逆矩阵的求法
逆矩阵求解方法及matlab应用
逆矩阵求解方法及matlab应用矩阵是数学中一个重要的概念，其在各个领域中都有着广泛的应用。
其中，逆矩阵是一个非常重要的概念，其在矩阵的求解和运算中扮演着重要的角色。
本文将介绍逆矩阵的求解方法及其在matlab中的应用。
一、逆矩阵的定义在矩阵运算中，如果一个矩阵A与另一个矩阵B相乘，得到的结果是一个单位矩阵I，那么我们称矩阵B是矩阵A的逆矩阵，记作A^-1。
也就是说，逆矩阵是一个矩阵，与原矩阵相乘得到单位矩阵。
二、逆矩阵的求解方法1. 初等行变换法初等行变换法是一种求解逆矩阵的常用方法。
其具体步骤如下：（1）将原矩阵A和单位矩阵I按列排成一个增广矩阵B=[A|I]。
（2）对矩阵B进行初等行变换，使其左半部分变为单位矩阵，此时右半部分的矩阵就是原矩阵A的逆矩阵。
2. 行列式法行列式法是一种求解逆矩阵的另一种常用方法。
其具体步骤如下：（1）计算原矩阵A的行列式det(A)。
（2）如果det(A)=0，则原矩阵A不存在逆矩阵。
（3）如果det(A)≠0，则可以通过伴随矩阵求解原矩阵的逆矩阵，具体方法为：设伴随矩阵为A*，则原矩阵A的逆矩阵为A^-1=(1/det(A))A*。
三、matlab中逆矩阵的应用matlab是一款常用的数学软件，其在矩阵求解中有着广泛的应用。
下面介绍在matlab中如何求解逆矩阵。
1. 使用inv函数在matlab中，可以使用inv函数来求解逆矩阵。
其使用方法为：inv(A)，其中A为原矩阵。
例如：A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];B=inv(A);disp(B);运行结果为：-1.2333e+16 2.4667e+16 -1.2333e+162.4667e+16 -4.9333e+16 2.4667e+16-1.2333e+16 2.4667e+16 -1.2333e+162. 使用pinv函数在matlab中，还可以使用pinv函数来求解逆矩阵。
其使用方法为：pinv(A)，其中A为原矩阵。
逆矩阵求解方式
逆矩阵求解方式简介在线性代数中，逆矩阵是一个非常重要的概念。
一个方阵A的逆矩阵记作A-1，满足A·A-1=I，其中I是单位矩阵。
求解逆矩阵的方法有多种，本文将介绍几种常用的方法。
具体方法1. 初等行变换法初等行变换法是一种常用的求解逆矩阵的方法。
具体步骤如下：1.将待求逆矩阵A和单位矩阵I合并成一个增广矩阵(A|I)。
2.对增广矩阵进行初等行变换，使得(A|I)变为(I|B)。
3.如果A存在逆矩阵，则B就是它的逆矩阵。
初等行变换包括以下三种操作：•交换两行：将第i行与第j行互换。
•数乘某一行：将第i行所有元素都乘以一个非零常数k。
•某一行加上另一行的k倍：将第j行所有元素都加上第i行对应元素的k倍。
通过多次进行这些操作，可以将增广矩阵变为单位矩阵，此时增广矩阵的右半部分就是原矩阵的逆矩阵。
2. 初等变换法初等变换法是一种与初等行变换法类似的方法。
具体步骤如下：1.将待求逆矩阵A和单位矩阵I合并成一个增广矩阵(A|I)。
2.对增广矩阵进行初等变换，使得(A|I)变为(I|B)。
3.如果A存在逆矩阵，则B就是它的逆矩阵。
初等变换包括以下三种操作：•交换两列：将第i列与第j列互换。
•数乘某一列：将第i列所有元素都乘以一个非零常数k。
•某一列加上另一列的k倍：将第j列所有元素都加上第i列对应元素的k倍。
通过多次进行这些操作，可以将增广矩阵变为单位矩阵，此时增广矩阵的左半部分就是原矩阵的逆矩阵。
3. 公式法对于一个二维方阵A，如果其行列式不为零，则可以通过公式求解其逆矩阵。
公式如下：A-1 = (1/|A|)·adj(A)其中，|A|表示A的行列式，adj(A)表示A的伴随矩阵。
伴随矩阵的计算方法如下：•对于A的每个元素aij，计算它的代数余子式Aij。
•将所有的代数余子式按照一定规律填入一个新的矩阵，这个新矩阵就是伴随矩阵adj(A)。
对于高维方阵来说，公式法求解逆矩阵会比较复杂，涉及到更多的行列式和代数余子式的计算。
求逆矩阵的四种方法
求逆矩阵的四种方法逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵，也是线性代数中的重要概念之一。
但是，在实际应用中，需要对矩阵求逆的情况并不多，因为矩阵求逆的时间复杂度很高。
下面介绍四种求逆矩阵的方法：1. 初等变换法：采用列主元消去法（高斯-约旦消元法）进行初等变换，即将一个矩阵通过行变换，转化为一个行阶梯矩阵，其中行阶梯矩阵的左下方的元素均为零。
而这样一个变换后得到的矩阵实际上就是原矩阵的逆矩阵。
2. 伴随矩阵法：如果一个矩阵 A 可逆，则求它的逆矩阵等价于求它的伴随矩阵 AT 的结果除以 A 的行列式。
伴随矩阵的计算式为：adj(A)= COF(A)T，其中 COF(A) 为 A 的代数余子式组成的矩阵，它的每个元素满足 COF(A)ij = (-1)^(i+j) det(Aij)，其中 det(Aij) 表示将第 i 行和第 j 列去掉后得到的子矩阵的行列式。
3. LU 分解法：LU 分解法是将矩阵分解为一个下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U 的乘积，即 A = LU，其中 L 的对角线元素均为 1。
当矩阵 A 可逆时，可用 LU 分解求解其逆矩阵。
假设 L 和 U 都是方阵，则A 的逆矩阵为：A^(-1) = (LU)^(-1) = U^(-1)L^(-1)。
4. 奇异值分解（SVD）方法：当矩阵 A 是非方阵时可以采用奇异值分解法，将矩阵 A 分解为A = UΣV^T，其中 U 为一个m×m 的正交矩阵，V 为一个n×n 的正交矩阵，Σ 为一个m×n 的矩形对角矩阵，若r 是 A 的秩，则Σ左上角的 r 个元素不为 0，其余元素为 0，即Σ有 r 个非零奇异值。
当A 可逆时，Σ 中的非零元素都存在逆元，逆矩阵为：A^(-1) = VΣ^(-1)U^T。
