−−−→++++←−−−−整式乘法因式分解（和差形式） 式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式⑵因式分解的常用方法：___________________________________________________。
⑶分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式；如果遇到二次三项式，则多考虑十字相乘法分解；如果项数大于等于4项，则尝试分组分解法；如果以上都搞不定，则采用添项与拆项，或者其他方法。
【注意】① 若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内．．．．．．不能再分解为止； ② 结果一定是乘积的形式；③ 每一个因式都是整式；④ 相同的因式的积要写成幂的形式。
(4)在分解因式时，结果的形式要求：①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解； ③单项式因式写在多项式因式的前面；第二讲 因式分解Ⅰ 模块一：提取公因式法④每个因式第一项系数一般不为负数；二．提取公因式法：公因式：几个单项式中相同因式最低次幂的积叫做这几个单项式的公因式。
系数——取多项式的各项系数的最大公约数；字母——取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂；且一般公因式的符号与多项式第一项的符号相同（即保证因式的第一项系数为正数）【例1】下列等式从左到右的变形是因式分解的有（ ）。
① ()a x y ax ay +=+； ② ()24444x x x x -+=-+；③ ()2105521x x x x -=-； ④ ()()2163443x x x x x x -+=+-+；⑤ ()()2224a a a +-=-； ⑥ ()ax ay az a x y z -+=-+； ⑦； ⑧ 。
沪科版七年级数学下册8.4《因式分解-十字相乘法》 课件
解：3x 2－10x＋3
x
－3
=(x－3)(3x－1) 3x
－1
－9x－x=－10x
例5 分解因式 5x2－17x－12
解：5x 2－17x－12 5x
＋3
=(5x＋3)(x－4) x
－4
－20x＋3x=－17x
练习二
分解下列因式：
(1)2x2-5x-3 =（2x+1)(x-3) (2)3x2+8x-3 =(3x-1)(x+3)
（3）x 2 14x 49
和差 积 分解因式 整式乘法
因式分解的实质是（“和差化积 ）”与（ 整式乘法） 是“积化和差”的过程正好（ 相反 ）。
观察和思考 X2-14x+49
（1）x2+3x+2 是几次几项式？二次项系数、
一次项系数、常数项分别是多少？
（2）它有公因式吗？能用平方差公式，完全 平方公式分解因式吗?
(x 3)(x 4) x2 7x 12 (x 3)(x 4) x2 x 12 (x 3)(x 4) x2 x 12
(x 3)(x 4) x2 7x 12
(x a)(x b) x2 (a b)x ab
等式左边是两个一次二项式（相乘 ） 右边是（ 二次三项式 ）
计算下列各题：
(x 3)(x 4) x2 7x 12 (x 3)(x 4) x2 x 12 (x 3)(x 4) x 2 x 12 (x 3)(x 4) x2 7x 12 问：你有什么快速计算类似多项式的方法吗？
(x a)(x b) x2 (a b)x ab
小结：
对于二次项系数不是1的二次三项 式分解的方法是“拆两头，凑中间”
上海初一因式分解的方法
上海初一因式分解的方法
因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是整式乘法的逆运算。
在上海初一的数学课程中，通常会学习以下几种基本的因式分解方法：
1.提公因式法：
这是最基本也是最常见的方法。
如果多项式的各项有公因式，那么可以先提取这个公因式，再进行因式分解。
例如：2x2+4x=2x(x+2)
2.公式法：
这里主要指的是平方差公式和完全平方公式。
平方差公式：a 2−b 2=(a+b)(a−b)
完全平方公式：a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2和a 2−2ab+b 2 =(a−b) 2
例如：x 2−4=(x+2)(x−2)
3.十字相乘法：
对于形如 ax2+bx+c 的二次多项式，如果 a 和 c 的因数能够交叉相乘得到 b，则可以使用十字相乘法进行因式分解。
例如：x 2−3x+2=(x−1)(x−2)
4.分组分解法：
当多项式项数较多，且部分项之间存在公因式或能利用公式分解时，可以先对多项式进行分组，然后分别进行因式分解，最后再进行合并。
例如：
x2+2xy+y2+x+y=(x2+2xy+y2)+(x+y)=(x+y)2 +(x+y)=(x+y)(x+y+1)
以上就是在上海初一通常会学习的因式分解方法。
通过不断练习和熟悉这些方法，学生将能够更好地理解和应用因式分解的概念。
串讲03 因式分解(9个常考点 5种重难点题型 2个易错)七年级数学上学期期中考点(沪教版2024)
请你选择一种方法因式分解：
mx － my ＋ nx － ny ；
【解】 mx － my ＋ nx － ny ＝( mx － my )＋( nx － ny )
＝ m ( x － y )＋ n ( x － y )＝( x － y )( m ＋ n ).
(1)3.2×202.4＋4.7×202.4＋2.1×202.4；
【解】 原式＝202.4×(3.2＋4.7＋2.1)
＝202.4×10＝2 024.
(2)36.8×
＋20.2×
【解】 原式＝
＝
×55＝13.
－2×来自.×(36.8＋20.2－2)
题型二：变形后利用提公因式法分解因式计算
B. 都是乘法运算
C. ①是因式分解，②是乘法运算
D. ①是乘法运算，②是因式分解
考点2 公因式的定义
4. [2023·永州]2 a2与4 ab 的公因式为
2a
5. 8 xmyn－1－12 x3 myn 各项的公因式是( D
A. xmyn
B. xmyn－1
C. 4 xmyn
D. 4 xmyn－1
2x3–2x2y+8y–8x
解
6k2+9km – 6mn–4kn
=2(x3–x2y+4y–4x)
=(6k2+9km) – (6mn+4kn)
=2[(x3–x2y) +(4y–4x)]
=3k(2k+3m) –2n (3m+2k)
=2[x2(x-y)-4(x-y)]
12.2因式分解的方法(第1课时 提公因式法)(课件)七年级数学上册(沪教版2024)
＝4 a ( x － y )＋2 b ( x － y )
＝2( x － y )(2 a ＋ b ).
7.先分解因式，再计算求值：
(1)4 x ( m －2)－3 x ( m －2)2，其中 x ＝1， m ＝3；
【解】4 x ( m －2)－3 x ( m －2)2
＝(2 x ＋ y )(2 x －3 y ＋3 x )＝(2 x ＋ y )(5 x －3 y ).
＋ ＝ ，
＋ = ，
∵
∴
∴原式＝3×(－2)＝－6.
− ＝ − .
+ = ，
14. 试说明817－279－913能被45整除.
【解】因为817－279－913＝328－327－326
2)( a ＋4).将 a ＝－2代入，得原式＝(－2－2)×(－2＋
4)＝－8.
分层练习-巩固
8. 计算320－318×6的值是( A
)
A. 319
B. 318
C. 3 2
D. 0
9. [新考法 数形结合法]△ ABC 的三边长分别为 a ， b ， c ，
且 a ＋2 ab ＝ c ＋2 bc ，则△ ABC 是(
提取公因式法.
新知探究
如何将6 2 + 9因式分解？
先找出6 2 + 9各项的公因式，再用提取公因式法因式分解. 这个整式有两项
6 2 与9, 这两项的系数6与9有最大公因数3，这两项的字母部分 2 与都含
有字母和, 且和的最低次数都是1，因此可提取公因式3，得
− = ，
= ，
所以
解得
沪教版(上海)初中数学七年级第一学期4因式分解—公式法-完全平方公式课件
特征 结构
2、有两个“项”的平方
3、有这两“项”的2倍或-2 倍
完全平方式：a2±2 a b ＋b2
直观模式：▲2±2 ▲ ●+ ●2 首2±2×首×末+末2
练习1:判断下列是不是完全平方式， 为什么？
（1) x2＋xy＋y2
否
（2) x2+6x＋9
是
（3) 16a2+1
否
（4)－2xy＋x2+y2
1、计算 1002－2×100×99+992 的结果是_______
2、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的 值
为为完全平方式：
X4+4x2+______
六、学后感想、畅所欲言
本节课你学会了什么？
1.完全平方式 a2±2ab＋b2
2.用完全平方公式因式分解 a2±2ab＋b2＝（a±b）2
是
（5) a2-6ab＋b2
否
（6) 25x4-10x2+1
是
（7) x2＋x＋1/4
是
（8) 1-m＋m2/4
是
练习2:请补上一项，使下列多项
式成为完全平方式
1 x2 __2_x_y___ y2
2 4a2 9b2 __1_2_a_b__
3 x2 __4_x_y__ 4 y2
ab 4 a2 _______ 1 b2 4
用公式法分解因式要注意些什么？
七、分层作业
1、基础训练：教材P48 练习8.14(2)。
2、拓展训练：
多项式:(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2
能用完全平方公式分解吗?
