数值分析常微分方程数值解法
数值分析第九章常微分方程数值解法
松弛法
通过迭代更新函数值并逐步放松约束 条件来逼近解，适用于刚性和非刚性 问题。
利用线性组合迭代函数值来逼近解， 具有更高的收敛速度和稳定性。
03
数值解法的稳定性分析
数值解法的稳定性定义
数值解法的稳定性是指当微分方程的初值有微小的扰动时， 其数值解的近似值的变化情况。如果数值解在微小扰动下变 化较小，则称该数值方法是稳定的。
更高的精度和稳定性。
数值逼近法
泰勒级数法
将微分方程的解展开为泰勒级数，通过截断级数来逼 近解。
多项式逼近法
利用多项式来逼近微分方程的解，通过选取合适的基 函数和系数来提高逼近精度。
样条插值法
利用样条函数来逼近微分方程的解，具有更好的光滑 性和连续性。
迭代法
雅可比迭代法
通过迭代更新函数值来逼近微分方程 的解，具有简单易行的优点。
初值和边界条件的处理
根据实际问题，合理设定初值和边界 条件，以获得更准确的数值解。
收敛性和误差分析
对数值解进行收敛性和误差分析，评 估解的精度和稳定性。
数值解法的应用案例分析
人口增长模型
通过数值解法求解人口增长模型，预测未来人口数量，为政策制 定提供依据。
化学反应动力学
利用数值解法研究化学反应的动力学过程，模拟反应过程和结果。
数值分析第九章常微分方 程数值解法
• 引言 • 常微分方程数值解法的基本思想 • 数值解法的稳定性分析 • 数值解法的收敛性和误差分析 • 数值解法的实现和应用案例
01
引言
常微分方程的应用背景
自然科学
描述物理、化学、生物等自然 现象的变化规律。
工程领域
控制系统设计、航天器轨道计 算等。
数值分析常微分方程数值解
许多实际问题的数学模型是微分方程或微分方程的定解问题。
如物体运动、电路振荡、化学反映及生物群体的变化等。
常微分方程可分为线性、非线性、高阶方程与方程组等类；线性方程包含于非线性类中，高阶方程可化为一阶方程组。
若方程组中的所有未知量视作一个向量，则方程组可写成向量形式的单个方程。
因此研究一阶微分方程的初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤=0)(),(y a y bx a y x f dxdy， (9-1) 的数值解法具有典型性。
常微分方程的解能用初等函数、特殊函数或它们的级数与积分表达的很少。
用解析方法只能求出线性常系数等特殊类型的方程的解。
对非线性方程来说，解析方法一般是无能为力的，即使某些解具有解析表达式，这个表达式也可能非常复杂而不便计算。
因此研究微分方程的数值解法是非常必要的。
只有保证问题(9-1)的解存在唯一的前提下，研究其数值解法或者说寻求其数值解才有意义。
由常微分方程的理论知，如果(9-1)中的),(y x f 满足条件（1）),(y x f 在区域} ),({+∞<<∞-≤≤=y b x a y x D ，上连续； （2）),(y x f 在上关于满足Lipschitz 条件，即存在常数，使得y y L y x f y x f -≤-),(),(则初值问题(9-1)在区间],[b a 上存在惟一的连续解)(x y y =。
在下面的讨论中，我们总假定方程满足以上两个条件。
所谓数值解法，就是求问题(9-1)的解)(x y y =在若干点b x x x x a N =<<<<= 210处的近似值),,2,1(N n y n =的方法。
),,2,1(N n y n =称为问题(9-1)的数值解，n n x x h -=+1称为由到1+n x 的步长。
今后如无特别说明，我们总假定步长为常量。
建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法： (1) 用差商近似导数在问题(9-1)中，若用向前差商hx y x y n n )()(1-+代替)(n x y '，则得)1,,1,0( ))(,()()(1-=≈-+N n x y x f hx y x y n n n n n)(n x y 用其近似值代替，所得结果作为)(1+n x y 的近似值，记为1+n y ，则有 1(,) (0,1,,1)n n n n y y hf x y n N +=+=-这样，问题(9-1)的近似解可通过求解下述问题100(,) (0,1,,1)()n n n n y y hf x y n N y y x +=+=-⎧⎨=⎩(9-2)得到，按式(9-2)由初值经过步迭代，可逐次算出N y y y ,,21。
数值分析常微分方程数值解法
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➢ 数值积分方法(Euler公式)
设将方程 y=f (x, y)的两端从 xn 到xn+1 求积分, 得
y( xn1) y( xn )
xn1 f ( x, y( x))dx :
xn
xn1 F ( x)dx
xn
用不同的数值积分方法近似上式右端积分, 可以得到计算 y(xn+1)的不同的差分格 式.
h2 2
y''( )
Rn1
:
y( xn1)
yn1
h2 2
y''( )
h2 2
y''( xn ) O(h3 ).