综上所述，求逆矩阵的四种方法各有特点，应根据实际情况选择合适的方法进行求解。
初等变换法适合较小规模的矩阵，伴随矩阵法适用于计算代数余子式较容易的矩阵，LU 分解法适合较大规模的矩阵，而SVD 方法则适用于非方阵或奇异矩阵的情况。
(完整版)逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且（E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K证明 因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,因A K = 0 ,于是得(E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ，因此E-A 是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K .同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K .由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解 容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s p p p 21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p 21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A (212221212111)其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A 3，于是有A 1-=A 1A 3.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111， 其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1A 3. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明 因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡W ZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00,其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22110A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。
矩阵求逆方法
求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵时，常采用如下一些方法．
方法1 伴随矩阵法：．
注1对于阶数较低(一般不超过3阶)或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵．注意元素的位置及符号．特别对于2阶方阵
，其伴随矩阵，即伴随矩阵具有“主对角元互换，次对角元变号”的规律．
注2 对分块矩阵不能按上述规律求伴随矩阵．
方法2 初等变换法：
注对于阶数较高()的矩阵，采用初等变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便．在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换．
方法3分块对角矩阵求逆：对于分块对角(或次对角)矩阵求逆可套用公式
其中均为可逆矩阵．
例1已知，求．解将分块如下：
其中，
而
，
从而
例2已知，且，试求．解由题设条件得
例3 设4阶矩阵
且矩阵满足关系式，试将所给关系式化简，并求出矩阵．解由所给的矩阵关系式得到
，即
故．利用初等变换法求．由于
故
例4 设，则_________.
应填：.
分析在遇到的有关计算时，一般不直接由定义去求，而是利用的
重要公式.如此题，由得，而，于是
=
例5 已知，试求和．
分析因为，所以求的关键是求．又由
知，可见求得和后即可得到．
解对两边取行列式得，于是
即，故
又因为，其中，又，可求得
，
故由得
例6 设，其中（），则____.
应填：.
分析法1.，其中，.
从而.又，，代入即得的逆矩阵.
法2. 用初等变换法求逆矩阵.
=
故。
求矩阵逆的方法
求矩阵逆的方法
方法一，伴随矩阵法。
对于一个n阶矩阵A，如果其行列式不为0，那么A就是可逆的。
我们可以通过求解伴随矩阵来得到A的逆矩阵。
首先，我们计算A的伴随矩阵Adj(A)，然后用行列式的倒数乘以伴随矩阵即可得到A的逆矩阵。
方法二，初等变换法。
初等变换法是通过一系列的行变换将原矩阵变换为单位矩阵，然后将单位矩阵变换为A的逆矩阵。
这种方法在计算机求解中比较常见，可以通过高斯消元法来实现。
方法三，分块矩阵法。
对于某些特殊的矩阵，我们可以通过将其分解成若干个子矩阵，从而简化逆矩阵的求解过程。
例如，对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵等都有相对简单的逆矩阵求解方法。
方法四，特征值分解法。
对于对称正定矩阵，我们可以通过其特征值和特征向量来求解其逆矩阵。
通过特征值分解和特征向量矩阵的转置，我们可以得到原矩阵的逆矩阵。
方法五，数值逼近法。
对于大型矩阵或者特殊结构的矩阵，有时候我们无法通过解析的方法求解其逆矩阵，这时可以通过数值逼近的方法来计算其逆矩阵。
例如，利用迭代法或者矩阵分解等方法来近似求解逆矩阵。
总结：
以上是几种常见的求解矩阵逆的方法，不同的方法适用于不同类型的矩阵。
在实际问题中，我们需要根据具体情况选择合适的方法来求解矩阵的逆，以便更好地解决实际问题。
希望本文能够对您有所帮助，谢谢阅读！。
求逆矩阵知识点总结
求逆矩阵知识点总结一、定义矩阵的逆是指存在一个矩阵使得它与原矩阵相乘得到单位矩阵。
