数学归纳法3
《数学归纳法3》PPT课件
作业： 作业：
平面内有n条直线,其中任何两条不平行, １:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条 不过同一点, 不过同一点, 个区域. 证明这n条直线把平面分成f(n) f(n)＝ +n+2)/2个区域 证明这n条直线把平面分成f(n)＝(n2+n+2)/2个区域.
例:是否存在常数a、b,使得等式: 是否存在常数a b,使得等式: 使得等式
在上例的题设条件下还可以有如下二个结论: 注:在上例的题设条件下还可以有如下二个结论: (1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线, (1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线, 设这 f(n)条线段或射线 ---则 ---则: f(n)=n2. (2)这 条直线把平面分成(n +n+2)/2个区域 个区域. (2)这n条直线把平面分成(n2+n+2)/2个区域.
12 22 k2 ( k + 1 )2 + +… + + 1 i3 3 i5 ( 2 k i1 ) ( 2 k + 1 ) ( 2 k + 1 ) ( 2 k + 3 ) k2 + k ( k + 1 )2 k ( k + 1 ) ( 2 k + 3 )+ 2 ( k + 1 )2 = + = 4k + 2 (2k + 1)(2k + 3) 2(2k + 1)(2k + 3) (k + 1)(2k 2 + 3k + 2k + 2) (k + 1)(2k + 1)(k + 2) = = 2(2k + 1)(2k + 3) 2(2k + 1)(2k + 3) k 2 + 3 k + 2 ( k + 1 )2 +( k + 1 ) . = = 4k + 6 4 ( k + 1 )+ 2
高考数学总复习：第十二篇 第3讲 数学归纳法
(m∈N*)能被3整除．
证明 (1)当m＝1时，a4m＋1＝a5＝a4＋a3＝(a3＋a2)＋(a2＋a1) ＝(a2＋a1)＋2a2＋a1＝3a2＋2a1＝3＋0＝3.
即当m＝1时，第4m＋1项能被3整除．故命题成立．
抓住2个考点
突破4个考向
揭秘3年高考
(2)假设当m＝k时，a4k＋1能被3整除，则当m＝k＋1时， a4(k＋1)＋1＝a4k＋5＝a4k＋4＋a4k＋3＝2a4k＋3＋a4k＋2 ＝2(a4k＋2＋a4k＋1)＋a4k＋2＝3a4k＋2＋2a4k＋1.
(2)由假设n＝k成立证n＝k＋1时，要推导详实，并且一定
要运用n＝k成立的结论． (3)要注意n＝k到n＝k＋1时增加的项数．
抓住2个考点
突破4个考向
揭秘3年高考
考点自测
1 1．在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n－3)条 2 时，第一步检验第一个值 n0 等于 ( )．
A．1 解析 答案 C
即Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1.
因此n＝k＋1时等式也成立． 由①②可知，对任意n∈N*，Tn＋12＝－2an＋10bn成立．
抓住2个考点
突破4个考向
揭秘3年高考
法二
由(1)得 Tn＝2an＋22an－1＋23an－2＋„＋2na1，
① ②
2Tn＝22an＋23an－1＋„＋2nan＋2n＋1a1. ②－①，得
则当n＝k＋1时有
抓住2个考点 突破4个考向 揭秘3年高考
Tk＋1＝ak＋1b1＋akb2＋ak－1b3＋…＋a1bk＋1 ＝ak＋1b1＋q(akb1＋ak－1b2＋…＋a1bk) ＝ak＋1b1＋qTk
＝ak＋1b1＋q(－2ak＋10bk－12)
课件2-3数学归纳法
有正整数 n 都成立
问题探究 1：在数学归纳法的第一步“归纳奠基”中，第一 个值 n0 是否一定为 1?
提示：第一个允许值是命题成立的第一个正整数，并不一定 所有的第一个允许值 n0 都是 1.