局部截断误差主项
19
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➢ 向后Euler法的局部截断误差
向后Euler法的计算公式
yn1 yn hf ( xn1, yn1 ), n 0, 1, 2,
定义其局部截断误差为
y 计算 的n递1 推公式，此类计算格式统称为差分格式.
3
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数值求解一阶常微分方程初值问题
y' f ( x, y), a x b,
y(a)
y0
难点: 如何离散 y ?
➢ 常见离散方法
差商近似导数 数值积分方法 Taylor展开方法
4
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➢ 差商近似导数(Euler公式)
(0 x 1)
y(0) 1.
解 计算公式为
yn1
yn
hfn
yn
h( yn
2xn ), yn
y0 1.0
n 0, 1, 2,
取步长h=0.1, 计算结果见下表
13
求常微分方程的数值解
求常微分方程的数值解一、背景介绍常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是描述自然界中变化的数学模型。
常微分方程的解析解往往难以求得，因此需要寻找数值解来近似地描述其行为。
求解常微分方程的数值方法主要有欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等。
二、数值方法1. 欧拉法欧拉法是最简单的求解常微分方程的数值方法之一。
它基于导数的定义，将微分方程转化为差分方程，通过迭代计算得到近似解。
欧拉法的公式如下：$$y_{n+1}=y_n+f(t_n,y_n)\Delta t$$其中，$y_n$表示第$n$个时间步长处的函数值，$f(t_n,y_n)$表示在$(t_n,y_n)$处的导数，$\Delta t$表示时间步长。
欧拉法具有易于实现和理解的优点，但精度较低。
2. 改进欧拉法（Heun方法）改进欧拉法又称Heun方法或两步龙格-库塔方法，是对欧拉法进行了精度上提升后得到的一种方法。
它利用两个斜率来近似函数值，并通过加权平均来计算下一个时间步长处的函数值。
改进欧拉法的公式如下：$$k_1=f(t_n,y_n)$$$$k_2=f(t_n+\Delta t,y_n+k_1\Delta t)$$$$y_{n+1}=y_n+\frac{1}{2}(k_1+k_2)\Delta t$$改进欧拉法比欧拉法精度更高，但计算量也更大。
3. 龙格-库塔法（RK4方法）龙格-库塔法是求解常微分方程中最常用的数值方法之一。
它通过计算多个斜率来近似函数值，并通过加权平均来计算下一个时间步长处的函数值。
RK4方法是龙格-库塔法中最常用的一种方法，其公式如下：$$k_1=f(t_n,y_n)$$$$k_2=f(t_n+\frac{\Delta t}{2},y_n+\frac{k_1\Delta t}{2})$$ $$k_3=f(t_n+\frac{\Delta t}{2},y_n+\frac{k_2\Delta t}{2})$$ $$k_4=f(t_n+\Delta t,y_n+k_3\Delta t)$$$$y_{n+1}=y_n+\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)\Delta t$$三、数值求解步骤对于给定的常微分方程，可以通过以下步骤求解其数值解：1. 确定初值条件：确定$t=0$时刻的函数值$y(0)$。
数值分析常微分方程的数值解法
《计算机数学基础》数值部分第五单元辅导14 常微分方程的数值解法一、重点内容 1. 欧拉公式：),...,,,(),()(1-210=⎩⎨⎧+=+=≈01+1+n k kh x x y x hf y y x y kk k k k k局部截断误差是O (h 2)。
