2018潍坊市初三上学期期末数学试卷(含答案)

D E
A
潍坊市九年级第一学期期末练习含答案
数 学 2018.1
学校 班级 姓名 成绩
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．请将正确选项填涂在答题卡相应的位置．
1．抛物线2
(1)3y x =-+的顶点坐标是
A ．(1，3)
B ．(1-，3)
C ．(1-，3-)
D ．(1，3-) 2．如图，在△ABC 中，D 为AB 中点，D
E ∥BC 交AC 于E 点，则△ADE 与△ABC 的面积比为 A ．1:1 B ．1:2 C ．1:3
D ．1:4
3．方程2
0x x -=的解是
A ．0x =
B ．1x =
C ．1201x x ==，
D ．1201x x ==-， 4．如图，在△ABC 中，∠A =90°．若AB =8，AC =6，则cos C 的值为
A ．3
5
B ．45
C ．
3
4
D ．
4
3
5．下列各点中，抛物线244y x x =--经过的点是
A ．(0，4)
B ．(1，7-)
C ．(1-，1-)
D ．(2，8)
6．如图，O e 是△ABC 的外接圆，40OCB ∠=︒，则A ∠的大小为
C
A B
A
O
A ．40︒
B ．50︒
C ．80︒
D ．100︒
7．一个扇形的圆心角是120°，面积为3πcm 2
，那么这个扇形的半径是
A ．1cm
B ．3cm
C ．6cm
D ．9cm 8．反比例函数3y x
=的图象经过点（1-，1y ），（2，2y ），则下列关系正确的是 A ．12y y <
B ．12y y >
C ．12y y =
D ．不能确定
9．抛物线()2
1y x t =-+与x 轴的两个交点之间的距离为4，则t 的值是 A ．1-
B ．2-
C ．3-
D ．4-
10．当温度不变时，气球内气体的气压P （单位：kPa ）是气体体积V （单位：m 3
）的函数，
下表记录了一组实验数据：
V （单位：m 3）
1
1.5
2 2.5 3
P （单位：kPa ） 96 64 48
38.4
32
P 与V 的函数关系可能是
A ．96P V =
B ．16112P V =-+
C ．21696176P V V =-+
D ．96P V
=
二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．已知A ∠为锐角，若sin 22
A =
，则A ∠的大小为 度．
12．请写出一个图象在二，四象限的反比例函数的表达式 ．
13．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD 和BC 交叉构成，利
用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA =3OD ，OB =3OC ），然后张开两脚，使
A ，
B 两个尖端分别在线段l 的两个端点上，若 3.2CD =cm ，则AB 的长为
cm ．
14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以原点为位似中心，线段与线段A B ''是位似图形，若A (1-，2)，B (1-，0)，A '(2-，4)， 则B '的坐标为 ．
x
y
–1–2–3–41
2
3
–1
1
2345B
A'
A O
E
C
A D B
15．若关于x 的方程20x mx m -+=有两个相等实根，则代数式2
281m m -+的值为
．
16．下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程．
请回答：该画图的依据是______________________________________________________．
三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29
题8分）
17．计算：2
2sin 30-°0(π3)--+．
18．如图，在△ABC 中，∠C =90°，E 是BC 上一点，ED ⊥AB ，垂足为D ． 求证：△ABC ∽△EBD ．
19．若二次函数2
y x bx c =++的图象经过点(0 1)，
和(1 2)-，两点，求此二次函数的表达式．
I /A
4O
20．已知蓄电池的电压U 为定值，使用蓄电池时，电流I （单位：A ）与电阻R （单位：Ω）
是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求这个反比例函数的表达式；
（2）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A ，那么用电器的可变电
阻R 应控制在什么范围？请根据图象，直接写出结果 ．
21．已知矩形的一边长为x ，且相邻两边长的和为10．
（1）求矩形面积S 与边长x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求矩形面积S 的最大值．
