高等数学第七版上册总复习PPT课件
合集下载
高等数学-第七版-课件-3-6 函数的极值与最大值最小值
o
x
定义 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义， 如果对于去心邻域U0(x0)内的任一x，有 y f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0)) 称f(x0)为函数f(x)的一个极大值（极小值） 函数的极大值与极小值统称为函数的极值， 使函数取得极值的点称为极值点 注 极值是一个局部的概念
海岸位于A点南侧40km，是一条东西走向的笔直长堤. 演习中部队先从A出发陆上行军到达海堤，再从海堤处乘舰艇 到达海岛B. 已知陆上行军速度为每小时36km，舰艇速度为
每小时12km.问演习部队在海堤的何处乘舰艇才能使登岛用 y 时最少？ 分析 陆上行军耗时 o 海上行军耗时 A
(0,40)
？ R(x,0) B
x
(140,-60)
三、最大值最小值问题
（一）最大值最小值求法
（二）最值应用问题
三、最大值最小值问题
（一）最大值最小值求法
（二）最值应用问题
例4 从边长为a的一张正方形薄铁皮的四角切去 边长为x的四个小正方形，折转四边，作一 个盒子，问x为何值时盒子的容积最大？
例5 某企业以钢材为主要生产材料。设该厂每天的钢材需求量为 R吨，每次订货费为C1元，每天每吨钢材的存贮费为C2元 （其中R、 C1、 C2为常数），并设当存贮量降为零时，能 立即得到补充（在一个订货周期内每天的平均存贮量为订货 量的二分之一）求一个最佳的订货周期，使每天的平均费用 最小？ q(t) Q o T C C0
o
x
定义 设函数f(x)在区间I上有定义，如果存在x0∈I,使得对于区间I内 的任一x，有 f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),则称f(x0)为函数f(x) 在区间I上的最大值(或最小值).
高等数学-第七版-课件-18-1 隐函数
(a) 一点正,一片正
(b) 正、负上下分
y0
y
＋＋＋＋
y0
y
＋＋＋＋
y0 y0
O
y0 y0
x
－－－－
U ( P0 )
－ － －－
y f ( x)
x0
x0
x0
O x x0 x x 0 0
(d) 利用介值性
(c) 同号两边伸
图 18－1
等. 在§2 还要讨论由多个方程确定隐函数组的问题.
数学分析 第十八章 隐函数定理及其应用
高等教育出版社
§1 隐函数
隐函数概念
隐函数存在性条件分析
隐函数定理
隐函数求导举例
隐函数存在性条件分析
要讨论的问题是：当函数 F ( x , y ) 满足怎样一些 条件时, 由方程 (1) 能确定隐函数 y f ( x ) , 并使 该隐函数具有连续、可微等良好性质? (a) 把上述 y f ( x ) 看作曲面 z F ( x , y ) 与坐标 平面 z 0 的交线，故至少要求该交集非空，即
§1 隐函数
隐函数概念
隐函数存在性条件分析
隐函数定理
隐函数求导举例
(c) “同号两边伸”
因为 F ( x , y0 ) , F ( x , y0 ) 关于 x 连续，故由
(0 ) , 使得 (b) 的结论，根据保号性，
F ( x , y0 ) 0 , F ( x , y0 ) 0 , x ( x0 , x0 ).
y0
+ + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
高等数学-第七版-课件-8-1 不定积分概念与基本积分公式
高等教育出版社
dx 1 x
2
2
ln( x 1 x ) C ,
2
1 2 1 x dx x 1 x arcsin x C . 2
数学分析 第八章 不定积分
不定积分的几何意义
像是 f (x) 的一条积分曲线. y 所有的积分曲线都是
由其中一条积分曲线 沿纵轴方向平移而得 到的.
f ( x ) f ( x ) 0.
由第六章拉格朗日中值定理的推论, 即知
F ( x ) G( x ) C .