2. 改进欧拉公式：预报－校正公式：⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(1111k k k k k k k k k k y x f y x f hy y y x hf y y 校正值预报值即 ))],(,(),([211k k k k k k k k y x hf y x f y x f hy y +++=++ 或表成平均的形式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+21=+=+=1+1+)(),(),(c p k p k k c k k k p y y y y x hf y y y x hf y y改进欧拉法的局部截断误差是O (h 3)3. 龙格－库塔法二阶龙格－库塔法的局部截断误差是O (h 3) 三阶龙格－库塔法的局部截断误差是O (h 4) 四阶龙格−库塔法公式： )22(643211κκκκ++++=+hy y k k其中 κ1=f (x k ,y k )；κ2=f (x n +12h ，y k +21h κ1)；κ3=f (x k +12h ，y n +21h κ2)；κ4=f (x k +h ，y k +h κ3)四阶龙格－库塔法的局部截断误差是O (h 5)。
二、实例例1 用欧拉法解初值问题⎩⎨⎧1=060≤≤0--='2)().(y x xy y y ，取步长h =0.2。
计算过程保留4位小数。
解h =0.2, f (x )=－y －xy 2。
首先建立欧拉迭代格式),,)((.),(210=-420=--=+=21+k y x y y hx hy y y x hf y y k k k kk k k k k k k当k =0，x 1=0.2时，已知x 0=0,y 0=1，有y (0.2)≈y 1=0.2×1(4－0×1)＝0.8000当k ＝1，x 2=0.4时，已知x 1=0.2, y 1=0.8，有 y (0.4)≈y 2=0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.614 4 当k =2，x 3=0.6时，已知x 2=0.4,y 2=0.6144，有 y (0.6)≈y 3=0.2×0.6144×(4－0.4×0.4613)＝0.8000例2 用欧拉预报－校正公式求解初值问题⎩⎨⎧1=10=++'2)(sin y x y y y ，取步长h =0.2,计算y (0.2),y (0.4)的近似值，计算过程保留5位小数。
数值分析第五章常微分方程数值解法讲解
? ? ?
? ?
yn+1
?
1 2
yp ? yc
§1 欧拉方法 /* Euler's Method */
y( xn?1) ? y(xn ) ? hy?( xn ) ? y(xn ) ? yn
y( xn?1) ? yn?1 ? yn ? h f ( xn , yn )
§1 Euler's Method
Taylor 展开法
yn?1 ? yn ? h f (xn , yn ) n ? 0, 1,...
?
y??xn?1 ??
y??xn ??
hy???xn ??
h2 2
y????xn ??
?
yn?1
?
? hf
?
y
xn ? 1 ,?
??? yn ? 1
?
y ?xn?1 ??? ?
y ?xn ?
?
hy??xn ??
h2 y???xn ??
h3 2
y????xn ??
而
y ?xn?1 ??
y ?xn ??
就是用差商近似导数
在xn点用一阶向前差 商近似一阶导数
y ?( xn ) ?
y(xn?1) ? h
y(xn )
y(xn?1) ? y(xn ) ? hy?(xn )
Euler's method
? y(xn ) ? yn y(xn?1) ? yn?1 ? yn ? h f (xn , yn )
? 欧拉公式的改进 ：
式。隐式公式不能直接求解，一般需要用 Euler 显式公式
得到初值，然后用Euler 隐式公式迭代求解。因此隐式公
式较显式公式计算复杂，但稳定性好（后面分析）。
常微分方程的数值解法
常微分方程的数值解法1. 引言常微分方程是自变量只有一个的微分方程，广泛应用于自然科学、工程技术和社会科学等领域。
由于常微分方程的解析解不易得到或难以求得，数值解法成为解决常微分方程问题的重要手段之一。
本文将介绍几种常用的常微分方程的数值解法。
2. 欧拉方法欧拉方法是最简单的一种数值解法，其具体步骤如下：- 将自变量的区间等分为n个子区间；- 在每个子区间上假设解函数为线性函数，即通过给定的初始条件在每个子区间上构造切线；- 使用切线的斜率（即导数）逼近每个子区间上的解函数，并将其作为下一个子区间的初始条件；- 重复上述过程直至达到所需的精度。
