现代光信息处理(2)

线性系统分析－线性平移不变系统
对于线性 平移不变 系统
叠 加 积 分
g( x , y )



f ( , )h( x , y )d d
f ( x , y ) h( x , y )
卷积积分
它描述了线性不变系统的输入和输出间的变化特性 物理含义: 把输入函数f(x,y)分解为许多δ 函数的线性组合, 每个脉冲都按其位置加权,然后把系统对于脉冲的响应叠加 在一起就得出对于f(x,y)的整体响应. 卷积积分式类于叠加积分式那样反映了线性系统的叠 加性质,不同的是不论输入脉冲的位置如何,系统脉冲响应 的函数形式均相同.系统的作用可用统一的一个脉冲响应函 数表征,简单很多.
线性系统分析－线性平移不变系统
例：时不变(一维)系统 :
RC电路 0 0
d (t)
d (t-t) t
t t
h(t) 0 h(t-t) 0 t t
t
则此线性系统称为时不变系统.系统的性质不随所 考察的时间而变, 是稳定的系统。时间轴平移了, 响应也随之平移同样的时间,即具有平移不变性.
实际物理系统大多可近似为平移不变系统.


二维光场分析－定态光波的描述
电磁波都是矢量波，应该用矢量表达式描述。但 对符合上述条件的定态光波，通常用标量表达式描 述。 x x
y y
k z
其实是在一个取定的平面内描述定态光波的振动
二维光场分析－单色光波场的复振幅表示
单色光波场中某点 P 在 t 时刻的光振动：
u( P, t ) a( P )cos 2 t ( P )
h(x, y; ) =
在线性系统中引入脉冲响应的意义: 1.任意复杂的输入函数可以分解为脉冲函数的线性组合 2.若已知线性系统的脉冲响应函数, 则系统的输出为 脉冲响应函数的线性组合
线性系统分析－脉冲响应的叠加和积分
线性系统的输入可分解为为脉冲函数的线性组合 根据d 函数的卷积性质或d 函数的筛选性质:
二维光场分析－单色光波场的复振幅表示
复振幅 U ( P ) a( P )e
j ( P )
光振动的空间分布完全由复振幅随空间位置的变化确定 光强： I
U UU
2
*
光波的数学描述
球面波、平面波都是波动方程的基本解。由波动方程 的线性性质，任何复杂的波都能用球面波或平面波的线性 组合表示。因此有必要讨论这些波如何从数学上来描述。
线性系统分析－线性不变系统的传递函数
G( , ) H ( , ) F ( , )
线性平移不变系统的 传递函数 表征系统对输入函数中不同频率的基元成分的传递能力； 其模改变输入函数各种频率基元成分的模； 其辐角改变基元成分的初位相；
输出函数中所有基元成分的线性叠加即合成输出函数。
线性系统分析－线性不变系统的本征函数
{ }
输出
g2(x, y)
输入Leabharlann Baidu
{ }
输出
线性系统对几个激励的线性组合的整体响应 等于单个激励所产生的响应的线性组合。
线性系统分析－特点
线性系统对各个输入的响应是互相独立的 系统对某个输入的响应不会因为其它输入的存在而改变； 系统的响应性质不会因为输入幅度的增大而改变
利用线性系统的叠加性质，可以把复杂的输入函数分解为 简单的 “基元”函数的线性组合，则输出就是这些“基元” 函数响应的线性组合。
f ( x, y )



f ( , )d ( x , y )d d
此式的物理意义: 脉冲分解 函数 f(x, y)可以看成xy坐标平面上不同位置处的 许多d 函数的线性组合，每个位于 ( , ) 坐标 的d 函数的权重因子是 f ( , )
线性系统分析－脉冲响应的叠加和积分
光学系统可看成二维线性系统 常用 “基元”函数有d 函数、复指数函数等等。 输入信息：物平面的光强分布 输出信息：像平面的光强分布
线性系统分析－脉冲响应的叠加和积分
系统对处于原点的脉冲函数的响应：
h(x, y) =
{d(x, y)}
{d (x-, y- )}
系统对输入平面上坐标为 ( , ) 处的脉冲函数的响应：
具有下述性质的波场为定态波场： （1）空间各点的扰动是同频率的简谐振动。 （2）波场中各点扰动的振幅不随时间变化，在空间形 成一个稳定的振幅分布。

满足上述要求的光波应当充满全空间，是无限长的单色波 列。但当波列的持续时间比其扰动周期长得多时，可将其 当作无限长波列处理。 任何复杂的非单色波都可以分解为一系列单色波的叠加。 定态光波不一定是简谐波，其空间各点的振幅可以不同。
线性系统分析－脉冲响应的叠加和积分
线性系统的输出为脉冲响应函数的线性组合
g( x , y )


f ( , )L{d ( x , y )} d d f ( , )h( x , y; , ) d d
叠加 积分



上式描述了线性系统输入和输出的变换关系
二维光场分析－球面波的复振幅
从点光源发出的光，其波面表现为球面波。常把一个复杂 的光源看作是许多点光源的集合，所以点光源是一个重要的 基本光源，球面波是基本的波面形式。 单色的发散球面波在光场中任一点P所产生的复振幅：
r＝1处的振幅
a0 jkr U(P) e r 2 k