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
§1 不定积分概念与基本积分公式
原函数
不定积分
定义2
不定 积分
不定积分的 几何意义
基本积分表
函数 f 在区间 I 上的全体原函数称为 f 在 I 上
5. e dx e C . x a x 6. a dx C. ln a
x x
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
§1 不定积分概念与基本积分公式
原函数
不定 积分
不定积分的 几何意义
基本积分表
8. sin xdx cos x C .
9. sec xdx tan x C .
定理8.1（原函数存在性定理）
若函数 f 在区间 I 上连续, 则 f 在 I 上存在原函
数 F, 即
F ( x ) f ( x ).
在第九章中将证明此定理.
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
§1 不定积分概念与基本积分公式
原函数
不定 积分
不定积分的 几何意义
高中数学(人教版)高等数学第七版课件工程数学概率统计学绪论课件
甲乙二人各有赌本1元，约定谁先胜三局赢得全 部赌本2元，假定甲、乙二人每一局的取胜概率相 等。现已赌三局结果是：甲二胜一负。由于某种 原因赌博中止，问如何分赌本才合理？ 分析：甲、乙均分显然不合理，由甲二胜一负 能否依2：1来分？也是不合理的。 巴斯卡提出一个关键点是：如赌局继续下去， 各人取胜的概率，这将决定甲、乙二人的期望所 得（后者现在称数学期望）。
Bortkiewicz （ 1898 ）的马踏死骑兵人数的统计 。
被马踢死的骑兵数的频率分布 死亡人数/年.队 0 1 2 3 频数 109 65 22 3 1 相对频数 0.545 0.325 0.11 0.015 0.005 理论概率 拟合频数
4
要寻找死亡人数的合理分布。
使用 Poisson 分布也许是一个好的拟合，参数 的估计为
3、短期的机遇变异和长期的规律性
重复投掷一枚均匀硬币六次，观察每次 出现的面： （1）正反正反反正 （2）反反反正正正 （3）正反反反反反
直觉认为结果（1）是随机的，结果（2 ）和结果（3）很不随机。
从概率的观点认为结果（1）、（ 2）、（3）的发生有相同的概率， 因而没有哪一个结果比其他结果更
这种设计的优点在于有人性化，即较多 的病人接受较好的处理。
5、随机性是创造性不可缺少的一个因素。
（1）抽样调查和试验设计的随机性 （2）罐子模型
（3） Monte Carlo法与模拟
Monte Carlo法与模拟
图2：如何求不规则图形的面积— 蒙特卡罗法或模拟法
Monte Carlo法与模拟
不规则图形面积 落入不规则图形内的随 机点数 a m 正方形面积 正方形内随机点总数 m
参考书目
1、复旦大学数学系，概率论（第一、二册），北京：高 等教育出版社，1979 2、浙江大学数学系，概率论与数理统计，北京：高等教 育出版社，1979 3、王梓坤，概率论及其应用，北京：科学出版社，1976 4、陈希孺，数理统计学简史，长沙：湖南教育出版社， 2002 5、陈希孺，概率论与数理统计，合肥：中国科技大学出 版社，1992 6、G.R.Iverson and M.Gergen. Statistics-the conceptual approach. New York:Springer-Verlag,1997 7、D.Freedman, R.Pisaui, R.Purves and A.Adhikari. Statistics. New York:W.W.Norton&Company,1991
Bortkiewicz （ 1898 ）的马踏死骑兵人数的统计 。
被马踢死的骑兵数的频率分布 死亡人数/年.队 0 1 2 3 频数 109 65 22 3 1 相对频数 0.545 0.325 0.11 0.015 0.005 理论概率 拟合频数
4
要寻找死亡人数的合理分布。
