华东理工大学复变函数复习
华东理工大学复变函数复习

1 1 (ln z ) , (Lnz ) . z z
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注解
1、对数函数 w Lnz是定义在整个复平面减 去原点上的多值函数 ; 2、对数函数的代数性质(运算性质): Ln( z1 z2 ) Lnz1 Lnz2 Ln( z1 / z2 ) Lnz1 Lnz2 和幅角的加法一样上面 的等式应该理解为
Im z 0 Im w 0
az b w (a, b, c, d R,ad bc 0) cz d
Im z 0 | w | 1 | z | 1 | w | 1
za we Im(a) 0) ,( R, za
i
za we a 1) ,( R, 1 az
2 2
复
习
19
第一章:
20
复数的三角表示和指数表示
x r cos , 利用直角坐标与极坐标的关系 y r sin ,
复数可以表示成 z r (cos i sin ) 复数的三角表示式 再利用欧拉公式 e i cos i sin , 复数可以表示成 z re i 复数的指数表示式
注意:他们是无界函数
38
当 z 为纯虚数 yi 时,
e y e y cos yi cosh y , 2 e y e y sin yi i sinh y . 2i
当 y 时, sin yi , cos yi .
(注意:这是与实变函数完全不同的)
39
40
21
例 求下列方程所表示的曲线: (1) z i 2; ( 2) z 2i z 2 ;
复变函数与积分变换知识点总复习

解析函数 f (z) 的导数仍为解析函数, 它的 n阶
导数为:
f
(n)
( z0
)
n! 2πi
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
(n 1,2,)
其中C 为在函数 f (z) 的解析区域 D内围绕 z0 的
任何一条正向简单闭曲线, 而且它的内部全含于 D.
8.调和函数与解析函数的关系
调和函数
满足 Laplace
但u iv不是解析函数。
证明:
因为 u x
2x,
2u x 2
2,
u y
2 y,
2u y 2
2,
2u 2u 2 2 0,所以,u是调和函数。 x2 y2
同理 2v 6x2 y 2y3 , 2v 6x2 y 2y3 , x2 (x2 y2 )3 y2 (x2 y2 )3
2v x 2
解:u(x, y) a ln(x2 y2 ),v(x, y) arct an y ,则 x
u 2ax , u 2ay , v y , v x , x x2 y2 y x2 y2 x x2 y2 y x2 y2 在区域x 0内连续,且 u v , v u 在区域x 0上成立时,2a 1, x y x y 即,当a 1 时,函数f (z)在区域x 0内是解析的。
Байду номын сангаас
而 u y2, u 2xy, v 2xy, v x2,在复平面上
x
y
x
y
处处连续,当x y 0时满足C R方程,
故f (z)仅在(0,0)点可导,在复平面上处处不解析。
2)因为f (z) x2 iy,则u(x, y) x2, v(x, y) y,
《复变函数》复习资料

《复变函数》 复习资料1一、判断题1. 把角形域映射为角形域用指数函数映射( )2.3.4.5.6.7. 分式线性映射在复平面上具有共形性、保圆性、保对称性。
( )8.9.10.二、解答题1.设)1()(2z z e z f z +=,求()f z 在1||0<<z 的洛朗展式(只写出含1z 到2z 各项).2.利用留数定理计算复积分I =21az z e dz =⎰+1()()n n z dzz a z b =--⎰ (01,01a b <<<<且,a b n ≠为自然数).3.利用留数定理计算实积分θθθπd ⎰-20cos 452cos 4.三、解答与证明题1.如果在1z <内,函数()f z 解析,且1()1f z z≤-,求()(0)n f 的最优估计值. 2.(1)函数211x +当x 为实数时,都有确定的值且在全实轴上有任意阶导数,但它的泰勒展开式: -+-=+422111x x x却只当1<x 时成立,试说明其原因; (2)利用惟一性定理证明:210(1)sin ,(21)!n n n z z n ++∞=-=+∑1z <. 3.设)(z ϕ在:1C z =内解析且连续到C,在C 上()1z ϕ<试证 在C内部2()3z z z ϕ=+只有一个根0z .4. 设D 为单连通区域,()f z 在D 内解析,C 在D 内一条周线,0D 为C 的内部.若对于任意的0z D ∈都有1()Re 12C f d i z ξξπξ⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭⎰,则在D 内恒有()f z 1ic =+,其中c 为实常数.答案一、1-5 FFTTF 6-10 TFFTF二、解答题1、设)1()(2z z e z f z+=,求()f z 在1||0<<z 的洛朗展式(只写出含1z 到2z 各项) 解:)1()(2z z e z f z+=211z e z z=+ =21(1)2!3!z z z ++++(2421(1)n n z z z -+-+-+)=215126z z z +--+(1||0<<z ).2、利用留数定理计算复积分I =21az z e dz =⎰+1()()n n z dzz a z b =--⎰ (01,01a b <<<<且,a b n ≠为自然数)解:因为 ||1a <,||1b <且a b ≠ 所以1||1()()n n z dzI z a z a ==--⎰=2i π[Re ()z a s f z =+Re ()z bs f z =] =12121(1)...(22)112(1)()0(1)!()()n n n n n n i n b a a b π---⎡⎤---+=⎢⎥---⎣⎦设2I =21az z e dz =⎰,因为在单位圆周1z =内2az e 只有一个本质奇点0z =,在该点的去心领域内有洛朗展式:2az e =22412!a az z+++所以2Re 0az z s e ==,故20I =,因此原积分值为零。
复变函数复习资料