问题探究 2：用数学归纳法证明问题时，归纳假设是否一定 要用上？
*
1 那么 n＝k＋1 时，Sk＋1＝－ ＝－ S k ＋2 k＋2 k＋1＋1 ＝－ ＝－ ， k＋3 k＋1＋2
1 k＋1 － ＋2 k＋2
即 n＝k＋1 时猜想成立． 由①②可知，对任意正整数 n，猜想结论均成立．
方法指导
此题属探索性问题，此类问题未给出问题结论，需要由特殊 情况入手，猜想、证明一般结论．它的解题思路是：从给出的条 件出发，通过观察、试验、归纳、猜想、探索出结论，然后再对 归纳猜想的结论进行证明．
第 二 章
推理与证明
2．3
数学归纳法
目标导航
[学习目标] 1．了解数学归纳法的原理． 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
[目标解读] 1．重点是数学归纳法的原理及用数学归纳法证明一些与正 整数 n 有关的数学命题的基本步骤． 2．难点是数学归纳法的思想实质．运用数学归纳法时，在 “归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系．
n－1an 1 数列{an}中，a1＝1，a2＝4，且 an＋1＝ (n≥2)，求 a3， n－an a4，猜想 an 的表达式，并加以证明．
n－1an 1 证明：∵a2＝4，且 an＋1＝ (n≥2)， n－an 1 2× 7 1 a2 1 2a3 ∴a3＝ ＝ ＝ ，a ＝ ＝ ＝ . 1 7 4 3－a3 1 10 2－a2 2－4 3－7 1 猜想：an＝ (n∈N*)． 3n－2 下面用数学归纳法证明猜想正确． 1 4
数理逻辑 第三章 数学推理 数学归纳法
这样就证明了从P(n)得出P(n+1) 在第二个等式中我们使用了归纳假设P(n) 因为P(1)为真，而且对所有正整数n来说
P(n)→P(n+1)为真，所以，由数学归纳法原 理就证明了对所有正整数n来说P(n)为真
四、数学归纳法的例子
例：用数学归纳法证明：对所有正整数n 来说不等式n<2n
来说P(k)为真，要完成归纳步骤就必须证明 在这个假定下P(n+1)为真
五、数学归纳法的第二原理
例：证明：若n是大于1的整数，则n可以 写成素数之积
解：分两种情况考虑：当n+1是素数时和当 n+1是合数时。若n+1是素数，则P(n+1)为 真；若n+1是合数，则可以将其表示成两个 整数a和b之积，其中a、b满足 2≤a≤b≤n+1
3.2 数学归纳法 Mathematical Induction
一、引言
前n个正奇数之和的公式是什么？ 对n=1,2,3,4,5来说，前n个正奇数之和为：
1=1，1+3=4，1+3+5=9， 1+3+5+7=16，1+3+5+7+9=25
猜测前n个正奇数之和是n2 假如这个猜测是正确的，我们就需要一
三、数学归纳法
用数学归纳法证明定理时
首先证明P(1)为真，然后知道P(2)为真，因 为P(1)蕴含P(2)
P(3)为真，因为P(2)蕴含P(3) 以这样的方式继续下去，就可以看出对任
意正整数k来说P(k)为真
数学归纳法的形象解释
三、数学归纳法
为什么数学归纳法是有效的？
第3讲数学归纳法
第3讲 数学归纳法★知识梳理★1.运用数学归纳法证明命题要分两步,第一步是归纳奠基 ( 或递推基础 ),第二步是归纳递推 ( 或归纳假设 ),两步缺一不可2.用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等★重难点突破★重点：领会两个步骤的作用，运用数学归纳法证明一些简单的数学命题难点：对不同类型的数学命题，完成从k 到k+1的递推重难点：了解数学归纳法的原理、正确运用数学归纳法1.没有运用归纳假设的证明不是数学归纳法问题1用数学归纳法证明：2243131414141 n 错证：（1）当n=1时，左=右=411，等式成立（2）假设当n=k 时等式成立，那么当n=k+1时，211243131411])41(1[41414141 k k 综合（1）（2），等式对所有正整数都成立点拨：错误原因在于只有数学归纳法的形式，没有数学归纳法的“实质”即在归纳递推中，没有运用归纳假设2.归纳起点0n 未必是1问题2：用数学归纳法证明：凸n 边形的对角线条数为232n n 点拔：本题的归纳起点30 n 3.“归纳——猜想——证明”是一种重要的思维模式问题3：在数列}{n a 中，33,2111 n n n a a a a ，求数列}{n a 的通项公式点拨：本题有多种求法，“归纳——猜想——证明”是其中之一解析：,73,632121a a ,93,8323 a a 猜想53 n a n 下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，215131 a ，猜想成立（2）假设当n=k 时猜想成立，则5)1(3353533331 k k k a a a k k k 当n=k+1时猜想也成立综合（1）（2），对 N n 猜想都成立★热点考点题型探析★考点1 数学归纳法题型：对数学归纳法的两个步骤的认识[例1 ] 已知n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（2 k 且为偶数）时命题为真，，则还需证明（ ）A.n=k+1时命题成立B. n=k+2时命题成立C. n=2k+2时命题成立D. n=2（k+2）时命题成立[解析] 因n 是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k 的下一个偶数是k+2，故选B【名师指引】用数学归纳法证明时，要注意观察几个方面：（1）n 的范围以及递推的起点（2）观察首末两项的次数（或其它），确定n=k 时命题的形式)(k f （3）从)1( k f 和)(k f 的差异，寻找由k 到k+1递推中，左边要加（乘）上的式子【新题导练】1. (2011惠州调研二理)用数学归纳法证明),1(11122 N n a a a a a a n n，在验证n=1时，左边计算所得的式子是（ ）A. 1B.a 1C.21a aD. 421a a a [解析] n=1时，左边的最高次数为1，即最后一项为a ，左边是a 1，故选B 2.用数学归纳法证明不等式241312111 n n n n 的过程中，由k 推导到k+1时，不等式左边增加的式子是[解析]求)()1(k f k f 即可当 n=k 时，左边k k k k12111 ，n=k+1时，左边)1()1(13121 k k k k ,故左边增加的式子是11221121 k k k ，即)22)(12(1 k k 考点2 数学归纳法的应用题型1：用数学归纳法证明数学命题（恒等式、不等式、整除性问题等）[例2 ]用数学归纳法证明不等式2)1(21)1(3221 n n n [解析]（1）当n=1时，左=2，右=2，不等式成立（2）假设当n=k 时等式成立，即2)1(21)1(3221 k k k 则)2)(1()1(21)2)(1()1(32212 k k k k k k k 02)2()1()2)(1(2)2()2)(1()1(2122 k k k k k k k k 2]1)1[(21)2)(1()1(3221 k k k k k 当n=k+1时， 不等式也成立综合（1）（2），等式对所有正整数都成立【名师指引】（1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；（2）归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；（3）由k 推导到k+1时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面【新题导练】3. 