22．如图，热气球探测器显示，从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为30°，看这栋楼
底部C 处的俯角为60°，热气球与楼的水平距离AD 为100米，试求这栋楼的高度BC ．
23．在矩形ABCD 中，AB =3，BC =6，P 为BC 边上一点，△APD 为等腰三角形．
（1）小明画出了一个满足条件的△APD ，其中PA =PD ，如图1所示，则tan BAP ∠的值
为 ；
（2）请你在图2中再画出一个满足条件的△APD （与小明的不同），并求此时tan BAP ∠
的值．
图1 图2
24．如图，直线4(0)y ax a =-≠与双曲线k
y x
=
只有一个公共点A (1，2-)． （1）求k 与a 的值；
（2）若直线+(0)y ax b a =≠与双曲线k y x
=
有 两个公共点，请直接写出b 的取值范围．
25．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，AM 是△ACD 的外角∠DAF 的平分线． （1）求证：AM 是⊙O 的切线；
（2）若∠D = 60°，AD = 2，射线CO 与AM 交于N 点，请
写出求ON 长的思路．
A
2
1
y
x
O
O
E
C D A
N
M
26．有这样一个问题：探究函数1(1)(2)(3)2
y x x x x =
---+的性质．
（1）先从简单情况开始探究：
① 当函数为1(1)2y x x =-+时，y 随x 增大而
（填“增大”或“减小”）； ② 当函数为1(1)(2)2
y x x x =
--+时，它的图象与直线y x =的交点坐标为
；
（2）当函数为1(1)(2)(3)2
y x x x x =
---+时，
下表为其y 与x 的几组对应值．
①如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象；
②根据画出的函数图象，写出该函数的一条性质：
．
27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2443y mx mx m =-++的顶点为A ． （1）求点A 的坐标；
（2）将线段OA 沿x 轴向右平移2个单位得到线段O A ''．
①直接写出点O '和A '的坐标；
②若抛物线2443y mx mx m =-++与四边形AOO
'有且只有两个公共点，结合函数的图象，求m 值范围．
28．在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，点P 是△ABC 内一点，且2
PAC PCA α
∠+∠=
．连接PB ，
试探究PA ，PB ，PC 满足的等量关系．
P
A
B C
P'
A
B C P
（1）当α=60°时，将△ABP 绕点A 逆时针旋转60°得到ACP '△，连接PP '，如图1所示．
由ABP △≌ACP '△可以证得'APP △是等边三角形，再由30PAC PCA ∠+∠=︒可得 ∠APC 的大小为 度，进而得到CPP '△是直角三角形，这样可以得到PA ，
PB ，PC 满足的等量关系为 ；
图1 图2
（2）如图2，当α=120°时，请参考（1）中的方法，探究PA ，PB ，PC 满足的等量关系，
并给出证明；
（3）PA ，PB ，PC 满足的等量关系为 ．
29．定义：点P 为△ABC 内部或边上的点，若满足△PAB ，△PBC ，
△PAC 至少有一个三角形与△ABC 相似（点P 不与△ABC 顶点重合），则称点P 为△ABC 的自相似点．
例如：如图1，点P 在△ABC 的内部，∠PBC =∠A ，∠PCB =∠ABC ，则△BCP ∽△ABC ，故点P 为△ABC 的自相似点．
在平面直角坐标系xOy 中，
（1）点A 坐标为(2
，)， AB ⊥x 轴于B 点，在E (2，1)，F (32
2
)，G (12
2
)
这三个点中，其中是△AOB 的自相似点的是 （填字母）； （2）若点M 是曲线C ：k y x
=
（0k >，0x >）上的一个动点，N 为x 轴正半轴上一个
动点；
① 如图2
，k =，M 点横坐标为3，且NM = NO ，若点P 是△MON 的自相似点，求点P 的坐标；
② 若1k =，点N 为(2，0)，且△MON 的自相似点有2个，则曲线C 上满足这样条件的点M 共有 个，请在图3中画出这些点（保留必要的画图痕迹）．
P
B C
A
图1
图2
潍坊市九年级第一学期期末练习
数 学 答 案 2018．1
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．45； 12．1
y x =-（答案不唯一）；
13．9.6；
14．（2-，0）； 15．1；
16．90°的圆周角所对的弦是直径，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是
圆的切线.
