5.6振动之圆环复摆的运动规律(动画)

2π2 π 2 R T0 = 2π2 =2 = g ω0 ω R 分别是等效单摆的小角 g 振动的圆频率和周期。
θm
mg
根据单摆周期的推导方法， = 4 R T g 可得圆环摆动的周期 周期可用完全 椭圆积分表示
2 2 T = T0 π
π/2
∫
0
dθ cos θ − cos θ m
其中θm是摆 角的角振幅。
*{范例5.6} 圆环复摆的运动规律(动画)
如图所示，质量为m的圆弧半径R，张角为2α，正中间固定 于A点。不计摩擦，演示圆环复摆振动的动画，将复摆的振 动规律与简谐振动进行比较。 g d 2θ g 2 m θl sin θ = 0, ω = + 2 2R dt 2R 圆环小角振 T = 动的周期为 g ω0 = 和 T规律(动画)
如图所示，质量为m的圆弧半径R，张角为2α，正中间固定 于A点。不计摩擦，演示圆环复摆振动的动画，将复摆的振 y 动规律与简谐振动进行比较。 A m dm sin α sin α 2 l r ) = 2mR (1 − l ), J = R (1 − α α 如图所示，当圆弧质心偏转角度θ时，根 R φ 据转动定理，圆弧复摆的运动规律为 2α 2 d 2θ 化 d θ + g sin θ = O J 2 = − mgl sin θ x 0 2 dt 简 dt 2R l θ 可见：不论张角是多少，在初始条件相同的 情况下，圆弧和圆环的运动规律是相同的。 m d 2θ 其 ω2 = g 2 在小角度的情况下， 0 +ω θ = mg 2 2R 中 dt sinθ ≈ θ，可得 可知：圆环在小角度时作简谐振动。
*{范例5.6} 圆环复摆的运动规律(动画)
如图所示，质量为m的圆弧半径R，张角为2α，正中间固定 于A点。不计摩擦，演示圆环复摆振动的动画，将复摆的振 y 动规律与简谐振动进行比较。 A m dm [解析](1)由于对称的缘故，圆弧的 m l r λ= 质心在y轴上。圆弧质量线密度为 2α R R 在圆弧中取一线元ds = Rdφ， φ 2α 其质量为dm = λds = λRdφ， O x 到转动轴x的距离为y = Rcosφ， 质心纵坐标为 距离为 α α sin α sin α 1 1 1 2 2 , l R (1 − =R ) = yC = = ∫ ydm m λ R π-∫α cosϕ dϕ m λ R sin ϕ -α α m α 张角越大，距离就越大。当α→π时，则l→R，这是最大距离。 α α ϕ 2 圆弧绕A点的 J = λ R 4 R 2sin 2= 2λ R3 (1 − cos ϕ )dϕ = ∫ r dm dϕ ∫α ∫α 2 转动惯量为 − − sin α 可见：圆弧绕A点的转动惯量随张角的变化 ) = 2mR 2 (1 − α 规律与质心距离随张角的变化规律是一样的。
∫
0
dx 1 − k 2 sin 2 x
= T0
2 2 K(k ) π
参数为k = sin(θm/2)。
当角振幅为60º时，圆环复摆的周 期为1.52T0，与简谐运动相差无几。
当角振幅为60º时，圆环复 摆的初始状态如图所示。
如果角振幅为179º，圆环复摆的周期达到5.52T0， 是同样长度的轻杆单摆的周期的 倍，运动 2 规律与简谐振动相差比较大。