小学五年级 最大与最小

第一章最大与最小

【专题导航】在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题，这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都可以归结成为：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称这些问题为“最大最小问题”。

解答最大最小问题通常要用下面的方法：

1，枚举比较法。当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现的情形一一举出再比较；

2，着眼于极端情形，即充分运动已有知识和生活常识，一下子从“极端”情形入手，缩短解题过程。

在数学竞赛中经常出现最大与最小问题，这种问题是培养和锻炼学生利用学过的知识解决生活中实际问题的能力，激发学生学习数学的兴趣。

【例题精萃】

【例1】用一段22厘米长的铁丝围成一个边长都是整数的长方形或正方形，怎样才能使它的面积最大？最大面积是多少平方厘米？

思路分析：长方形或正方形面积的大小是由它的边长决定的，本题中可知它的长与宽的和是不变的。长与宽的和为22÷2＝11（厘米）。依次列举可知：10×1＝10；9×2＝18；8×3＝24；7×4＝28；6×5＝30。只有当长和宽的差最小时面积最大。

具体列式：

22÷2＝11（厘米）（11＋1）÷2＝6（厘米）6－1＝5（厘米）6×5＝30（平方厘米）答：围成长是6厘米，宽为5厘米的长方形时面积最大，最大面积是30平方厘米。

方法点评：两个数的和不变，两数的差最小时，乘积最大。

【实践体验】

（1）用一段20米长的篱笆围成一个边长都是整数的长方形或正方形鸡场围墙，怎样才能使它的面积最大？最大面积是多少平方米？

（2）把34分成两个自然数的和，使得到的乘积尽可能大，这个最大的乘积是多少？

（3）要砌一个面积是72平方米的长方形猪圈，长方形的边长都是自然数，这个猪圈的围墙总长最少是多少米？

【例2】用1、2、3、4、5这五个数字，组成一个两位数和一个三位数，使两个数的乘积最大，这两个数乘积最大是多少？

思路分析：首先组成两个两位数使乘积最大。5、4要放在这两个数的十位上。3、2要放在这两个数的个位上，根据两个数的和不变，两数的差最小时，乘积最大，组成的两个两位数是52×43，1放在三位数个位上。三位数大于两位数，要使差最小，1要放在较小的数的后面，可组成的三位数是431，两位数是52。具体列式：52×431＝22412

方法点评：先组成两个两位数，根据和不变时，决定两个数乘积的最大的关键是两数差最小，再确定三位数，在较小数的后面加上剩余数字，组成三位数。

【实践体验】

（4）用6、7、8、9这四个数字，组成两个两位数，使两个数的乘积最大，这两个数乘积最大是多少？最小是多少？

（5）用1、2、3、4、5这五个数字，组成一个两位数和一个三位数，使两个数的乘积最小和最大，这两个数各是多少？

（6）把2、3、5、8、9填入○内，○○○○÷○商是整数，最大是多少？商最小是多少？

【例3】把14拆成若干个自然数的和，要求这些自然数乘积尽量大，应如何拆分？

思路分析：（1）要把14拆分成的自然数的乘积最大，所拆分成的个数要尽可能的多，但1不能出现，因为1与任何数的乘积都是原数。

（2）拆出的加数不能超过4，因为5还可能拆分成2和3，2×3 5。

（3）拆出的加数可以不出现4，因为4＝2＋2，又4＝2×2。

（4）拆分出的加数2的个数不能超过2个。因为2×2×2 3×3

所以把14拆分成3、3、3、3、2时乘积最大。乘积为3×3×3×3×2＝162

具体列式：14＝3×4＋2 3×3×3×3×2＝162

方法点评：解决本题时要注意变化规律，理清思路。其特征是：多用3，少用2，不用1。

【实践体验】

（7）把13拆成若干个自然数的和，要求这些自然数乘积尽量大，最大的乘积是多少？

（8）把24拆成若干个自然数的和，要求这些自然数乘积尽量大，应如何拆分？

（9）边长是8厘米的正方形ABCD中，在AD上AE＝3厘米，在AB上AF＝4厘米，在正方形的四边上任选一点P，连接EFP组成一个最大的三角形。这个三角形的面积是多少平方厘米。

【例4】某公共汽车线路上共有15个车站（包括起点站和终点站），公共汽车从起点站到终点站的行驶过程中，每一站（包括起点站）上车的人中恰好在以后的各站都各有1个人下车。要使汽车在行驶中乘客都有座位，那么车上至少要有多少个座位？

思路分析：在第K站开出时，前面K站中，每站上车的人中留有（15－K）个人在以后各站下车，其余的人都已经下车，所以车上共有（15－K）个人（K＝1，2，,14），不难验证1×14,2×13，…14×1中7×8＝8×7＝56最大。可知车上最少要有56个座位。

具体列式：7×8＝56（人）

答：车上至少要有56个座位。

方法点评：在进行归纳推理时，要逐个思考在每站车上人数情况，因而可以得出结论。

【实践体验】

（10）某公共汽车线路上共有10个车站（包括起点站和终点站），公共汽车从起点站到终点站的行驶过程中，每一站（包括起点站）上车的人中恰好在以后的各站都各有1个人下车。要使汽车在行驶中乘客都有座位，那么车上至少要有多少个座位？

（11）某公共汽车线路上共有13个车站（包括起点站和终点站），公共汽车从起点站到终点站的行驶过程中，每一站（包括起点站）上车的人中恰好在以后的各站都各有1个人下车。要使汽车在行驶中乘客都有座位，那么车上至少要有多少个座位？

（12）比较下面两个积的大小：

A＝987654321×123456789，

B＝987654322×123456788.

【例5】一个数乘以13后，乘积的最后三位数是123，那么这样的整数中最小的是多少？

思路分析：

解法一：123除以13，余数是6，又1001能被13整除，所以6000＋6＝6006也能被13整除，那么符合条件最小的数就是6123。6123÷13＝471。

方法点评：根据1001是13的倍数.1001×K也是13的倍数，在乘积的千位上加n，就是加n×1000，余数是6，那么n则等于6。

解法二：可用乘法算式谜的方法。

积的个位数字是3，可知a是1。因为b为1，

则c为7。因为d是7，所以e为4。

方法点评：数谜可以依次确定另一个因数的情况。就可以求出乘积。