三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17
．
解
：
原
式
=
22112
-⨯
-，
----------------------------------------------------------------------------------4分
=． -------------------------------------------------------------------------------------------------5分 18．证明：∵ED ⊥AB ， ∴∠EDB =90°． -------------------------------------------1分
∵
∠
C =90°，
-----------------------------------------------2分
E
C
A D B
∴∠EDB =∠C ． ------------------------------------------3分
∵∠B =∠B ， ---------------------------------------------4分
∴ABC △∽EBD △． ----------------------------------5分 19．解：∵二次函数2y x bx c =++的图象经过（0，1）和（1，2-）两点， ∴
121c b c =⎧⎨
-=++⎩
，
． ---------------------------------------------------------------------------------------2分 解
得
41b c =-⎧⎨=⎩
，
． ---------------------------------------------------------------------------------------------4分 ∴
二次函数的表达式为
2
41y x
x =-+． -----------------------------------------------------
---------5分
20．（1）解：设反比例函数的表达式为()0I U
U R
=≠， 由图象可知函数()0I U
U R
=
≠的图象经过点（9，4）
， ∴
49
U =
． ------------------------------------------------------------
--------------------------------1分
∴
36U =． -----------------------------------------------------------
--------------------------------2分 ∴
反
比
例
函
数
的
表
达
式
为
36I R
=
（0R >）． --------------------------------------------------3分 （2） 3.6R ≥．（答 3.6R >得
1
分，其它错误不得分）
---------------------------------------------------5分 21
．
解
：
（
1
）
()
10S x x =-，
--------------------------------------------------------------------------------------2分
其
中
010
x <<；
-------------------------------------------------------------------------------------3分 （
2
）
()10S x x =-=()2
525x --+． -----------------------------------------
-----------------------4分 ∴当
5
x =时，
S
有最大值
25． ---------------------------------------------------------------
-----5分
22．解：∵90ADB ADC ∠=∠=°，30BAD ∠=°，60CAD ∠=°，AD =100， -------------------2分
∴在Rt ABD △中，tan 1003
BD AD BAD =⋅∠=
， --------------3分 在Rt ACD △中，tan 3CD AD CAD =⋅∠=分 ∴
3
3
BC BD CD =+=
． ------------------------------------------5分 23．（1）
1． -------------------------------------------------------------------------------2分 （2）解法一：
B P C
A D
---------------------------------------------------------------------
------3分
∵矩形ABCD ， ∴90B ∠=°．
∵AP =AD =6，AB =3，
∴
在Rt
ABP
△中
，
BP =
= ------------------------------------------4分
∴
tan BAP BP
AB
∠==． ---------------------------------------------------------------------5分 解法二：
B P C
A D
---------------------------------------------------------------------------3分
∵矩形ABCD ， ∴90B C ∠=∠=°．
∵PD =AD =BC =6，AB =CD =3，
∴
在
Rt
CPD
△中
，
CP ==.
