新课程2021高考数学一轮复习第八章平面解析几何第3讲圆的方程课件

(3)若原点在圆(x－2m)2＋(y－m)2＝5 的内部，则实数 m 的取值范围是 _(_－__1_,1_)__．
解析 因为原点在圆(x－2m)2＋(y－m)2＝5 的内部，所以(0－2m)2＋(0 －m)2<5.解得－1<m<1.
(4)圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点(1,2)的圆的方程为_x2_＋__(_y－__2_)_2_＝__1．
所以由2x＋x＋y－3y＋ 1＝1＝ 0，0， 得xy＝ ＝4－，3， 即圆心坐标为(4，－3)，半径为 r＝ 42＋－32＝5， 所以圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
2．一圆经过 P(－2,4)，Q(3，－1)两点，并且在 x 轴上截得的弦长等于 6，求此圆的方程．
解 设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将 P，Q 两点的坐标分别代
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据 已知条件列出关于 D，E，F 的方程组，进而求出 D，E，F 的值．见举例说 明 2.
1.圆(x－2)2＋y2＝4
关于直线
y＝
3 3x
对称的圆的方程是(
)
A.(x－ 3)2＋(y－1)2＝4
B.(x－ 2)2＋(y－ 2)2＝4
C.x2＋(y－2)2＝4
因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2＋y2－2x－3＝0(y≠0). 解法二：设 AB 的中点为 D，由中点坐标公式得 D(1,0)，由直角三角形 的性质知|CD|＝12|AB|＝2.由圆的定义知，动点 C 的轨迹是以 D(1,0)为圆心，2 为半径的圆(由于 A，B，C 三点不共线，所以应除去与 x 轴的交点). 所以直角顶点 C 的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
1.圆：x2＋y2－2x－2y＋1＝0 上的点到直线 x－y＝2 距离的最大值是
() A.1＋ 2
B．2
C.1＋
2 2
答案 A
D．2＋2 2Hale Waihona Puke Baidu
解析 将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，即圆心坐标为(1,1)，半径
|1－1－2|
为 1，则圆心到直线 x－y＝2 的距离 d＝
＝ 2，故圆上的点到直线
解析 由题意，知圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝1，则圆心为(a,0)，半
径 r＝1，又 A(－2,0)，B(0,2)可得直线 AB 的方程为－x2＋y2＝1，即 x－y＋2
|a＋2| ＝0.所以圆心到直线 AB 的距离 d＝ ，则圆上的点到直线 AB 的最短距
2
|a＋2| 离为 d－r＝ －1，又|AB|＝
入，得23DD－－4EE＋－FF＝＝－201，0.
① ②
又令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0.③
设 x1，x2 是方程③的两根， 由|x1－x2|＝6 有 D2－4F＝36，④ 由①②④解得 D＝－2，E＝－4，F＝－8 或 D＝－6，E＝－8，F＝0. 故所求圆的方程为 x2＋y2－2x－4y－8＝0 或 x2＋y2－6x－8y＝0.
解析 解法一：(待定系数法)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则
a2＋b2＝r2， 有1－a2＋1－b2＝r2，
2a＋3b＋1＝0，
a＝4， 解得b＝－3，
r＝5.
所以圆的标准方程是(x－4)2＋
(y＋3)2＝25.
解法二：(直接法)由题意，知 OP 是圆的弦，其垂直平分线为 x＋y－1 ＝0.因为弦的垂直平分线过圆心，
1．概念辨析
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ )
(2)方程 x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0 表示圆心为－2a，－a，半径为
1 2
－3a2－4a＋4的圆．( × )
(3)已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以 AB 为直径的圆的方程是(x－x1)(x
－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.( √ )
1.掌握“三方法”
2.明确“五步骤”
(2019·潍坊调研)已知圆 x2＋y2＝4 上一定点 A(2,0)，B(1,1)为圆内一点， P，Q 为圆上的动点.