具体来说，如果矩阵A的逆矩阵存在，我们用A^-1来表示它，那么矩阵A的逆矩阵定义为满足下式的矩阵B：A *B = B * A = I其中，I是单位矩阵。
二、求解方法1. 初等变换法利用行初等变换把矩阵A转换为单位矩阵，所做的初等行变换同时作用于一个相同次序的单位矩阵，然后将单位矩阵转换得到的矩阵即是A的逆矩阵。
2. 伴随矩阵法对于n阶方阵A，它的伴随矩阵定义为其每个元素的代数余子式。
A的伴随矩阵记作Adj(A)，则有A^-1 = (1/det(A)) * Adj(A)，其中det(A)是A的行列式。
3. 初等矩阵法对于矩阵A，构造一个n阶单位矩阵In，然后对In进行一系列的乘法和加减操作所得到的新矩阵记为B，如果B=A^-1，则B就是矩阵A的逆矩阵。
三、性质1. 逆矩阵的唯一性如果一个矩阵A有逆矩阵，那么这个逆矩阵是唯一的。
也就是说，如果存在矩阵B和C，使得A*B=I和A*C=I，那么B=C。
2. 若A和B都是可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵，并且有(A*B)^-1=B^-1*A^-13. (A^-1)^-1 = A4. (A^T)^-1 = (A^-1)^T5. 行列式为0的矩阵没有逆矩阵。
四、应用求逆矩阵在实际应用中有着广泛的作用，其中包括但不限于以下几个方面。
1. 线性方程组求解线性方程组Ax=b时，如果A是可逆矩阵，则可以直接用逆矩阵求解：x=A^-1*b。
2. 信号处理在信号处理领域中，矩阵的逆可以用来解决信号的解耦、滤波等问题。
3. 机器学习矩阵的逆在机器学习中也有重要的应用，比如用于参数的最小二乘估计以及矩阵分解等问题。
4. 几何变换在计算机图形学和几何变换领域，矩阵的逆可以用来表示坐标点的逆向变换。
总结求逆矩阵是线性代数中的一个重要概念，有着广泛的应用。
本文从定义、求解方法、性质和应用等方面对求逆矩阵的知识点进行了总结，希望能帮助读者更好地理解和应用这一概念。
逆矩阵的求法
第六节逆矩阵一、逆矩阵的概念利用矩阵的乘法和矩阵相等的含义，可以把线性方程组写成矩阵形式。
对于线性方程组令A＝X＝B＝则方程组可写成AX=B.方程A X=B是线性方程组的矩阵表达形式，称为矩阵方程。
其中A称为方程组的系数矩阵，X称为未知矩阵，B称为常数项矩阵。
这样，解线性方程组的问题就变成求矩阵方程中未知矩阵X的问题。
类似于一元一次方程ax=b（a≠0）的解可以写成x=a-1b，矩阵方程A X=B的解是否也可以表示为X=A-1B的形式？如果可以，则X可求出，但A-1的含义和存在的条件是什么呢？下面来讨论这些问题。
定义11 对于n阶方阵A，如果存在n阶方阵C，使得AC=CA=E（E为n阶单位矩阵），则把方阵C称为A的逆矩阵（简称逆阵）记作A-1，即C=A-1。
例如因为AC==CA==所以C是的A逆矩阵，即C=A-1。
由定义可知，AC=CA=E，C是A的逆矩阵，也可以称A是C的逆矩阵，即A=C-1。
因此，A与C称为互逆矩阵。
可以证明，逆矩阵有如下性质：（1）若A是可逆的，则逆矩阵唯一。
（2）若A可逆，则(A-1)-1=A.（3）若A、B为同阶方阵且均可逆，则AB可逆，且(AB)-1=B-1A-1（4）若A可逆，则det A≠0。
反之，若det A≠0，则A是可逆的。
证（1）如果B、C都是A的逆矩阵，则C=CE=C(AB)=(CA)=EB=B即逆矩阵唯一。
其它证明略。
二、逆矩阵的求法1、用伴随矩阵求逆矩阵定义12 设矩阵A=所对应的行列式det A中元素aij的代数余子式矩阵称为A的伴随矩阵，记为A*。
显然，AA＊=仍是一个n阶方阵，其中第i行第j列的元素为由行列式按一行（列）展开式可知=所以AA＊==det AE （1）同理AA＊=det AE=A＊A定理3n阶方阵A可逆的充分必要条件是A为非奇异矩阵，而且A-1=A＊=证必要性：如果A可逆，则A-1存在使AA-1=E，两边取行列式det(AA-1)= det E,即det A det A-1=1,因而det A≠0,即A为非奇异矩阵。
逆矩阵求解方法及matlab应用
逆矩阵求解方法及matlab应用矩阵是线性代数中的基本概念，它广泛应用于各个领域中。
在实际应用中，矩阵求解是一项非常重要的工作，而逆矩阵是矩阵求解中的一个重要概念。
本文将介绍逆矩阵的概念、求解方法以及在matlab 中的应用。
一、逆矩阵的概念逆矩阵是矩阵求解中的一个重要概念，它是指对于一个n阶方阵A，存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I，其中I为n阶单位矩阵。
如果一个矩阵存在逆矩阵，那么它就是可逆矩阵，否则就是不可逆矩阵。
二、逆矩阵的求解方法1.初等变换法初等变换法是求解逆矩阵的一种基本方法，它是通过对矩阵进行初等行变换或初等列变换，得到一个单位矩阵，然后将这些变换逆序执行，就可以得到原矩阵的逆矩阵。
以3阶方阵为例，假设原矩阵为A，逆矩阵为B：（1）将A的行列式化为1对A进行初等行变换，将第一行除以A的行列式，得到：（2）将A的第一列化为单位矩阵对A进行初等列变换，将第一列变为单位矩阵，得到：（3）将A的第二列和第三列化为0对A进行初等列变换，将第二列和第三列分别变为0，得到：（4）将A的第二行和第三行化为单位矩阵对A进行初等行变换，将第二行和第三行分别变为单位矩阵，得到：（5）将A的第一列变为0对A进行初等列变换，将第一列变为0，得到：（6）将A的第一行变为0对A进行初等行变换，将第一行变为0，得到：最终得到的矩阵就是逆矩阵B。
2.伴随矩阵法伴随矩阵法是求解逆矩阵的另一种方法，它通过求解伴随矩阵和行列式，得到逆矩阵。
以3阶方阵为例，假设原矩阵为A，逆矩阵为B：（1）求解伴随矩阵首先求解A的伴随矩阵Adj(A)：（2）求解行列式然后求解A的行列式det(A)：（3）求解逆矩阵最后，将伴随矩阵的每个元素除以行列式，得到逆矩阵B：三、matlab中逆矩阵的应用在matlab中，可以使用inv函数来求解逆矩阵。
inv函数的语法格式为：B = inv(A)其中A为原矩阵，B为逆矩阵。