用数学归纳法证明等式：nn n n n 212111211214131211 [解析] （1）当n=1时，左=21211=右，等式成立（2）假设当n=k 时等式成立，即k k k k k 212111211214131211 则)221121(212111)221121(211214131211 k k k k k k k k k 2211212121k k k k 当n=k+1时，等式也成立综合（1）（2），等式对所有正整数都成立4.数列}{n a 中，)1(2,25211 n n n a a a a )( N n ，用数学归纳法证明：)(2 N n a n [解析](1) 当n=1时, 2251 a ,不等式成立（2）假设当n=k 时等式成立，即)(2 N k a k ，则2)1(2221 k k k a a a 0)1(2)2(2 kk a a ，21 k a 当n=k+1时， 不等式也成立综合（1）（2），不等式对所有正整数都成立题型2 用“归纳——猜想——证明”解决数学问题[例3 ]是否存在常数a、b、c，使等式)(12)1()1(32212222c bn an n n n n 对一切正整数n 都成立？证明你的结论【解题思路】从特殊入手，探求a、b、c 的值，考虑到有3个未知数，先取n=1,2,3,列方程组求得，然后用数学归纳法对一切 N n ，等式都成立[解析] 把n=1,2,3代入得方程组7039442424c b a c b a c b a ，解得 10113c b a ，猜想：等式)10113(12)1()1(32212222 n n n n n n 对一切 N n 都成立下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，由上面的探求可知等式成立（2）假设n=k 时等式成立，即)10113(12)1()1(32212222k k k k k k 则222222)2)(1()10113(12)1()2)(1()1(3221 k k k k k k k k k k 2)2)(1()2)(53(12)1( k k k k k k )]2(12)53([12)2)(1( k k k k k ]10)1(11)1(3[12)2)(1(2k k k k 所以当n=k+1时，等式也成立综合（1）（2），对 N n 等式都成立【名师指引】这是一个探索性命题，“归纳——猜想——证明”是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式【新题导练】5. 在数列}{n a 中，nn n a a a x a 11,tan 11，（1）写出,,21a a 3a ；（2）求数列}{n a 的通项公式[解析] ,tan 1x a )4tan(2x a ，)2tan(2x a ，猜想]4)1tan[(x n a n 下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，由上面的探求可知猜想成立（2）假设n=k 时猜想成立，即]4)1tan[(x k a k 则 ]4)1tan[(1]4)1tan[(1111x k x k a a a k k k ]4tan[x k所以当n=k+1时，猜想也成立综合（1）（2），对n猜想都成立N。
3-2、数学归纳法
• • 第一数学归纳法
(the principle of mathematical induction )
第二数学归纳法（新）
(the second principle of mathematical induction)
也叫“强归纳法”(Strong induction) • 倒推数学归纳法(backward induction) • 整数集合的良序性(well-ordered property) -----(数学归纳法的基础)
3.2.2 第二数学归纳法（新）(Strong induction, or the second principle of mathematical induction) (前面：the principle of mathematical induction. P291,ver.5) 对nZ+时, • 基础步骤：证明命题P(1)为真 • 归纳步骤：证明n Z+, P(1)P(2)…P(可以用4分和5分的邮票来组成等于或超过 12分的每种邮资。 应用推广的第二数学归纳法—即更一般的情形。 证明：记n等于或超过12分的每种邮资 1. n=12, 13, 14, 15可以（验证可知）。 2. 对n m=15，设12, 13, 14, 15 …, n时都正确，要证 明对n+1也正确。 由于n+1=n-3+4，n-312，故可以，归纳步骤得证。 由归纳法，命题得证。 (也可用第一数学归纳法证出)
B C D
E
K L
F
G
H
M
I
J
结构归纳的证明方法—用于递归定义的集合
定义集合S： • 3S • 若x S, y S, 则 x+y S 证明S是一个被3整除的正整数集合。
第3讲 数学归纳法
第3讲数学归纳法一、选择题1. 利用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a n＋1＝1－a n＋21－a(a≠1，n∈N*)”时，在验证n＝1成立时，左边应该是( )A 1B 1＋aC 1＋a＋a2D 1＋a＋a2＋a3解析当n＝1时，左边＝1＋a＋a2，故选C.答案 C2．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是()．A．假设n＝k(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立解析A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数．答案 D3．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上()．A.12k＋2B．－12k＋2C.12k＋1－12k＋2D.12k＋1＋12k＋2解析∵当n＝k时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k，当n＝k＋1时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋2.答案 C4．对于不等式n2＋n<n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，不等式成立，即k2＋k<k＋1，则当n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<(k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法()．A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，故推理错误．答案 D5．下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是( )A．6＋6·7k B．2＋7k－1C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k)解析 (1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．(2)假设当k＝n(n∈N*)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.这就是说，k＝n＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，命题对任何k∈N*都成立．