逆矩阵的求法

4、求矩阵逆的方法
方法 1 定义法： 设 A 是数域 P 上的一个 n 阶方阵， 如果存在 P 上的 n 阶方阵 B， 使得 AB = BA = E， 则称 A 是可逆的，又称 B 为 A 的逆矩阵.当矩阵 A 可逆时，逆矩阵由 A 惟一确定，记为 A-1. 方法 2 伴随矩阵法：A-1 = 1 A*. |A|
3、逆矩阵的性质
设 A，B 是 n 阶可逆矩阵，则 （1） （A-1）-1 = A； （2）若 k ≠ 0，则 kA 可逆，且（kA）-1 = （3）AB 可逆，且（AB）-1 = B-1 A-1； （4）AT 可逆，且（AT）-1 = （A-1）T； （5）Ak 可逆，且（Ak）-1 = （A-1）k； （6）| A-1 | = | A |-1； （7）如果 A 是 m×n 矩阵，P 是 m 阶可逆矩阵，Q 是 n 阶可逆矩阵，则 r（A）= r（PA）= r（AQ） = r（PAQ）. 1 -1 A ； k
1 ii 1 ti 1i 1 tii 1 , i 1, 2, , n 1 其中 1 1 ij 1 t jj tij kj tik tkk , i 1, 2 , n 2; j 3, 4,, n ik j

C CA A
初等列变换

E 1
求得 A-1B 和 CA-1.这一方法的优点是不需求出 A 的逆矩阵和进行矩阵乘法，仅通过初等变换 即求出了 A-1B 或 CA-1.
1 1 0 0 6 1 1 故A 0 1 0 2 1 0 0 1 6
-1
方法6
则此方程组有唯一的一组解 x1
D1 , D
x2
D2 , D
,
xn
Dn .这里 Di 是将 D 中的第i列 D
a1i , , ani 换成 b1 , , bn 得到的行列式.
定理1
若ε
1
= (1 , 0 , 0 , ⋯, 0),ε
n
2
= (0 , 1 , 0 , ⋯, 0), ⋯,ε
A11 1 A12 1 定理n阶矩阵A = aij为可逆的充分必要条件是A非奇异.且 A A A1n A11 A12 其中Aij是|A|中元素aij的代数余子式.矩阵 A1n
记作A*，于是有A-1 = 注 1 A*. |A|
A21 A22 A2 n
1，1， ， n 为 R n 的初始单位向量组，即 i 0 ， ， 0，1 ， 0， ， 0 i 1， 2， ，n


2
方法8
恒等变形法求逆矩阵：有些计算命题表面上与求逆矩阵无关,但实质上只有求出矩
阵的逆矩阵才能算出来,而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变 形,且常变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式.
1 n1 A a1 An2 an1E an
1
因此 A 方法9

源自文库
1 n 1 A a1 An 2 an 1E an
三角矩阵的一种求逆法：
t11 t12 0 t22 定理：如果n阶矩阵 T 0 0
t1n 1 t2 n 1 0 0


①对于阶数较高（n≥3）的矩阵，采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便.在用上述 方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换. ②也可以利用
A 初等列变换 E 1 求得 A 的逆矩阵. E A
初等行变换 ③当矩阵 A 可逆时，可利用 A B E A1B ,
方法 4