使用 Poisson 分布也许是一个好的拟合，参数 的估计为
3、短期的机遇变异和长期的规律性
重复投掷一枚均匀硬币六次，观察每次 出现的面： （1）正反正反反正 （2）反反反正正正 （3）正反反反反反
直觉认为结果（1）是随机的，结果（2 ）和结果（3）很不随机。
从概率的观点认为结果（1）、（ 2）、（3）的发生有相同的概率， 因而没有哪一个结果比其他结果更
这种设计的优点在于有人性化，即较多 的病人接受较好的处理。
5、随机性是创造性不可缺少的一个因素。
（1）抽样调查和试验设计的随机性 （2）罐子模型
（3） Monte Carlo法与模拟
Monte Carlo法与模拟
图2：如何求不规则图形的面积— 蒙特卡罗法或模拟法
Monte Carlo法与模拟
不规则图形面积 落入不规则图形内的随 机点数 a m 正方形面积 正方形内随机点总数 m
参考书目
1、复旦大学数学系，概率论（第一、二册），北京：高 等教育出版社，1979 2、浙江大学数学系，概率论与数理统计，北京：高等教 育出版社，1979 3、王梓坤，概率论及其应用，北京：科学出版社，1976 4、陈希孺，数理统计学简史，长沙：湖南教育出版社， 2002 5、陈希孺，概率论与数理统计，合肥：中国科技大学出 版社，1992 6、G.R.Iverson and M.Gergen. Statistics-the conceptual approach. New York:Springer-Verlag,1997 7、D.Freedman, R.Pisaui, R.Purves and A.Adhikari. Statistics. New York:W.W.Norton&Company,1991
高等数学-第七版-课件-21-8 反常二重积分
( x2 y2 )
y
e
Da
( x 2 y2 )
d e
Sa
d
d .
Da
O
D
2a
( e
0
a
Sa
a
x2
dx )
2
D
e
2a
( x2 y2 )
2a
x
令 a , 则得
a
lim
e dx
a x
2
图 21 43
2
0
e
并且由定理21.16有
( x2 y2 )
( x2 y2 )
d 收敛，
D
π e d . (2) 4 D 由 (2) 式还可推出在概率论中经常用到的反常积分
0
e
x2
d 的值.
为此, 考察 Sa [0, a ] [0, a ] 上的积分 因为
e
Sa
e
e
dx y
0
R
2 q 1 y 2
e
dy.
所以
( p)(q ) lim 4 x
R DR
2 p 1
y
e
2 q 1 ( x 2 y 2 )
e
d
(4)
4 x
D
2 p 1
y
2 q 1 ( x 2 y 2 )
d ,
这里 D 为平面上第一象限. 和例1 一样,下面讨论(4) 式右边的反常二重积分,记 Dr ( x, y ) | x 2 y 2 r 2 , x 0, y 0 .
其中 Dn En D, En 为 n 所围的有界区域. 这时反
y
e
Da
( x 2 y2 )
d e
Sa
d
d .
Da
O
D
2a
( e
0
a
Sa
a
x2
dx )
2
D
e
2a
( x2 y2 )
2a
x
令 a , 则得
a
lim
e dx
a x
2
图 21 43
2
0
e
并且由定理21.16有
( x2 y2 )
( x2 y2 )
d 收敛，
D
π e d . (2) 4 D 由 (2) 式还可推出在概率论中经常用到的反常积分
0
e
x2
d 的值.
为此, 考察 Sa [0, a ] [0, a ] 上的积分 因为
e
Sa
e
e
dx y
0
R
2 q 1 y 2
e
dy.
所以
( p)(q ) lim 4 x
R DR
2 p 1
y
e
2 q 1 ( x 2 y 2 )
e
d
(4)
4 x
D
2 p 1
y
2 q 1 ( x 2 y 2 )
d ,
这里 D 为平面上第一象限. 和例1 一样,下面讨论(4) 式右边的反常二重积分,记 Dr ( x, y ) | x 2 y 2 r 2 , x 0, y 0 .