答案 D6．已知1＋2×3＋3×32＋4＋33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为()．A．a＝12，b＝c＝14B．a＝b＝c＝14C．a＝0，b＝c＝14D．不存在这样的a、b、c解析∵等式对一切n∈N*均成立，∴n＝1,2,3时等式成立，即⎩⎨⎧1＝3(a －b )＋c ，1＋2×3＝32(2a －b )＋c ，1＋2×3＋3×32＝33(3a －b )＋c ，整理得⎩⎨⎧3a －3b ＋c ＝1，18a －9b ＋c ＝7，81a －27b ＋c ＝34，解得a ＝12，b ＝c ＝14. 答案 A 二、填空题7．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n＞1324的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是________． 解析 不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋2)，故填1(2k ＋1)(2k ＋2).答案1(2k ＋1)(2k ＋2)8. 用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n(n ＋1)2(2n ＋1)；当推证当n ＝k ＋1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是 . 解析 当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3) 故只需证明k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)即可.答案k(k＋1)2(2k＋1)＋(k＋1)2(2k＋1)(2k＋3)＝(k＋1)(k＋2)2(2k＋3)9．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________．解析本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1；4＝1＋3＝2＋2＝3＋1；5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1；…；一个整数n所拥有数对为(n－1)对．设1＋2＋3＋…＋(n－1)＝60，∴(n－1)n2＝60，∴n＝11时还多5对数，且这5对数和都为12，12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7，∴第60个数对为(5,7)．答案(5,7)10．在数列{a n}中，a1＝13且S n＝n(2n－1)a n，通过计算a2，a3，a4，猜想a n的表达式是________．解析当n＝2时，a1＋a2＝6a2，即a2＝15a1＝115；当n＝3时，a1＋a2＋a3＝15a3，即a3＝114(a1＋a2)＝135；当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝28a4，即a4＝127(a1＋a2＋a3)＝163.∴a1＝13＝11×3，a2＝115＝13×5，a3＝135＝15×7，a4＝17×9，故猜想a n＝12n－12n＋1.答案a n＝12n－12n＋1三、解答题11．已知S n ＝1＋12＋13＋…＋1n (n >1，n ∈N *)，求证：S 2n >1＋n2(n ≥2，n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝2时，S 2n ＝S 4＝1＋12＋13＋14＝2512>1＋22，即n ＝2时命题成立； (2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即S 2k ＝1＋12＋13＋…＋12k >1＋k 2， 则当n ＝k ＋1时，S 2k ＋1＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1>1＋k 2＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1>1＋k 2＋2k 2k ＋2k ＝1＋k 2＋12＝1＋k ＋12， 故当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，对n ≥2，n ∈N *.不等式S 2n >1＋n2都成立．12．已知数列{a n }：a 1＝1，a 2＝2，a 3＝r ，a n ＋3＝a n ＋2(n ∈N *)，与数列{b n }：b 1＝1，b 2＝0，b 3＝－1，b 4＝0，b n ＋4＝b n (n ∈N *)．记T n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋b 3a 3＋…＋b n a n .(1)若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝64，求r 的值； (2)求证：T 12n ＝－4n (n ∈N *)．(1)解 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝1＋2＋r ＋3＋4＋(r ＋2)＋5＋6＋(r ＋4)＋7＋8＋(r ＋6)＝48＋4r . ∵48＋4r ＝64，∴r ＝4.(2)证明 用数学归纳法证明：当n ∈N *时，T 12n ＝－4n .①当n ＝1时，T 12＝a 1－a 3＋a 5－a 7＋a 9－a 11＝－4，故等式成立． ②假设n ＝k 时等式成立，即T 12k ＝－4k ，那么当n ＝k ＋1时，T 12(k ＋1)＝T 12k ＋a 12k ＋1－a 12k ＋3＋a 12k ＋5－a 12k ＋7＋a 12k ＋9－a 12k ＋11＝－4k ＋(8k ＋1)－(8k ＋r )＋(8k ＋4)－(8k ＋5)＋(8k ＋r ＋4)－(8k ＋8)＝－4k －4＝－4(k ＋1)，等式也成立．根据①和②可以断定：当n ∈N *时，T 12n ＝－4n .13．设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a 2n －2na n ＋2，n ＝1,2,3，…(1)求a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式(不需证明)；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，试求使得S n <2n 成立的最小正整数n ，并给出证明．解(1)a2＝5，a3＝7，a4＝9，猜想a n＝2n＋1.(2)S n＝n(3＋2n＋1)2＝n2＋2n，使得S n<2n成立的最小正整数n＝6.下证：n≥6(n∈N*)时都有2n>n2＋2n.①n＝6时，26>62＋2×6，即64>48成立；②假设n＝k(k≥6，k∈N*)时，2k>k2＋2k成立，那么2k＋1＝2·2k>2(k2＋2k)＝k2＋2k＋k2＋2k>k2＋2k＋3＋2k＝(k＋1)2＋2(k＋1)，即n＝k＋1时，不等式成立；由①、②可得，对于所有的n≥6(n∈N*)都有2n>n2＋2n成立．。
2.3 数学归纳法(3)
例7、平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何 平面内有n条直线，其中任何两条不平行， 三条不过同一点，求证交点个数是f(n)= 2 n(n三条不过同一点，求证交点个数是f(n)= 1 n(n-1).