3. 改进的欧拉方法改进的欧拉方法是对欧拉方法的一种改进，主要思想是利用两个切线的斜率的平均值来逼近每个子区间上的解函数。
具体步骤如下： - 将自变量的区间等分为n个子区间；- 在每个子区间上构造两个切线，分别通过给定的初始条件和通过欧拉方法得到的下一个初始条件；- 取两个切线的斜率的平均值，将其作为该子区间上解函数的斜率，并计算下一个子区间的初始条件；- 重复上述过程直至达到所需的精度。
4. 二阶龙格-库塔方法二阶龙格-库塔方法是一种更为精确的数值解法，其基本思想是通过近似计算解函数在每个子区间上的平均斜率。
具体步骤如下： - 将自变量的区间等分为n个子区间；- 在每个子区间上计算解函数的斜率，并以该斜率的平均值近似表示该子区间上解函数的斜率；- 利用该斜率近似值计算下一个子区间的初始条件，并进一步逼近解函数；- 重复上述过程直至达到所需的精度。
5. 龙格-库塔法（四阶）龙格-库塔法是目前常用的数值解法之一，其精度较高。
四阶龙格-库塔法是其中较为常用的一种，其具体步骤如下：- 将自变量的区间等分为n个子区间；- 在每个子区间上进行多次迭代计算，得到该子区间上解函数的近似值；- 利用近似值计算每个子区间上的斜率，并以其加权平均值逼近解函数的斜率；- 计算下一个子区间的初始条件，并进一步逼近解函数；- 重复上述过程直至达到所需的精度。
常微分方程的数值求解
常微分方程的数值求解在数学中，常微分方程是一类重要的数学模型，通常用来描述物理、化学、生物等自然现象中的变化规律。
对于一些复杂的微分方程，无法通过解析方法进行求解，这时候就需要借助数值方法来近似求解。
本文将介绍常微分方程的数值求解方法及其应用。
一、数值求解方法常微分方程的数值求解方法主要包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
欧拉法是最简单也是最常用的数值求解方法，其基本思想是根据微分方程的导数近似求解下一个时间步上的解，并通过逐步迭代来得到整个解的数值近似。
改进的欧拉法在欧拉法的基础上做出了一定的修正，提高了数值求解的精度。
而龙格-库塔法则是一种更加精确的数值求解方法，通过考虑多个点的斜率来进行求解，从而减小误差。
二、应用领域常微分方程的数值求解方法在科学研究和工程实践中有着广泛的应用。
在物理学中，通过数值求解微分方程可以模拟天体运动、粒子运动等现象；在生物学领域，可以模拟生物种群的增长和变化规律；在工程领域，可以通过数值求解微分方程来设计控制系统、优化结构等。
三、实例分析以一个简单的一阶常微分方程为例：dy/dx = -y，初始条件为y(0) = 1。
我们可以用欧拉法来进行数值求解。
将时间间隔取为0.1，通过迭代计算可以得到y(1)的近似值为0.367。
而利用改进的欧拉法或者龙格-库塔法可以得到更加精确的数值近似。
这个例子展示了数值方法在解决微分方程问题上的有效性。
四、总结常微分方程是求解自然界中变化规律的重要数学工具，而数值方法则是解决一些难以解析求解的微分方程的有效途径。
通过本文的介绍，读者可以了解常微分方程的数值求解方法及其应用，希望可以对相关领域的研究和实践有所帮助。
至此，关于常微分方程的数值求解的文章正文部分结束。
数值分析-第五讲：常微分方程数值解 共49页
为便于处理，通常假定
y ' ( x n 1 ) f ( x n 1 ,y ( x n 1 ) ) f ( x n 1 ,y n 1 )否则见P108
又 y(xn)，yn y'(xn)f(xn,yn)
则
11 yn1yn2h'y n2h'y n1
并记 y'(xn)yn'
第五章：常微分方程数值解
例 P106
yn 1ynh(x fn,yn)
初值问题
y'y2x/y 0x1 Bernoulli方程 y(0)1
由Bernoulli方程的求解方法可得解析解 y 12x
Euler格式为
yn1
yn
hyn
2xn yn
令 h0.1 将 x00, y01 代入Euler格式
用改进格式计算例5.1的结果见P110表5.2
第五章：常微分方程数值解
第五章：常微分方程数值解
5、两步Euler格式
一般，如果 y(xn 1)yn 1o(hp 1) 称计算格式具有 p阶精度。
已知Euler格式 yn 1ynh(x fn,yn) h2
y(xn1)yn12y''(xn)
即 yn y(xn) 讨论 y(xn1)yn1
由Taylor公式