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06
复变函数的积分方程与 微分方程
积分方程的概念与解法
概念
复变函数积分方程是描述函数在某个路 径上的积分值的等式。
VS
解法
通过适当的变换和代数运算,将积分方程 转化为更易于解决的形式,如转化为微分 方程或代数方程。
微分方程的概念与解法
要点一
概念
复变函数微分方程是描述函数及其导数之间关系的等式。
解析函数的积分表
示
解析函数在复平面上的积分可以 用实部和虚部来表示,也可以用 极坐标形式表示。
柯西积分公式
01
柯西积分公式是复变函数中一个重要的公式,它可 以用来计算复变函数沿着曲线的积分。
02
柯西积分公式由三个部分组成:被积函数、被积函 数的导数和被积函数的二阶导数。
03
柯西积分公式的应用范围很广,可以用于解决很多 复变函数的问题。
三角形式
复数可以表示为三角形式 r(cosθ + i sinθ),其中 r 是模长,θ 是辐角。
三角函数的定义
cosθ = x/r, sinθ = y/r,其中 x 和 y 是复数的实部和虚部。
复变函数的概念
定义域
函数自变量 x 的取值范围。
可微性
函数在定义域内每一点都可微分。
值域
函数因变量 y 的取值范围。
要点二
解法
通过求解微分方程,可以得到函数的表达式或找到函数的 特定性质。
解析函数的应用
解析函数的定义
如果一个复变函数在某个区域内的导数存在 且连续,则称该函数在该区域内解析。
应用
解析函数在复变函数理论中具有重要地位, 它们具有许多良好的性质,如柯西定理、泰 勒级数展开等。这些性质在解决各种数学问 题中具有广泛的应用,如求解积分方程、微 分方程等。
复变函数与积分变换重要知识点归纳

复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念:z x iy =+,,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注:一般两个复数不比较大小,但其模(为实数)有大小. 2.复数的表示1)模:22zx y =+;2)幅角:在0z ≠时,矢量与x 轴正向的夹角,记为()Arg z (多值函数);主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3)()arg z 与arctan y x之间的关系如下:当0,x > arg arctanyz x=;当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩;4)三角表示:()cos sin z z i θθ=+,其中arg z θ=;注:中间一定是“+”号。
5)指数表示:i z z e θ=,其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法:若111222,z x iy z x iy =+=+,则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法:1)若111222,z x iy z x iy =+=+,则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++;()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2)若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=;()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1) 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=,则(cos sin )n nn in z z n i n z e θθθ=+=。
华理复变答案12次作业答案