请各位老师指正
沪教版七年级数学秋季班讲义第八讲因式分解之公式法
第八讲：因式分解之公式法1．理解平方差公式的意义，弄清公式的形式和特点，并运用对比的方法弄清两种“平方差公式”的区别与联系，会初步运用平方差公式分解因式；2．会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法．回顾：复习乘法公式1．()()__________________a b a b +-=2．2()__________________a b +=2()_________________a b -=➢ 因式分解的平方差公式：22()()a b a b a b -=+-平方差公式的特征：公式左边是两个数的平方差，右边是两个因式积的形式，这两个因式分别逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫公式法。
为这两个数的和与这两个数的差．练习：1．下列多项式能用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解因式：22222(1)4(2)4()(3)4a b a b a +---+22211(4)4(5)(6)44a x x -----2．利用平方差公式因式分解：2(1)19x - 22(2)9x y -+ 42169(3)2516x y - 22(4)()()a b a c +-+3．用简便方法计算：22(1)9991001- 22(2)21.728.3-利用平方差公式因式分解总结：（1）能写成22a b -的式子，可以用平方差公式分解因式。
（2）公式中的a ，b 可以是单独的数字、字母，也可以是单项式、多项式。
➢ 因式分解的完全平方公式： 2222()a ab b a b ++=+2222()a ab b a b -+=-讨论平方差公式的特征： 公式左边是两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，右边是这两个数的和(或者差)的平方的形式．一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是同号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式．练习：1．下列多项式是否为完全平方式？22422222(1)69(2)21(3)251011(4)161(5)24(6)394x x a a x x a a a a b ab ++-++++++-+－2．利用完全平方公式进行填空：222(1)4(____)9(23)a b a b ++=+22(2)2510(_____)(5)x xy x y -+=-2(3)49x kx ++是一个完全平方式，则k 值为3．分解因式：222(1)9124(2)42025x x x xy y -+++22211(3)1(4)414216x x a b ab -+--+例1. 分解因式：22(1)3()27a a b ab +-4(2)1a -试一试：分解因式：()()3(1)9x y y x -+-222(2)(41)16a a +-例2. 分解因式：3223(1)363x y x y xy -+ ()()2(2)816x y x y ++++试一试：分解因式：()()223(1)69(2)210225x x x x y x y --------例3. 已知：322313,,228a b ab a b a b ab +==++求的值。
沪科版七年级下第8章 8.4.2 因式分解 公式法课件(15张PPT)
小试牛刀
判断下列各多项式是否可以用平方差公式进 行因式分解，如果可以，指出对应公式中的 a，b分别是什么，如果不能请说明理由。
(1)、a²-2ab+b² (2)、a²+b² (3)、-a²-b² (4)、a²-b (5)、a²-1 (6)、4a²-25b²(7)-16m²+1
）
3、分解因式：
（1）、4x²+4x+1 （2）、(x-2y)²+8xy
（3）、 1 x2 1 y2 （4）、(x+1)(x-1)-35
16 25
布置作业 课堂小册子
魅力数学
1、用简便方法计算：
1 1 1 1 1 1 1 1 ...1 1 4 9 16 25 10000
因式分解
引出概念
像这样运用公式进行因式分解的方法叫做公式 法
掌握运用
那么，我们如何运用公式法进行因式分解呢？ 观察刚才的等式
a²+2ab+b²=(a+b)² a²-2ab+b²=(a-b)² 等式左边的多项式具有什么特点？
特征： 项数 三项式 特点 两项能够写成完全平方数，另外 一项是它们底数积的2倍。 符号 完全平方数的两项符号相同
满足刚才三点要求就可以运用完全平方公式法来 因式分解了。
判断下列各多项式可以运用完全平方法进行分解 因式吗？
（1）x²-2x+1 （2）m²+2mn+n²（3）4a²+6ab+9b² （4）(a-b)²-2(a-b)+1（5）-a²+2ab-b²（6）2a²-b （7）x²-2xy-y ² （8）a²-ab+b²（9）m²+mn+n²
上海七年级-数学-因式分解专题讲解
上海七年级 数学 因式分解专题讲解一、提取公因式1、因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积得形式，叫做把这个多项 式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.例1、下列各式从左边右边的变形，哪些是因式分解？那些不是因式分解？（1）1)32(1322+-=+-a a a a ; （2）)11(1xy xy xy -=-； （3）1)1)(1(2-=-+a a a ； （5）22)21(412+=++x x x ;例2、指出下列各式中的公因式：（1）222343284b a b a a 、、- （2））（、、b a b a b a +++9-)(6)(332 （3）m m a a 1832、-2、提取公因式的注意事项（1）、如果多项式的首项是负数时，一般应先提出“—"号，是括号内的第一项系数是正数，然后再对括号内的多项式进行提取公因式。
例：)23(4)812(8122222b a ab ab b a ab b a +-=+-=--（2）利用提取公因式法分解因式时，一定要“提干净”。
也就是说当一个多项式提出公因式后,剩下的另一个因式中应该已经没有可以提取的公因式了；若发现还有公因式必须要再次提取,否则因式分解就不彻底，没有完成。
（3）注意避免出现分解因式的漏项问题，一般提取公因式后,括号里的多项式项数应与原多项式的项数一致。
例：)132(22642++=++y x x x xy x ，不能写成)32(22642y x x x xy x +=++（4）多项式的公因式可以是数字、字母，也可以是单项式，还可以是多项式,当把多项式作为公因式提出来时，要特别注意同一字母的排列序，要设法结合相关知识进行转化，使之成为完全相同的因式时再提取公因式，否则容易出现负号上的错误。
例：)()()()()()(22323n mb ma b a b a n b a m a b n b a m ---=---=--- 例3、分解因式：=-+-422231869y x y x y x例4、将下列各组中的整式写成他们的公因式与另一公因式相乘的形式：（1）a a 463-、； （2）32394278xy y x -、； （3）322)(51)(3b a x b a x ++、； (4）)(3)(2m a x a m --、；例5、已知关于x 的二次三项式n mx x ++22因式分解的结果是)41)(12(+-x x ，求n m 、的值？例6、在物理电学中，求串联电路的总电压是有公式321IR IR IR U ++=，当5.2,9.35,4.32,7.31321====I R R R 时,求电压U 的值?3、整式乘法与因式分解有什么关系？整式乘法是一种求几个因式的积的运算，它的最后结果是和或差的形式，是一个多项式.而因式分解则是把多项式化为几个整式的积的形式。
整式乘法与因式分解(全章复习与巩固)(知识讲解)-七年级数学下册基础知识专项讲练(沪科版)
专题8.43整式乘法与因式分解（全章复习与巩固）（知识讲解）1.掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2.会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；4.理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.【要点梳理】要点一、整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.特别说明：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c++÷=÷+÷+÷=++要点二、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b+-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.特别说明：在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2.完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.要点三、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分组分解法,十字相乘法,添、拆项法等.特别说明：落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，一次一次又一次.【典型例题】【类型一】整式的乘法➽➼直接运算✮✮化简求值1、计算：(1)()3232x y xy ⋅-．(2)()()5232x y x y +-．【答案】(1)5424x y -(2)221544x xy y --【分析】（1）根据积的乘方公式和单项式乘单项式运算法则进行计算即可；（2）根据多项式乘多项式运算法则进行计算即可．（1）解：()3232x y xy ⋅-()23338x y x y ×-=231324x y ++=-5424x y =-；（2）解：()()5232x y x y +-53522322x x x y y x y y=⋅-⋅+⋅-⋅22151064x xy xy y =-+-221544x xy y =--．【点拨】本题主要考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式运算法则，积的乘方公式和单项式乘单项式运算法则，准确计算．举一反三：【变式1】计算：()()222321x x x -⋅-+-．【答案】6549189x x x -+-【分析】根据积的乘方及单项式乘以多项式可进行求解．解：()()222321x x x -⋅-+-()42921x x x =⋅-+-6549189x x x =-+-．【点拨】本题主要是考查积的乘方及单项式乘以多项式，熟练掌握各个运算法则是解题的关键．【变式2】计算：()()()()22241x y y y x y +-+-+【答案】24362y xy x y---【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可．解：()()()()22241x y y y x y +-+-+222242244xy x y y y y xy x=-+-++--24326y xy y x =---．【点拨】本题考查了整式的乘除，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则是解题的关键．2、先化简再求值：(3)(1)(1)x y x y ++--，其中122x y =-=-．【答案】233x y ++，4-．【分析】对整式去括号，合并同类项，然后把x 、y 的值代入整式即可得出整式的值．解：(3)(1)(1)x y x y ++--33x xy y xy x=+++-+233x y =++，当122x y =-=-时．原式()1232342⎛⎫=⨯-+⨯-+=- ⎪⎝⎭．【点拨】本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．举一反三：【变式1】先化简，再求值：222312122323333x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+---+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中2x =，1y =-．【答案】23xy xy +；43-【分析】根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项，最后将字母的值代入即可求解．解：222312122323333x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+---+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2232322212333939x xy xy y y x =-++--++23xy xy =+；当2x =，1y =-时，原式()()221213⨯-=⨯-+223=-+43=-．【点拨】本题考查了整式的化简求值，掌握多项式乘以多项式以及多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．【变式2】已知()()232x mx x n +-+的展开式中不含x 的一次项，常数项是6-．(1)求m ，n 的值．(2)求()()22m n m mn n +-+的值．【答案】(1)32m n ==，(2)35【分析】（1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，进而得出m ，n 的值；（2）利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案．（1）解：()()232x mx x n +-+3222263x nx mx mnx x n=+++--()()322263x n m x mn x n =+++--，由题意可知：60mn -=，36n -=-，解得：32m n ==，；（2）解：()()22m n m mn n +-+322223m m n mn m n mn n =-++-+33m n =+，当32m n ==，时，原式333227835=+=+=．【点拨】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．