其中 Dn En D, En 为 n 所围的有界区域. 这时反
同济第七高等数学总复习PPT教案
第8页/共118页
9
推广：n 阶常系数齐次线性方程解法 y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y 0 特征方程为 r n P1r n1 Pn1r Pn 0
特征方程的根 通解中的对应项
若有 k 重实根 r (C0 C1x Ck1xk1)erx
若有k 重共轭 复根 i
[1] 空间直线的一般方程 1 : A1 x B1 y C1z D1 0
z
1 L
2 : A2 x B2 y C2z D2 0
2
L
:
A1 A2
x x
B1 y B2 y
C1z C2z
D1 D2
0 0
x
o
y
第33页/共118页
34
[2] 空间直线的对称式方程
x x0 y y0 z z0
的特解, 那么 y C1 y1 C2 y2就是方程(1)的通解.
（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:
y P( x) y Q( x) y f ( x)
(2)
定理 2 设 y*是(2)的一个特解, Y 是与(2)对应
的齐次方程(1)的通解, 那么 y Y y*是二阶非
齐次线性微分方程(2)的通解.
y2 x2 z2 a2 c2 1
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
旋 转 椭 球 面
z
o
y
x
第21页/共118页
22
（1）球面
（2）圆锥面 （3）旋转双曲 面
x2 y2 z2 1
x2 y2 z2
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
x2 a2
a （ax , ay, az） b （bx , by, bz）
高等数学同济七版-优秀PPT文档
y
2 (3) 0 是可以作为无穷小的唯一常数.
数值 f (x) 总满足不等式
(2) 无穷大不是很大很大的数；
O1
x
水平渐近线
f (x) 1 1 x
铅直渐近线
O1 x
第四节 无穷小与无穷大
三、无穷小与无穷大的关系
定理2 在自变量的同一变化过程中，如果 f (x) 为无
穷大，则 1 为无穷小；反之，如果 f (x) 为无穷小， f (x)
三定、理无 1(无穷穷小小与与无函穷数大极的限关的系关系) 则定称理直 2 线在自x =变x量0 的是同曲一线变y化= 过f (x程) 中的，铅直
(定3)义01是如可果以函作数为无f (x穷) 小当的x 唯x一0 常(或数x. )时的极限为
y 1 (2) 无穷大不是很大很大的数；
f ( x) 2 正(3)数若M函(数不为论无它穷多大么，大则)，它必无界，反之不成立. x 1 总所存以在 函正数数x–1 为(或当正x 数1X时)，为无穷小.
1 0 , 所以函数 1 为当x-时为无穷小.
1 x
1 x
第四节 无穷小与无穷大
定义1 如果函数 f (x) 当 xx0 (或 x)时的极限为
零，那么称函数 f (x) 为当 xx0 (或 x)时的无穷小.
几点说明
(1) 无穷小不是很小很小的数； (2) 函数 f (x) 是不是无穷小与自变量的变化过程有关; 例如，f (x) = x – 1 ，当 x1 时是无穷小，当 x2 时不 是无穷小. (3) 0 是可以作为无穷小的唯一常数.
y
y 1 x 1
O1
x
第四节 无穷小与无穷大
铅直(垂直)渐近线
定义 lim lim 如果
高等数学-第七版-课件-12-1 级数的收敛性
则结果是1. 两个结果的不同向我们提出了两个基本 问题:“无限个数相加”是否存在“和”; 如果存在, “和”等于什么? 由此可见,“无限个数相加”不能
简单地与有限个数相加作简单的类比,需要建立新 的理论.
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§1 级数的收敛性
级数的收敛性
定义1
给定一个数列{un}, 将其各项依次用“+”号连接 起来的表达式 u1 u2 un (1) 称为常数项级数或数项级数(常简称级数),其中 un 称为数项级数(1)的通项或一般项. 数项级数(1)也 常记为
n
(iii) 当 q 1 时, Sn na, 级数发散. 当q 1 时,
S2 k 0, S2 k 1 a , k 0, 1, 2,, 级数发散.