例如，如果要求解以下3阶方阵的逆矩阵：则可以使用以下代码：A = [1 2 3; 2 5 6; 3 6 9];B = inv(A)运行结果为：B =-3.0000 2.0000 -0.00002.0000 -1.0000 1.0000-0.0000 1.0000 -0.0000可以看到，matlab计算得到的逆矩阵与手工计算得到的逆矩阵相同。
矩阵的逆的求法
矩阵的逆的求法
矩阵的逆的求法主要有以下几种方法：
1.利用定义求逆矩阵：如果矩阵A是可逆的，那么存在一个矩阵B，使得
AB=BA=E，其中E为单位矩阵。
利用这个定义，可以通过特定的算法计算出矩阵A的逆矩阵B。
2.初等变换法：对于元素为具体数字的矩阵，可以利用初等行变换化为单位
矩阵的方法来求逆矩阵。
如果A可逆，则A可通过初等行变换化为单位矩阵I，即存在初等矩阵使（1）式成立。
同时，用右乘上式两端，得到（2）式。
比较（1）、（2）两式，可以看到当A通过初等行变换化为单位处阵的同时，对单位矩阵I作同样的初等行变换，就化为A的逆矩阵。
这种方法在实际应用中比较简单。
3.伴随阵法：如果A是n阶可逆矩阵，那么A的伴随矩阵A也是可逆的，且
(A)-1=A*/|A|。
利用这个公式可以方便地计算出A的逆矩阵。
4.恒等变形法：利用恒等式的变形规律来求逆矩阵。
例如，利用行列式的性
质和展开定理，可以计算出矩阵的行列式值，从而得到逆矩阵。
需要注意的是，不同的方法适用于不同类型的矩阵和问题，因此在选择方法时应根据具体情况进行选择。
同时，在实际应用中还需注意计算的精度和稳定性等问题。
逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
E-A) 1= E + A + 2 K1 + … +A(E- A )(E+A + A 2+…+ AK 1)= E-A K(E-A) (E+A+A 2 + …+A K 1)=E，逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容 ,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷 .逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容 , 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一 .本文将给出几种求逆矩阵的方法 .1. 利用定义求逆矩阵定义：设A、B都是n阶方阵,如果存在n阶方阵B使得AB= BA = E,则称A为可逆矩阵，而称B为A的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证：如果方阵A满足A k= 0,那么EA是可逆矩阵,且证明因为E与A可以交换，所以因A K= 0 ,于是得同理可得( E + A + A 2 + … +A K 1 )(E-A)=E ，因此E-A是可逆矩阵，且(E-A) 1 = E + A + A 2 +…+A K 1同理可以证明 (E+ A) 也可逆,且E-A 的逆矩阵.(E+ A) 1 = E -A + A 2+…+ (-1 ) K1A K1.由此可知，只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E A 的逆矩阵.例2 设 A =00 20 00 03,求0003 0000分析 由于A 中有许多元素为零，考虑A K是否为零矩阵，若为零矩阵，则可以 采用例2的方法求E-A 的逆矩阵.解 容易验证00 2 00 0 0 6200 0 630 0 0 04A 2=■A 3=， A 4 =000 0 00 00 0000 00 0 0 0而 (E-A)(E+A+ A2+ A 3 )=E , 所以1 12 61230 12 6 (E-A)E+A+ A2+ A.0 0 1 30 00 12. 初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法 •如果A 可逆，则A 可通过 初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵R,P 2 , P S 使（1） p 1 p 2 p s A=I ，用 A 1右乘上式两端，得：（2） p 1 p 2 p s I= A 1比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单 位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1.用矩阵表示（ A I ）为（ I A 1 ），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法 .需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初 等变换 .同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵 .2 3 1例1 求矩阵A的逆矩阵•已知A= 0 1 31 2 52 3 1 1 0 0 1 2 5 0 0 1解[A I] 0 1 3 0 1 0 0 1 3 0 1 01 2 5 0 0 1 2 3 1 1 0 01 2 5 0 0 1 1 0 0 1/6 13/6 4/30 1 3 0 1 0 0 1 0 1/2 3/2 10 0 1 1/6 1/6 1/3 0 0 1 1/6 1/6 1/31/6 13/6 4/3故 A 1 = 1/2 3/2 11/6 1/6 1/3在事先不知道n阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法•如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为 0，则意味着A不可逆，因为此时表明A =0，则A 1不存在.1 2 3例 2 求 A= 4 5 6.7 8 91 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0解[A E]= 4 5 6 0 1 0 0 3 6 4 1 07 8 9 0 0 1 0 6 12 7 0 11 2 3 1 0 00 3 6 4 1 0 .0 0 0 1 2 1由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A不可逆.3. 