【类型二】乘法公式➽➼直接运算✮✮化简求值3、计算：(1)()22()x y x xy y +-+(2)22(35)(23)x x --+【答案】(1)33x y +(2)254216x x -+【分析】（1）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解；（2）根据完全平方公式分别计算，然后合并同类项即可求解．（1）解：原式322223x x y xy x y xy y =-++-+33x y =+；（2）解：原式()22930254129x x x x =-+-++22930254129x x x x =-+---254216x x =-+．【点拨】本题考查了多项式乘以多项式，完全平方公式，掌握整式乘法运算的运算法则以及乘法公式是解题的关键．举一反三：【变式1】计算：()()()()22232x y x y x y x x y -++---．【答案】22x 【分析】根据完全平方公式，平方差公式以及整式的加减运算，求解即可；解：原式22222224322x xy y x y x xy x =-++--+=．【点拨】此题考查了完全平方公式，平方差公式以及整式的加减运算，解题的关键是掌握整式的相关运算法则．【变式2】计算：(1)2(32)(32)(32)x y x y x y ---+(2)()()()222226x x x ---【答案】(1)2128xy y -+(2)2812x -+【分析】（1）利用完全平方公式及平方差公式去括号，再加减法；（2）根据多项式乘以多项式及幂的乘方去括号，再计算加减法．（1）解：2(32)(32)(32)x y x y x y ---+()2222912494x xy y x y =-+--2222912494x xy y x y =-+-+2128xy y =-+；（2）()()()222226x x x ---42246212x x x x =--+-2812x =-+．【点拨】此题考查了整式的混合运算，正确掌握完全平方公式、平方差公式、多项式乘以多项式及幂的乘方计算法则是解题的关键．4、先化简后求值：(1)2(5)(5)(2)(2)(1)x x x x x +---++-，其中3x =(2)()()()2123222x y x y x y y ⎛⎫⎡⎤---+÷ ⎪⎣⎦⎝⎭，其中2x =，3y =．【答案】(1)2531x x +-；7-(2)2420x y -+，12【分析】（1）按照平方差公式，完全平方公式，多项式乘以多项式展开，再合并同类项得到最简代数式，再代入x 取值求出代数式的值．（2）利用完全平方公式和平方差公式进行化简，再按照多项式除以单项式的运算法则进行计算，最后代入求值即可．解：（1）2(5)(5)(2)(2)(1)x x x x x +---++-22225(44)2x x x x x =---+++-22225442x x x x x =--+-++-2531x x =+-将3x =代入得：2531x x +-235331=+⨯-7=-（2）()()()2123222x y x y x y y ⎛⎫⎡⎤---+÷ ⎪⎣⎦⎝⎭22221(41294)()2x xy y x y y =-+-+÷21(1210)()2xy y y =-+÷2420x y=-+将2x =，3y =代入得：2420x y-+242203=-⨯+⨯12=【点拨】本题主要考查整式化简求值，掌握完全平方公式和平方差公式以及整式的混合运算法则是解题的关键．举一反三：【变式1】若23m m +=，求2(2)(2)m m m -++的值．【答案】10【分析】利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则先计算乘方和乘法，然后合并同类项进行化简，最后利用整体思想代入求值．解：2(2)(2)m m m -++22244m m m m =-+++2224m m =++当23m m +=时，原式22()423410m m =++=⨯+=【点拨】本题考查整式的混合运算，理解整体思想解题的应用，掌握完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+是解题关键．【变式2】先化简，再求值：()()()()2222222a b a b b a a a b a ⎡⎤-+-+--÷⎣⎦，其中a 、b满足()2210a b -++=【答案】a b --，1-【分析】根据整式的运算法则及绝对值和偶次方的非负性即可求出答案．解：原式()22222444422a ab b a b a ab a ⎡⎤=-++---÷⎣⎦()22222444422a ab b a b a ab a=-++--+÷()2224422a ab a ab a=--+÷()2222a ab a=--÷a b =--，∵()2210a b -++=，∴20a -=，10b +=，∴2a =，1b =-，当2a =，1b =-时，原式()211=---=-．【点拨】本题考查整式的运算及绝对值和偶次方的非负性，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．【类型三】整式的乘法✮✮乘法公式➽➼变形运算✮✮图形问题5、（1）已知11=54m n =，求代数式()()222525m n m n +--的值；（2）已知13ab a b =--=，，求22a b +的值．【答案】（1）40mn ，2；（2）7【分析】（1）先用平方差公式将原式进行化简，再将11=54m n =，代入进行计算即可；（2）根据完全平方公式的变形进行计算即可得到答案．解：（1）()()222525m n m n +--()()()()25252525m n m n m n m n =++-⋅+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦410m n=⋅40mn =，当11=54m n =，时，原式114040254mn ==⨯⨯=；（2） 13ab a b =--=，，()22222327a b a b ab ∴+=-+=-=．【点拨】本题考查了求代数式的值，运用平方差公式、完全平方公式的变形进行计算，熟练掌握平方差公式以及完全平方公式的变形是解题的关键．举一反三：【变式1】已知实数m ，n 满足6m n +=，3=-mn ．(1)求()()22m n ++的值；(2)求22m n +的值．【答案】(1)13(2)42【分析】（1）先根据多项式乘以多项式的计算法则将所求式子变形为()24mn m n +++，再把已知条件式整体代入求解即可；（2）根据()2222m n m n mn +=+-进行求解即可．（1）解：()()22m n ++224mn m n =+++()24mn m n =+++，∴当6m n +=，3=-mn 时，原式326413=-+⨯+=；（2）解：∵6m n +=，3=-mn ，∴()()2222262336642m n m n mn +=+-=-⨯-=+=．【点拨】本题主要考查了多项式乘多项式——化简求值，完全平方公式的变形求值，正确计算是解题的关键．【变式2】利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料：阅读材料：若22228160m mm n n -+-+=，求m 、n 的值．解：∵22228160m mn n n -+-+=，∴()()22228160m mn n n n -++-+=，∴()()2240m n n -+-=，∴()20m n -=，()240n -=，∴4n =，4m =．根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知2245690a ab b b ++++=，求a 、b 的值；(2)已知ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2242460a a b b -+-+=，求c 的值；【答案】(1)63a b ==-，；(2)2c =．【分析】（1）将多项式拆分为完全平方展开式的形式，最后配凑为完全平方，再根据平方的性质求解；（2）先配凑完全平方公式求出a ，b 值，再根据三角形三边关系求出第三边．（1）解：∵2245690a ab b b ++++=，∴22244690a ab b b b +++++=，∴()()22230a b b +++=，∴2030a b b +=+=，，∴63a b ==-，；（2）解：∵2242460a a b b -+-+=，∴()22442210a ab b -++-+=∴()()222210a b -+-=，∴2010a b -=-=，，解得21a b ==，，∵a 、b 、c 是ABC 的三边长，∴2121c -<<+，即13c <<，∵c 是正整数，∴2c =．【点拨】本题考查完全平方公式的应用，三角形三边关系的应用，解题的关键是合理配凑完全平方公式．6、请认真观察图形，解答下列问题：(1)根据图中条件，用两种方法表示阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）①________________②________________；(2)由（1）你能得到怎样的等量关系？请用式子表示：________________(3)如果图中的a b a b 、（＞）满足225314a b ab +==，.求：①a b +的值②22a b -的值【答案】(1)①22a b +，②22a b ab +-（）(2)22a b +=22a b ab +-（）；(3)①9a b +=±，②45【分析】(1)根据阴影部分的面积与空白部分的面积关系即可求出结果；（2）根据阴影部分的面积相等即可求出结果；（3）根据完全平方式与已知条件即可求出对应值．（1）解：∵图中阴影部分的面积由两部分组成，第一部分的面积为2a ，第二部分的面积为：2b ；∴阴影部分的面积的第一种表示方法为22a b +．∵大正方形的面积为()2222a b a ab b +=++；空白部分的面积为2ab ab ab +=，∴阴影部分的面积为：()22222222a b ab a ab b ab a b +-=++-=+，故答案为：①22a b +；②()22a b ab +-．（2）解：由（1）可知阴影部分的面积相等，∴()2222a b a b ab +=+-，故答案为：()2222a b a b ab +=+-；（3）解：①∵()2222a b a b ab +=+-，∴()2222a b ab a b ++=+，∵225314a b ab +==，，∴()25321481a b +=+⨯=，∴9a b +=±，∵0a >，0b >，∴9a b +=；②∵()2222a b a b ab +=+-，∴()()2222222222a b a b ab a ab b ab a b ab +=+-=++-=-+，∴()2222a b ab a b +-=-，∵225314a b ab +==，，∴5321425-⨯=，∴()225a b -=，∴5a b -=±，∵0a >，0b >，a b>∴5a b -=，∴()()229545a b a a b b -⨯-＝＋＝＝．【点拨】本题考查了完全平方式和平方差公式的几何意义，熟练公式法是解题的关键．举一反三：【变式1】图1是一个长为2a 、宽为2b 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．(1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于___________；面积等于___________．(2)观察图2，请你写出下列三个代数式()()22a b a b +-，，ab 之间的等量关系为___________．(3)运用你所得到的公式，计算：若m 、n 为实数，且5mn =，4m n -=，试求m n +的值．【答案】(1)a b -，()2a b -或()24a b ab +-(2)()()22a b a b +--4ab =(3)±6【分析】（1）根据图中给出的数据即可求得图乙中阴影部分正方形边长，根据正方形的面积公式求得面积；（2）用两种不同方式求得阴影部分面积可得关于()2a b +、()2a b -、ab 的等式；（3）根据（2）中结论即可解题．解：（1）图中阴影部分边长为a b -，则阴影部分的面积为()2a b -或()24a b ab +-故答案为：a b -；()2a b -或()24a b ab +-；（2）用两种不同的方法表示阴影的面积：方法一：阴影部分为边长()a b =-的正方形，故面积()()()2a b a b a b =--=-；方法二：阴影部分面积a b =+为边长的正方形面积-四个以a 为长、b 为宽的4个长方形面积()24a b ab =+-；∴22()4()a b ab a b +-=-；即()()22a b a b +--4ab =，故答案为：()()224a b a b ab +--=；（3）由（2）得，()()224m n m n mn +--=，∴()22420m n +-=，∴m n +=±6．【点拨】本题考查了完全平方公式的计算，考查了正方形面积计算，本题中求得22()4()a b ab a b +-=-是解题的关键．【变式2】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积可以得到一个恒等式图将一个边长为a b +的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请观察图形，解答下列问题：(1)根据图中条件，用两种方法表示该图形的总面积，可得如下公式：；(2)如果图中的a 、(0)b a b >>满足2270a b +=，15ab =，求a b +的值；(3)已知22(9)(1)124x x ++-=，求(9)(1)x x +-．【答案】(1)()2222a b a ab b +=++；(2)10；(3)12．【分析】（1）依据该图形的总面积为2()a b +或222a ab b ++可得结果；（2）由（1）题结果可得222()2a b a ab b +=++，将2270a b +=，15ab =可求得2()a b +即a b +的值；（3）设9x a +=，1x b -=，则(9)(1)10a b x x -=+--=，依据222()2a b a b ab -=+-代入计算可求得12ab =即可求出(9)(1)x x +-．（1）解：该图形的总面积为：2()a b +或222a ab b ++故答案为：()2222a b a ab b +=++；（2）由（1）题结果可得222()2a b a ab b +=++，∴当2270a b +=，15ab =时，2()70215100a b +=+⨯=，∴10010a b +=；（3）设9x a +=，1x b -=，∴(9)(1)10a b x x -=+--=，则2222(9)(1)x x a b ++-=+，∵222()2a b a b ab -=+-，10a b -=，22124a b +=，∴1001242ab =-，∴12ab =，∴(9)(1)12x x +-=．