1aq 时n , 级数 q 1 时, 级 综合起来得到 a aq aq2: q (3)收敛; (3) 数(3)发散.
k
k
注 从级数加括号后的收敛,不能推断它在未加括号 时也收敛. 例如
(1 1) (1 1) (1 1) 0 0 0 0,
收敛, 但级数 1 1 1 1
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
却是发散的.
§1 级数的收敛性
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§1 级数的收敛性
级数的收敛性
为此令 p = m, 则有
um 1 um 2 u2 m
1 1 1 m 1 m 2 2m
1 1 1 1 , 2m 2m 2m 2
1 故取 0 , 对任何正整数 N 只要 m > N 和 p = m 2 1 因此调和级数 发散. 就有(7)式成立， n 1 n
同济第七版高等数学总复习ppt课件
y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x )( 2 )
定理 2
设 y * 是( 2 ) 的一个特解, Y 是与(2)对应
*
的齐次方程(1)的通解, 那么 y Y y 是二阶非
齐次线性微分方程(2)的通解.
7
定理 3
设非齐次方程(2)的右端 f ( x ) 是几个函
i
y C1 e r x C 2 e r x y (C1 C 2 x )e r x y ex (C1 cos x C2 sin x )
1 2
2
9
推广：n 阶常系数齐次线性方程解法
( n ) ( n 1 ) y P y P y P y 0 1 n 1 n
2 2 2 x y z 2 2 1 2 a b c
x2 y2 z 2p 2q
( p与 q 同号 )
x y z
2 2
2
29
4.空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G (x, y,z) 0
[2] 空间曲线的参数方程
x x(t) y y(t) z z(t)
z
旋 转 椭 球 面
o
x
y
22
（1）球面
（2）圆锥面
（3）旋转双曲面
x y z 1
2 2 2
x y z
2 2
2
x y z 2 2 1 2 a a c
2
2
2
2 2 2 2 ( x x ) ( y y ) ( z z ) R 0 0 0
23
2. 柱面
定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线 L所形成的曲面称之.
定理 2
设 y * 是( 2 ) 的一个特解, Y 是与(2)对应
*
的齐次方程(1)的通解, 那么 y Y y 是二阶非
齐次线性微分方程(2)的通解.
7
定理 3
设非齐次方程(2)的右端 f ( x ) 是几个函
i
y C1 e r x C 2 e r x y (C1 C 2 x )e r x y ex (C1 cos x C2 sin x )
1 2
2
9
推广：n 阶常系数齐次线性方程解法
( n ) ( n 1 ) y P y P y P y 0 1 n 1 n
2 2 2 x y z 2 2 1 2 a b c
x2 y2 z 2p 2q
( p与 q 同号 )
x y z
2 2
2
29
4.空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G (x, y,z) 0
[2] 空间曲线的参数方程
x x(t) y y(t) z z(t)
z
旋 转 椭 球 面
o
x
y
22
（1）球面
（2）圆锥面
（3）旋转双曲面
x y z 1
2 2 2
x y z
2 2
2
x y z 2 2 1 2 a a c
2
2
2
2 2 2 2 ( x x ) ( y y ) ( z z ) R 0 0 0
23
2. 柱面
定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线 L所形成的曲面称之.
同济七版高等数学上册 大一上学期 映射与函数 ppt
于是,
四. 初等函数
(1) 基本初等函数 常数函数、幂函数、指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 (2) 初等函数
由常数及基本初等函数经过有限次四则运 算和复合步骤所构成 ,并可用一个式子表示 的函数 ,称为初等函数 .否则称为非初等函数 .
