几种递推数列通项公式的求法

几种递推数列通项公式的求法
递推数列常常是高考命题的热点之一.所谓递推数列,是指由递推公式所确定的数列.由相邻两项的关系给出的递推公式称为一阶递推公式，由相邻三项的关系给出的递推公式称为二阶递推公式，依次类推.等差数列和等比数列是最基本的递推数列.递推数列基本问题之一是由递推关系求通项公式.下面是常见的递推数列及其通项公式的求法． 1 一阶线性递推数列求通项问题
一阶线性递推数列主要有如下几种形式： （1）1()n n x x f n +=+
这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列{f(n)}可求前n 项和).
当()f n 为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式．而当()f n 为等差数列时，
则1()n n x x f n +=+为二阶等差数列，其通项公式应当为2
n x an bn c =++形式，注意与等差数列求和公式一般形式的区别，后者是2
n S an bn =+，其常数项一定为０． （2）1()n n x g n x +=
这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列{g(n)}可求前n 项积). 当()g n 为常数时，用累乘法可求得等比数列的通项公式．
（3）1(,0,1)n+n x =qx +d q,d q q ≠≠为常数；
这类数列通常可转化为1()n n x p q x p ++=+，或消去常数转化为二阶递推式
211()n n n n x x q x x +++-=-.
［例１］已知数列n x ｛｝中，11121(2)n n x x x n -==+≥，,求n x ｛｝的通项公式．
［解析］解法一．转化为1()n n x p q x p ++=+型递推数列．
∵121(2)n n x x n -=+≥，∴112(1)(2)n n x x n -+=+≥，又112x +=，故数列｛1n x +｝是首项为２，公比为２的等比数列．∴12n
n x +=，即21n
n x =-．
解法二．转化为211()n n n n x x q x x +++-=-型递推数列． ∵n x =2x n-1+1(n ≥2) ① ∴1n x +=2x n +1 ②
②－①，得112()n n n n x x x x +--=-(n ≥2)，故｛1n n x x +-｝是首项为x 2-x 1=2，
公比为２的等比数列，即1
1222n n n n x x -+-==
，再用累加法得21n n x =-．
解法三．用迭代法．
21231221212(21)12212222121n n n n n n n n x x x x x ------=+=++=++=++++=- ．
当然,此题也可用归纳猜想法求之，但要用数学归纳法证明．
［例２］已知函数1
()22(1)2
f x x x =-+≤≤的反函数为121(),1,()y
g x x x g x ===，
321(),,(),,n n x g x x g x -== 求数列n x ｛｝
的通项公式. [解析]由已知得1()1(01)2g x x x =-
+≤≤，则111
1,1(2)2
n n x x x n -==-+≥． 令11()2n n x p x p -+=-+=,则11322n n x x p -=--.比较系数，得2
3p =-.
即有1212()(2)323n n x x n --=--≥．∴数列｛23n x -｝是以12133x -=为首项，1
2
-为
公比的等比数列，∴1211()332n n x --=-，故1112
()323
n n x -=-+．
［评析］此题亦可采用归纳猜想得出通项公式，而后用数学归纳法证明之． （4）1(,n
n n cx x c d x d
+=
+为非零常数）； 若取倒数,得
1111n n d x c x c
+=+ ，令1
n n y x =，从而转化为（1）型而求之.