【点拨】本题考查了完全平方公式的证明及应用；解题的关键是熟练掌握完全平方公式．【类型四】因式分解➽➼直接进行因式分解✮✮因式分解的应用7、因式分解．(1)2123mn n -;(2)228168a ab b -+【答案】(1)()34n m n -(2)28()a b -【分析】（1）利用提公因式进行分解，即可解答；（2）先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可解答．解：（1）()223143mn n n m n =--；（2）228168a ab b -+228(2)a ab b =-+28()a b =-．【点拨】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．举一反三：【变式1】因式分解：(1)322363a a b ab -+．(2)2()16()a x y y x -+-【答案】(1)()23a a b -(2)()()()44x y a a -+-【分析】（1）提取公因式3a ，再根据完全平方公式分解因式即可；（2）将()y x -变形为()x y --，提取公因式()x y -，再根据平方差公式分解因式．（1）解：原式()2232a a ab b =-+()23a a b =-；（2）解：原式()()216a x y x y =---()()216x y a =--()()()44x y a a =-+-【点拨】本题考查了综合提公因式与公式法分解因式，熟练掌握常用因式分解的方法是解题的关键．【变式2】我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．①分组分解法：例如：()()()()2222222424222x xy y x xy y x y x y x y -+-=-+-=--=---+．②拆项法：例如：()()()()()22222321412121213x x x x x x x x x +-=++-=+-=+-++=-+．仿照以上方法分解因式：(1)22441x x y +-+；(2)268x x -+．【答案】(1)()()2121x y x y +++-(2)()()24x x --【分析】（1）采用分组法，结合完全平方公式和平方差公式分解因式即可；（2）将原式先变形为2268691x x x x -++-=-，再按照完全平方公式和平方差公式分解因式即可．（1）解：22441x x y +-+22441x x y =++-()2221x y =+-()()2121x y x y =+++-；（2）解：268x x -+2691x x =-+-()231x =--()()3131x x =-+--()()24x x =--．【点拨】本题主要考查了因式分解，解题的关键是理解分组分解法，熟练掌握平方差公式，完全平方公式．8、利用完全平方公式进行因式分解，解答下列问题：(1)因式分解：244x x -+=________．(2)填空：①当2x =-时，代数式244x x ++=_______；②当x =________时，代数式2690x x -+=．③代数式2820x x ++的最小值是________．(3)拓展与应用：求代数式226828a b a b +-++的最小值．【答案】(1)2(2)x -(2)①0②3③4(3)3【分析】（1）根据完全平方公式将原式进行因式分解即可；（2）①将2x =-代入求解即可；②解方程2690x x -+=，即可获得答案；③将代数式变形为2(4)4x ++，根据非负数的性质即可确定答案；（3）将代数式226828a b a b +-++变形为22(3)(4)3a b -+++，根据非负数的性质即可确定答案．（1）解：2244(2)x x x -+=-．故答案为：2(2)x -；（2）①当2x =-时，244x x -+2(2)4(2)4=--⨯-+0=；②∵2690x x -+=，∴2(3)0x -=，∴当3x =时，代数式2690x x -+=；③∵2820x x ++2(4)4x =++，又∵2(4)0x +≥，∴当4x =-时，代数式2820x x ++的最小值是4．故答案为：①0；②3；③4；（3）解：∵原式22698163a ab b =-+++++22(3)(4)3a b =-+++，又∵2(3)0a -≥，(4)0b +≥，∴原式3≥，代数式226828a b a b +-++的最小值是3．【点拨】本题主要考查了因式分解的应用、代数式求值、非负数的性质等知识，解题关键是理解题意，利用因式分解的方法和非负数的性质解答．举一反三：【变式1】仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式24x x m -+有一个因式是()3x +，求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为()x n +，得()()243x x m x x n -+=++则()22433x x m x n x n-+=+++∴343n m n+=-⎧⎨=⎩解得：7n =-，21m =-∴另一个因式为()7x -，m 的值为-21．问题：(1)已知二次三项式26x x a ++有一个因式是()5+x ，求另一个因式以及a 的值；(2)已知二次三项式26x x p --有一个因式是()23x +，求另一个因式以及p 的值．【答案】(1)另一个因式()1x +，a 的值为5(2)另一个因式为()35x -，p 的值为15【分析】（1）设另一个因式是()x b +，则()224=33x x m x x b b -++++，根据对应项的系数相等即可求得b 和k ．（2）设另一个因式是()3x m +，利用多项式的乘法法则展开，再根据对应项的系数相等即可求出m 和p ．（1）解：设另一个因式为()x b +()()265x x a x x b ++=++则()22655x x a x b x b++=+++∴565b b a+=⎧⎨=⎩解得：1b =，5a =另一个因式()1x +，a 的值为5（2）解：设另一个因式为()3x m +，得()()26323x x p x m x --=++，则()2266923x x p x m x m--=+++∴9213m m p+=-⎧⎨=-⎩解得：5m =-，15p =∴另一个因式为()35x -，p 的值为15．【点拨】本题考查了因式分解的意义，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是解题的关键．【变式2】（1）计算：20232022(2)(2)-+-；（2）一个长方形的长与宽分别为a ，b ，若该长方形的周长为14，面积为5，求2332363ab a b a b ++的值．【答案】（1）20222-；（2）105【分析】（1）逆用同底数幂的乘法公式进行运算即可；（2）根据长方形的周长为14，面积为5，得出()214a b +=，5ab =，然后对2332363ab a b a b ++进行分解因式，最后整体代入求值即可．解：（1）20232022(2)(2)-+-()()()20222022222=-⨯-+-20222022222=-⨯+()2022212=-+⨯20222=-；（2）∵长方形的周长为14，面积为5，∴()214a b +=，5ab =，即7a b +=，5ab =，2332363ab a b a b++()2232ab b ab a =++()2=+3ab a b=⨯⨯357=．105【点拨】本题主要考查了幂的运算，分解因式的应用，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法，完全平方公式，注意整体代入思想的应用．。
沪教版七年级因式分解知识要点
因式分解重点：理解因式分解的含义，会用提公因式法和公式法进行因式分解。
1. 因式分解把一个多项式化为几个整式的乘积形式，就是因式分解。
因式分解与整式乘法互为逆运算。
2. 提公因式法多项式ma＋mb＋mc中的每一项都含有一个相同的因式m，我们称之为公因式。
把公因式提出来，多项式ma＋mb＋mc就可以分解为两个因式m 和（a＋b＋c）的乘积了，像这样因式分解的方法，叫提公因式法。
注意：⑴提公因式时，必须是所有项的因式。
⑵公因式的系数是多项式中各因式系数的最大公约数。
⑶公因式中字母的指数应是各因式中相同字母的指数的最低次。
3. 公式法利用乘法公式对多项式进行因式分解的方法，叫公式法。
注意：⑴总项数（三项、两项）、以及平方项的系数符号（同号、异号）⑵平方数培养数感：能认出题中的平方数（１，４，９，1……）4⑶分清公式中的a、b （可以是数，单项式或多项式）4. 分组分解法要把多项式am＋an＋bm＋bn分解因式，没有公因式可提，也不能直接运用公式，如果先把前两项分成一组，并提出公因式a，把它的后两项分成另一组，提出公因式b，从而得到，这时又有公因式，于是提出，从而得到，这种方法叫分组分解法。
注意：⑴总项数（四项或四项以上）⑵常见题多为四项，二四分：两两分组，再提公因式。
一三分：一个三项一组（用完全平方公式），另一个一项一组（平方项），这两组再用平方公式。
5. 十字相乘：对于二次项系数为l 的二次三项式,2q px x ++ 寻找满足ab=q ，a+b=p 的a ，b ，如有，则);)((2b x a x q px x ++=++对于一般的二次三项式),0(2≠++a c bx ax 寻找满足a 1a 2=a ，c 1c 2=c,a 1c 2+a 2c 1=b 的a 1，a 2，c 1，c 2，如有，则).)((22112c x a c x a c bx ax ++=++6. 分解的步骤一般是：（一提、二套、三检查）①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.【典型例题】例1. 分解因式（1）（2）（3）分析：（1）先提公因式5x ，提公因式后另一个因式为，仍可用平方差公式继续分解。
12.2因式分解的方法(第4课时 十字相乘法)(课件)-七年级数学上册(沪教版2024)
解法：
am＋an＋bm＋bn
＝(am＋an)＋(bm＋bn)
＝a(m＋n)＋b(m＋n)
＝(m＋n)(a＋b)．
观察上述因式分解的过程，解答下列问题：
(1)分解因式：mb－2mc＋b2－2bc；
解：原式＝(mb－2mc)＋(b2－2bc)
＝m(b－2c)＋b(b－2c)
＝(b－2c)(m＋b)；
(2)△ABC三边a，b，c满足a2－4bc＋4ac－ab＝0，判
−2
4 2 − 11 − 12.
1
1
−2
6
4 2 − 11 + 12
= + 1 − 12 .
1
1
1
−12
新知探究
如何将 2 + 7 + 12 2 因式分解？
类比二次三项式 2 + 7 + 12的因式分解，同样考虑十字相乘法.
将 2 + 7�� + 12 2 看作关于的二次三项式，它的二次项系数是1，
.
一次项的系数
课本例题
例7
1 2 + 7 + 12;
解 1 2 + 7 + 12
= +3 +4 .
2 2 − 8 + 12;
1
1
3
4
3 2 + 4 − 12；
3 2 + 4 − 12
= −2 +6 .
2 2 − 8 + 12
= −6 −2 .
1
1
−6
如果关于x的二次三项式 2 + + 的常数项q能分解成两个因
数与的积，且一次项系数p又恰好等于a + b,那么 2 + + 就可
沪教版初中数学七年级第一学期 因式分解复习 课件 优秀课件资料
4.下列多项式分组分解是否正确？
(1)a22a b2b1(a22a)b(2b1) (2)4m24mn21(4m2n2)(4m1)
三、练一练
因式分解第一组
(1) x(ab)y(ba) (2) 6x(x y) 2y(x y) (3) x2 y2 3x3y (4) 4a2 2abb2
注意点：要分解到不能再分为止， 括号内合并同类项后注意把数字因 数提出来。
这节课学到了…… 这节课我收获到了
四、课堂小结
1 审题是关键
是计算还是因式分解
2 重点强调 1)先提公因式，再分析项数 2)分解到不能再分解为止
五、拓展应用
例 1:已m 知 n8,mn 2,则 m2 nm 2n的值
例 2:若 2ab0,则 4a2b21的值。
尝试练习：
1.已知 ab3, 其中 x,y互为倒数， 求a2xy2abxyb2xy的值。
2.已知ab 3,ab 2,求 （1）a2 b2的值; （2）a4 b4的值。
六、探究与活动
因式分解：x(x2)3
解 x(x 2) 3 x2 2x 3 ( x 3)( x 1)
变试训练：
( 1 ) x 2 2 x y 3 y 2 ( 2 ) ( x 4 y ) 2 2 ( x 4 y ) 3
五、世界上没有比人生更艰难的艺术，因为其他的艺术或学问，到处都有老师。因此，我们要在人生的逆境中学会坚强，拼搏，向上的精神， 不要向困难低头。
19.以真诚为准则是自我修养的关键，弄清楚哪些是好的言行举动，又是坚持真诚的根本。 六、不忘初心，能得始终，永远不要放弃属于自己的梦想，但也不能纠结着坚持着错误的，失去淡然。
沪教版 七年级(上)数学 秋季课程 第7讲 因式分解(二)
