中国古代算法案例

§1.3中国古代数学中的算法案例

【学习目标】

1、通过辗转相除法、更相减损之术、秦九韶算法的学习，进一步体会算法的基本思想。

2、理解掌握辗转相除法与更相减损之术算法的含义；了解辗转相除、更相减损之术、秦九韶计算过程；【教学重点】理解辗转相除法与更相减损之术求最大公约数的方法和秦九韶算法的方法

【教学难点】理解辗转相除法与更相减损之术的方法；理解并学会应用秦九韶算法。

【自主探究】阅读课本27页至31页，完成下列问题：

1．用两数中较大的数减去较小的数，再用和构成新的一对数，再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生，这个数就是最大公约数。

2．古希腊求两个正整数的最大公约数的方法是：用较大的数除以较小的数所得的和构成新的一对数，继续做上面的除法，直到大数被小数除尽，这个较小的数就是最大公约数。

3．把一个n次多项式改写成如下形式：

＝

＝＝…＝。求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即。

然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即。。…= 。这样，求n次多项式f(x)的值就转化为。

上述方法称为秦九韶算法：观察上述秦九韶算法中的n个一次式，可见的计算要用到的值，若令，我们可以得到下面的公式：。这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用来实现。

【预习检测】

1．在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：（16，12）→（4,12）→（4，8）→（4，4），由此可以看出12和16的最大公约数是（）

A.4

B.12

C.16

D.8 2．用等值算法求294和84的最大公约数时，需要做减法的次数是（）

A.2

B.3

C.4

D.5

3．我国数学家刘徽采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率π，这种算法称为（）

A.弧田法

B.逼近法

C.割圆法

D.割图法

【典例解析】例用秦九韶算法求多项式当x＝2时的值。

【课堂检测】

1．三个数：4557、1953、5115的最大公约数是（）

A.31

B.93

C.217

D.651

2．用秦九韶算法计算多项式，当x=-2时的值等于（） A.－10 B.-32 C.-12 D.8

3．秦九韶算法与直接计算相比较，下列说法错误的是（）

A.秦九韶算法与直接计算相比，大大节省乘法的次数，使计算量减少，并且逻辑结构简单

B.秦九韶算法减少做乘法的次数，在计算机上也就加快了计算的速度

C.秦九韶算法减少做乘法的次数，在计算机上也就降低了计算的速度

D.秦九韶算法避免对自变量x单独做幂的计算，而是与系数一起逐次增长幂次，从而可提高计算的精度4．使用秦九韶算法求在时的值可减少运算次数，做加法和乘法的次数分别为（）

A. B. C. D.

5．用秦九韶算法求多项式

在x=-1.3的值时，令时，的值为（）A.-9.8205 B.14.25 C.-22.445 D.30.9785

【总结与反思】

3.1.1-----3.1.2 事件与基本事件空间

【知识目标】（1）通过具体实例了解随机现象的概念，能从生活与学习经历中举出随机现象的例子；

（2）理解并掌握基本事件与基本事件空间的概念，能在实际问题中正确的求出某试验

中事件A包含的基本事件的个数和基本事件空间中的基本事件的总数。

【教学重点】了解随机现象的概念；理解并掌握基本事件与基本事件空间的概念

【教学难点】能正确地求出某试验中事件A包含的基本事件的个数和基本事件空间中的基本事件的总数。

【自主学习】阅读课本91-94页，完成以下内容

探究1: 四个例子具有怎样的共同特点？

1.把硬币上刻有国徽的一面称为正面，现任意掷一枚质地均匀的硬币，观察哪一面向上。

2.一名中学生在篮球场的罚球线练习投篮，他每一次投篮，可能投进，也可能投不进。

3.在城市中，当我们走到装有交通信号灯的十字路口时，可能遇到绿灯，也可能遇到红灯或

黄灯。

4.在10个同类产品中，有8个正品，2个次品，从中任意抽出3个检验，可能出现“3个正

品”、“2个正品1个次品”、“1个正品2个次品”

探究2：请完成下列概念，并举一些不可能事件、必然事件、随机事件的例子

不可能事件:

必然事件:

随机事件:

基本事件和基本事件空间：

【典例示范】

例1：掷一枚硬币，观察落地后哪一面向上。

（1）这个试验包含哪几个基本事件？

（2）试写出基本事件空间

例2：掷一颗骰子，观察掷出的点数。

（1）写出这个试验的基本事件空间；

（2）写出事件A=“掷出偶数点”；

（3）事件B=“掷出点数大于4”

【巩固练习】

1.判断下列现象是随机现象还是必然现象

1）早晨太阳从东方升起。

2）某电话交换台在单位时间内收到用户呼唤的次数。

3）一个盒子中有10个完全相同的白球，搅匀后从中任意摸取一球的颜色。

2.判断下列事件是不可能事件、必然事件、还是随机事件

1）我国东南沿海某地明年将3次受到热带气旋的侵袭。

2）若x为实数，则

3）从地面上抛一块石头石头最终还会落下。

4）铁在100度能化成铁水。

3.先后掷两枚硬币，观察落地后这2枚硬币出现正面还是反面。

1）这个试验包含哪几个基本事件？

2）试写出这个试验基本事件空间

3）记“至少有一次出现正面”为事件A，问A包含哪几种基本事件？

4.掷两颗骰子，观察掷出的点数。

1）写出这个试验的基本事件空间；

2）写出事件B=“掷出点数之和是7”。

【归纳总结】

1、不可能事件

2、必然事件

3、随机事件

4、基本事件

5、基本事件空间

【自我检测】

1．一个家庭有两个小孩，则基本事件空间是__

A { (男，男)，（男，女），（女，女）}

B { (男，男)，（男，女），（女，男），（女，女）}

C {（男，女)，（女，男）}

D { (男，男),（女，女）}

2．已知集合M={-2，3}， N={-4，5，6}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标。

（1）写出这个试验的基本事件空间；

（2）写出“第一象限内的点”这一事件。