证明： 证明：1）n=2时：两条直线交点个数为1, n=2时 两条直线交点个数为1, (2∴命题成立 命题成立。 而f(2)= 1 ×2×(2-1)=1, ∴命题成立。
3
时公式仍成立。 ∴ 当n=k+1时公式仍成立。 时公式仍成立
3
由1）、 2）可知，对一切 ∈N ，均有 S n ）、 ）可知，对一切n∈N
n ( 2 n 2 + 1) = 3
。
￭ 数学归纳法在整除问题、几何问题、归纳猜想问题 数学归纳法在整除问题、几何问题、 及不等式问题中的应用。 及不等式问题中的应用。
练习6.用数学归纳法证明：对任意自然数 ， 练习 用数学归纳法证明：对任意自然数n，数11n+2+122n+1是 用数学归纳法证明 133的倍数 的倍数 证明： 当 证明：(1)当n=1时，11n+2+122n+1=113+123=23×133 时 × 能被133整除 整除， ∴23×133能被 整除，即n=1时命题成立 × 能被 时命题成立 (2)假设 假设n=k时，11k+2+122k+1能被 能被133整除 假设 时 整除 那么11 那么 (k+1)+2+122(k+1)+1=11⋅11k+2+122⋅122k+1 ⋅ =11⋅(11k+2+122k+1)−11×122k+1+122⋅122k+1 ⋅ − × =11⋅(11k+2+122k+1)+ 122k+1(144−11) ⋅ − = 11⋅(11k+2+122k+1)+ 122k+1⋅133 ⋅ 由归纳假设知11 都能被133整除 由归纳假设知 k+2+122k+1及122k+1⋅133都能被 整除 都能被 能被133整除，即n=k+1时命题也成立 整除， 整除 时命题也成立 ∴11(k+1)+2+122(k+1)+1能被 由(1)、(2)，可知命题对一切自然数 都成立 、 ，可知命题对一切自然数n都成立
课件3-数学归纳法
（不完全归纳法）
问题2：对小于6的自然数n，不等式7n3 6(7n 9) 成立吗 ？ 解：
7 n 3
n=1 n=2 n=3 n=4 n=5
1 49
大小关系
6(7n+9)
96 138 180 222 264 （完全归纳法）
1 7
1 7 49
< < < < <
∴对小于6的自然数n,不等式成立.
（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1或2）时结论正确；
（2）假设n=k(k∈N,k≥n0)时结论正确,证明当n=k+1 结论正确； 注意：第一步中n可取的第一个值不一定是1; 第二步是证明一个命题,必须要利用假设的结论证明n=k+1时 结论正确;
例1：用数学归纳法证明：如果{an }是一个等差数列，那么 ： an=a1+(n-1)d 对一切n∈N都成立. 证明： （1）当n=1时，左=a1，右=a1+(1-1)d=a1，所以等式成立 (2) 假设当n=k(k∈N)时等式成立，就是ak=a1+(k-1)d 那么 ak+1= ak+d= a1+(k-1)d+d =a1+[(k+1)-1]d ∴当n=k+1时，等式成立
说明：（1）依数据作推测，决不是乱猜，要注意对数据作出谨慎 地分析。 （2）用不完全归纳法得到的结论可能会不正确。
资料1：
费马(Fermat)是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发 明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论 的创始者之一，他对数论也有许多贡献。 但是，费马认为，当n∈N时， 2 2 +1 一定都是质数，这是他 对 n=0,1,2,3,4,作了验证后得到的。 18世纪伟大的瑞士科学家欧拉(Euler)却证明了
数学3课件：第二章 2.3 数学归纳法
探究一 用数学归纳法证明等式 [典例 1] 用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋(2n－3)＋(2n－1)＋(2n－3)＋…＋5 ＋3＋1＝2n2－2n＋1(n∈N*)．
[证明] (1)当n＝1时，左边＝1， 右边＝2×12－2×1＋1＝1， 等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即 1＋3＋5＋…＋(2k－3)＋(2k－1)＋(2k－3)＋…＋5＋3＋1＝2k2－2k＋1. 则n＝k＋1时，左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－3)＋(2k－1)＋(2k＋1)＋(2k－1)＋(2k－3) ＋…＋5＋3＋1 ＝2k2－2k＋1＋(2k＋1)＋(2k－1) ＝2k2＋2k＋1
k2＋k＋k＋1－1 k＋1＝
k2＋k－k k＋1
＝ k＋1 kk2＋k＋k>0，
所以 k＋ k1＋1> k＋1，
即
1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1＋ k
1 k＋1>
k＋1.
解法二：由于
k＋
k1＋1＝
k2＋k＋1 k＋1 >
kk2＋＋11＝ kk＋＋11＝ k＋1，
所以
1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1＋ k
Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1， ∴ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－2kk＋1， ∴k(2k＋3)ak＋1＝2kk＋1， ∴ak＋1＝2k＋112k＋3 ＝[2k＋1－1]1[2k＋1＋1]. ∴当 n＝k＋1 时猜想也成立．
由①②可知，猜想对任何 n∈N*都成立． ∴{an}的通项公式为 an＝2n－112n＋1.