本节课继续学习因式分解的另外两种方法——十字相乘法和分组分解法．理解十字相乘法和分组分解法的概念，掌握十字相乘法分解二次项系数为1的二次三项式，能够用分组分解法分解含有四项以上的多项式．重点能够灵活运用十字相乘法与分组分解方法进行分解因式，能够与前两种的方法相结合．难点能够总结归纳这两种方法所针对的多项式，可以在分解因式的时候快速确定方法．1、二次三项式：多项式2ax bx c ++，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c为常数项．2、十字相乘法的依据利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用多项式的乘法法则． 如在多项式乘法中有：2()()()x a x b x a b x ab ++=+++， 反过来可得：2()()()x a b x ab x a x b +++=++．因式分解（二）内容分析知识结构模块一：十字相乘法知识精讲2 / 153、十字交叉法的定义一般地，22()()()x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++可以用十字交叉线表示为：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法． 4、用十字相乘法分解的多项式的特征 （1）必须是一个二次三项式；（2）二次三项式的系数为1时，常数项能分解成两个因数a 和b 的积，且这两个因数的和a b +正好等于一次项系数，这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”；（3）对于二次项系数不是1的二次三项式，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定． 5、用十字相乘法因式分解的符号规律（1）当常数项是“+”号时，分解的两个一次二项式中间同号；（2）当常数项是“-”号时，分解的两个一次二项式的因式中间是异号；（3）当二次项系数为负数是，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项．【例1】下列各式不能用十字相乘法分解因式的是（）．A .223x x --B .22x x -+C .22x x --D .232x x -+【例2】因式分解225148x xy y -+正确的是（ ）．A .()()58x y x y --B .()()58x y x y --C .()()524x y x y --D .()()542x y x y --【例3】分解因式：（1）256___________x x -+=； （2）26___________x x --=；例题解析（3）2231___________x x -+=； （4）2321__________a a --=．【例4】分解因式：（1）()()21024_______________a b a b ----=； （2）22222566_______________a x a xy a y --=．【例5】对于一切x ，等式2(1)(2)x px q x x -+=+-均成立，则24p q -的值为__________．【例6】若二次三项式215x ax -+在整数范围内可以分解因式，那么整数a 的值为_________．4 / 15【例7】分解因式：（1）23148x x -+；（2）21166a a --+；（3）()225()6a b c a b c ---+；（3）4224109x x y y -+；（5）()()222812x x x x +-++．【例8】分解因式：（1）220920x x --+； （2）539829x x x -+；（3）()22234x x --；（4）()()22247412x x x x ++++；（5）()()2223234x x x x ---+．【例9】用简便方法计算：2998998016++．【例10】已知()()22223540x y xy +++-=，试求22x y +的值．【例11】试判断：当k 为大于等于3的正整数时，5354k k k -+一定能被120整除．【例12】分解因式：（1）()()22323416x x x x +-++-；（2）()()()()312424x x x x --+++；（3）()22214(1)y x yx y ----．【例13】分解因式（1）2231092x xy y x y --++-；（2）222456x xy y x y +--+-．1、分组原则：（1）分组后能直接提取公因式；（2）分组后能直接运用公式． 2、分组分解法分解因式的几点注意（1）分组分解法主要应用于四项以上（包括四项）的多项式的因式分解； （2）解题时仍应首先考虑公因式的提取，公式法的应用，其次才考虑分组；（3）分组方法的不同，仅仅是因为分解的手段不同，各种手段的目的都是把原多项式进行因式分解；模块二：分组分解法知识精讲6 / 15（4）五项式一般采用三项、两项分组；（5）六项式采用三、三分组，或三、二、一分组，或二、二、二分组；（6）原多项式中带有括号时一般不便于分组时可先将括号去掉，整理后再分组分解．【例14】把多项式2242x x y y ---用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是（ ）．A .()()2242x y x y --+B .()224(2)x y x y --+C .224(2)x x y y -++D .()()2242x x y y --+【例15】把多项式2221xy x y --+分解因式（ ）．A .()()11x y y x -+-+B .()()11x y y x ---+C .()()11x y x y ---+D .()()11x y x y -+-+【例16】将多项式2a ab ac bc -+-分解因式，分组的方法共有________种．【例17】（1）若3223a a b ab b --+有因式()a b -，则另外的因式是____________．（2）若多项式3233x x x m +-+有一个因式为()3x +，则m 的值为____________．例题解析【例18】分解因式：（1）221448x y xy --+； （2）2222242a x a y a xy -+-； （3）234416x x x +--；（4）3223x x y xy y +--．【例19】分解因式：（1）222ax ay x xy y --+-；（2）22222x x xy y y --+-．【例20】分解因式：（1）54321x x x x x +++++；（2）222212x y z yz x ---+-．【例21】分解因式：（1）243(34)x y x y +-+；（2）2222()()ab c d cd a b +++．【例22】请将下列多项式因式分解，并求值：（1）2214129x xy y -+-，其中1823x y ==，；（2）22446125x xy y x y -+-++，其中28x y =+．8 / 15【例23】当2a c b +=时，求式子22244a c b bc --+的值．【例24】用因式分解的方法说明当n 为任意正整数时，代数式223232n n n n ++-+-的值一定是 10的整数倍．【例25】求证：无论x y 、为何值，2241293035x x y y -+++的值恒为正．【例26】如果多项式2223352kx xy y x y --+-+能分解成两个一次因式乘积， 求250.25k k ++的值．【例27】对于多项式32510x x x -++,我们把2x =代入多项式，发现2x =能使多项式 32510x x x -++的值为0，由此可以断定多项式32510x x x -++中有因式()2x -．［注：把x a =代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式()x a -］，于是我们可以把多项式写成：32510(2)()x x x x x mx n -++=-++，分别求出m n 、后再代入3510x x x -++=()()22x x mx n -++，就可以把多项式32510x x x -++因式分解．（1）求式子中m n 、的值．（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式32584x x x +++．随堂检测10 / 15【习题1】下列多项式不能用十字相乘法分解因式的是（）．A .22x x +-B .223103x x x -+C .232x x -+D .2267x xy y --【习题2】下列因式分解错误的是（ ）．A .()()2a bc ac ab a b a c -+-=-+B .5315(5)(3)ab a b b a -+-=-+C .22619(31)(31)x xy y x y x y --+=+++-D .2326(3)(2)x xy x y x y x +--=+-【习题3】分解因式：25____(___)(4)x x x x ++=++．【习题4】若()()23x x -+是二次三项式2x mx n -+的因式分解的结果，则m 的值是_______．【习题5】若()()215x kx x a x b --=++，则a b +的值不可能是（）．A .14B .16C .2D .14-【习题6】分解因式： （1）3246____________ab a b -+-+=； （2）22____________a bx a cx bx cx --+=；（3）22244_____________a a b b --+=．【习题7】分解因式：（1）21024x +-；（2）2421x x --+； （3）22383x xy y +-；（4）42109x x -+．【习题8】分解因式：（1）2365()()m n m n -+-+；（2）()229()20a b ac bc c +-++．【习题9】分解因式：（1）22444a ab b --+；（2）322x x y xy y x y -+-+-； （3）22446129x xy y x y -+-++； （4）221194n n x x y +-+．【习题10】若一个长方形的周长为32，长为x ，宽为y ，且满足32230x x y xy y +--=． 求这个长方形的面积．【习题11】用两种不同的分组方法分解因式：54321x x x x x +----．12 / 15【习题12】已知225302x x a a ++++=，求3x a +的值．【习题13】已知a b c d 、、、是整数，且7a b +=，7c d +=，判断ad bc -的值能否被7整除， 并简要说明理由．【习题14】分解因式：（1）2235294x xy y x y +-++-；（2）2232453x xy y x y +++++．【习题15】分解因式： （1）()()226824x x x x +-+--；（2）()1(2)(3)(6)20x x x x +---+．【作业1】分解因式：（1）22524__________x xy y--=；（2）2236_______________x ax bx ab+++=；（3）22993______________x x y y+--=．【作业2】分解因式：（1）21220x x++；（2）212x x+-；（3）2121115x x--．【作业3】把下列各式因式分解：（1）222422x x y++-；（2）22ax bx ax bx a b+--++．【作业4】请将下列多项式因式分解，并求值：2233a b a b ab-+-，其中83a=，2b=．课后作业14 / 15【作业5】已知221547280x xy y -+=，求xy的值．【作业6】在因式分解多项式2x ax b ++时，小明看错了一次项系数后，分解得()()53x x ++， 小华看错了常数项后，分解得()()42x x -+，求原多项式以及正确的因式分解的结果．【作业7】已知多项式2212x xy y --．（1）将此多项式因式分解；（2）若多项式2212x xy y --的值等于6-，且x y 、都是正整数，求满足条件的x y 、的值．【作业8】分解因式：（1）()2222()()()a b a c c d b d +++-+-+；（2）42222222()()x a b x a b -++-．【作业9】分解因式：（1）22268x y x y -++-；（2）432433x x x x ++++．【答案】 【解析】【作业10】分解因式：（1）()22214()24x x x x +-++；（2）()2(1)1a b ab +-+； （3）(1)(1)(1)xy x y xy ++++；（4）()()22114x y xy --+．【作业11】已知正有理数a b c 、、满足方程组222229217226a b ac b c ab c a bc ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，求a b c ++的值．。
十字相乘和分组分解法因式分解-2023年新七年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)
十字相乘和分组分解法因式分解【知识梳理】一、十字相乘十字相乘法：如果二次三项式2x px q ++中的常数项q 能分解成两个因式a 、b 的积，而且一次项系数p 又恰好是a b +，那么2x px q ++就可以进行如下的分解因式，即：()()()22x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++要将二次三项式2x px q ++分解因式，就需要找到两个数a 、b ，使它们的积等于常数项q ，和等于一次项系数p , 满足这两个条件便可以进行如下分解因式， 即：22()()()x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++．由于把2x px q ++中的q 分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行分解因式．二、分组分解如何将多项式am an bm bn +++因式分解？分析：很显然，多项式am an bm bn +++中既没有公因式，也不好用公式法．怎么办呢？由于()am an a m n +=+,()bm bn b m n +=+而：()()()()a m n b m n m n a b +++=+．这样就有：()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n m n a b +++=+++=+++=++将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法． 说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．【考点剖析】一．因式分解-十字相乘法等（共22小题）1．（2022秋•静安区校级期中）多项式77x 2﹣13x ﹣30可因式分解成（7x +a ）（bx +c ），其中a 、b 、c 均为整数，求a +b +c 之值为何？（ ）A ．0B ．10C ．12D ．22【分析】首先利用十字交乘法将77x2﹣13x ﹣30因式分解，继而求得a ，b ，c 的值．【解答】解：利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解，可得：77x2﹣13x﹣30＝（7x﹣5）（11x+6）．∴a＝﹣5，b＝11，c＝6，则a+b+c＝（﹣5）+11+6＝12．故选：C．【点评】此题考查了十字相乘法分解因式的知识．注意ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．2．（2021秋•奉贤区期末）分解因式：x2+3x﹣10＝．【分析】原式利用十字相乘法分解即可．【解答】解：原式＝（x﹣2）（x+5），故答案为：（x﹣2）（x+5）【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．3．（2022秋•闵行区校级期末）因式分解：（y2﹣y）2﹣14（y2﹣y）+24．【分析】直接利用十字相乘法分解因式得出答案【解答】解：原式＝（y2﹣y﹣2）（y2﹣y﹣12）＝（y﹣2）（y+1）（y﹣4）（y+3）．