(1)求线段 AP 中点的轨迹方程； 解 (1)设 AP 的中点为 M(x，y)， 由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x－2,2y). 因为 P 点在圆 x2＋y2＝4 上， 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故线段 AP 中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
求圆的方程的两种方法 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出 方程．见举例说明 1 解法二. (2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程，依据已 知条件列出关于 a，b，r 的方程组，从而求出 a，b，r 的值．见举例说明 1 解法一.
解析 解法一：设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，又因为圆 经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，
F＝0， 所以1＋1＋D＋E＋F＝0，
22＋02＋2D＋0E＋F＝0，
解得 D＝－2，E＝0，F＝0， 所以圆的方程为 x2＋y2－2x＝0.
解法二：记 O(0,0)，A(1,1)，B(2,0)，线段 OB 的垂直平分线方程为 x＝1， 线段 OA 的垂直平分线方程为 y－12＝－x－12，即 x＋y－1＝0.
解析 ∵P→A＝(2－x，－y)，P→B＝(－2－x，－y)，P(x，y)在圆上，∴P→A·P→B ＝x2－4＋y2＝6y－8－4＝6y－12，∵2≤y≤4，
∴P→A·P→B≤12.
角度 2 借助几何性质求最值 2.(2019·湖南师大附中模拟)已知点 A(－2,0)，B(0,2)，若点 C 是圆 x2－ 2ax＋y2＋a2－1＝0 上的动点，△ABC 面积的最小值为 3－ 2，则 a 的值为 _1_或__－__5__.
D.(x－1)2＋(y－ 3)2＝4
答案 D
解析
设圆(x－2)2＋y2＝4
的圆心(2,0)关于直线
y＝
3 3x
对称的点的坐标
a－b 2·33＝－1，
为(a，b)，则有 2b＝
33·a＋2 2，
解得 a＝1，b＝ 3，从而所求圆的方程为(x－1)2＋(y－ 3)2＝4.故选 D.
2.(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的 圆的方程为___x2_＋__y_2_－_2__x＝__0________.
(4)方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件是 A＝C≠0，
B＝0，D2＋E2－4AF＞0.( √ )
2．小题热身 (1)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析 由题意，可设所求圆的方程为 x2＋(y－b)2＝1，因为此圆过点 (1,2)，所以 12＋(2－b)2＝1，解得 b＝2.故所求圆的方程为 x2＋(y－2)2＝1.
2
PART TWO
经典题型冲关
题型一 求圆的方程
1．经过点 P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线 2x＋3y＋1＝0 上的圆的 标准方程为__(_x_－_4__)2_＋__(_y＋__3_)_2_＝__2_5_____．
2
4＋4＝2
2，所以△ABC 面积的最小值为12
|AB|·(d－r)＝ 2|a＋22|－1＝3－ 2，解得 a＝1 或－5.
求解与圆有关的最值问题的两大规律 (1)建立函数关系式求最值．如举例说明 1. 根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式；然后根据关系式 的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常 用的. (2)借助几何性质求最值．如举例说明 2.
1
PART ONE
基础知识过关
1．圆的定义及方程
平面内与 □01 定点
定义 的集合(轨迹)
的距离等于 □02 定长 的点
标准方程
□03 (x－a)2＋(y－ 圆心：□04 (a，b) ，
b)2＝r2(r>0)
半径： □05 r
□ 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝ 圆心： 06 －D2 ，－E2 ，
2
x－y＝2 距离的最大值为 d＋1＝ 2＋1，故选 A.
2.(2019·兰州模拟)若直线 ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)把圆(x＋4)2＋(y＋1)2
＝16 分成面积相等的两部分，则21a＋2b的最小值为(
)
A.10 B．8 C．5 D．4
答案 B
解析 由已知，得圆心(－4，－1)在直线 ax＋by＋1＝0 上，所以－4a －b＋1＝0，即 4a＋b＝1，又因为 a>0，b>0，所以21a＋2b＝21a＋b2(4a＋b)＝ 2ba＋8ba＋4≥2 2ba·8ba＋4＝8，当且仅当2ba＝8ba时，等号成立，此时 b＝4a， 结合 4a＋b＝1，知 a＝18，b＝12.所以当 a＝18，b＝12时，21a＋2b取得最小值 8.