华理复变答案12次作业答案华东理⼯⼤学复变函数与积分变换作业(第1册)班级____________学号_____________姓名_____________任课教师_____________第⼀次作业教学内容:1.1复数及其运算 1.2平⾯点集的⼀般概念1.填空题:(1)35arctan 2,234,2523,25,23-+-πk i (2)3arctan 2,10,31,3,1-+-πk i(3))31(21i +- (4) 13,1=-=y x 。
2.将下列复数化成三⾓表⽰式和指数表⽰式。
(1)31i +; 解:32)3sin 3(cos 2)2321(231πππi e i i i =+=+=+ (2))0(sin cos 1π≤≤+-i 解:)22(2sin 2)]22sin()22[cos(2sin 2sin cos 1?π??π?π-=-+-=+-i e i i(3)32)3sin 3(cos )5sin 5(cos φφφφi i -+. 解:φφφφφφφφφ199********)/()()3sin 3(cos )5sin 5(cos i i i i i e ee e e i i ===-+-- φε19sin 19cos i +3.求复数11+-z z 的实部与虚部解:2|1|)1)(1()1)(1()1)(1(11++-=+++-=+-=z z z z z z z z z w 222|1|Im 2|1|1|1|)1(+++-=+--+=z z i z z z z z z z z 所以,2|1|1Re +-=z z z w ,2|1|Im 2Im +=z z w 4. 求⽅程083=+z 的所有的根. 解:.2,1,0,2)8()21(331==-=+k e z k i π即原⽅程有如下三个解:31,2,31i i --+5. 若 321z z z ==且0321=++z z z ,证明:以321,,z z z 为顶点的三⾓形是正三⾓形. 证明:记a z =||1,则232232223221|||(|2||z z z z z z z --+=+= 得22323||a z z =-221|)||(|z z -=,同样,22212123||a z z z z =-=- 所以.||||212321z z z z z z -=-=-6. 设2,1z z 是两个复数,试证明.212z z ++221z z -22122()z z =+. 并说明此等式的⼏何意义.证明:左式=(21z z +)(21z z +)+(21z z +)(21z z -)=(21z z +)(21z z +)+(21z z +)(21z z -) =2121221121212211z z z z z z z z z z z z z z z z ?-?-?+?+?+?+?+? =2(2221z z z z ?+?)=2(2221z z +)7.求下列各式的值: (1)5)3(i -; 解:5)3(i -=6556532)2()223(2ππi i e e i--==??- =i i 16316)65sin()65cos(32--=???-+-ππ(2)31)1(i -;解: 31)1(i -.2,1,0,2)2()221(23)24(631431===-=+--k e e i k i i πππ可知31)1(i -的3个值分别是)12sin 12(cos 22626πππi e i -=-;)127sin 127(cos 226276πππi e i +=)45sin 45(cos 226456πππi e i +=(3)求61-解:61-=.5,4,3,2,1,0,)(6/)21(612-=++k e e k i k i πππ可知61-的6个值分别是223,1,2236526i ei e i e i i i +-==+=πππ 223,,2234112367i e i e i e i i i -=-=--=πππ(4) ()()()()1001001001005050511+i +1-i =cos +isin +cos -isin 4444 =2cos 25+isin 25+2cos 25-isin 25 =-2ππππππππ8.化简2)1()1(--+n ni i 解:原式1222211)1(+-=-=??? ??-+-=n i n n i ie i i i π9. 设bi a iyx +=-+iy x ,其中y x b a ,,,均为实数,证明: 122=+b a解:先求出b a ,的y x ,表达式,因为bi a yx ixy y x iy x iy x +=++-=+-+=-+222222iy x iy x iy x ))(()(⽐较系数得b yx xy a y x y x =+=+-2222222, 于是1)2()(2222222222=+++-=+y x xy y x y x b a 10. 设ω是1的n 次根,且1≠ω,证明:ω满⾜⽅程:0112=++++-n zz z 解:因1=n ω,即01=—n ω故01)(1-(12=++++-)n ωωωω由于1≠ω,故01(12=++++-)n ωωω,即0112=++++-n z z z第⼆次作业教学内容:1.2 平⾯点集的⼀般概念 1.3复变函数1. 填空题(1)连接点i +1与i 41--的直线断的参数⽅程为10)52(1≤≤--++=t t i i z(2)以原点为中⼼,焦点在实轴上,长轴为a ,短轴为b 的椭圆的参数⽅程为π20sin cos ≤≤+=t t ib t a z2.指出下列各题中点z 的轨迹,并作图. (1)12≥-i z ;中⼼在i 2-半径为1的圆周及其外部。
复变函数与积分变换复习重点总结

复变函数与积分变换复习重点总结一、复变函数基本概念1.复数的定义与运算规则。
复数由实部和虚部构成,在复平面上表示为点,加减乘除等运算遵循分配律。
2.复平面及相关概念。
复平面是复数集合在直角坐标系上的表示,实部和虚部在坐标轴上的投影分别对应x轴和y轴,共轭复数、模、幅角等概念。
3.复变函数的定义与性质。
复变函数表示为z的其中一种函数,具有实变量函数的性质,例如连续性、可微性等。
二、整函数1.整函数的定义与性质。
整函数指复变函数在全复平面都解析,可以用无穷级数表示为幂级数形式。
2.全纯函数与调和函数。
全纯函数是整函数的一种特殊情况,对应于实变量函数的解析函数,调和函数满足拉普拉斯方程。
3.零点与奇点。
零点是整函数取值为0的点,奇点是整函数在一些点上无定义或有定义但不解析的点。
4.极限定理与唯一性定理。
解析函数具有一致性和唯一性,即零点有稠密性,且相同函数在相同域上必然一致。
三、留数定理1.留数的概念与计算方法。
留数是复变函数在奇点处的残余,可以通过留数公式计算得到,留数与曲线积分的关系。
2. 留数定理与积分公式。
留数定理为计算曲线闭合积分提供了便捷的方法,包括留数定理、Cauchy积分公式、Cauchy积分定理等。
3.洛朗展开与留数计算。
洛朗展开将复变函数表示为一部分主要项和无穷级数项的形式,通过计算主要项的留数可以快速得到积分结果。
四、解析函数与幂级数展开1.解析函数的定义与性质。
解析函数是在一些域上解析的复变函数,具有在其定义域上处处可微的特点,可以表示为幂级数形式。
2.幂级数展开与泰勒级数。
将解析函数表示为幂级数展开的形式,其中泰勒级数是幂级数的一种特殊情况,可以用于近似计算。
3.余项估计与收敛半径。
余项估计用于估计幂级数展开的误差范围,收敛半径表示幂级数展开的有效范围。
4.解析函数的四则运算与复合函数。
解析函数具有基本的四则运算和复合运算规则,可通过幂级数展开来计算。
五、积分变换1.积分变换的基本概念与性质。
华东理工大学2008学年第二学期复变函数A卷答案