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．4．（20222x2﹣6x﹣8＝．【分析】原式先提取公因数2，再利用十字相乘法求出解即可．【解答】解：原式＝2（x2﹣3x﹣4）＝2（x﹣4）（x+1），故答案为：2（x﹣4）（x+1）．【点评】本题考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解题的关键．5．（2022秋•虹口区校级期中）分解因式：x2﹣7xy﹣18y2＝．【分析】由十字相乘法进行分解因式即可．【解答】解：x2﹣7xy﹣18y2＝（x﹣9y）（x+2y）．故答案是：（x﹣9y）（x+2y）．【点评】本题考查因式分解，熟练掌握十字相乘法分解因式是解题的关键．6．（2022秋•宝山区期末）分解因式：2x2+6xy+4y2．【分析】先提公因式，再用十字相乘法因式分解即可．【解答】解：2x2+6xy+4y2＝2（x2+3xy+2y2）＝2（x+2y）（x+y）．【点评】本题考查了提公因式法与十字相乘法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．7．（2022秋•宝山区期末）分解因式：x2﹣9x+14＝（x+□）（x﹣7），其中□表示一个常数，则□的值是（）A．7B．2C．﹣2D．﹣7【分析】利用十字相乘法因式分解即可．【解答】解：x2﹣9x+14＝（x﹣2）（x﹣7），∴□表示﹣2，故选：C．【点评】本题考查因式分解，熟练掌握利用十字相乘法进行因式分解是解题的关键．8．（2022秋•虹口区校级期中）如果多项式x2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取值正确的是（）A．2B．3C．4D．5【分析】∵4＝﹣1×（﹣4），﹣1+（﹣4）＝﹣5，∴可以用十字相乘法因式分解．【解答】解：当c＝4时，x2﹣5x+c＝x2﹣5x+4＝（x﹣1）（x﹣4）．故选：C．【点评】本题主要考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘法分解因式的方法是解题关键．9．（2022x2﹣5x﹣6＝．【分析】因为﹣6×1＝﹣6，﹣6+1＝﹣5，所以利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）．【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．10．（2022秋•嘉定区校级期末）因式分解a2﹣a﹣6＝．【分析】根据因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式的定义，利用十字相乘法求解．【解答】解：a2﹣a﹣6＝（a+2）（a﹣3）．故答案为：（a+2）（a﹣3）．【点评】本题考查了因式分解．解题的关键是掌握十字相乘法因式分解．11．（2022秋•闵行区校级期中）因式分解：x2﹣5x﹣24＝．【分析】用十字相乘法因式分解．【解答】解：x2﹣5x﹣24＝（x﹣8）（x+3），故答案为：（x﹣8）（x+3），【点评】本题主要考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘法分解因式的方法，根据题意可知a、b是相互独立的，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出a、b的值是解题关键．12．（2021秋•宝山区期末）分解因式：x2+4x﹣21＝．【分析】根据因式分解﹣十字相乘法进行分解即可．【解答】解：x2+4x﹣21＝（x+7）（x﹣3），故答案为：（x+7）（x﹣3）．【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解﹣十字相乘法是解题的关键．13．（2021秋•普陀区期末）已知关于x的多项式x2+kx﹣3能分解成两个一次多项式的积，那么整数k的值为．【分析】把常数项分解成两个整数的乘积，k就等于那两个整数之和．【解答】解：∵﹣3＝﹣3×1或﹣3＝﹣1×3，∴k＝﹣3+1＝﹣2或k＝﹣1+3＝2，∴整数k的值为：±2，故答案为：±2．【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解﹣十字相乘法是解题的关键．14．（2022ax4﹣14ax2﹣32a．【分析】首先提取公因式a，再利用十字相乘法分解因式，再结合平方差公式分解因式即可．【解答】解：ax4﹣14ax2﹣32a＝a（x4﹣14x2﹣32）＝a（x2+2）（x2﹣16）＝a（x2+2）（x+4）（x﹣4）．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确运用公式是解题关键．15．（2022秋•嘉定区校级期中）阅读下列文字，解决问题．先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目．分解因式：x4+4解：x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）以上解法中，在x4+4的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与x4+4的值保持不变，必须减去同样的一项．这样利用添项的方法，将原代数式中的部分（或全部）变形为完全平方的形式，这种方法叫做配方法．按照这个思路，试把多项式x4+3x2y2+4y4分解因式．【分析】把原式中的第二项的系数1变为4﹣1，化简后三项结合构成完全平方式，剩下的一项写出完全平方式，然后再利用平方差公式即可分解因式．【解答】解：x4+3x2y2+4y4＝x4+4x2y2+4y4﹣x2y2＝（x2+2y2）2﹣x2y2＝（x2+2y2+xy）（x2+2y2﹣xy）．【点评】此题考查学生阅读新方法并灵活运用新方法的能力，考查了分组分解法进行分解因式，是一道中档题．本题的思路是添项构成完全平方式．16．（2021秋•普陀区期末）因式分解：（x2+4x）2﹣（x2+4x）﹣20．【分析】直接利用十字相乘法分解因式得出即可．【解答】解：原式＝（x2+4x﹣5）（x2+4x+4）＝（x+5）（x﹣1）（x+2）2．【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．17．（2022秋•虹口区校级期中）分解因式：（a2﹣a）2+2（a2﹣a）﹣8．【分析】先变形，局部逆用完全平方公式，再使用十字相乘法．【解答】解：（a2﹣a）2+2（a2﹣a）﹣8＝（a2﹣a）2+2（a2﹣a）+1﹣9＝（a2﹣a+1）2﹣9＝（a2﹣a+1+3）（a2﹣a+1﹣3）＝（a2﹣a+4）（a2﹣a﹣2）＝（a2﹣a+4）（a﹣2）（a+1）．【点评】本题主要考查运用公式法、十字相乘法进行因式分解，熟练掌握公式法、十字相乘法是解决本题的关键．18．（2021秋•浦东新区期末）分解因式：x2﹣4x﹣12＝．【分析】因为﹣6×2＝﹣12，﹣6+2＝﹣4，所以利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．故答案为：（x﹣6）（x+2）．【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．19．（2022秋•上海期末）分解因式：3x2﹣9x﹣30．【分析】先提取公因式，再利用十字相乘法分解．【解答】解：3x2﹣9x﹣30＝3（x2﹣3x﹣10）＝3（x﹣5）（x+2）．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和十字相乘法是解决本题的关键．20．（2022秋•徐汇区期末）分解因式：（1）2ab2﹣6a2b2+4a3b2；（2）（x2﹣4x）2﹣5（x2﹣4x）﹣24．【分析】（1）先提取公因式，再利用十字相乘法；（2）先利用十字相乘法，再利用公式法和十字相乘法．【解答】解：（1）2ab2﹣6a2b2+4a3b2＝2ab2（1﹣3a+2a2）＝2ab2（2a﹣1）（a﹣1）；（2）（x2﹣4x）2﹣5（x2﹣4x）﹣24＝（x2﹣4x﹣8）（x2﹣4x+3）＝[（x2﹣4x+4）﹣12]（x﹣3）（x﹣1）＝[（x﹣2）2﹣12]（x﹣3）（x﹣1）＝（x﹣2+2）（x﹣2﹣2）（x﹣3）（x﹣1）．【点评】本题主要考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．21．（2021秋•金山区期末）分解因式：（x2﹣x）2﹣18（x2﹣x）+72．【分析】把（x2﹣x）看成一个整体，利用十字相乘法分解即可．【解答】解：（x2﹣x）2﹣18（x2﹣x）+72＝[（x2﹣x）﹣6][（x2﹣x）﹣12]＝（x2﹣x﹣6）（x2﹣x﹣12）＝（x﹣3）（x+2）（x﹣4）（x+3）．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法和整体的思想是解决本题的关键．22．（2021秋•奉贤区期末）分解因式：（a2+a）2﹣8（a2+a）+12．【分析】因为﹣2×（a2+a）＝﹣2（a2+a），﹣6×（a2+a）＝﹣6（a2+a），所以可利用十字相乘法分解因式；得到的两个因式，还可以用十字相乘法分解因式．【解答】解：根据十字相乘法，（a2+a）2﹣8（a2+a）+12，＝（a2+a﹣2）（a2+a﹣6），＝（a+2）（a﹣1）（a+3）（a﹣2）．【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察、体会它实质是二项式乘法的逆过程；并注意一定要分解完全．二．因式分解-分组分解法（共12小题）23．（2022秋•徐汇区期末）分解因式：xy+（x+1）（y+1）（xy+1）．【分析】根据分组法和十字相乘法因式分解即可．【解答】解：xy+（x+1）（y+1）（xy+1）＝xy+（xy+x+y+1）（xy+1）＝xy+[（xy+1）+（x+y）]（xy+1）＝（xy+1）2+（x+y）（xy+1）+xy＝（xy+x+1）（xy+y+1）．【点评】本题考查了分组法进行因式分解，熟练掌握分组法和十字相乘法是解题的关键．24．（2022秋•青浦区校级期末）因式分解：x2+4y﹣1﹣4y2．【分析】首先重新分组，进而利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案即可．【解答】解：x2+4y﹣1﹣4y2．x2﹣（﹣4y+4y2+1）＝x2﹣（1﹣2y）2＝（x﹣2y+1）（x+2y﹣1）．【点评】此题主要考查了分组分解法以及公式法分解因式，正确分组是解题关键．25．（2022秋•浦东新区校级期末）分解因式：（1）m2﹣n2+6n﹣9；（2）（x+2y）x2+6（x+2y）x﹣7x﹣14y．【分析】（1）根据平方差公式和完全平方公式解答；（2）用提公因式法和十字相乘法解答．【解答】解：（1）原式＝m2﹣（n2﹣6n+9）＝m2﹣（n﹣3）2＝（m﹣n+3）（m+n﹣3）；（2）原式＝（x+2y）x2+6（x+2y）x﹣7（x+2y）＝（x+2y）（x2+6x﹣7）＝（x+2y）（x﹣1）（x+7）．【点评】本题考查了因式分解，熟悉乘法公式和提公因式法是解题的关键．26．（2022秋•闵行区校级期末）分解因式：2x3﹣2x2y+8y﹣8x．【分析】两两分组：先分别提取公因式2x2，8；再提取公因式2（y﹣x）进行二次分解；最后利用平方差公式再次进行因式分解即可求得答案．【解答】解：原式＝2x2（x﹣y）﹣8（x﹣y）＝2（x﹣y）（x2﹣4）＝2（x﹣y）（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了平方差公式，分组分解法分解因式，要先把式子整理，再分解因式．对于一个四项式用分组分解法进行因式分解，难点是采用两两分组还是三一分组．27．（2022秋•闵行区校级期中）因式分解：a2﹣6ab+9b2﹣16．【分析】先分成两组，用完全平方公式，再用平方差公式分解因式．【解答】解：原式＝（a2﹣6ab+9b2）﹣16＝（a﹣3b）2﹣42＝（a﹣3b+4）（a﹣3b﹣4）．【点评】本题主要考查了因式分解﹣分组分解法，掌握因式分解﹣分组分解法的方法，先分组，再分解因式，完全平方公式和平方差公式的熟练应用是解题关键．28．（2022秋•青浦区校级期中）因式分解：2ac﹣6ad+bc﹣3bd．【分析】首先将前两项以及后两项提取公因式，进而分解因式得出即可．【解答】解：2ac﹣6ad+bc﹣3bd＝2a（c﹣3d）+b（c﹣3d）＝（c﹣3d）（2a+b）．【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组得出是解题关键．29．（2022秋•上海期末）分解因式：x2﹣xy+ax﹣ay＝．【解答】解：x2﹣xy+ax﹣ay＝x（x﹣y）+a（x﹣y）＝（x﹣y）（x+a）．故答案为：（x﹣y）（x+a）．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握分组分解法和提公因式法是解决本题的关键．30．（2022秋•宝山区校级期末）分解因式：b2﹣4a2﹣1+4a．【分析】利用分组分解法，将﹣4a2﹣1+4a分为一组，先利用完全平方公式，再利用平方差公式即可．【解答】解：原式＝b2﹣（4a2+1﹣4a）＝b2﹣（2a﹣1）2＝[b+（2a﹣1）][b﹣（2a﹣1）]＝（b+2a﹣1）（b﹣2a+1）．【点评】本题考查分组分解法分解因式，掌握分组的原则和分组的方法是正确解答的前提，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是解决问题的关键．31．（2022秋•嘉定区校级期末）因式分解：x2﹣4+4y2﹣4xy．【分析】直接将原式分组，再利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：x2﹣4+4y2﹣4xy＝x2+4y2﹣4xy﹣4＝（x﹣2y）2﹣4＝（x﹣2y+2）（x﹣2y﹣2）．【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确运用公式是解题关键．32．（2022秋•徐汇区期末）分解因式：x2+4z2﹣9y2+4xz＝．【分析】先利用完全平方公式，再利用平方差公式．【解答】解：x2+4z2﹣9y2+4xz＝x2+4z2+4xz﹣9y2＝（x+2z）2﹣9y2＝（x+2z+3y）（x+2z﹣3y）．故答案为：（x+2z+3y）（x+2z﹣3y）．【点评】本题主要考查了整式的因式分解，掌握因式分解的公式法是解决本题的关键．33．（2022秋•宝山区期末）分解因式：m2﹣2m+1﹣4n2．【分析】先分组再利用平方差公式．