第一章金属自由电子气体模型

第一章金属自由电子气体模型

1．1

（1）在绝热近似条件下，外场力对电子气作的功W 等于系统内能的增加dU ，即 PdV W dU -== ,

式中P 是电子气的压强。由上式可得 V

U

P ∂∂-

= 。 在常温条件下，忽略掉温度对内能的影响，则由教材（1.1.25）式得 F N U εε5

3

0=

= 其中3

2

2

2

22

322⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛==V N m m k F

F πε 由此可计算压强： V V N V V U P N F N

325300εεε=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂-=∂∂-

= (2) 由热力学可知，压缩系数的定义是：单位压强引起的体积的相对变化，即 T

P V V ⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂-

=1κ 而体弹性模量等于压缩系数的倒数， T

V P V K ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-==

κ1

故体弹性模量为：

()

V

V V

N m N V V V

V P V K T T

9109103253320

13

2

3

2

220επε=

⋅

=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂-=--

1．2

He 3

的自旋为1/2，是费米子，其质量24

10

5-⨯≈m g.在密度3

081.0-⋅=cm g ρ的液

体He 3

中，单位体积中的He 3

数目为： 3283221062.11062.1--⨯≈⨯≈=

m cm m

n ρ

其费米能为：

()

3

2

22

2

2322n m

m k F F πε ==

将n,m 值带入；得到： J F 23

10

8.6-⨯≈ε

其费米温度为：

()K K k T B F

F 9.410

38.1108.623

23

≈⨯⨯≈=--ε 1．3

由教材（1.2.20）式知单位体积的自由电子气体内能： ()()2

2

06

T +

=B k g F επμμ

则1mol 自由电子气体的内能为：

()()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡T +=⎪⎭⎫ ⎝⎛=B 22061K g n n N n N U F A A επμμ

自由电子气体的摩尔热容量为 (利用了教材（1.1.29）式)：

()⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛==

⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=F B A F V e T T R T K N g n T U C 2322

2πεπ ………… ① 又知低温下金属钾的摩尔电子热容量 321008.22-⨯=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=

T T T R C F e π K ≈⇒19726F T

由 ① 式可知：费米面上的态密度：

()3

1462

32221073.71008.2333---⋅⨯≈⨯⨯===m J RK n T RK nC T K N nC g B

B e B A e F πππε （其中取：3

28

104.1-⨯=m n ） 1．4

⑴ 3223231042.864

95.811002.6--⨯≈⨯⨯⨯==

cm cm A Z N n m A ρ ⑵ s ne m

m ne 14221071.21

-⨯≈=⇒==ρ

ττσρ

⑶

()()eV J n m n k m k F F F

F 71012.1323218322

232222

2≈⨯==

⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

==

-πεπε ()1631

2

1057.13-⋅⨯===s m n m

m k v F F π ⑷ m v l F F 8

1025.4-⨯==τ

1．5

设电子系统相对等量均匀正电荷背景的小的整体位移为r

, 电子数密度为n 。导致的电

极化强度r ne p

-= (其理解可借助教材p18) , 体系电中性条件要求

00=+p E

ε , 故位移电子受到的电场

0εεr

ne p E =

-= 则任一电子的运动方程为

r ne E e dt

r d m 0222ε-=-=

或

022

2=+r dt r d

ω 其中 0

2

2

εωm ne =

显然, 所有电子都参与频率为ω的谐振动, 故系统是稳定的. 1．6

当P ωω>（等离子体频率）时，金属对电磁波的吸收系数α=0 其中：m

ne P 02

εω=

………… ① m

m

A A ZN n ρ=

………… ② 对于金属Al ，将3=Z ，37.2-⋅=cm g m ρ，13=m A 代入②式得： 3

22

101.18-⨯=cm n

又由 ① 式得： Hz P 151059.7⨯=ω

又

m C

C

P

P P

P P 71048.2222-⨯≈=

⇒==ωπλλπ

πυω

故当

P λλ< 时，对于电磁波辐照，金属Al 是透明的。