波数
P(x,y,z)点离开光源的距离

系统定义为一个变换（映射） 电路网络的输入和输出是一维时序电信号 光学系统的输入和输出是二维空间分布物与像
线性系统分析－系统
可以用一个数学算符 { }来描述系统的作用。若f(x,y)表示一 个系统的输入，g(x,y)表示与之相应的输出，系统的作用可以 用下式表示：
g(x, y) =
{f(x, y)}
依据傅 立叶变 化的卷 积定理
傅里叶变换
F ( , ) G ( , ) 频域 H ( , )
频域： G( , ) F ( , ) H ( , )
g( x , y ) F
1
G ( , )
求输入函数与脉冲响应函数两者各自频谱密度的乘积， 再对该乘积取逆傅里叶变换求得输出函数。
x U ( P, t ) A( P) cos[ (t ) 0 ] v
二维光场分析－矢量波

电场分量、磁场分量、波的传播方向即波矢等 物理量，都是矢量。
波矢
2 k n
n

传播方向的单位矢量
电场分量的振幅、磁场分量的振幅、 波长、频率等物理量是标量
二维光场分析－定态光波
线性系统分析－线性平移不变系统
Linear Shift-Invariant System
f ( x, y) g( x, y) f ( x x0 , y y0 ) g( x x0 , y y0 )
输入和输出的变换关系不随空间位置而变化
h( x, y; , ) h( x ; y )
h仅依赖于观察点与脉冲输入点坐标在x和y方向 的相对间距 ( x )和 ( y ) ，与坐标本身的绝 对数值无关。
对于线性 平移不变 系统
叠 加 积 分
g( x , y )



f ( , )h( x , y )d d
f ( x , y ) h( x , y )
1) 线性系统的性质完全由它对单位脉冲的响应表征
即:只要知道系统对位于输入平面上所有可能点上的脉冲的响应,就可以通 过叠加积分完全确定系统的输出
2) 假若系统的输入函数f(x,y)和输出函数g(x,y)之间存在着 叠加积分所描述的关系,可认为这是一个线性系统
线性系统分析－脉冲响应的叠加和积分
线性系统的输出为脉冲响应函数的线性组合
{ }映射或变换成输出函数
输出
它表明输入函数f(x,y)由算符 g(x,y)
输入
f(x, y)
{
}
g(x, y)
系统的算符表示
线性系统分析－线性系统
若
g1(x, y) = g2(x, y) =
{f1(x, y)} {f2(x, y)}
对任意复常数a1， a2有：
{a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) }
叠 加 积 分
g( x , y )

f ( x , y )


f ( , )
d ( x , y ) d d
f ( , )h( x , y; , ) d d

只要知道各个脉冲响应函数, 系统的输出即为脉冲 响应函数的线性组合。问题是如何求对任意点的 脉冲d (x-, y-)的响应h(x, y; )
线性系统分析－线性平移不变系统
对于线性 平移不变 系统
叠 加 积 分
g( x , y )



f ( , )h( x , y )d d
f ( x , y ) h( x , y )
卷积积分
它描述了线性不变系统的输入和输出间的变化特性 物理含义: 把输入函数f(x,y)分解为许多δ 函数的线性组合, 每个脉冲都按其位置加权,然后把系统对于脉冲的响应叠加 在一起就得出对于f(x,y)的整体响应. 卷积积分式类于叠加积分式那样反映了线性系统的叠 加性质,不同的是不论输入脉冲的位置如何,系统脉冲响应 的函数形式均相同.系统的作用可用统一的一个脉冲响应函 数表征,简单很多.
对于线性不变系统，输入某一函数，如果相应的输出函数 仅等于输入函数与一个复常数 的乘积，此输入函数就是 此系统的本征函数。 通过系统时不改变函 f ( x , y ) af ( x , y ) 数形式，仅被衰减或 放大，或产生相移。 例 输入函数：
f ( x, y ) exp[ j 2 ( x y )]
则 输出函数： 本征函数
g( x , y )


exp[ j 2 ( )]h( x , y )d d
H ( , )exp[ j 2 ( x y )]
二维光场分析－简谐波的数学描述

最简单的是简谐波，其振动可以用三角函数表示， 在一维情况下，为
线性系统分析－系统
与经典光学的方法不同，在傅里叶光学中，通常是以线 性系统理论为基础去分析各种光学问题。
在一定的限制条件下，光波的传播、衍射、成像等现象 都可以看作是线性的、空间不变的。对于它们的讨论就可以 采用线性系统分析的典型方法。
线性系统分析－系统
系统：某种装置，当施加一个激励时， 它呈现某种响应
振幅 时间频率 初相位
u( P , t ) Rea( P )exp( j[2 t ( P )]) Re a( P )e j ( P ) e j 2 t
空间位置 Define： 时间
j ( P )
复振幅 U ( P ) a( P )e
U(P)称为单色光波场中P点的复振幅，它包括了P点光振动的振幅a(P)和初 始相位Φ(P)。它与时间t无关，而仅仅是空间位置的函数。
{a1 f1 (x, y)} + {a2 f2 (x, y) } = a1 {f1 (x, y)} + a2 {f2 (x, y) } = a1 g1 (x, y) + a2 g2 (x, y)
=
则此系统是线性系统。
线性系统分析－叠加性
输入
f1(x, y) { }
输出
g1(x, y)
输入
f2(x, y)
线性系统的输出为脉冲响应函数的线性组合
叠 加 积 分
g( x , y )

f ( x , y )


f ( , )
d ( x , y ) d d
叠加 积分
f ( , )h( x , y; , ) d d

h(x, y;α,β )表示系统输出平面(x,y)点对位于输入平面(α,β) 点的δ 函数激励的响应,称为系统的脉冲响应.
线性系统分析－线性不变系统的传递函数
空域：
g( x , y )


f ( , )h( x , y )d d
f ( x , y ) h( x , y )
通过输入函数与脉冲响应函数的卷积求得输出函数
f ( x, y) 空域 g( x , y ) h( x , y )