【解答】解：m2﹣2m+1﹣4n2＝（m﹣1）2﹣4n2＝（m﹣1+2n）（m﹣1﹣2n）．【点评】本题主要考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．34．（2022秋•闵行区校级期中）因式分解：x2+9xy+18y2﹣3x﹣9y．【分析】先把多项式按三、二分组，再分别因式分解，最后提取公因式．【解答】解：x2+9xy+18y2﹣3x﹣9y＝（x2+9xy+18y2）﹣（3x+9y）＝（x+3y）（x+6y）﹣3（x+3y）＝（x+3y）（x+6y﹣3）．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式和十字相乘法是解决本题的关键．三．因式分解的应用（共9小题）35．（2022秋•青浦区校级期末）用合理的方法计算：7.52×1.6﹣2.52×1.6．【分析】先利用提取公因式法，再利用平方差公式因式分解求得答案即可．【解答】解：原式＝（7.52﹣2.52）×1.6＝（7.5+2.5）×（7.5﹣2.5）×1.6＝10×5×1.6＝80．【点评】此题考查因式分解的实际运用，掌握提取公因式法和平方差公式是解决问题的关键．36．（2022秋•黄浦区期中）已知x﹣y＝2，x2+y2＝6，（1）求代数式xy的值；（2）求代数式x3y﹣3x2y2+xy3的值．【分析】（1）根据x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，再将已知代入即可；（2）将所求的式子变形为xy（x2﹣3xy+y2），再将x2+y2＝6，xy＝1代入求值即可．【解答】解：（1）∵x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，又∵x﹣y＝2，x2+y2＝6，∴6＝4+2xy，∴xy＝1；（2）x3y﹣3x2y2+xy3＝xy（x2﹣3xy+y2），∵x2+y2＝6，xy＝1，∴原式＝1×（6﹣3）＝3．【点评】本题考查因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式的变形形式，提取公因式法因式分解是解题的关键．37．（2022秋•静安区校级期中）已知x2﹣x﹣3＝0，那么x3﹣2x2﹣2x+2022＝．【分析】根据x2﹣x﹣3＝0，得出x2＝x+3，代入求值即可．【解答】解：∵x2﹣x﹣3＝0，∴x2＝x+3，x3﹣2x2﹣2x+2022＝x（x+3）﹣2x2﹣2x+2022＝﹣x2+x+2022＝﹣（x2﹣x﹣3）+2019＝2019，故答案为：2019．【点评】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解是解题的关键．38．（2022秋•静安区校级期中）n是整数，式子[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果（）A．是0B．总是奇数C．总是偶数D．可能是奇数也可能是偶数【分析】根据题意，可以利用分类讨论的数学思想探索式子[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果等于什么，从而可以得到哪个选项是正确的．【解答】解：当n是偶数时，[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）＝[1﹣1]（n2﹣1）＝0，当n是奇数时，[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）＝×（1+1）（n+1）（n﹣1）＝，设n＝2k﹣1（k为整数），则＝＝k（k﹣1），∵0或k（k﹣1）（k为整数）都是偶数，故选：C．【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答问题．39．（2022秋•闵行区校级期中）已知a2﹣a﹣1＝0，则代数式a3﹣2a+6＝．【分析】根据已知条件得到a2﹣a＝1，将要求的代数式化简得到a（a2+a）﹣a2﹣2a+6，两次代入求解即可．【解答】解：∵a2﹣a﹣1＝0，∴a2﹣a＝1，a3﹣2a+6＝a3﹣a2+a2﹣2a+6＝a（a2﹣a）+a2﹣2a+6＝a+a2﹣2a+6＝a2﹣a+6，将a2﹣a＝1代入原式＝1+6＝7．故答案为：7．【点评】本题考查因式分解的应用，合理利用已知条件是关键．40．（2022秋•闵行区校级期中）已知a，b，c是三个连续的正整数，a2＝33124，c2＝33856，那么b2＝．【分析】由于a2＝33124，c2＝33856，则利用平方差公式得到（c+a）（c﹣a）＝732，再根据a、b、c是三个连续正整数得到c﹣a＝2①，于是可计算出c+a＝366②，然后由①②可解得c，从而得到b的值．【解答】解：c2﹣a2＝（c+a）（c）＝33856﹣33124＝732，∵a、b、c是三个连续正整数，∴c﹣a＝2，∴c+a＝366，∴c＝184，∴b＝183，∴b2＝33489．故答案为：33489．【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．41．（2022秋•宝山区校级期中）a，b，c是正整数，且满足①a+b2﹣2c﹣2＝0②3a2﹣8b+c＝0，求abc的最小值（要有过程）．【分析】根据②3a2﹣8b+c＝0，得出c＝8b﹣3a2，代入①a+b2﹣2c﹣2＝0，得出（b﹣8）2＝66﹣6a2﹣a，根据完全平方数得出a，b，c的值即可．【解答】解：∵②3a2﹣8b+c＝0，∴c＝8b﹣3a2，∵a+b2﹣2c﹣2＝0，即a+b2﹣2（8b﹣3a2）﹣2＝0，整理得（b﹣8）2＝66﹣6a2﹣a，∴66﹣6a2﹣a是完全平方数，∴66﹣6a2﹣a的值可能为1，4，9，16，25，36，49，64，∵a为正整数，∴a＝3，可得b＝5或11，c＝13或61，∴abc的最小值为3×5×13＝195．【点评】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的知识是解题的关键．42．（2022秋•杨浦区期中）已知：x﹣2y＝8，xy＝5，求代数式x3y+4xy3的值．【分析】首先运用提取公因式法分解因式，再配方，然后代入已知条件计算即可．【解答】解：∵x﹣2y＝8，xy＝5，∴x3y+4xy3＝xy（x2+4y2）＝xy[（x﹣2y）2+4xy]＝5（82+4×5）＝5×84＝420．43．（2022秋•奉贤区期中）根据所学我们知道：可以通过用不同的方法求解长方形面积，从而得到一些数学等式．如图1可以表示的数学等式：（a+m）（b+n）＝ab+an+bm+mn，请完成下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式：．（2）从图3可得（a+b）（a+b+c）＝．（3）结合图4，已知a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14，求ab+bc+ac的值．【分析】（1）（2）根据题意利用面积公式计算即可求解；（3）首先根据面积公式得到（a+b+c）（a+b+c）＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，然后利用已知条件即可求解．【解答】解：（1）（a+1）（a+2）＝a2+a+2a+2＝a2+3a+2；故答案为：a2+3a+2；（2）（a+b ）（a+b+c ）＝a2+b2+ab+ab+ac+bc ＝a2+2ab+b2+ac+bc ；故答案为：a2+2ab+b2+ac+bc ；（3）根据题意得；（a+b+c ）（a+b+c ）＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ，而a+b+c ＝6，a2+b2+c2＝14∴6×6＝14+2ab+2ac+2bc ，∴ab+bc+ca ＝11．【点评】此题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是正确理解题意，然后根据题意求解．【过关检测】一、单选题 1．（2023·上海·七年级假期作业）如果多项式x 2﹣5x +c 可以用十字相乘法因式分解，那么下列c 的取值正确的是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】根据十字相乘法进行因式分解的方法，对选项逐个判断即可．【详解】解：A 、252x x −+，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意； B 、253x x −+，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；C 、()()25414x x x x −+=−−，能用十字相乘法进行因式分解，符合题意；D 、255x x -+，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；故选C【点睛】此题考查了十字相乘法进行因式分解，解题的关键是掌握十字相乘法进行因式分解． 2．（2018秋·上海浦东新·七年级校考阶段练习）把多项式2+x ax bw +分解因式得(+1)(-3)x x ，则a.b 的值分别是（ ）【答案】A【分析】运用多项式乘以多项式的法则求出（x+1）（x-3）的值，对比系数可以得到a ，b 的值．【详解】∵(x+1)(x−3)=x ⋅x−x ⋅3+1⋅x−1×3=x 2−3x+x−3=x 2−2x−3，∴x 2+ax+b=x 2−2x−3∴a=−2，b=−3.故选A.【点睛】此题考查因式分解的应用，解题关键在于掌握运算法则求出（x+1）（x-3）的值.3．（2021秋·上海·七年级期中）若1a −是25a a m ++的因式，则m 的值是（ ）A ．4B ．6C ．－4D ．－6【答案】D【分析】利用因式分解与整式乘法的恒等关系计算解答即可．【详解】∵多项式25a a m ++因式分解后有一个因式为1a −， ∴设另一个因式是a k −，即25a a m ++＝()()1a a k −−＝()21a k a k −++，则()15k k m ⎧−+=⎨=⎩，解得：66k m =−⎧⎨=−⎩，故答案为：D ．【点睛】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．A ．5m =，1n =B ．5m =−，1n =C ．5m =，1n =−D ．5m =−，1n =−【答案】C 【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点解答．【详解】解：由x2-4x-m=（x-5）（x-n ），得：-5-n=-4，（-5）（-n ）=-m所以n=-1，m=5．故选：C ．【点睛】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键．5．（2021秋·上海·七年级期中）多项式3333a b c abc −++有因式（ ）A ．a b c ++B ．c a b +−C ．222a b c bc ac ab ++−+−D ．bc ac ab −+【答案】B【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．【详解】原式=33()33()a c b abc ac a c +−+−+=22()[()()]3()a c b a c b a c b ac a c b +−++++−+−=22()[()()3]a c b a c b a c b ac +−++++−=222()[23]a c b a c ac ab ac b ac +−+++++−=222()()a c b a c b ab ac ac +−++++−． 故选：B ．【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组．本题还需要熟练掌握立方和立方差公式． 6．（2023·上海·七年级假期作业）给出下面四个多项式：①2232x xy y −−；②22x x y y +−−；③76x xy −；④33x y +，其中以代数式x y −为因式的多项式的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】综合提公因式法和公式法，十字相乘法，将四个多项式分解因式，根据分解的结果，逐一判断即可得到答案．【详解】解：①()()223322x y x y x xy y −−=+−； ②()()()()()()()22221x x y y x y x y x y x y x y x y x y +−−=−+−=+−+−=−++； ③()()()()()()()663333222276x x y x x y x y x x y x y xy x xy x y x xy y =−=+−=+−+−++−； ④()()2323x y x y y x xy =++−+，∴以代数式x y −为因式的多项式为①②③，共3个，故选C ．【点睛】本题考查了公因式的确定，先分解因式，再做判断，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．二、填空题7．（2023·上海·七年级假期作业）分解因式：21124x x −+=________．【答案】()()38x x −−【分析】根据十字相乘法可进行因式分解．【详解】解：()()2112438x x x x −+=−−； 故答案为：()()38x x −−． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握十字相乘法因式分解是解题的关键．8．（2023·上海·七年级假期作业）分解因式：256x x −−=________．【答案】()()61x x −+【分析】直接根据十字相乘法分解即可．【详解】256x x −−=()()61x x −+， 故答案为()()61x x −+．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．【答案】241x x −+【分析】原式先提取公因数2，再利用十字相乘法求出解即可．【详解】解：原式()2234x x =−−()()241x x =−+， 故答案为：()()241x x −+． 【点睛】本题考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解题的关键．10．（2022秋·上海·七年级专题练习）分解因式：2x －ay ＋ax －2y ＝________．【答案】()()2x y a −+【分析】首先分组，然后利用提取公因式法分解因式．【详解】解：原式＝()()()()()()22222x ax y ay x a y a x y a +−+=+−+=−+， 故答案为：()()2x y a −+．