13 4 6 3 3 1 2 1 1 6 3
用分块矩阵求逆矩阵：设 A、B 分别为 P、Q 阶可逆矩阵，则：
1
A1 A1CB 1 A O A1 A C 1 1 B 1 D B O B O B DA O O A 1 B O A
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a22 x2 a2 n xn b2 用克莱姆法则求解：若线性方程组 21 1 的系数行列式 D | aij |n 0 ， a x a x a x b n2 2 nn n n n1 1
α
n
, 其中α
1
i
= (α
i1
,α
n
i2
, ⋯,α in),(i =1 , 2 , ⋯, n),由定理1 得:α i=Σ aijε j(i = 1 , 2 , ⋯, n) .
解以ε
, ε
2
, ⋯, ε
为未知量的方程组,由于系数行列式D = | A| ≠0 (因为A 可逆),所以, 由克
莱姆法则可得唯一解: ε j=Dj/D= bj1α 1 + bj2α 2 + ⋯+ bjnα n(j = 1 , 2 , ⋯, n) .其中Dj是把行 列式D的第j列的元素换以方程组的常数项α 1 ,α 2,⋯,α n而得到的n阶行列式.由定理2可得: BA = I ( I 为单位矩阵),从而有A- 1 = B.其中B = (bij).下面举例说明这种方法. 方法7 用行列式：定理：若n阶矩阵A = ( Aij) 为满秩矩阵,则A可逆，且
An1 An 2 Ann
A21 A22 A2 n
An1 An 2 称为矩阵A的伴随矩阵， Ann
①对于阶数较低（一般不超过 3 阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵. 注意 A* = （Aji）n×n 元素的位置及符号.特别对于 2 阶方阵 A
方法5
1
1
1
A1 O A 0 B 1 0 B 0
1
0 B 1
B 1 O
解方程组求逆矩阵： 根据可逆的上(下)三角矩阵的逆仍是上(下)三角矩阵,且上(下)三角矩阵 逆矩阵主对角元分别为上(下)三角矩阵对应的主对角元的倒数,可设出逆矩阵的待求元素;又 由A A = E 两端对应元素相等,依次可得只含有一个待求元素的方程,因而待求元素极易求得, 此法常用元素待求上(下)三角矩阵的逆矩阵.
1、逆矩阵的概念
定义：设 A 是数域 P 上的一个 n 阶方阵，如果存在 P 上的 n 阶方阵 B，使得 AB = BA = E，则称 A 是可逆的，又称 B 为 A 的逆矩阵.当矩阵 A 可逆时，逆矩阵由 A 惟一确定，记为 A-1.
2、矩阵可逆的条件
（1）n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是| A | ≠ 0（也即 r（A）= n） ； （2）n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是 A 可以通过初等变换（特别是只通过初等行（列）变换） 化为 n 阶单位矩阵； （3）n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是 A 可以写成一些初等矩阵的乘积； （4）n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是 A 的 n 个特征值不为零； （5）对于 n 阶方阵 A，若存在 n 阶方阵 B 使得 AB = E（或 BA = E） ，则 A 可逆，且 A-1 = B.
方法10 拼接新矩阵：在可逆矩阵A的右方补加上一个单位矩阵E,在A的下方补加上一个负单位矩阵-E, 再在A的右下方补加上一个零矩阵O,从而得到一个新的方阵.对该方阵施行第三种行的初等变换,使其负 单位矩阵-E化为零矩阵, 那么原来的零矩阵O所化得的矩阵就是所要求的逆矩阵A .
-1
3
n
= (0 , 0 , ⋯, 1) 是F (F
n
n
表示数域F上的n元行空间)的标准基,则F 中任一向量α = (a1 , a2 , ⋯, an )都可唯一地表示为:α =a1 ε
1
+ a2ε
2
+ ⋯+ anε n的形式,这里ai∈F(i = 1 , 2 , ⋯, n).
定理2
两个矩阵A与B乘积AB的第i行等于A的第i行右乘以B. 下面给出求可逆矩阵的逆矩阵的方法:令n阶可逆矩阵A = (aij),A的行向量分别为α 1 , α 2 , ⋯,
A1
’ A1 ’ A2 1 ’ A 其中 An ’ An
a11 a21 an1
a1，i 1 1 a1，i+1 a2，i 1 2 a2，i+1 an，i 1 n an，i+1

a1n a2n ，n i 1，2， ann
方法9
用Hamilton-Caley定理求逆矩阵： Hamilton-Caley定理:设A是数域P上的n阶矩阵 f 为A的特征多项式，则： f A 于是
E-A n a1 n1 an an
E-A An a1 An1 an A an E 0
t1n t2 n 可逆， tnn t1111n t22 1 2 n tnn 1
t111 t11112 0 t22 1 那么他的逆矩阵是 T 0 0
t1111n 1 t22 1 2 n 1 0 0
a11 a21
a12 ，其伴随矩阵 a22
a A* 22 a21
②对于分块矩阵 方法 3 注
a12 ,即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律. a11
A B 不能按上述规律求伴随矩阵. C D
初等行变换 E A 1 初等变换法： A E