------------------------------------------4分
∴6BP BC CP =-=-
∴
在Rt
ABP
△中
，
tan 2BAP BP
AB
∠=
=． --------------------------------------------5分
24．（1）∵直线4y ax =-与双曲线y k
x
=
只有一个公共点A （1，2-）， ∴
2421
a k
-=--=⎧⎪
⎨⎪⎩，
．
----------------------------------------------------------------------------------------------1分
∴22a k ==-⎧⎨⎩
，．
（2）4b <-或4b >．（答对一个取值范围得1分） ------------------------------------------------------5分 25．（1）证明：∵AB ⊥CD ，AB 是⊙O 的直径，
∴»»BC
BD =． ∴11
2
CAD ∠=∠．
∵AM 是∠DAF 的角平分线，
∴21
2
DAF ∠=∠．
∵180CAD DAF ∠+∠=°， ∴1290OAM ∠=∠+∠=°． ∴OA ⊥AM ． ∴
AM 是⊙O 的切
线．------------------------------------------------------------------------------2分
（2）思路：①由AB ⊥CD ，AB 是⊙O 的直径，可得»»BC
BD =，»»AC AD =， 1132
CAD AC AD ∠=∠=
∠=，；
②由60D ∠=°，=2AD ，可得ACD △为
边长为2的等边三角形，1330∠=∠=°；
③由OA OC =，可得3430∠=∠=°； ④由3120CAN OAN ∠=∠+∠=°，可得
5430∠=∠=°，2AN AC ==；
2
1M
N
F
A
C D E
B
O
--------------------------------------------------------------------------------------------------2分 --------------------------------------------------------------------------------------------------3分
5
4
32
1M
N F
A
C D E
B
O
⑤由OAN
△为含有30°的直角三角形，可求ON的长．
（本题方法不唯一）--------------------------------------------------------------------------------5分
26．（1）①增大；-----------------------------------------------------------------------------------------------------1分
②（1，1），（2，2）；------------------------------------------------------------------------------------3分
（2）①
--------------------------------------------------------------------------------4分
（2）该函数的性质：
①y随x的增大而增大；
②函数的图象经过第一、三、四象限；
③函数的图象与x轴y轴各有一个交点．
……
（写出一条即可）
-----------------------------------------------------------------------------------------5分
27．（1）∵()
()2
244323y m x x m x =-++=-+， ∴抛物线的顶点A 的坐标为（2，
3）． --------------------------------------------------------------2
分 （
2
）
O '
（
2
，
）
，
----------------------------------------------------------------------------------------------3分
A '
（4，
3）． ----------------------------------------------------------------------------------------------4分
（3）依题意，0m <．
将（0，0）代入2
443y mx mx m =-++中，
得3
4m =- ∴3
04
m -<<．28．（1）150，分
222PA PC PB +=． ----------------------------------3分
（2）如图，作120PAP '∠=°，使AP AP '=，连接PP '，CP '．过点A 作AD ⊥
PP '于D 点．
∵120BAC PAP '∠=∠=°， 即BAP PAC PAC CAP '∠+∠=∠+∠， ∴BAP CAP '∠=∠． ∵AB =AC ，AP AP '=，
∴BAP CAP '△≌△. --------------------------------4分
∴P C PB '=，180302
APD AP D PAP '∠=∠=
'
-∠=o °． ∵AD ⊥PP '， ∴90ADP ∠=°.
D
P'P
A
∴在Rt APD △中，cos PD AP APD AP =⋅∠=.
∴2PP PD '==． ∵60PAC PCA ∠+∠=°，
∴180120APC PAC PCA ∠=∠-∠=-o °. ∴90P PC APC APD '∠=∠-∠=°． ∴在Rt P PC '△中，222P P PC P C ''+=. ∴
2223PA PC PB +=． --------------------------------------------------
-----------------------------------6分 （
3）
22
224sin 2
PA PC PB α
+=． --------------------------------------------
---------------------------7分
29．（1）F ，G ．（每对1个得1分）
------------------------------------------------------------------------------2分
（2）①如图1，过点M 作MH ⊥x 轴于H 点． ∵M 点的横坐标为3，
∴y =
=.
∴3M （.
∴OM =OM 的表达式为y x =． ∵MH ⊥x 轴，
∴在Rt △MHN 中，90MHN ∠=°，222NH MH MN +=．
设NM =NO =m ，则3NH OH ON m =-=-.
∴()2
2
23m m -+
=.
∴ON =MN =m =2． --------------------------------------------3分
如图2， 1PON △∽NOM △，过点1P 作1
PQ ⊥x 轴于Q 点， ∴11
PO P N =，1
12
OQ ON ==． ∵1P 的横坐标为1，
∴133
y =
=. ∴
113P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，． ------------------------------------------------4分 如图3，2P NM NOM △∽△， ∴
2P N MN
ON MO
=
.
∴2P N =
．
∵2P ，
=. ∴2x =.
∴
223P ⎛ ⎝⎭
，． ---------------------------------------------------------------------------------------5分
综上所述，1P ⎛ ⎝⎭或2⎛
⎝
⎭． ②
4． ----------------------------------------------------------------------------------------------------------6分
（每标对两个点得1分）
---------------------------------------------------------------------------------8分。