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法，因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 11．（2023·上海·七年级假期作业）如图，边长分别为a ，b 的长方形，它的周长为15，面积为10，则2233a b ab +=__________．【答案】225【分析】根据长方形的周长及面积可得出152a b +=，10ab =，将其代入2233a b ab +中即可求出结论．【详解】解：长方形的周长为15，面积为10，152a b ∴+=，10ab =，()22153333102252a b ab ab a b ∴+=+=⨯⨯=． 故答案为：225．【点睛】本题考查了因式分解的应用以及长方形的周长及面积，根据长方形的周长及面积找出152a b +=，10ab =是解题的关键．【答案】27x y −−/27y x −−【分析】根据平方差公式将4249y x −分解因式，并变形为()()222277y x x y −−−，即可得出答案．【详解】解：∵()()2224224977y x y x y x =−−+()()222277y x x y ⎡⎤=−+−⎣⎦()()222277y x x y =−−−， ∴与()27x y −之积等于4249y x −的因式为27x y −−．故答案为：27x y −−． 【点睛】本题主要考查了分解因式的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式()()22a b a b a b −=+−． 13．（2020秋·上海闵行·七年级期中）分解因式：321024a a a +−=____．【答案】()()122a a a +−【分析】先提出公因式，再利用十字相乘法因式分解，即可求解．【详解】解：()()()32210241024122a a a a a a a a a +−=+−=+−． 故答案为：()()122a a a +− 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法，并根据多项式的特征灵活选合适方法解答是解题的关键．14．（2023秋·上海嘉定·七年级上海市育才中学校考期末）因式分解a 2－a －6＝_____．【答案】(a ＋2)(a －3)【分析】利用公式()()()2x p q x pq x p x q +++=++ 公式进行因式分解. 【详解】解：()()()()226323232a a a a a a −−=+−++−⨯=−+ ， 故填（a-3）（a+2）【点睛】本题考查因式分解，基本步骤是一提二套三检查. 15．（2020秋·上海徐汇·七年级上海市徐汇中学校考阶段练习）已知多项式223x mx ++可以分解成两个一次多项式，则整数m 的值是_____________【答案】7±或5±【分析】分别把2和3分解成2个因数的积的形式，共有4种情况，所以对应的m 也有4种情况．【详解】解：221=⨯，313=⨯或13−⨯−，∴①2311m =⨯+⨯或2(3)1(1)⨯−+⨯−，即7m =±，②2131m =⨯+⨯或2(1)1(3)⨯−+⨯−，即5m =±，故答案为：7±或5±．【安静】此题主要考查了分解因式−十字相乘法，解题的关键是要熟知二次三项式的一般形式与分解因式之间的关系：2()()()x m n x mn x m x n +++=++，即常数项与一次项系数之间的等量关系． 16．（2023·上海·七年级假期作业）已知a ，b ，c 是三个连续的正整数，233124a =，233856c =，那么2b =_____．【答案】33489【分析】利用平方差公式得到()()732c a c a +−=，再根据a 、b 、c 是三个连续正整数得到2c a −=，于是可计算出366c a +=，然后可得c ，从而得到b 的值．【详解】解：()()223385633124732c a c a c a −=+−=−=，∵a 、b 、c 是三个连续正整数，∴2c a −=，∴366c a +=，∴184c =，182a =，∴183b =，∴233489b =．故答案为：33489．【点睛】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．17．（2023·上海·七年级假期作业）23x +______多项式43225101518x x x x −−++的因式（填“是”或“不是”）【答案】是【分析】假设23x +是多项式43225101518x x x x −−++的因式，则只需将多项式43225101518x x x x −−++进行分组，43225101518x x x x −−++可写成4332223812231218x x x x x x x +−−++++，此时两两一组分解因式即可得到结果．【详解】43225101518x x x x −−++，4332223812231218x x x x x x x =+−−++++，32(23)4(23)(23)6(23)x x x x x x x =+−+++++，32(23)(46)x x x x =+−++，∴23x +是多项式43225101518x x x x −−++的因式．故答案为：是【点睛】本题主要考查因式分解的应用，掌握分组分解法是解题的关键． 18．（2022秋·七年级单元测试）已知关于x 的多项式x 2+kx ﹣3能分解成两个一次多项式的积，那么整数k 的值为 _____．【答案】2±【分析】把常数项分解成两个整数的乘积，k 就等于那两个整数之和．【详解】解：∵﹣3＝﹣3×1或﹣3＝﹣1×3，∴k ＝﹣3+1＝﹣2或k ＝﹣1+3＝2，∴整数k 的值为：±2，故答案为：±2．【点睛】本题考查因式分解—十字相乘法，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．三、解答题19．（2022秋·上海·七年级专题练习）因式分解：2244x x a +−+．【答案】(2)(2)x a x a +++−【分析】分组，利用完全平方公式以及平方差公式分解即可求解．【详解】解：2244x x a +−+2244x x a =++−22(2)x a =+−(2)(2)x a x a =+++−．【点睛】本题考查的是因式分解，掌握完全平方公式以及平方差公式是解题的关键．20．（2022秋·上海闵行·七年级校考阶段练习）分解因式2812x x −+：．【答案】()()26x x −−【分析】根据十字相乘法，进行因式分解即可．【详解】解：()()281226x x x x −+=−−．【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握十字相乘法因式分解，是解题的关键．21．（2022秋·上海·七年级校考期末）分解因式：()224516x xy y −−． 【答案】()()()22454x y x y x xy y −−−−【分析】先直接利用完全平方公式，然后再运用十字相乘法继续因式分解即可．【详解】解：()224516x xy y −− ()()222254x xy y =−− ()()()()22225454x xy y x xy y ⎡⎤⎡⎤=−+−−⎣⎦⎣⎦ ()()22225454x xy y xxy y =−+−− ()()()22454x y x y x xy y =−−−−．【点睛】本题考查了运用平方差公式和十字相乘法进行因式分解；解题的关键是分解因式要彻底．22．（2023秋·上海嘉定·七年级上海市育才中学校考期末）因式分解：4289ax ax a −−．【答案】()()()2331a x x x ++−【分析】先提取公因式a ，再用十字相乘法分解，最后再用平方差公式分解．【详解】解：4289ax ax a −−()4289a x x =−−()()2291a x x +=−()()()2331a x x x ++=−． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．23．（2022秋·上海·七年级校联考期末）分解因式：23930x x −−．【答案】()()352x x −+．【分析】先提取公因式，再利用十字相乘法继续分解即可．【详解】解：23930x x −−()23310x x =−−()()352x x =−+．【点睛】本题考查了用提公因式法和十字相乘法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．24．（2022秋·上海闵行·七年级校考阶段练习）分解因式：22944a ab b −+−.【答案】()()3232a b a b +−−+【分析】先将多项式分组为()22944a ab b −−+，再分别利用完全平方公式和平方差公式分解即可．【详解】解：22944a ab b −+−()22944b a a b =−−+()292a b =−−()()3232a b a b =+−−−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()3232a b a b =+−−+．【点睛】本题考查了因式分解-分组分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式，能根据多项式特点进行适当分组是解题关键．25．（2022秋·上海·七年级专题练习）阅读并解答：对于多项式32510x x x −++，我们把2x =代入多项式，。
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上海七年级 数学 因式分解专题讲解
一、提取公因式
1、因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积得形式，叫做把这个多项 式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
例1、下列各式从左边右边的变形，哪些是因式分解？那些不是因式分解？
（1）1)32(1322+-=+-a a a a ； （2）)11(1xy xy xy -
=-； （3）1)1)(1(2-=-+a a a ； （5）22)2
1(412+=+
+x x x ；
例2、指出下列各式中的公因式：
（1）222343284b a b a a 、、- （2））（、、b a b a b a +++9-)(6)(332 （3）m m a a 1832、
-
2、提取公因式的注意事项
（1）、如果多项式的首项是负数时，一般应先提出“—”号，是括号内的第一项系数是正数，然后再对括号内的多项式进行提取公因式。
例：)23(4)812(8122222b a ab ab b a ab b a +-=+-=--
（2）利用提取公因式法分解因式时，一定要“提干净”。
也就是说当一个多项式提出公因式后，剩下的另一个因式中应该已经没有可以提取的公因式了；若发现还有公因式必须要再次提取，否则因式分解就不彻底，没有完成。
（3）注意避免出现分解因式的漏项问题，一般提取公因式后，括号里的多项式项数应与原多项式的项数一致。
例：)132(22642++=++y x x x xy x ，不能写成)32(22642y x x x xy x +=++
（4）多项式的公因式可以是数字、字母，也可以是单项式，还可以是多项式，当把多项式作为公因式提出来时，要特别注意同一字母的排列序，要设法结合相关知识进行转化，使之成为完全相同的因式时再提取公因式，否则容易出现负号上的错误。
例：)()()()()()(22323n mb ma b a b a n b a m a b n b a m ---=---=--- 例3、分解因式：=-+-422231869y x y x y x
例4、将下列各组中的整式写成他们的公因式与另一公因式相乘的形式：
（1）a a 463-、； （2）3239
4278xy y x -、； （3）322)(51)(3b a x b a x ++、
； （4）)(3)(2m a x a m --、；
例5、已知关于x 的二次三项式n mx x ++22因式分解的结果是)4
1)(12(+-x x ，求n m 、的值？
例6、在物理电学中，求串联电路的总电压是有公式321IR IR IR U ++=，当5.2,9.35,4.32,7.31321====I R R R 时，求电压U 的值？
3、整式乘法与因式分解有什么关系？
整式乘法是一种求几个因式的积的运算，它的最后结果是和或差的形式，是一个多项式。
而因式分解则是把多项式化为几个整式的积的形式。
虽然他们都是恒等变形，但它们是两个不同的互逆过程，既互为相反的恒等变形。
因式分解是否正确可以用正式的乘法来进行检验。
例7、简便运算
（1）1368
987525136898745613689872641368987123⨯+⨯+⨯+⨯； （2）4
38.0436.043532⨯+⨯+⨯；
二、公式法
1、公式法的定义：逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法。
2、方法归纳：
（1）平分差公式))((22b a b a b a -+=-
（2）完全平方公式222)(2b a b ab a ±=+±
例8、判断下列各式分解因式是否正确？
（1）222)14(4)116(4464--=--=+-a a a
（2）[]
)1)(1)((1)()()()(22--+--=---=---a b a b a b a b a b a b b a
例9、填写下列各式的空缺项，使他能用完全平反公式分解因式。
（1）-2x （ ）+
(361= 2) （2）
(16
92++xy x ）(= 2)
2、运用公式法分解因式应注意的问题：
（1）运用公式法分解因式时要注意观察，首先观察项数，如果是二项考虑用平方差公式；如果是三项考虑用完全平方公式。
其次观察所需分解的多项式的各项与相应公式中各项如何对应，什么是公式中的“a ”，什么事公式中的“b ”，然后采用此公式进行分解因式。
（2）分解因式一定要彻底，不能出现)9)(9(81224-+=-a a a 就不再分解下去的问题。
（3）公式中“a ”、“b ”可以表示多项式，使用公式是要注意符号的使用，但分解后的结果中不能含有中括号。
（4）合理变形，巧妙运用公式是本节的一大难点。
例：分解因式)1(4)(2----y x y x 时，将此多项式变形为4)(4)(2+---y x y x 后，就可以用完全平方公式进行分解了。
三、十字相乘法
例10、把下列各式分解因式：
（1）1522--x x ； （2）2265y xy x +-；
（3）x x x 4335-+； （4）48)4)(3)(2)(1(-----x x x x ；
（5）142222---+xy y x y x ； （6）26)(11)(222--+-x x x x ；。