1 华东理工大学2008–2009学年第 二 学期 《复变函数与积分变换》课程期末考试试卷 答案 A 2009.6一、填空题(每小题4分,共36分) 1. 1 2.62(arctan 10π-i e 或)835arctan(10-i e 3. 122π+i (k ) 4 2i π 5. 0. 6. Re((),0)f z =17. iz i z i +- 8. t 0cos ω 9. )1(11)( 2--=s s s F 二、单项选择题 (每小题4分,共20分) C A A D C三、(8分)已知23(,)3u x y xy x =-+为调和函数,求满足(0)f C =的解析函数? 解:由C-R 条件,知 2233x y xu y v +-=∂∂=∂∂----------------------------------------------------------2分 )(323x g y x y dy yv v ++-=∂∂=⎰-------------------------------------------------2分 xy yu x g xy x v 6)(6=∂∂-='+=∂∂-------------------------------------------------2分 知1)(C x g =所以=+=iv u z f )()3(313232C y y x i x xy +-++---------------------------------------1分 将(0)f C =代入上式得iC C -=1故)3(3)(3232y y x i C x xy z f -+++-=C z +=3 -----------------------------------1分 注:没写出C z +=3不扣分2 四、(共8分)沿指定曲线C 计算积分⎰++C z z dz )4)(1(22的值,其中23:=z C 为正向. 解: ⎰++C z z dz )4)(1(22 =⎰=-++2322)4)(1(i z z z dz +⎰=+++2322)4)(1(i z z z dz ---------------------------------3分 =()⎰=--++232)()4(1i z dz i z z i z +()⎰=+++-232)()4(1i z dz i z z i z ---------------------------2分 =i z z i z i =++)4)((122π+i z z i z i -=+-)4)((122π-------------------------------------2分=0 1分本题多数同学可能会用留数计算:解法二: 函数)4)(1()(22++=z z dz z f 在23<z 内有以积极点i z ±= 2分 由留数定理⎰++C z z dz )4)(1(22]),([Re ]),([{Re i 2i z f s i z f s -+=π 3分])4)((1lim )4)((1lim [222+-+++=-→→z i z z i z i i z i z π 2分 0= 1分 注:本题计算出极点的留数每个给1分五、(8分)求函数3sin )(zz z z f -=在∞<<z 0内的洛朗展式,并判断函数的孤立奇点的类型? 解:3sin )(z z z z f -==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-z z z z z z )!7!5!3(17533 ------------------------------------3分3 = +-+-!7!5!3142z z ---------------------------------------------------------------------------3分 由孤立奇点定义知:0=z 为可去奇点;∞=z 为本性奇点。
复变函数期末考试复习重点

复变函数期末考试复习重点(一)复数的概念1.复数的概念:z x iy =+,,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等. 注:一般两个复数不比较大小,但其模(为实数)有大小.2.复数的表示1)模:z =2)幅角:在0z ≠时,矢量与x 轴正向的夹角,记为()Arg z (多值函数);主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3)()arg z 与arctanyx之间的关系如下: 当0,x > arg arctan yz x=;(当z 落于一、四象限时,不变。
)当0,x = 0,arg 20,arg 2y z y z ππ⎧>=+⎪⎪⎨⎪<=-⎪⎩(z 为纯虚数,落于虚轴) 当0,arg arctan (0,0,arg arctan (yy z xx yy z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩第二象限)第四象限);4)三角表示:()cos sin z z i θθ=+,其中arg z θ=;注:中间一定是“+”号。
5)指数表示:i z z e θ=,其中arg z θ=。
3.共轭复数:实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数. z x iy =- 共轭复数的性质:教材P3(二) 复数的运算 1.加减法:若111222,z x iy z x iy =+=+,则()()121212z z x x i y y ±=±+± 2.乘除法:1)若111222,z x iy z x iy =+=+,则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++;()()()()1122111121212122122222222222222222x iy x iy z x iy z z x x y y y x y x i z x iy z z x iy x iy x y x y +-++-====+++-++。
复变函数复习要点