y ( x n 1 ) y ( x n ) y ' ( x n )x n ( 1 x n ) 1 2 y ' ' ()x n ( 1 x n ) 2
y(xn)y'(xn)h1 2y''()h2
为方程的解。 一般称为方程的通解。
如果 y(0)1 则有 y x2 1
常微分方程数值解法
ρ ρ
n+1 n
≤1
三、梯形公式
由 分 径 y ( xn+1) = y ( xn) + 积 途 ： xn+1
∫
f ( x, y)dt
（
积分 梯形 式 且令：yn+1 = y( xn+1), yn = y( xn) 用 公 ， h 则 yn+1 = yn + ( f (xn , yn) + f (xn+1 , yn+1)) 得： 2
第九章 常微分方程数值解法
§1 、引言
一 常 分 程 初 问 : 阶 微 方 的 值 题 dy dx = f (x, y) y( x0) = y0
'
a ≤ x ≤b
2 y 例 : 方 程 xy -2 y = 4 x ⇒ y = + 4 x 2 y 令 ：f ( x , y ) = + 4 且 给 出 初 值 y (1 )= -3 x 就 得 到 一 阶 常 微 分 方 程 的 初 值 问 题 ： 2 y dy = f (x, y) = + 4 dx x y(1) = − 3
n n n n n 2 // n n+1
~
y
n+1
= yn + hf ( xn, yn ) = y(xn) + hf
n+1
~
y
n+1
( x , y( x ))
n n
则 T = y( x ) − = h y (ξ ) x y 2 ~
// n+1 n+1
2
n
< ξ < xn+1
令
常微分方程的数值解法
常微分方程的数值解法常微分方程是研究变量的变化率与其当前状态之间的关系的数学分支。
它在物理、工程、经济等领域有着广泛的应用。
解常微分方程的精确解往往十分困难甚至不可得，因此数值解法在实际问题中起到了重要的作用。
本文将介绍常见的常微分方程的数值解法，并比较其优缺点。
1. 欧拉方法欧拉方法是最简单的数值解法之一。
它基于近似替代的思想，将微分方程中的导数用差商近似表示。
具体步骤如下：（1）确定初始条件，即问题的初值。
（2）选择相应的步长h。
（3）根据微分方程的定义使用近似来计算下一个点的值。
欧拉方法的计算简单，但是由于误差累积，精度较低。
2. 改进欧拉方法为了提高欧拉方法的精度，改进欧拉方法应运而生。
改进欧拉方法通过使用两个点的斜率的平均值来计算下一个点的值。
具体步骤如下：（1）确定初始条件，即问题的初值。
（2）选择相应的步长h。
（3）根据微分方程的定义使用近似来计算下一个点的值。
改进欧拉方法相较于欧拉方法而言，精度更高。
3. 龙格-库塔法龙格-库塔法（Runge-Kutta）是常微分方程数值解法中最常用的方法之一。
它通过迭代逼近精确解，并在每一步中计算出多个斜率的加权平均值。
具体步骤如下：（1）确定初始条件，即问题的初值。
（2）选择相应的步长h。
（3）计算各阶导数的导数值。
（4）根据权重系数计算下一个点的值。
与欧拉方法和改进欧拉方法相比，龙格-库塔法的精度更高，但计算量也更大。
4. 亚当斯法亚当斯法（Adams）是一种多步法，它利用之前的解来近似下一个点的值。
具体步骤如下：（1）确定初始条件，即问题的初值。
（2）选择相应的步长h。
（3）通过隐式或显式的方式计算下一个点的值。
亚当斯法可以提高精度，并且比龙格-库塔法更加高效。
5. 多步法和多级法除了亚当斯法，还有其他的多步法和多级法可以用于解常微分方程。
多步法通过利用多个点的值来逼近解，从而提高精度。
而多级法则将步长进行分割，分别计算每个子问题的解，再进行组合得到整体解。
第九章常微分方程初值问题数值解法数值分析
yn1
由此只要 hL<1 上述迭代就可收敛到 y n+1
又如把积分区间改为[xn-1, xn+1]，并对右端用中矩形公式代替
积分，可得到：
y(xn1)
y ( xn1 )
2hf
(xn ,
y(xn ))
h3 3
y( )
(xn , xn1)
推出： yn1 yn1 2hf (xn , yn ) n 1,2,
对任意的 x ∈[a, b] 和任意的y1, y2 成立，则称 f (x , y)对 y 满足利普希茨(Lipschitz)条件, L称利普希茨常数. 若f ( x, y) 在 区域G连续，关于y 满足利普希茨条件，则上述一阶常微分方 程的初值问题的解存在且唯一. 我们以下的讨论，都在满足 上述条件下进行.