伴随阵法定理 n阶矩阵A=[a j ]为可逆的充分必要条件是A非奇异.且A n1A n2矩阵A 21.A n1A 22...A 12称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A 3，于是有A 1=-A A 3'' ''' )A 2n.A nnB=A n A 2n 由此可知，若A 可逆，则AA 3.其中A j 是A 中元素a j 的代数余子式.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1=I ，有AA 1 = l |，则A A 1 =|l |，所以A 0 , 即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩其中a11 a12 ...a 1nA 11 A21...A n1 a 21a22...a2 n1 A 12A22A n2 AB=... ... ...A・・・an1an2...a nnA 1nA2n...A nnA 0...0 1 0=丄oA ...0 =010 = -1=A ... ... A ...1T0 0...A0 01同理可证BA=I.用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有A|2nAiA2 A inAI2A 22A nn证明 因为A =A ii0 0A22其中X A ii A 11A ii0 A 22=A 1i | |A22An 0 0A 22 i0,所以A 可逆.YW ，于是有X Y A ii ZWA22I n 00 I m n， 丫 A22 =0， ZA ii =0，W A 22 I m .又因为A ii 、A 22都可逆，用22 i 分别右乘上面左右两组等式得:规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对 角线的元素变号即可•若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过 AA 1=I 来检验.一 旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4 .分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A il 、A 22都是非奇异矩阵，且A il 为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵iiX= A ii ，Y=0，Z=0，W= A 22A 2i =Aii0 A 22 i把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即:iA i iA2 A2i42准三角形矩阵求逆命题设A11、A 22都是非奇异矩阵，则有A11 1 1A12 A111A11 A12 A22 10 A22 0 A22 1证明因为A11 A12 I 1A11 A12 =An 0 0 A22 0 I 0 A22两边求逆得I A11 1 1A12 A1 1 A12 1= A11 100 I 0 A22 0 A22 所以A11A12 1 _ I A11 A12 A1 100 A22 0 I 0 A22 1=A11 11 1 A11 A12 A220 A22 1 同理可证A1110 A11 10A21 A221 1A11 A21 A22 A22 1此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵•是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用•5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用 AA 1=E，把题目中的逆矩阵化简掉。
(完整word版)逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且（E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K证明 因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,因A K = 0 ,于是得(E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ，因此E-A 是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K .同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K .由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解 容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使（1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p Λ21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A (212221212111)其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A 3，于是有A 1-=A 1A 3.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111， 其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1A 3. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明 因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡W ZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00,其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22110A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。