复变函数复习要点第一章复习要点1、熟悉复数的三种表示,熟练掌握复数基本运算(加、减、乘除、乘方、开方以及共轭运算)并熟悉其它们的几何意义;2、熟练掌握直线和圆周的各种形式的复数方程;3、熟练掌握用复数关系来表示平面点集,能画出复数关系表示的平面点集的草图,并能判断一个给定的平面点集是否区域,如果是区域还要能判定此区域是单连通区域还是多连通区域;4、熟悉复变函数的三种表示(代数表示、极坐标表示、映射表示),熟练掌握复变函数极限和连续的定义以及复变函数极限、连续与其实部、虚部二元函数极限和连续的关系。
5、能准确地写出并证明复变函数极限和连续的基本性质(如:局部不等性、局部有界性等);掌握有界闭集上连续函数的整体性质(有界性、模函数的最值性、一致连续性)。
第二章复习要点1、熟练掌握复变函数导数和微分的定义,复变函数导数的运算法则;2、熟练掌握解析函数的定义(包括区域内解析、一点解析和闭区域上解析),熟悉复变函数在一点可导和解析的关系,以及复变函数在区域内解析(在闭区域上解析)与在点的解析的关系;熟练掌握解析函数的运算法则(包括四则运算、复合运算、逆运算);3、熟练掌握复变函数可导和解析的充要条件以及利用实部、虚部两个二元函数的偏导数计算复变函数导数的计算公式,能利用充要条件准确判断给定的具体复变函数在平面上的可到性和解析性;熟悉复变函数可导和解析的柯西—黎曼条件,能熟练地运用柯西-黎曼条件解决解析函数为常函数的各种条件;4、熟练掌握解析函数与其实部、虚部两个二元函数调和的关系,并能利用解析函数的实部或虚部,求出虚部或实部,从而求出解析函数;5、熟悉常用的初等单值解析函数(如:常函数,多项式函数、有理函数,指数函数,三角函数,双曲函数);6、熟悉讨论多值函数的基本方法(找支点,作支割线,将多值函数的各分支函数单值化),并熟练掌握幅角函数、对数函数、根式函数和一般幂函数的单值化方法;7、熟悉幅角函数、对数函数、根式函数、一般幂函数的一般计算(即直接利用这些函数的结构表示来计算);8、熟练幅角连续改变量的计算公式;熟练掌握幅角函数、对数函数、根式函数、一般幂函数的分支函数的已知初值求终值的公式,并能用这些公式正确计算相应的分支函数的函数值;P z是多项式)的单值化方法(包括支点的确定方法,支割线的作法),9、()以及它的分支函数的已知初值求终值的公式。
复变函数复习提纲

( z − z0 ) n f ( z ) = c− m ( z − z0 ) n − m + c− m+1 ( z − z0 ) n − m+1 + ⋅⋅⋅ + c−1 ( z − z0 ) n −1 + c0 ( z − z0 ) n + c1 ( z − z0 )n +1 + ⋅⋅⋅
d n −1 1 2 ⎡ ( z − z0 ) n f ( z ) ⎤ ⎦ = (n − 1)!c−1 + n !c0 ( z − z0 ) + (n + 1)n(n − 1) ⋅⋅⋅ 3 ⋅ c1 ( z − z0 ) + ⋅⋅⋅ dz n −1 ⎣
(2) 1 < z < 2 (3) 2 < z < +∞
(1) z < 1
10.将 f ( z ) =
1 在点 z = 1 和 z = 2 的去心邻域内展成洛朗级数。 ( z − 1)( z − 2)
第五章 备注:以下几个简单的结论在判断函数零点的级数和极点的级数时应该很有用。 请牢记。 (1) 设 f ( z ) = g ( z )ϕ ( z ) , g ( z ), ϕ ( z ) 在 z0 解析且 ϕ ( z0 ) ≠ 0 。则 z0 为 f ( z ) 的 m 级零 点当且仅当 z0 为 g ( z ) 的 m 级零点。 这个结论说明函数之积的零点,只要看会使之为零的那一部分即可。 证明: 充分性 若 z0 为 g ( z ) 的 m 级零点,则 g ( z0 ) = g ′( z0 ) = ⋅⋅⋅ = g ( m −1) ( z0 ) = 0 , g ( m ) ( z0 ) ≠ 0 。 当n < m ,
华理复变答案1-2次作业答案

华东理工大学班级复变函数与积分变换作业(第1 册)学号 姓名任课教师第- 」次作业教学内容:1.1复数及其运算1.2平面点集的 ■般概念1•填空题:-3, 1 3i, 10, 2k : -arctan3(1)3 5. 34〜5 + i, 12k 二-arctan2 223⑵1, 5 2(cos5T is in 5 )2 (cos3 -isin3 )3cos19 ; i sin19z —13 •求复数——-的实部与虚部z +1(zZ z — Z -1) zz -1. 2 Im z i - |z 1||z 1| |z 1|34.求方程z • 8 = 0的所有的根 解:1i卫(1-2k) Z =(—8)3 =2e 3 ,k =0,1,2.即原方程有如下三个解:5•若z^ = z 2 = Z 3且z,+Z2+Z 3=0,证明:以z^Z 2,Z 3为顶点的三角形是正三角形 证明:记| Z")| = a ,贝UZ 12=|Z 2 +Z 3 |2 = 2(乙|2 十|萄2 -Z 2-Z 322 2 2得 |z^Z s | =3a =(|Z 1 |-|z 2|),同样,2 2 2| z 2 - Z [ | = Z [ - z 2 = 3a所以丨可—Z 2H Z 3 — Z 2卜Z 1 — Z 26. 设ZZ2是两个复数,试证明解:(cos5 i sin5 )2(cos3 -i sin3 )3=(e i5)2/(e 」3 )3i19=e解:z 1 (z 1)(z 1) |z 1|所以, Rewzz 「1 — 2|z 1|Im w 二21m z 2|z T|_L 92 2 2 2Z 1+z 2 +Z 1_Z 2 =2(乙 + z 2 ).并说明此等式的几何意义.证明:左式=(乙-Z 2)(Z i - Z 2 )+(Z !Z 2)(Z i-Z 2)=(Z|Z 2 )( Z 1 - Z 2 )+( Z i - Z 2 )( Z i - Z 2 )7. 求下列各式的值:32哄-即5送)…16亠佝1(1 -i)3 ;i (乎七切)'=62e 3 , k = 0,1,2.阪%%。
复变函数与积分变换复习资料