□ 0(D2＋E2－4F>0)
07 1 半径： 2
D2＋E2－4F
2．点与圆的位置关系
平面上的一点 M(x0，y0)与圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 之间存在着下列关
系：
设 d 为点 M(x0，y0)与圆心(a，b)的距离
□ (1)d>r⇔M 在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M 在 01 圆外 ； □ (2)d＝r⇔M 在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M 在 02 圆上 ； □ (3)d<r⇔M 在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M 在 03 圆内
题型三 与圆有关的轨迹问题
1.已知 Rt△ABC 的斜边为 AB，且 A(－1,0)，B(3,0)．求直角顶点 C 的 轨迹方程.
解 解法一：设 C(x，y)， 因为 A，B，C 三点不共线，所以 y≠0. 因为 AC⊥BC，所以 kAC·kBC＝－1， 又 kAC＝x＋y 1，kBC＝x－y 3，所以x＋y 1·x－y 3＝－1， 化简得 x2＋y2－2x－3＝0.
解方程xx＝ ＋1y－，1＝0， 得圆心坐标为(1,0). 所以半径 r＝1，圆的方程为(x－1)2＋y2＝1. 解法三：在平面直角坐标系中，画出圆上的三点，另证这三个点构成直 角三角形，显然圆心坐标为(1,0)，半径为 1，所以圆的标准方程为(x－1)2＋ y2＝1.
题型二 与圆有关的最值问题
角度 1 建立函数关系求最值 1.(2019·厦门模拟)设点 P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1 上的动点，定点 A(2,0)，B(－2,0)，则P→A·P→B的最大值为___1_2____.
第八章 平面解析几何
第3讲 圆的方程
[考纲解读] 1.掌握确定圆的几何要素，圆的标准方程与一般方程，能 根据不同的条件，采取标准式或一般式求圆的方程．(重点)
2.掌握点与圆的位置关系，能求解与圆有关的轨迹方程．(难点) [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲为高考中的热点．预测 2021 年将会考查：①求圆的方程；②根据圆的方程求最值；③与圆有关的轨迹问 题．试题以客观题的形式呈现，难度不会太大，以中档题型呈现.
答案 D 解析 由已知，得所求圆的圆心坐标为(1,1)，半径 r＝ 12＋12＝ 2， 所以此圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(2)若方程 x2＋y2＋mx－2y＋3＝0 表示圆，则 m 的取值范围是( ) A．(－∞，－ 2)∪( 2，＋∞) B．(－∞，－2 2)∪(2 2，＋∞) C．(－∞，－ 3)∪( 3，＋∞) D．(－∞，－2 3)∪(2 3，＋∞) 答案 B 解析 若方程 x2＋y2＋mx－2y＋3＝0 表示圆，则 m 应满足 m2＋(－2)2 －4×3>0，解得 m<－2 2或 m>2 2.
2.设定点 M(－3,4)，动点 N 在圆 x2＋y2＝4 上运动，以 OM，ON 为两边 作平行四边形 MONP，求点 P 的轨迹.
解 如图，设 P(x，y)，N(x0，y0)，则线段 OP 的中点坐标为2x，2y，线 段 MN 的中点坐标为x0－2 3，y0＋2 4.
因为平行四边形的对角线互相平分， 所以2x＝x0－2 3，2y＝y0＋2 4，整理得xy00＝ ＝xy＋ －34.， 又点 N(x＋3，y－4)在圆 x2＋y2＝4 上， 所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4. 所以点 P 的轨迹是以(－3,4)为圆心，2 为半径的圆 因为O，M，P三点不共线，所以应除去两点－59，152和－251，258.