决定其精度的是函数 f (xn , yn). 改进成上述增量函数, 就可 提高公式的精度.
前面所得的改进的欧拉法可表示为:
yn1
yn
h[ 2
f
(xn ,
yn )
f
( xn
h, hf
(xn ,
yn ))]
增量函数
(xn ,
yn , h)
1[f 2
(xn ,
yn )
f
( xn
h,
yn
hf
(xn ,
yn ))]
由欧拉法的公式：
yn+1= yn+h f (xn ,yn)
n=0,1,2,… 20
线法. 8
欧拉隐式公式和欧拉中点公式
对(*)式的右端用右矩形公式代替积分，可得到
y(xn1)
y(xn ) hf
(xn1, y(xn1))
数值分析中的常微分方程数值求解
数值分析中的常微分方程数值求解常微分方程是自然科学中一类最为普遍的数学模型，涉及到热力学、物理、化工等多个领域。
然而，解常微分方程并非易事。
尤其是当我们面对一些复杂、非线性、多维的方程组时，常微分方程数值求解成为了一个十分关键的问题。
因此，数值求解方法成为了常微分方程研究中的重要组成部分。
本文将介绍一些数值解常微分方程的常见方法和应用。
1. 一般线性方法一般线性方法（general linear methods）是经典的常微分方程数值解法之一。
它以一种特殊的形式给出步进公式：$$ y_{n+1}=\sum_{i=0}^{s-1}\alpha_i y_{n-i}+h\sum_{i=0}^{s-1}\beta_i f(t_{n-i},y_{n-i}) $$ 其中，$y_{n}$为第$n$步的项值，$f(t_n,y_n)$为时间$t_n$处函数$y(t)$的导数。
$\alpha_i$和$\beta_i$是常数，可以通过确定如下特征方程来选择：$$ \sum_{i=0}^{s-1}\alpha_i\ lambda^{i}=0,~(\lambda\in C) $$ 与此同时，也可以通过选择$\beta_i$来使方法达到一定的准确性和稳定性。
2. Runge-Kutta方法比一般线性方法更为流行的方法是Runge-Kutta方法。
通常附加一个或多个修正以获得更好的数值稳定性和误差控制。
第1阶Runge-Kutta方法仅使用导数$f(t_n,y_n)$估算下一个项的值：$$y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n)$$ 许多高阶方法可以使用中间的“插值”来更准确地估计下一个步骤：$$y_{n+1}=y_n+h\sum_{i=1}^kb_ik_i$$$$k_i=f(t_n+c_ih,y_n+h\sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}k_j)$$ $k_i$是第$i$台车的估计值，$a_{ij}$和$b_i$在经典Runge-Kutta方法和其他变体中具有不同的取值。
数值分析第九章常微分方程数值解法
数值分析第九章常微分方程数值解法常微分方程数值解法是数值分析中非常重要的一部分内容。
常微分方程是描述自然现象中动态变化规律的数学模型，解常微分方程可以揭示系统的变化趋势和规律。
然而，大多数常微分方程是无法通过解析方法求出解的，因此需要借助计算机进行数值计算。
数值解常微分方程方法主要包括：Euler方法、改进的Euler方法、四阶Runge-Kutta方法和龙格-库塔方法。
Euler方法是最简单的方法之一，它采用的是一阶Taylor展开式。
将待求的函数值与函数的一阶导数值代入Taylor展开式中，可以得到函数值在下一个时间步长上的近似值。
Euler方法的优点是简单易于实现，但其精度不够高，容易积累误差。
改进的Euler方法是对Euler方法的改进，它通过使用中间点上的导数值来减小误差。
改进的Euler方法的精度相比Euler方法要高一些，但仍然不够高。
四阶Runge-Kutta方法是目前使用较为广泛的数值解常微分方程的方法之一、它通过计算不同时间点上的斜率来估计函数值，在多个时间点上计算斜率的平均值来提高精度。
四阶Runge-Kutta方法的精度比Euler方法和改进的Euler方法要高，但计算量也相对较大。
龙格-库塔方法是数值解常微分方程中最常用的方法之一、它是四阶Runge-Kutta方法的延伸，通过计算不同时间点上的斜率来估计函数值，然后利用这些估计值计算更准确的斜率，在不同步长上进行迭代计算，直到满足所需精度。
龙格-库塔方法的精度比四阶Runge-Kutta方法要高，但计算量也相对较大。
除了以上几种方法外，还有一些其他数值解常微分方程的方法，如Adams法、Gear法等。
这些方法在不同场景下有着不同的适用性和优劣势。
总结起来，数值解常微分方程方法是研究常微分方程数值计算中的重要内容。
不同的方法有着不同的精度和计算量，可以根据具体问题的特点选择合适的方法进行数值计算。
然而，需要注意的是，数值解只是在给定的步长下对函数的近似值，可能会引入误差。
数值分析常微分方程数值解法
（Numerical Methods for Ordinary Differential Equations ）