[随堂训练] 1．用数学归纳法证明 1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－1－ana＋2(n∈N*，a≠1)，在验证 n＝1
2.3数学归纳法(3)
当n=k+1时：第k+1条直线分别与前k条直线各交于 n=k+1时 k+1条直线分别与前k 条直线分别与前 一点，共增加k个点， 一点，共增加k个点， ∴k+1条直线交点个数=f(k)+k= k+1条直线交点个数= 条直线交点个数 k(k(k+1)[(k+1)= 1 k(k-1+2)= 1 k(k+1)= 1 (k+1)[(k+1)-1]=f(k+1),
n( n − 1) f ( n) = 2
“ 观 察
证明： 证明：1）n=2时：两条直线交点个数为1, n=2时 两条直线交点个数为1, (2∴命题成立 命题成立。 而f(2)= 1 ×2×(2-1)=1, ∴命题成立。
2
--
2）假设n=k(k∈N ,k≥2)时，k条直线交点个数为 假设n=k(k∈N ,k≥2) k(kf(k)= 1 k(k-1),
小结:数学归纳法的应用： 小结 数学归纳法的应用：
1、证明整除问题时注意构造的技巧，常用增项减项或 证明整除问题时注意构造的技巧， 拆项的方法； 拆项的方法； 2、证明几何问题时注意理清n从k到k+1时几何量的变化 证明几何问题时注意理清n k+1时几何量的变化 情况； 情况； 3、“归纳猜想，然后证明其正确性”是一种常用的分 归纳猜想，然后证明其正确性” 析问题解决问题的方法。 析问题解决问题的方法。 4、证明不等式时常用放缩法。 证明不等式时常用放缩法。
2.3数学归纳法（3） 数学归纳法（ ） 数学归纳法
￭ 数学归纳法在整除问题、几何问题、归纳猜想 数学归纳法在整除问题、几何问题、 问题及不等式问题中的应用。 问题及不等式问题中的应用。
人教A版高中数学选择性必修第二册课后习题 第四章 数列 4.4 数学归纳法 (3)
第四章4.4*数学归纳法A级必备知识基础练A.13k+1B.13k+1−1k+1C.13k+2+13k+3+13k+4D.13k+2+13k+4−23(k+1)2.[探究点一]用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*).从n=k(k∈N*)到n=k+1,若设f(k)=(k+1)(k+2)…(k+k),则f(k+1)=( )A.f(k)+[2(2k+1)]B.f(k)·[2(2k+1)]C.f(k)+2k+1k+1D.f(k)·2k+1k+1A.p(k)对k=528成立B.p(k)对每一个自然数k都成立C.p(k)对每一个正偶数k都成立D.p(k)对某些偶数可能不成立4.[探究点一](多选题)对于不等式√n2+n≤n+1(n∈N*),某学生的证明过程如下:①当n=1时,√12+1≤1+1,不等式成立.②假设n=k(k ∈N *)时,不等式成立,即√k 2+k <k+1,则n=k+1时,√(k +1)2+(k +1)=√k 2+3k +2<√(k 2+3k +2)+(k +2)=√(k +2)2=(k+1)+1,所以当n=k+1时,不等式成立.关于上述证明过程的说法正确的是( ) A.证明过程全都正确 B.当n=1时的验证正确 C.归纳假设正确D.从n=k 到n=k+1的推理不正确5.[探究点五·江西新余月考]用数学归纳法证明34n+2+52n+1(n ∈N)能被14整除时,当n=k+1时,对于34(k+1)+2+52(k+1)+1应变形为 .6.[探究点四]在数列{a n }中,a 1=12,a n+1=3a n a n +3.(1)求出a 2,a 3并猜想{a n }的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的猜想.7.[探究点三·人教B版教材例题]求证:当n是大于或等于5的正整数时,2n>n2.8.[探究点二·北师大版教材习题]平面内有n(n≥2,n∈N*)条直线,其中任何两条都不平行,任何三条都不经过同一点,用数学归纳法证明:交点的个数f(n)=n(n-1).2B级关键能力提升练9.用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+…+1n+n>1314(n∈N*)的过程中,由n=k递推到n=k+1时,不等式左边( )A.增加了12(k+1)B.增加了12k+1+12k+2C.增加了12(k+1)−1k+1D.增加了12k+1+12k+2−1k+110.利用数学归纳法证明等式:1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+n·1=16n(n+1)(n+2)(n∈N*),当n=k时,左边的和1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+k·1,记作S k,则当n=k+1时左边的和,记作S k+1,则S k+1-S k=( )A.1+2+3+…+kB.1+2+3+…+(k-1)C.1+2+3+…+(k+1)D.1+2+3+…+(k-2)A.若f(6)<7成立,则f(5)<6成立B.若f(3)≥4成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k+1成立C.若f(2)<3成立,则f(1)≥2成立D.若f(4)≥5成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k+1成立12.用数学归纳法证明“当n ∈N *时,f(n)=5n +2×3n-1+1能被8整除”时,第二步“假设当n=k(k ∈N *)时,f(k)=5k +2×3k-1+1能被8整除,证明当n=k+1时f(k+1)也能被8整除”的过程中,得到f(k+1)=5k+1+2×3(k+1)-1+1=f(k)+A,则A 的表达式为 .13.是否存在a,b,c 使等式(1n )2+(2n )2+(3n )2+…+(n n)2=an 2+bn+cn对一切n ∈N *都成立?