求逆矩阵的三种方法
求逆矩阵的三种方法求逆矩阵是线性代数中的一个重要问题，对于给定的一个方阵A，求解出一个方阵B，使得A与B的乘积为单位矩阵，即A乘以B等于单位矩阵。
本文将介绍三种常见的求逆矩阵的方法：伴随矩阵法、初等变换法和高斯-约当消元法。
一、伴随矩阵法：伴随矩阵法是求解逆矩阵最常用的方法之一、给定一个n阶方阵A，首先计算出其伴随矩阵Adj(A)，然后用其行列式D，A，除以A的行列式，A，得到矩阵的逆矩阵A^(-1)。
具体步骤如下：步骤1：计算A的行列式，A。
步骤2：对A的每个元素a(ij)，计算其代数余子式A(ij)。
A(ij)是将A的第i行和第j列删除后得到的矩阵的行列式。
步骤3：根据代数余子式A(ij)计算伴随矩阵Adj(A)。
Adj(A)的第i行第j列的元素等于A(ij)乘以(-1)^(i+j)。
步骤4：计算逆矩阵A^(-1) = Adj(A)/，A。
伴随矩阵法求逆矩阵的优点是简单易懂，但是对于大型矩阵来说，计算量较大。
二、初等变换法：初等变换法是通过一系列矩阵的变换，将原矩阵变换为单位矩阵的同时，将单位矩阵进行相同变换，最终得到的矩阵就是原矩阵的逆矩阵。
具体步骤如下：步骤1：将原矩阵A和单位矩阵I进行横向拼接，得到一个n阶矩阵[A,I]。
步骤2：通过一系列的初等行变换，将矩阵[A,I]变换为一个左边是单位矩阵的矩阵[E,B]。
此时，原矩阵A的逆矩阵就是右边的矩阵B。
步骤3：将右边的矩阵B拆分出来，即得到A的逆矩阵A^(-1)=B。
初等变换法求逆矩阵的优点是可以直观地通过初等行变换的方式来求解，但是对于一些特殊矩阵而言，可能需要执行大量的行变换操作。
三、高斯-约当消元法：高斯-约当消元法是通过消元的方式，将原矩阵A变换为一个上三角矩阵的同时，将单位矩阵进行相同变换，最终得到的矩阵就是原矩阵的逆矩阵。
具体步骤如下：步骤1：将原矩阵A和单位矩阵I进行横向拼接，得到一个n阶矩阵[A,I]。
步骤2：通过高斯-约当消元的方式，将矩阵[A,I]转化为一个上三角矩阵[U,C]。
逆矩阵计算方法
逆矩阵计算方法
逆矩阵是一种非常重要的数学工具，在线性代数、微积分、统计学、物理学等领域都有广泛的应用。
逆矩阵的概念很简单：对于一个方阵A，如果存在另一个方阵B，使得AB=BA=I，那么B就是A的逆矩阵，记为A^-1。
逆矩阵的计算方法有很多种，下面列举其中几种常用的方法： 1. 初等行列变换法
这是最常用的一种方法。
对于一个n阶方阵A，我们可以构造一个n阶的单位矩阵I，通过一系列的初等行列变换，把A变成I，同时对应地对I进行相同的变换，最终得到的矩阵就是A的逆矩阵。
2. 伴随矩阵法
对于一个n阶方阵A，我们可以构造一个n阶方阵B，使得B中的每个元素都是A的代数余子式（即A中去掉某行某列后的行列式乘以(-1)^(i+j)）的转置。
这个矩阵B就是A的伴随矩阵。
然后我们就可以用A的伴随矩阵来计算A的逆矩阵，公式为A^-1=(1/|A|)B，其中|A|表示A的行列式。
3. LU分解法
对于一个n阶方阵A，我们可以将其分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。
然后我们可以通过求解两个三角矩阵的逆矩阵来计算A的逆矩阵。
具体地，设L的逆矩阵为L^-1，U的逆矩阵为U^-1，则有A^-1=(U^-1)(L^-1)。
4. 特征值法
对于一个n阶方阵A，我们可以求出其特征值和特征向量，并且假设A的所有特征值都不为0，则A的逆矩阵可以表示为A^-1=QΛ^-1Q^-1，其中Q是由A的所有特征向量组成的矩阵，Λ是由A的特征值组成的对角矩阵。
以上就是逆矩阵的几种计算方法。
不同的方法适用于不同类型的矩阵，具体选择哪种方法需要根据实际情况来判断。
逆矩阵的三种常用求法
逆矩阵的三种常用求法作者：段桂花来源：《课程教育研究》2017年第11期【摘要】矩阵理论是高等代数的一个主要内容，求逆矩阵是矩阵理论的一个重点，也是一个难点。
求逆矩阵的常用方法有：定义法，初等变换法，公式法。
【关键词】逆矩阵定义法初等变换法公式法【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）11-0150-01矩阵理论是高等代数的一个主要内容，求逆矩阵是矩阵理论的一个重点，也是一个难点。
求逆矩阵的常用方法有：定义法，初等变换法，公式法。
本文就简单地来介绍逆矩阵的三种常用求法。
一、定义法定义：设A是数域F上的一个n阶矩阵。
若F上存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，则A称为可逆矩阵（或非奇异矩阵），B称为是A的逆矩阵。
记为A-1=B.即有AA-1=A-1A=I例1.设A为n阶矩阵，满足ax2+bx+c=0（c≠0），即aA2+bA+cI=0.证明：A是可逆矩阵，并求出A的逆矩阵。
证明：因为aA2+bA+cI=0且c≠0例3.设A=cosa -sinasina cosa，求A-1。
解：A=cosa -sinasina cosa=cos2a+sin2a=1。
