可转化为线性的非线性回归模型ppt课件

因此，线性-对数模型通常用于研究解释变量的相对变动引 起的因变量的绝对变动量是多少这类问题。
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（4）双对数模型
双对数模型的应用非常广泛，其原因在于，由于回归
线是一条直线（Y和X都是对数形式），所以它的斜率为
一常数。
1
dy* dx*
d （ln y) d (ln x)
y / x /
y x
E
由于这个特殊的性质，双对数模型又称为不变弹性模 型。
se : 0.014468 0.001591 R2 0.9819
t : 390.0298 26.57093 F 706.0142
p : 0.0000 0.0000
p(F ) 0.0000
比较线性趋势模型：X2i= b2+b23ti+i
b23=17.13，说明个人 可支配收入每年平均
增长17个单位。
得到一国GDP的年增长率的估计值，这里t为时间趋 势变量。
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例：
求1956-1970年美国个人可支配收入的增长率。X2:个 人可支配收入，X3:时间变量
模型：lnX2i= 1+2ti+i 求解过程
结果：
log Xˆ 2i 5.6429 0.04228ti
ˆ2 0.04228 ，说明19561970年间，美国个人可支配 收入每年增长4.23%。
Xˆ 2i 265.731417.12857ti
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另外，线性-对数模型的形式如下：
Yt 0 1 ln Xt ut
与前面类似，我们可用微分得到
因此
1 X
dY dX
dY dX X
dY dX
1
1 X
这表明
1
Y的绝对变动 X的相对变动
Y X X
Y
1
X X
上式表明，Y的绝对变动量等于 1 乘以X的相对变动量。
对数-线性模型中，斜率的含义是Y的百分比 变动，即解释变量X变动一个单位引起的应 变量Y的百分比变动。
这是因为，利用微分可以得出：
1
d ln Y dX
1 Y
dY dX
dY Y
( dX 1)
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这表明，系数度量的是解释变量X的单位变动所引起 的应变量Y的相对变动。
对数-线性方程又称增长模型，通常我们用这类估计
如著名的恩格尔曲线（Engle curves）表现为幂函数曲 线形式，类似地还有生产函数等。
但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的数学 处理，使之化为数学上的线性关系，从而可以运用线 性回归模型的理论方法。
这一部分我们要关注的是（1）如何将非线性模型转变为 线性模型；（2）转变后，偏回归系Βιβλιοθήκη Baidu的含义。
se:
(.015) (.049) R2 0.74, F 26.27
咖啡需求的价格 弹性为-0.253
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一、模型的类型与变换
1、非线性回归模型与变量的直接置换法
当变量是非线性的，参数之间是线性时，可 以利用变量直接代换的方法将模型线性化。
因此，关于解释变量的非线性问题都可以通 过变量置换变成线性问题。
对于以下形式的非线性方程，我们可以直接 进行变量代换转换为线性方程：
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Y
0
1
1 X
u
令 X* 1
各参数的线性函数。
但是，在众多的经济现象中，分析经济变量之间的关系，
根据某种经济理论和对实际经济问题的分析，所建立的经济模
型往往不符合上面的线性要求，即模型是非线性的，称为非线
性模型（Non-linear Model）。
1
说明
在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的，直接 表现为线性关系的情况并不多见。
X
Y 0 1 X u 令 X * X
Y 0 1 log X u 令 X * log X
log Y 0 1 X u
令 Y * log Y
log Y 0 1 log X u 令 X * log X
Y * log Y
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在以上的这几类模型形式中：
（ 1模分）型三倒特种数点类模：型型随：着YXi 无 限0增大1，X11Xi1i项趋i 于0，Y趋于极限值。
Y
Y
Y
1>0 0>0
1>0 0<0
0 X-0
平均固定成本与产出水平
菲利普斯曲线
0
1<0
X
0>0
2
X
1
恩格尔曲线
倒数模型的线性化：令 z X1i，原方程变为：Y=0+1Zi+i
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（2）双曲函数模型
双曲函数模型的一般形式为： 1
令
Yi*
1 Yi
,
X
* i
1 Xi
Yi
1 Xi
ui
则可将原模型化为标准的线性回归模型
许多变量的增长率。如果x取“时间”t，即按时间顺序依 次取值为1，2，…，T，变量t 的系数1 度量了ln(Y)随 时间向前推进产生的变化。如果1为正，则有随时间向上 增长的趋势；如果1为负，则有随时间向下的趋势，因此 t可称为趋势变量。
例如，我们可以通过估计下面的半对数模型
ln( GDPt ) 0 1t ut
可转化为线性的多元非线性回归模型
前面我们讨论的经济问题，都是假定作为因变量的经济变
量与作为解释变量的经济变量之间存在着线性关系。由此建立
线性回归模型进行线性回归分析。这里所说的线性是指：（1）
变量的线性，变量以其原型出现在模型之中，而不是以X2或Xβ
之类的函数形式出现在模型中；（2）参数的线性，因变量Y是
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例：美国咖啡需求：1970-1980
美国咖啡消费（Y）与平均真实零售价格（X） 数据，（X=名义价格/食品与饮料的消费者价 格指数，1967年=100），求咖啡消费函数。
散点图：确定函数形式：Y-X; lnY-lnX 建立模型：lnY=+lnX+i 参数估计：
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lndemandˆ 0.777- 0.253lnprice
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（3） 半对数模型
半对数模型指的是应变量和解释变量中一个为对 数形式而另一个为线性的模型。
被解释变量为对数形式的称为对数-线性模型 （log-lin model）。
解释变量为对数形式的称为线性-对数模型（linlog model）。
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我们先介绍对数-线性模型，其形式如下：
ln Yt 0 1Xt ut
Yi*
X
* i
ui
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（2） 多项式回归模型
多项式回归模型通常用于描述生产成本函数，其一
般形式为：
Yi
0
1 X i
2
X
2 i
......
P
X
P i
ui
其中，Y表示总成本，X表示产出，P为多项式的阶 数，一般不超过四阶。
多项式回归模型中，解释变量X以不同幂次出现在 方程的右端。这类模型也仅存在变量非线性，因而很容 易线性化，可用OLS法估计模型。