若不存在,说明理由;若存在,用数学归纳法证明你的结论.14.[北师大版教材例题]用数学归纳法证明:(1+α)n≥1+nα(其中α>-1,n∈N*).(x>0),f n+1(x)=f1(f n(x)). 15.已知数列{f n(x)}满足f1(x)=√1+x2(1)求f2(x),f3(x),并猜想{f n(x)}的通项公式;(2)用数学归纳法证明猜想.C级学科素养创新练16.观察下列不等式:5+3≥8,25+9≥32,125+27≥128,625+81≥512,….4.4* 数学归纳法1.D 当n=k 时,不等式的左边等于1k+1+1k+2+1k+3+…+13k+1,且k ∈N *,当n=k+1时,不等式的左边等于1k+2+1k+3+1k+4+…+13k+1+13k+2+13k+3+13k+4,当n=k+1时,不等式的左边比当n=k 时增加的项为13k+2+13k+3+13k+4−1k+1=13k+2+13k+4−23k+3.故选D.2.B 由数学归纳法证明(n+1)·(n+2)…(n+n)=2n ×1×3×…×(2n -1)(n ∈N *)时,从“k”到“k+1”的证明,左边需增添的一个因式是(2k+1)(2k+2)k+1=2(2k+1),则f(k+1)=f(k)·[2(2k+1)].3.AD 由题意知p(k)对k=2,4,6,…,成立,当k 取其他值时不能确定p(k)是否成立,故选AD.4.BCD n=1的验证及归纳假设都正确,但从n=k 到n=k+1的推理中没有使用归纳假设,而通过不等式的放缩法直接证明,不符合数学归纳法的证题要求.故选BCD.5.34(34k+2+52k+1)-56·52k+1 34(k+1)+2+52(k+1)+1=34(34k+2+52k+1)-56·52k+1.6.(1)解由a 1=12,a n+1=3a na n +3,得a 2=3a 1a 1+3=3212+3=37,a 3=3a 2a 2+3=9737+3=924=38.猜想a n =3n+5.(2)证明①当n=1时,a1=12=36=31+5,结论成立.②假设当n=k(k∈N*)时,结论成立,即a k=3k+5,那么,当n=k+1时,a k+1=3a ka k+3=3·3k+53 k+5+3=93k+18=3(k+1)+5,结论成立.由①和②可知对任意n∈N*,都有a n=3n+5成立.综上可知,不等式对任何大于或等于5的正整数n都成立.9.D 当n=k时,1k+1+1k+2+…+1k+k>1314,当n=k+1时,1k+1+1+1k+1+2+…+1k+k+1k+k+1+1k+1+k+1>1314,左边增加了12k+1+12k+2−1k+1.10.C 依题意,S k=1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+k·1,则S k+1=1·(k+1)+2·k+3·(k-1)+4·(k-2)+…+k·2+(k+1)·1,∴S k+1-S k=1·[(k+1)-k]+2·[k-(k-1)]+3·[(k-1)-(k-2)]+4·[(k-2)-(k-3 )]+…+k·(2-1)+(k+1)·1=1+2+3+…+k+(k+1).11.AD 选项A中,若f(5)<6不成立,则f(5)≥6,由题意知f(6)≥7,与f(6)<7成立矛盾,所以f(5)<6成立,故A正确;选项D中,若f(4)≥5成立,则f(n0+1)≥n0+2(n0≥4,n0∈N*),即f(k)≥k+1(k≥5),结合f(4)≥5,所以当k≥4时,均有f(k)≥k+1成立,故D正确;选项C中,同选项A,应有f(1)<2成立,故C错误;B不一定成立.所以选AD.12.A=4(5k +3k-1) 因为f(k)=5k +2×3k-1+1,f(k+1)=5k+1+2×3(k+1)-1+1=5×5k +2×3k +1=5k +2×3k-1+1+4×5k +4×3k-1=f(k)+4(5k +3k-1).故A=4(5k +3k-1). 13.解取n=1,2,3可得{a +b +c =1,8a +4b +2c =5,27a +9b +3c =14,解得a=13,b=12,c=16.下面用数学归纳法证明(1n )2+(2n )2+(3n )2+…+(n n)2=2n 2+3n+16n=(n+1)(2n+1)6n.即证12+22+…+n 2=16n(n+1)(2n+1), ①当n=1时,左边=1,右边=1, ∴等式成立;②假设当n=k(k ∈N *)时等式成立,即12+22+…+k 2=16k(k+1)(2k+1)成立,则当n=k+1时,等式左边=12+22+…+k 2+(k+1)2=16k(k+1)(2k+1)+(k+1)2=16[k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2]=16(k+1)(2k 2+7k+6)=16(k+1)(k+2)(2k+3),故当n=k+1时等式成立.由数学归纳法,综合①②当n ∈N *等式成立,故存在a=13,b=12,c=16使已知等式成立.15.解(1)f2(x)=f1[f1(x)]=1√1+f12(x)=√1+2x2,f3(x)=f1[f2(x)]=2√1+f22(x)=√1+3x2.猜想:f n(x)=√1+nx2(n∈N*).(2)下面用数学归纳法证明f n(x)=√1+nx2(n∈N*),①当n=1时,f1(x)=√1+x2,显然成立.②假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即f k(x)=√1+kx2,则当n=k+1时,f k+1=f1[f k(x)]=x√1+kx2√1+(√1+kx2)=√2,即对n=k+1时,猜想也成立.结合①②可知,猜想f n(x)=√1+nx2对一切n∈N*都成立.第11页共11页。
15.数学归纳法3
rk 1 rk k 1 1 ( k 2 k 2) k 1 1 [( k 1)2 ( k 1) 2] 2 2
例4.平面上有n个不同的圆,其中任何两个圆都 相交，任意三个圆不过同一点，这n个圆将平 面分成f(k)个部分,则k+1个圆将平面分成 f(k+1)=f(k)+ 个部分.