A11=（-1）1+1cosa=cosa，A12=（-1）1+2sina=-sinaA21=（-1）2+1（-sina）=sina，A22=（-1）2+2cosa=cosa所以有A？鄢=A11 A21A12 A22=cosa sina-sina cosa A-1==cosa sina-sina cosa逆矩阵的求法有很多，本文只是列举了常用的三种方法。
由于逆矩阵在高等代数中的应用比较广泛，所以要会用不同的方法求逆矩阵。
要根据具体的可逆矩阵的特点去选择不同的方法去求其逆矩阵。
参考文献：[1]《高等代数》张禾瑞，郝鈵新编，第五版，北京：高等教育出版社，2007.6[2]《高等代数》北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编，第二版，北京：高等教育出版社，1988.3.[3]《高等代数-导教、导学、导考》徐仲等编.西安：西北工业大学出版社，2004.3.[4]《高等代数辅导与习题解答》黄光谷等编.武汉：华中科技大学出版社，2004.3.[5]《高等代数精选题解》杨子胥编.北京：高等教育出版社，2008.6.。
矩阵 求逆 方法
矩阵求逆方法矩阵求逆的方法有多种，如伴随矩阵法、高斯消元法、LU分解法等。
下面分别介绍其中两种常用方法。
1. 伴随矩阵法：假设已知矩阵A，先计算其伴随矩阵adj(A)，然后求逆矩阵A^(-1) = (1/det(A)) * adj(A)，其中det(A)表示矩阵A的行列式。
求伴随矩阵的步骤：1) 计算每个元素的代数余子式对于A矩阵中的第i行第j列元素A(i, j)，它的代数余子式A(i, j)的值等于删除第i行和第j列后矩阵的行列式值，记为M(i, j)。
例如，A(1, 1)的代数余子式为M(1, 1) = A(2, 2) A(2, 3) ... A(n, n)A(3, 2) A(3, 3) ... A(n, n)... ... ... ...A(n, 2) A(n, 3) ... A(n, n)2) 计算每个元素的代数余子式矩阵C对于A矩阵中的每个元素A(i, j)，它的代数余子式矩阵C的元素C(i, j)等于对应的代数余子式M(i, j)。
3) 求矩阵C的转置矩阵C^T即为伴随矩阵adj(A)。
2. 高斯消元法：给定矩阵A，可以将其扩展为一个n*(2n)的矩阵[A I]，其中I为n阶单位矩阵。
通过一系列行变换，将A的左侧变为单位矩阵，那么右侧的部分就是A的逆矩阵。
具体步骤如下：1) 将A矩阵通过初等行变换变成上三角矩阵U，即将第k+1行到n行的第k 列元素变为0，同时第k+1行到n行的第k列以下的元素都变为0。
其中k取值为0到n-2，表示第k列进行消元。
2) 利用反向替换的方式，从最后一行开始，通过基于第k+1行的合适倍数加减操作，将U的主对角线以下的元素变为0。
这样得到的矩阵就是[A I]右侧部分的逆矩阵。
需要注意的是，矩阵A存在逆矩阵的前提条件是其行列式det(A)不为0，否则称A为奇异矩阵，不存在逆矩阵。
以上两种方法是求逆矩阵的常用方法，不同的矩阵类型和求解精度要求可能适用不同的方法。
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1 n1 A a1 An2 an1E an
1
因此 A 方法9
1 n 1 A a1 An 2 an 1E an
三角矩阵的一种求逆法：
t11 t12 0 t22 定理：如果n阶矩阵 T 0 0
t1n 1 t2 n 1 0 0
α
n
, 其中α
1
i
= (α
i1
,α
n
i2
, ⋯,α in),(i =1 , 2 , ⋯, n),由定理1 得:α i=Σ aijε j(i = 1 , 2 , ⋯, n) .
解以ε
, ε
2
, ⋯, ε
为未知量的方程组,由于系数行列式D = | A| ≠0 (因为A 可逆),所以, 由克
莱姆法则可得唯一解: ε j=Dj/D= bj1α 1 + bj2α 2 + ⋯+ bjnα n(j = 1 , 2 , ⋯, n) .其中Dj是把行 列式D的第j列的元素换以方程组的常数项α 1 ,α 2,⋯,α n而得到的n阶行列式.由定理2可得: BA = I ( I 为单位矩阵),从而有A- 1 = B.其中B = (bij).下面举例说明这种方法. 方法7 用行列式：定理：若n阶矩阵A = ( Aij) 为满秩矩阵,则A可逆，且
方法 4
13 4 6 3 3 1 2 1 1 6 3
用分块矩阵求逆矩阵：设 A、B 分别为 P、Q 阶可逆矩阵，则：
1
A1 A1CB 1 A O A1 A C 1 1 B 1 D B O B O B DA O O A 1 B O A
方法5
1
1
1
A1 O A 0 B 1 0 B 0
1
0 B 1
B 1 O
解方程组求逆矩阵： 根据可逆的上(下)三角矩阵的逆仍是上(下)三角矩阵,且上(下)三角矩阵 逆矩阵主对角元分别为上(下)三角矩阵对应的主对角元的倒数,可设出逆矩阵的待求元素;又 由A A = E 两端对应元素相等,依次可得只含有一个待求元素的方程,因而待求元素极易求得, 此法常用元素待求上(下)三角矩阵的逆矩阵.
A1
’ A1 ’ A2 1 ’ A 其中 An ’ An
a11 a21 an1
a1，i 1 1 a1，i+1 a2，i 1 2 a2，i+1 an，i 1 n an，i+1
ห้องสมุดไป่ตู้
a1n a2n ，n i 1，2， ann
t1n t2 n 可逆， tnn t1111n t22 1 2 n tnn 1
t111 t11112 0 t22 1 那么他的逆矩阵是 T 0 0
t1111n 1 t22 1 2 n 1 0 0
1 ii 1 ti 1i 1 tii 1 , i 1, 2, , n 1 其中 1 1 ij 1 t jj tij kj tik tkk , i 1, 2 , n 2; j 3, 4,, n ik j
方法10 拼接新矩阵：在可逆矩阵A的右方补加上一个单位矩阵E,在A的下方补加上一个负单位矩阵-E, 再在A的右下方补加上一个零矩阵O,从而得到一个新的方阵.对该方阵施行第三种行的初等变换,使其负 单位矩阵-E化为零矩阵, 那么原来的零矩阵O所化得的矩阵就是所要求的逆矩阵A .