（5）1(,1,1)n
n+n x =qx +d q,d q d ≠≠为非零常数； 这类数列可变换成
111n n n n x x q d d d d ++=+ ，令n n
n
x y d =，则转化为(1)型一阶线性递推公式. ［例３］设数列11132(*)n
n n n x x x x n N +==+∈.｛｝满足：，求数列n x ｛｝的通项公式．
［解析］∵132n
n n x x +=+，两边同除以1
2n +，得
11312222n n n n
x x ++=+ ．令322
n
n n x y = ，则有13122n n y y +=+ ．于是，得131(1)2n n y y ++=+，∴数列1n y +｛｝是以首项为37
144+=，
公比为32的等比数列，故1731()42n n y -+= ，即173()142n n y -=- ，从而2117323
n n n x -+=- ．
［例４］设1
013
2(*)n n n x x x n N --=-∈为常数，且，求数列n x ｛｝的通项公式．
［解析］设1
132(3)n
n n n x p x p --+=-+
，用1
132n n n x x --=-代入，可解出15
p =-．
∴35n n x -｛｝是以公比为-2，首项为0
0332122555x x x -=--=-１的等比数列． ∴1032
(2)(2)55
n n n x x --=--，
即1
023(2)(2)55n n n x x -=--+03(1)2(1)2(*)5
n n n n n x n N --=+-∈ ．
（6）1(00,0,1)p
n+n n x =cx x ,c p p >>>≠
这类数列可取对数得1lg lg lg n n x x c +=+，从而转化为等差数列型递推数列. 2 可转化为等差、等比数列或一些特殊数列的二阶递推数列
［例５］设数列12215
52
1(*)333
n n n n x x x x x x n N ++===-∈.｛｝满足：，，求数列n x ｛｝
的通项公式． ［解析］由2152
(*)33n n n x x x n N ++=
-∈，
可得 2111222
()(*)333
n n n n n n x x x x x x n N ++++=-=-∈.－
设1121252
1333
n n n n y x x y y x x +=-=-=-=，则｛｝是公比为的等比数列，且，
故2(*)3n y n N =∈n （）．即12(2)3
n n x x n --=≥n-1
（）．
用累加法得 12111221222
()()()()()333
n n n n n n n x x x x x x x x ------=-+-++-=+++ ，
或 11221112()()()222
()()1333
n n n n n n n x x x x x x x x -----=-+-++-+=++++
21()233[1()]2313
n
n -==--). ［例６］在数列12211(*)n n n n x x x x x x n N ++===+∈｛｝中，已知，，求数列n x ｛｝的通
项公式．
［解析］可用换元法将其转化为一阶线性递推数列．
令11n n n y x a x +=-，使数列n y ｛｝是以2a 为公比的等比数列(1,a a ２待定)．
即211211()n n n n x a x a x a x +++-=-，∴212112()n n n x a a x a a x ++=+-．对照已给递推式，
有121211a a a a +==-，，即2
1210a a x x --=、是方程的两个实根．
从而121211112222
a a a a -=
===
∴211111222n n n n x x x x ++++-
=-) ①
或211111222
n n n n x x x x +++--
=-) ②
由式①得111(22n n n x x ++-
=
；由式②得111(22n
n n x x +--=．
消去111()(22n n
n n x x ++=
-１，得］．
［例７］在数列12211(*)n n n n x x x x x x n N ++===-∈｛｝中，已知，，求100x ．
［解析］由21n n n x x x ++=- ①，得321n n n x x x +++=- ②．
式②+式①，得3n n x x +=-，从而有63n n n x x x ++=-=．∴数列n x ｛｝是以６为其周期．故100x =4x =-1．
3 特殊的n 阶递推数列
［例８］已知数列n x ｛｝满足11231123(1)(2)n n x x x x x n x n -==++++-≥ ，，求
n x ｛｝的通项公式．
［解析］∵123123(1)(2)n n x x x x n x n -=++++-≥ ①
∴1123223(2)(3)n n x x x x n x n --=++++-≥ ② ②－①，得1(3)n n x nx n -=≥．∴
1
(3)n
n x n n x -=≥，故有 13122
13n n n n x x x n n x x x ---==-=. ，， 将这几个式子累乘，得
22
(1)(2)3(1)(2)3n
n x n n n x n n n x x =--==--. ，或 又1211(1),11,!(2)2
n n x x x x n n =⎧⎪
====⎨≥⎪⎩ ，故 ．
［例9］数列｛n x ｝满足21121
,2
n n x x x x n x =
+++= ，求数列｛n x ｝的同项公式．
［解析］由212n n x x x n x +++= ①，得2
1211(1)(2)n n x x x n x n --+++=-≥ ②． 式①－式②，得2
2
1(1)n n n x n x n x -=--，或2
2
2
1(1)(1)n n n n n x n x x n x --=-=-，故有
11
(2)1
n n x n n x n --=≥+　. ∴
12312341234,,,,112n n n n n n n n x x x x n n n n x n x n x n x n -----------====+-- ,322121,43
x x x x ==. 将上面几个式子累乘，得
121(1)n x x n n =+ ，即1211
(2)(1)(1)n x x n n n n n
==≥++ ．
∵11
2
x =
也满足上式，∴1211(*)(1)(1)n x x n N n n n n ==∈++ ．
以上就是常见的一些递推数列及其通项公式的一般求法．这些知识是拓展性的，超出了
课本的要求范围，但它们在高考题中时常会见到，有时是以证明题形式出现，如果比较系统地掌握了这些知识，解答这类题目就容易把握．。