[a (a 1) ]a (a 1) [(a 1) a] [a k 1 (a 1)2k 1 ]a (a 1)2k 1 (a 2 a 1)
2 k 1 2 k 1 2 k 1
∴ ak+2+(a+1)2k+1能被a2+a+1整除， 即n=k+1时，命题成立. 综合①②对任意n∈N*,命题都成立.
2.3.3 数学归纳法
学习目标 1.能用数学归纳法证明整除问题. 2.能用数学归纳法证明几何问题.
例1.设n∈N*, f(n)=5n+2×3n－1+1． (1)当n=1 , 2 , 3 , 4时, 计算f(n)的值; (2)你对f(n)的值有何猜想? 用数学归纳法证明你的猜想. 解:(1) f (1) 8 f (2) 32 f (3) 144 f (4) 680 (2) 猜想：当n∈N*时f(n)=5n+2×3n－1+1能被8整除. 证明:①当n=1时,f(1)=8,命题成立. ②假设n=k时命题成立， 即f(k)=5k+2×3k－1+1能被8整除, 则n=k+1时, f(k+1)=5k+1+2×3k+1 =(5k+2×3k－1+1)×5－4×(3k －1+1) ∵ 3k －1与1都是奇数, ∴ 3k －1 +1是偶数, 4×(3k －1+1)能被8整除, 由归纳假设5k+2×3k－1+1能被8整除 ∴ f(k+1)能被8整除. 即n=k+1时，命题成立. 由①②对任意n∈N*, f(n)能被8整除.
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【作业】教材闯关训练。
时，等式左边应添加的式子是（ B ） A．
(k 1) 2k
2
2
(k 1) 2 k 2 Ｂ．
1 Ｄ． (k 1)[ 2(k 1) 2 1] 3
Ｃ．
(k 1)
2
4．用数学归纳法证明：
(n 1)(n 2)(n n) 2 1 3 (2n 1)
递推基础不可少，归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉.
基础题 1．已知n为正偶数，用数学归纳法证明
1 1 1 1 1 1 1 1 2( ) 2 3 4 n 1 n2 n4 2n
时，若已假设 n k (k 2 为偶数）时命题为真， 则还需要用归纳假设再证 （ ） A. n k 1时等式成立
1 1 2n 1 2n 2
1 Ｂ． 2n 2
1 1 Ｄ．2n 1 2n 2
C．
3．用数学归纳法证明
n(2n 2 1) 12 2 2 (n 1) 2 n 2 (n 1) 2 2 2 12 3
时，由
n k 的假设到证明 n k 1
n
）时，从 （ n N “
n k到n k 1
（ ）
”时，左边应增添的式子是 A． 2k 1
Ｂ．
2(2k 1)
2k 2 k 1
2k 1 Ｃ． k 1
Ｄ．
5．某个命题与正整数n有关，如果当n k (k N ) 时命题成立，那么可推得当 n k 1 时命题也成立. 现已知当 n 那么可推得（ ） A．当n=6时该命题不成立 B．当n=6时该命题成立 C．当n=4时该命题不成立 D．当n=4时该命题成立
被6 整除.
例３、（优化设计P202例1） 比较2n与n2的大小
(n N )
*
例4、(优化Ｐ202例题) 是否存在常数使 a、b、c 使等式 :
1 (n 1 ) 2(n 2 ) ....n(n n )
2 2 2 2 2 2
an bn c 对一切正整数n成立？证明你的结论。
5时该命题不成立，
【典型例题选讲】 【例1】用数学归纳法证明等式问题：
1 2 1 (n 1 ) 2 ( n 2 ) n( n n ) n ( n 1)( n 1) 4
2 2 2 2 2 2
【例２】用数学归纳法证明整除问题：
求证： n
3
5n(n N )
B. n k 2 时等式成立
D. n 2(k 2) 时等式成立
C.n 2k 2时等式成立
2．设 f (n)
1 1 1 1 (n N ) n 1 n 2 n 3 2n 则f (n 1) f (n) ( )
1 Ａ． 2n 1
4 2
例5、（优化设计P202例3） 设 a0 为常数，且
an 3
n1
2an1 (1) n 1 2n ] (1) n 2n a0 5
【小结】 用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：明 确首取值n0并验证真假（必不可少）.“假设n=k时 命题正确”并写出命题形式 分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k” 时命题形式的差别弄清左端应增加的项明确等式 左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘 法公式、因式分解、添拆项、配方等可明确为： 两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假 设要用到，结论写明莫忘掉
数学归纳法
基本知识：
1．数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常 采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第 一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN*，k≥n0) 时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明 方法就叫做数学归纳法 2．数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意 义的最小的正整数n0，如果当k=n0时，命题成立， 再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命 题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出 当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所 有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.
3.用数学归纳法证明一个与正整数有关 的命题的步骤： (1)证明：当n取第一个值n0结论正确； (2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正 确，证明当n=k+1时结论也正确. 由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所 有正整数n都正确
1．用数学归纳法证题要注意下面几点： ①证题的两个步骤缺一不可，要认真完成第一步的 验证过程； ②成败的关键取决于第二步对的证明： 1）突破对“归纳假设”的运用； 2）用好命题的条件； 3）正确选择与命题有关的知识及变换技巧. 中学教材内，用数学归纳法证明的问题的主要题型有 “等式问题”、“整除问题”、“不等式问题”等， 要积累这几种题型的证题经验.