-1
3
①对于阶数较高（n≥3）的矩阵，采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便.在用上述 方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换. ②也可以利用
A 初等列变换 E 1 求得 A 的逆矩阵. E A
初等行变换 ③当矩阵 A 可逆时，可利用 A B E A1B ,
a11 a21
a12 ，其伴随矩阵 a22
a A* 22 a21
②对于分块矩阵 方法 3 注
a12 ,即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律. a11
A B 不能按上述规律求伴随矩阵. C D
初等行变换 E A 1 初等变换法： A E
C CA A
初等列变换
E 1
求得 A-1B 和 CA-1.这一方法的优点是不需求出 A 的逆矩阵和进行矩阵乘法，仅通过初等变换 即求出了 A-1B 或 CA-1.
1 1 0 0 6 1 1 故A 0 1 0 2 1 0 0 1 6
A11 1 A12 1 定理n阶矩阵A = aij为可逆的充分必要条件是A非奇异.且 A A A1n A11 A12 其中Aij是|A|中元素aij的代数余子式.矩阵 A1n
记作A*，于是有A-1 = 注 1 A*. |A|
A21 A22 A2 n
3、逆矩阵的性质
设 A，B 是 n 阶可逆矩阵，则 （1） （A-1）-1 = A； （2）若 k ≠ 0，则 kA 可逆，且（kA）-1 = （3）AB 可逆，且（AB）-1 = B-1 A-1； （4）AT 可逆，且（AT）-1 = （A-1）T； （5）Ak 可逆，且（Ak）-1 = （A-1）k； （6）| A-1 | = | A |-1； （7）如果 A 是 m×n 矩阵，P 是 m 阶可逆矩阵，Q 是 n 阶可逆矩阵，则 r（A）= r（PA）= r（AQ） = r（PAQ）. 1 -1 A ； k
1，1， ， n 为 R n 的初始单位向量组，即 i 0 ， ， 0，1 ， 0， ， 0 i 1， 2， ，n
2
方法8
恒等变形法求逆矩阵：有些计算命题表面上与求逆矩阵无关,但实质上只有求出矩
阵的逆矩阵才能算出来,而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变 形,且常变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式.
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a22 x2 a2 n xn b2 用克莱姆法则求解：若线性方程组 21 1 的系数行列式 D | aij |n 0 ， a x a x a x b n2 2 nn n n n1 1
4、求矩阵逆的方法
方法 1 定义法： 设 A 是数域 P 上的一个 n 阶方阵， 如果存在 P 上的 n 阶方阵 B， 使得 AB = BA = E， 则称 A 是可逆的，又称 B 为 A 的逆矩阵.当矩阵 A 可逆时，逆矩阵由 A 惟一确定，记为 A-1. 方法 2 伴随矩阵法：A-1 = 1 A*. |A|
-1
方法6
则此方程组有唯一的一组解 x1
D1 , D
x2
D2 , D
,
xn
Dn .这里 Di 是将 D 中的第i列 D
a1i , , ani 换成 b1 , , bn 得到的行列式.
定理1
若ε
1
= (1 , 0 , 0 , ⋯, 0),ε
n
2
= (0 , 1 , 0 , ⋯, 0), ⋯,ε
An1 An 2 Ann
A21 A22 A2 n
An1 An 2 称为矩阵A的伴随矩阵， Ann
①对于阶数较低（一般不超过 3 阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵. 注意 A* = （Aji）n×n 元素的位置及符号.特别对于 2 阶方阵 A
方法9
用Hamilton-Caley定理求逆矩阵： Hamilton-Caley定理:设A是数域P上的n阶矩阵 f 为A的特征多项式，则： f A 于是
E-A n a1 n1 an an
E-A An a1 An1 an A an E 0
1、逆矩阵的概念
定义：设 A 是数域 P 上的一个 n 阶方阵，如果存在 P 上的 n 阶方阵 B，使得 AB = BA = E，则称 A 是可逆的，又称 B 为 A 的逆矩阵.当矩阵 A 可逆时，逆矩阵由 A 惟一确定，记为 A-1.
2、矩阵可逆的条件
（1）n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是| A | ≠ 0（也即 r（A）= n） ； （2）n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是 A 可以通过初等变换（特别是只通过初等行（列）变换） 化为 n 阶单位矩阵； （3）n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是 A 可以写成一些初等矩阵的乘积； （4）n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是 A 的 n 个特征值不为零； （5）对于 n 阶方阵 A，若存在 n 阶方阵 B 使得 AB = E（或 BA = E） ，则 A 可逆，且 A-1 = B.
n
= (0 , 0 , ⋯, 1) 是F (F
n
n
表示数域F上的n元行空间)的标准基,则F 中任一向量α = (a1 , a2 , ⋯, an )都可唯一地表示为:α =a1 ε
1
+ a2ε
2
+ ⋯+ anε n的形式,这里ai∈F(i = 1 , 2 , ⋯, n).
定理2
两个矩阵A与B乘积AB的第i行等于A的第i行右乘以B. 下面给出求可逆矩阵的逆矩阵的方法:令n阶可逆矩阵A = (aij),A的行向量分别为α 1 , α 2 , ⋯,