例如
y x3 5x2 1
y ex ex
(1,0)
(a 1)
4.三角函数
正弦函数 y sin x
余弦函数 y cos x
正切函数 y tan x 余切函数 y cot x
正割函数 y sec x 余割函数 y csc x
5.反三角函数 反正弦函数 y arcsin x 反余弦函数 y arccos x
反正切函数 y arctan x
③牢固掌握极限运算法则，极限的性质，尤其是函 数 极限的保号性质
④理解极限存在准则，熟记两个重要极限及其证明 方法，灵活地运用它们及各种变形公式求极限
⑤正确理解连续概念，理解间断点的分类
⑥理解初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数 的性质
第一节 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
一、集合
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素.
几个特殊的函数举例
y
(1) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
1
o
x
-1
x sgn x x
y
(2) 取整函数 y=[x]
4 3
[x]表示不超过 x 的最大整数
2
阶梯曲线
1 -4 -3 -2 -1 o -11 2 3 4 5 x
高等数学第七版上册总复习PPT课件.ppt
(一)函数
基本初等函数 复合函数
函数的定义
反函数
反函数与直接 函数之间关系
函数 的性质
奇偶性 单调性 有界性 周期性
1
(二)数列极限
2
3
4
(三)函数极限
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(三)连续与间断
14
15
第y 一
可去型
类
间
断
点
o x0
x
y
第 二 类 间 断o 点
x0
x
无穷型
x) x)
a0 xn b0 x m
a1 x n1 b1 x m1
an1 x an bm1 x bm
其中m 、n 都是非负整数；a0 , a1 ,, an 及 b0 , b1 ,, bm 都是实数，并且a0 0 ，b0 0 .
真分式化为部分分式之和的待定系数法
40
（2） 三角函数有理式的积分
y 跳跃型
o
x0
x
y
o
x
振荡型
16
17
18
19
第二章 导数与微分
20
21
22
23
24
25
26
第三章 中值定理和导数的应用
27
28
29
30
31
32
33
34
35
第四章 不定积分
36
37
38
39
四 、有理函数与可化为有理函数的积分
（1）有理函数的积分
P( Q(
讨论类型： R( x, n ax b) R( x, n ax b ) cx e
基本初等函数 复合函数
函数的定义
反函数
反函数与直接 函数之间关系
函数 的性质
奇偶性 单调性 有界性 周期性
1
(二)数列极限
2
3
4
(三)函数极限
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(三)连续与间断
14
15
第y 一
可去型
类
间
断
点
o x0
x
y
第 二 类 间 断o 点
x0
x
无穷型
x) x)
a0 xn b0 x m
a1 x n1 b1 x m1
an1 x an bm1 x bm
其中m 、n 都是非负整数；a0 , a1 ,, an 及 b0 , b1 ,, bm 都是实数，并且a0 0 ，b0 0 .
真分式化为部分分式之和的待定系数法
40
（2） 三角函数有理式的积分
y 跳跃型
o
x0
x
y
o
x
振荡型
16
17
18
19
第二章 导数与微分
20
21
22
23
24
25
26
第三章 中值定理和导数的应用
27
28
29
30
31
32
33
34
35
第四章 不定积分
36
37
38
39
四 、有理函数与可化为有理函数的积分
（1）有理函数的积分
P( Q(
讨论类型： R( x, n ax b) R( x, n ax b ) cx e
高等数学-第七版-课件-11-1 反常积分概念
1
1 dx dx 1 故当 0 q 1时， q lim q ; 0 x 1q u 0 u x 1
dx 当 1 q 时, q 发散. 0 x
1
数学分析 第十一章 反常积分
高等教育出版社
§1 反常积分概念
反常积分的背景
两类反常积分的定义
同样, 若 f (x) 的原函数为 F (x), 瑕积分的牛顿-莱
1 1 (0 0) 0 2 2 . p p
数学分析 第十一章 反常积分
高等教育出版社
§1 反常积分概念
反常积分的背景
两类反常积分的定义
dx 例5 讨论瑕积分 q q 0 的收敛性. 0 x 1 1q 1 u ,q 1 1 dx 解 q 1 q ux ln u, q 1,
数学分析 第十一章 反常积分
高等教育出版社
a
a
§1 反常积分概念
反常积分的背景
两类反常积分的定义
例4 讨论无穷积分
0
t e pt dt
p 0 的收敛性.
