多元统计分析-第三章 多元正态分布

第三章 多元正态分布

多元正态分布是一元正态分布在多元情形下的直接推广，一元正态分布在统计学理论和应用方面有着十分重要的地位，同样，多元正态分布在多元统计学中也占有相当重要的地位。多元分析中的许多理论都是建立在多元正态分布基础上的，要学好多元统计分析，首先要熟悉多元正态分布及其性质。

第一节 一元统计分析中的有关概念

多元统计分析涉及到的都是随机向量或多个随机向量放在一起组成的随机矩阵，学习多元统计分析，首先要对随机向量和随机矩阵有所把握，为了学习的方便，先对一元统计分析中的有关概念和性质加以复习，并在此基础上推广给出多元统计分析中相应的概念和性质。

一、随机变量及概率分布函数 （一）随机变量

随机变量是随机事件的数量表现，可用X 、Y 等表示。随机变量X 有两个特点：一是取值的随机性，即事先不能够确定X 取哪个数值；二是取值的统计规律性，即完全可以确定X 取某个值或X 在某个区间取值的概率。

(二)随机变量的概率分布函数

随机变量X 的概率分布函数，简称为分布函数，其定义为：

)()(x X P x F ≤=

随机变量有离散型随机变量和连续型随机变量，相对应的概率分布就有离散型概率分布和连续型概率分布。

1、离散型随机变量的概率分布

若随机变量X 在有限个或可列个值上取值，则称X 为离散型随机变量。 设X 为离散型随机变量，可能取值为1x ，2x ，…，取这些值的概率分别为1p ，2p ，…，

记为

k k p x X P ==)(（ ,2,1=k ）

称k k p x X

P ==)(（ ,2,1=k ）为离散型随机变量X 的概率分布。

离散型随机变量的概率分布具有两个性质： （1）

0≥k p ， ,2,1=k

（2）11

=∑

∞

=k k p

2、连续型随机变量的概率分布

若随机变量X 的分布函数可以表示为

dt t f x F x

⎰∞-=)()(

对一切R x ∈都成立，则称X 为连续型随机变量，称

)(x f 为X 的概率分布密度函数，简

称为概率密度或密度函数。

连续型随机变量的概率密度函数具有两个性质：

（1）

0)(≥x f

（2）1)(=⎰∞

∞

-dx x f

二、随机变量的数字特征

（一）离散型随机变量的数字特征

若X 为离散型随机变量，其概率分布为),2,1()( ===k p x X P k k ,则X 的数学

期望（或称均值）和方差分别定义为：

∑∞

===1

)(k k k p x X E μ

[]()∑∞

=-=-===1

22

2

)()()(k k k p x X E X E X Var X D μσ

（二）连续型随机变量的数字特征 若X 为连续型随机变量，其密度函数为

)(x f ，则X 的数学期望和方差分别定义为：

⎰∞

∞-==)()()(x d x xf X E μ

()dx x f x X Var X D )()()(22⎰∞

∞--===μσ

方差的一个简便计算公式为222

)]([)(X E X E -=σ

（三）数学期望的数学性质

1、设c 是常数，则c c E =)(

2、设X 是随机变量，c 是常数，则)()(X cE cX E =

3、设X 、Y 是任意两个随机变量，则)()()(Y E X E Y X

E +=+

4、设X 、Y 是任意两个相互独立的随机变量，则)()()(Y E X E XY E =

（四）方差的数学性质 1、设c 是常数，则0)(=c D

2、设X 是随机变量，c 是常数，则)()(2

X D c

cX D =

3、设X 、Y 是任意两个相互独立的随机变量，则)()()(Y D X D Y X D +=+

三、一些重要的一元分布 1、二项分布

重复进行n 次相互独立的试验，若每次实验仅有两个可能结果，每次实验成功的概率均为p ，设X 为n 次独立实验中成功出现的次数，则离散型随机变量X 的分布律为：

k

n k p p k n k X P --⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛==)1()(， n k ;,2,1,0 = 其中，p q p -=<<

1,10，n 为自然数，称X 服从二项分布。二项分布中np X E =)(，

方差为)1()(2

p np X Var -==σ

。

2、超几何分布

若N 个产品中有M 个不合格品，从N 中随机不放回地抽取n 个进行调查，X 为出现的不合格品数，则离散型随机变量X 的分布律为：

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=

=n N k n M N k M k X P )(，),min(,,2,1,0M n k =

则称X 服从超几何分布。当N 很大，n 相对较少时，超几何分布近似于二项分布。

3、泊松分布

若离散型随机变量X 的分布律为：

!

)(k e k X P k λλ-=

=， ,2,1,0=k

其中0>λ

，则称X 服从泊松分布。泊松分布中λ=)(X E ,λσ==)(2X Var 。在

np =λ恒定的条件下，当n 趋于无穷，p 趋于零时，二项分布趋向于泊松分布。

4、正态分布

若连续型随机变量X 的概率密度函数为：

⎭

⎬⎫⎩⎨⎧--=2

22)(exp 21

)(σμσπx x f ，∞><∞-x 则称X 服从正态分布，记作),(~2σμN X ，其中参数μ、2σ分别是随机变量X 的数学

期望和方差。

当0=μ

，12=σ时，随机变量X 的分布为标准正态分布。当n 很大，p 和q 都不太

大时，二项分布可用正态分布近似计算。

5、卡方分布

设随机变量n X X X ,,,21 皆服从)1,0(N ，且相互独立，则其平方和∑=n

i i X 12

所服从的