|z|=1 z − 1
二、判断题
1.幂级数在其收敛圆周上至少有一点发散.(
)
2.简单曲线必可求长.(
)
3.若函数ω=f(z)在区域 D 内单叶解析,则 f(D)是一个区域.(
)
4.复变函数 f(z)在点 z 可导等价于 f(z)在点 z 可微.(
)
5.f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域 D 内解析的充要条件是 u(x,y)、v(x,y)在区域 D 内满
复变函数与积分变换复习资料
一、填空题
1.1 + i 的三角形式为____________________, 指数形式为________________。 2. ( 3 − i)3 = _____________, ii 的主值为________________。
Ln(−3 + 4i) = __________________, 其主值为_____________。
∫ 2 计算积分
dz , 其中 C 为 z = 1 正向。
C z(3z + 1) Nhomakorabea6
∫ 计算积分
dz , 其中 C 为 z = 1 正向。
C z(3z −1)
6
∫ 3.计算积分
cos z
z3
dz ,其中 C 1
:
z
=
2 正向, C 2
:
z
= 3 负向。
C =C1 +C2
∫ 计算积分
sin z
z3
dz
,其中
A.2;
B. 2i ;
C. 1 + i ;
D. 2 + 2i
华理复变第二章答案.doc

3 + i 2-i 3-i 2 + i (因为一对共轨复数的模所以I 兀卩+21兀llyl + ly 卩 2 所<kl o第一章复数与复变函数一、 基本要求1、 熟练掌握复数的加、减、乘、除、乘方、开方和共轨运算;2、 掌握和运用复数模的三角不等式;3、 熟练复数的各种表示形式之间的关系;4、 理解无穷远点的概念;5、 弄清开集、区域、闭区域、单连域、多连通域、简单曲线、简单闭曲线、光滑曲线、逐 段光滑曲线等概念,会用复数方程和不等式表示一些常见的平面曲线和简单区域;6、 掌握复变函数的概念及映射的概念,弄清复变函数与实二元函数之间的关系。
7、 掌握复变函数的极限、连续和导数的概念及其性质。
二、 典型例题例1求复数z = (3 + 0(2~°的模。
(3-0(2 + 0解:注意到本题的特殊性例2、求复数汙的实部与虚部。
卸 s-1 (z-lXz + 1) a-l)(z+Dz+i (z+i )(z+i ) iz+ir_ (zZ + z _Z_ 1) _ zZ_l | . 2Imz- Iz + ll 2 _k + ll 2 l \z + l\2所以,Rew= — , Imw=。
k + ll 2lz + 1 卩=1x1 + 1 y I,因为Lrllyl<ljr|2+Iy '2 (算术-几何平均不等式),卩+'";'汀+'汀冷心 例4、如果|勺1=1勺1=1 Z3 1= 1,且勺+勺+勺二。
,证明勺、5、 Z3是内接于单位圆的一个正(3 + i)(2_i)(3-0(2 + /)证明:I Z 1= J 兀2 + y2 < J 兀2 + + 2 | 兀 || y | Ixl+l yl三角形。
证明:由于I Zi 1=1 Z21=1 Z3 |= 1 '所以它们在单位圆上;又因为Z! + Z2 + Z3 = 0 ,故Z1+Z2=-Z3 如图,则勺与-Z3的夹角和5与%的夹角相等;同理,勺与-Z1的夹角和乙3与-勺的夹角相等;勺与-s的夹角和z3与-勺的夹角相等;因此,容易证明,勺、◎、色的夹角为120度,所以结论成立。
大学高数复变函数与积分变换复习公式知识点