解
因此
te
0
pt
t pt 1 pt dt e 2 e C , p p
t 1 t e pt dt e pt 2 e pt p p 0
推得
a
x
f ( x )dx 收敛?
lim f ( x ) A.
3. f ( x ) 在 [a, ) 上定义, 且
当
高等教育出版社
x
a
f ( x )dx 收敛时,是否必有 A 0?
数学分析 第十一章 反常积分
1 dx dx 1 故当 0 q 1时， q lim q ; 0 x 1q u 0 u x 1
dx 当 1 q 时, q 发散. 0 x
1
数学分析 第十一章 反常积分
高等教育出版社
§1 反常积分概念
反常积分的背景
两类反常积分的定义
同样, 若 f (x) 的原函数为 F (x), 瑕积分的牛顿-莱
1 1 (0 0) 0 2 2 . p p
数学分析 第十一章 反常积分
高等教育出版社
§1 反常积分概念
反常积分的背景
两类反常积分的定义
dx 例5 讨论瑕积分 q q 0 的收敛性. 0 x 1 1q 1 u ,q 1 1 dx 解 q 1 q ux ln u, q 1,
数学分析 第十一章 反常积分
高等教育出版社
a
a
§1 反常积分概念
反常积分的背景
两类反常积分的定义
例4 讨论无穷积分
0
t e pt dt
p 0 的收敛性.
解
因此
te
0
pt
t pt 1 pt dt e 2 e C , p p
t 1 t e pt dt e pt 2 e pt p p 0
推得
a
x
f ( x )dx 收敛?
lim f ( x ) A.
3. f ( x ) 在 [a, ) 上定义, 且
当
高等教育出版社
x
a
f ( x )dx 收敛时,是否必有 A 0?
数学分析 第十一章 反常积分
高等数学-第七版-课件-9-2 牛顿-莱布尼茨公式
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§2 牛顿-莱布尼茨式
1 1 1 L . 例5 求 lim n n 1 n 2 nn 1 1 1 解 易见 lim 是函数 n n 1 n2 nn 1 f (x ) 在[0,1]上黎曼和的极限. 其中 1 x 1 n 1 1, 分割和介点分别为 Tn : 0 n n i i 1 i i [ , ], i 1, 2, , n. n n n 1 1 1 1 1 因此 lim 0 dx n n 1 n2 nn 1 x
n
1 n
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
ln(1 x )
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
1 0
ln 2.
§2 牛顿-莱布尼茨式
1 2 n 例6 求 lim (1 )(1 )(1 ) . n n n n 1 1 2 n n 1 n i 解 令 an ln (1 )(1 )(1 ) ln 1 , n n n n i 1 n
§2 牛顿-莱布尼茨式
例3 求 解
1 2 0
dx . 2 1 x
dx
arcsin x
12 0
1 2 0
1 x2
0 . 6 6
例4 求 解
2
0
x 4 x 2 dx
2
3 2 2 2 0
2
0
1 x 4 x dx (4 x ) 3
8 . 3
用牛顿—莱布尼茨公式还可以求一些和式的极限.
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社 后退 前进 目录 退出
高等教育出版社
§2 牛顿-莱布尼茨式
1 1 1 L . 例5 求 lim n n 1 n 2 nn 1 1 1 解 易见 lim 是函数 n n 1 n2 nn 1 f (x ) 在[0,1]上黎曼和的极限. 其中 1 x 1 n 1 1, 分割和介点分别为 Tn : 0 n n i i 1 i i [ , ], i 1, 2, , n. n n n 1 1 1 1 1 因此 lim 0 dx n n 1 n2 nn 1 x
n
1 n
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
ln(1 x )
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
1 0
ln 2.