ℱ f nx ( j)n F()
4、积分性质
ℱ
x x0
f
xdx
1 F () j
ℱ
(
j
xn)
f
x
d
n F () d n
由 Fourier 变换的微分和积分性质,我们可以利用 Fourier 变换求解微积分方程。
四、卷积和卷积定理
f1(x) * f2 (x) f1( ) f2 (x )d
2、闭路积分: a) f zdz c
利用留数定理,柯西积分公式,高阶导数公式。
b) [u(x, y) iv(x, y)]dz c
三、柯西积分定理:
c f zdz 0
推论 1:积分与路径无关
f zdz z2 f (z)dz
c
z1
推论 2:利用原函数计算积分
z2 z1
f
(z)dz
F(z2 ) F(z1)
第四章 解析函数的级数
一、幂级数及收敛半径:
an (z b)n
n0
1、一个收敛半径为 R(≠0)的幂级数,在收敛圆内的和函数 f (z) 是解析函数,在这个收敛圆内,这
个展开式可以逐项积分和逐项求导,即有:
f 'z nan z bn n1
zb R
z f
0
z dz
n0
z
l an
大学高数复变函数与积分变换复习公式知识点
第一章 复变函数 一、复变数和复变函数
w f z ux, y ivx, y
二、复变函数的极限与连续
极限 lim f (z) A zz0
连续
lim f (z)
zz0
f (z0)
第二章 解析函数
一、复变函数 w f (z) u(x, y) iv(x, y) 可导与解析的概念。
《复变函数》复习大纲及例题

dz
2 i 2!
sin
z
2 z1
i
sin1
法2(留数定理)
z
1是函数
f
z
sin z
z 13
的三级极点,则
Re s
f
z ,1
1 lim 2! z1
z
13
sin z
z 13
2
1 2
,由留数定理得
C
sin z
z 13
dz
2 i
Re s
f
z ,1
i sin1
.
9. 复合闭路定理联合柯西积分公式(或留数定理、规则)
0
x2 2
ix
3 0
9 2
3i
.
11. 原函数与不定积分
例 11-1 计算积分: 3i e2zdz . i
解: 3i e2zdz 1 3i e2zd 2z 1 e2z 3i 0
i
2 i
2
i
1
例 11-2 计算积分: z sin zdz . 0
解:
1 z sin zdz
0
1 0
zd
cos
z
z
cos
z
1 0
1 0
cos
zdz
sin
1
cos1
.
12. 函数可导、解析的充要条件
例 12-1 函数 f x x2 iy 何处可导,何处解析.
解:由题得 u x, y x2,v x, y y ,则 u 2x, v 1, u 0, v 0 ,
x
y
y x
故当且仅当 2x 1 时柯西黎曼方程 u v , u v ,解得 x 1 ,
i
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2 2
例如,
u( x , y ) ln( x y ) 在复平面内除原点外处 处连续, v ( x , y ) x 2 y 2 在复平面内处处连续,
故 f ( x , y ) 在复平面内除原点外处 处连续.
(w) 圆周 常数
0
2)
(z)
直线 y 常数
0
(w)
射线 常数
0
0
11
3) 带形域 0 Im( z ) a ( 0 a 2 )
角形域 0 arg w a
ai ( z )
0 特殊地: 0
(w)
2i
0
(z)
(w)
0
12
例
求把带形域 a Im( z ) b 映射成上半平面
复习与回顾
1
分式线性映射的性质
1.一一对应性 2.保角性 3. 保圆性 说明: 如果给定的圆周或直线上没有点映射成无 穷远点, 那末它就映射成半径为有限的圆周; 如果 有一个点映射成无穷远点, 那末它就映射成直线. 4. 保对称性
(I)当二圆弧上没有点映射成无穷远点时, 这二圆 弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域; (II)当二圆弧交点中的一个映射成无穷远点时, 这 二圆周的弧所围成的区域映射成角形区域.
若u, v在( x, y)处一阶偏导数连续且满足C R方程, 推论 :
则f ( z ) u iv在 z x iy 处可导.
31
二、典型例题
例1 判定下列函数在何处可导, 在何处解析:
( 2) f ( z ) e x (cos y i sin y ); (1) w z;
3
映射的角形区如图所示
(z ) y i
v
C2' 1 x C1' O (w)
-1
O
u
C2
-i
4
C1
z
zR w . zR
w
R
0
R
1
(z)
C1 0 1 i
i.
C2
zi i z i
( )
0
因此所求映射为:
w ie
i 0
逆时针旋转 0 w e i 0
( w)
we
z 2 i z i
14
求将区域
{z
z 2 z 1 1}
映射为上半平面的一个共形映射.
z z 2
z1
z z 2
e
2 i
z2 z1e
( 旋转 )
2 z
i
2
2
e
分式线性:
1. 有两个交点的弧段映射成角形区域 2.半圆映射成某一个象限 3. 将线段映射成射线 4.只有一个交点的弧段映射成带型区域。
z1 ( 2) Ln Lnz1 Lnz2 , z2
( 3) 在除去负实轴(包括原点)的复平面内, 主值支 和其它各分支处处连续 , 处处可导, 且
1 1 (ln z ) , (Lnz ) . z z
36
注解
1、对数函数 w Lnz是定义在整个复平面减 去原点上的多值函数 ; 2、对数函数的代数性质(运算性质): Ln( z1 z2 ) Lnz1 Lnz2 Ln( z1 / z2 ) Lnz1 Lnz2 和幅角的加法一样上面的等式应该理解为
Arg( z1 z2 ) Argz1 Argz2 .
商
幂
z r e z r
2 2 1 1
i ( 2 1 )
.
z2 Arg Arg z2 Arg z1 . z1
对于任何正整数 n, 有 z n r n (cos n i sin n ).
方根
此点和其某领域内点点满足 导数定义 ·
仅在此点满足导数定义
·
·
一点解析 一点可导,反之不对
29
因为区域为开集,故点点可导
点点解析
反之显然
f ( z ) 在区域内可导
f ( z)
在区域内解析
30
可导(解析)充要条件
定理
设函数 f ( z ) u ( x, y ) iv( x, y ) 定义在区域 D 内, 则 f ( z ) 在 D内一点 z x yi 可导(在区域内解析)的充要 条件是 : u ( x, y ) 与 v( x, y ) 在点 ( x, y ) 可微(在区域内可微) , 并且在该点(在区域内)满足柯西-黎曼方程 u v 1 u v u v u v i . , . 且f ( z ) x x i y y x y y x
( 3) w z Re( z ).
例:如果 f ( z ) 在区域 D 内处处为零, 则 f ( z ) 在 区域 D 内为一常数.
证
u v v u f ( z ) i i 0, x x y y
u v u v 故 0, x y y x
注意:他们是无界函数
38
当 z 为纯虚数 yi 时,
e y e y cos yi cosh y , 2 e y e y sin yi i sinh y . 2i
当 y 时, sin yi , cos yi .
(注意:这是与实变函数完全不同的)
39
40
2kπ 2kπ w z r cos i sin n n ( k 0,1,2,, n 1)
n
1 n
23
复变函数的极限 和连续性
一、函数的极限 二、函数的连续性
25
定理三
函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 在z0 x0 iy0 连续的充要条件是: u( x , y ) 和 v ( x , y ) 在 ( x0 , y0 ) 处连续.
41
共轭调和函数
设 u( x , y ) 为区域 D 内给定的调和函数, 我 们把使 u iv 在 D 内构成解析函数的调和函数 v ( x , y ) 称为 u( x , y ) 的共轭调和函数.
u v u v 即 在 D 内满足方程 , 的两个调 x y y x 和函数中, v 称为 u 的共轭调和函数.
zi z i
(w)
e
π i ( 0 ) 2
zi z i
0
0
基本公式: 已知条件
分式线性映射公式
w w1 w3 w2 z z1 z3 z2 . w w2 w3 w1 z z2 z3 z1
已知相异三点:
z1 w1 , z2 w2 , z3 w3
iz
iz
,
e e sinz 2
iz
iz
.
奇偶性 周期性 解析性
sin( z ) sin z , cos( z ) cos z .
sin( z 2) sin z , cos( z 2) cos z .
(sin z ) cos z , (cos z ) sin z .
i
za we a 1) ,( R, 1 az
i
z 1 w z 1
7
一、幂函数 w z
n
( n 2为自然数)
2π 角形域 0 0 n
(z)
角形域 0 n 0
(w)
0
0
n 0
0
即在 z 0 处角形域的张角经过映射变为原 来的 n 倍.
21
例 求下列方程所表示的曲线: (1) z i 2; ( 2) z 2i z 2 ;
( 3) Im( i z ) 4.
( 4) z 1 z 1 4;
积 z1 z2 r1 r2[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]2 2 Nhomakorabea复
习
19
第一章:
20
复数的三角表示和指数表示
x r cos , 利用直角坐标与极坐标的关系 y r sin ,
复数可以表示成 z r (cos i sin ) 复数的三角表示式 再利用欧拉公式 e i cos i sin , 复数可以表示成 z re i 复数的指数表示式
Im( ) 0 的一个映射.
解
(z)
(w)
we ?
i ( z a ) b a
0 a
b
0
( )
i
πi (z a) ba
0
w e
13
例 求一函数,它把新月形域:|z|<1,|z-i/2|>1/2保角映射成上 半平面. ( w2 ) ( z ) i ( w1 ) 1 z i
集合相等,并且下面的等式将不再成立:
而应是: Lnz 2 2 ln | z | i 2 arg z 2ki,
1 Ln n z 1 ln | z | i n n arg z 2 ki
Lnz 2 2Lnz,
Ln n z 1 n Lnz
37
四、三角函数
e e cos z 2
16
初等函数映射:
1. 角型区域对应角型区域(或有隔阂的复平面) 时利用幂函数(角度增加)或根式函数(角度减少) 2.横向带型区域映射成角型区域(或上半 平面,或有隔阂复平面利用指数函数反之 利用对数函数 因此对于这种情况,经常需要对带状区域平移旋转压缩
17
1 1 w u iv z x iy u x u2 v2 1 u u 2 v 2 1 1 z x iy v w u iv v0 y 2 0 u v2 1 1 2 u v ,v 0 2 2