§2 牛顿-莱布尼茨式
1 2 n 例6 求 lim (1 )(1 )(1 ) . n n n n 1 1 2 n n 1 n i 解 令 an ln (1 )(1 )(1 ) ln 1 , n n n n i 1 n
§2 牛顿-莱布尼茨式
例3 求 解
1 2 0
dx . 2 1 x
dx
arcsin x
12 0
1 2 0
1 x2
0 . 6 6
例4 求 解
2
0
x 4 x 2 dx
2
3 2 2 2 0
2
0
1 x 4 x dx (4 x ) 3
8 . 3
用牛顿—莱布尼茨公式还可以求一些和式的极限.
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社 后退 前进 目录 退出
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
其中m、n都是非负整数；a0,a1,,an及 b0,b1,,bm都是实数， 并且 a00， b00.
真分式化为部分分式之和的待定系数法
2021
（2） 三角函数有理式的积分
由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数称之．一般记为 R(sx i,n cox)s
令u tan x 2
2u sinx1u2
(三)连续与间断
2021
2021
第y
一
可去型
类
间
断
点
o x0
x
y
第 二 类 间 断o 点
x0
x
无穷型
y
o
x0
y
o
2021
跳跃型 x
x 振荡型
2021
2021
2021
第二章 导数与微分
2021
2021
2021
2021
2021
2021
2021
第三章 中值定理和导数的应用
2021
第一章 函基本初等函数 复合函数
函数的定义
反函数
反函数与直接 函数之间关系
2021
函数 的性质
奇偶性 单调性 有界性 周期性
(二)数列极限
2021
2021
2021
(三)函数极限
2021
2021
2021
2021
2021
2021
2021
2021
2021
x2arcutan
cosx11uu22 dx12u2 du
R (sx i,cno x)d s x R1 2uu2,1 1 u u2 212u2du
2021
（3） 简单无理函数的积分
讨论类型： R(x,nax b) R(x,n axb) cxe
解决方法：作代换去掉根号．
令 tna xb;
令t n axb; cxe
2021
2021
2021
2021
2021
2021
2021
2021
第四章 不定积分
2021
2021
2021
2021
四 、有理函数与可化为有理函数的积分
（1）有理函数的积分
Q P ((x x))b a 00 x x m n b a 1 1 x x m n 1 1 b am n 1 1x x a b n m
2021
第五章 定积分
2021
2021
2021
2021
2021
2021
真分式化为部分分式之和的待定系数法
2021
（2） 三角函数有理式的积分
由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数称之．一般记为 R(sx i,n cox)s
令u tan x 2
2u sinx1u2
(三)连续与间断
2021
2021
第y
一
可去型
类
间
断
点
o x0
x
y
第 二 类 间 断o 点
x0
x
无穷型
y
o
x0
y
o
2021
跳跃型 x
x 振荡型
2021
2021
2021
第二章 导数与微分
2021
2021
2021
2021
2021
2021
2021
第三章 中值定理和导数的应用
2021
第一章 函基本初等函数 复合函数
函数的定义
反函数
反函数与直接 函数之间关系
2021
函数 的性质
奇偶性 单调性 有界性 周期性
(二)数列极限
2021
2021
2021
(三)函数极限
2021
2021
2021
2021
2021
2021
2021
2021
2021
x2arcutan
cosx11uu22 dx12u2 du
R (sx i,cno x)d s x R1 2uu2,1 1 u u2 212u2du
2021
（3） 简单无理函数的积分
讨论类型： R(x,nax b) R(x,n axb) cxe
解决方法：作代换去掉根号．
令 tna xb;
令t n axb; cxe
2021
2021
2021
2021
2021
2021
2021
2021
第四章 不定积分
2021
2021
2021
2021
四 、有理函数与可化为有理函数的积分
（1）有理函数的积分
Q P ((x x))b a 00 x x m n b a 1 1 x x m n 1 1 b am n 1 1x x a b n m
2021
第五章 定积分
2021
2021
2021
2021
2021
2021