中心差商近似导数
y( x1 )
y( x2 ) y( x0 ) 2h
y( x2 ) y( x0 ) 2h f ( x1 , y( x1 ))
x0
x1
x2
yi1 yi1 2h f ( xi , yi ) i 1, ... , n 1
假设 yi1 y( xi1 ), yi y( xi ) ,则可以导出 Ri y( xi1 ) yi1 O(h3 ) 即中点公式具有 2 阶精度。
只要f (x, y)在a,b R1上连续, 且关于 y 满足
Lipschitz 条件，即存在与 x, y无关的常数 L 使 | f (x, y1) f (x, y2 ) | L | y1 y2 |
对任意定义在 a,b上的 y1 x, y2 x都成立，
则上述IVP存在唯一解。
求函数 y(x) 在一系列节点 a = x0< x1<…< xn= b 处的近似值
yi y(xi ) (i 1, ... , n)
的方法称为微分方程的数值解法。 y1,L , yn 称为微分方程的数值解。
称节点间距 hi xi1 xi (i 0, ... , n 1)为步长， 通常采用等距节点，即取 hi = h (常数)。
三、初值问题的离散化方法
离散化方法的基本特点是依照某一递推公式， 按节点从左至右的顺序依次求出y(xi )的近似 yi 值(i 1, ... , n),取 y0。
大连理工大学 高等数值分析 常微分方程数值解法-2017
i.常微分方程初值问题数值解法i.1 常微分方程差分法考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足(,), 0du f t u t T dt=<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b)其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的连续函数，0u 和T 是给定的常数。
我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-∀∈∈-∞∞ （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。
通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。
本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法-差分方法。
先来讨论最简单的Euler 法。
为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点：0110N N t t t t T -=<<<<= （i.3） 其中n t hn =，0h >称为步长。
在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。
反过来，差商就是微商的近似。
在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到1000(,)u u hf t u -=一般地，我们有1Euler (,), 0,1,,1n n n n u u hf t u n N +=+=-方法： （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t 上的差分解1,,N u u 。
下面我们用数值积分法重新导出 Euler 法以及其它几种方法。
为此，在区间1[,]n n t t +上积分常微分方程（i.1a ），得11()()(,())n n t n n t u t u t f t u t dt ++=+⎰ （i.5）用各种数值积分公式计算（i.5）中的积分，便导致各种不同的差分法。
常微分方程数值解法
常微分方程数值解法常微分方程是研究函数的导数与自变量之间的关系的数学分支，广泛应用于物理、工程、生物等领域的建模与分析。
在实际问题中，我们常常遇到无法通过解析方法求得精确解的常微分方程，因此需要利用数值解法进行求解。
本文将介绍几种常用的常微分方程数值解法。
一、欧拉方法(Euler's Method)欧拉方法是最基本的数值解法之一。
它的思想是将微分方程转化为差分方程，通过逐步逼近解的方式求得数值解。
具体步骤如下：1. 将微分方程转化为差分方程：根据微分方程的定义，可以得到差分方程形式。
2. 选择步长：将自变量范围进行离散化，确定步长h。
3. 迭代计算：根据差分方程递推公式，利用前一步的数值解计算后一步的数值解。
二、改进的欧拉方法(Improved Euler's Method)改进的欧拉方法通过使用欧拉方法中的斜率来进行更准确的数值计算。
具体步骤如下：1. 计算欧拉方法的斜率：根据当前节点的数值解计算斜率。
2. 根据斜率计算改进的数值解：将得到的斜率代入欧拉方法的递推公式中，计算改进的数值解。
三、龙格-库塔方法(Runge-Kutta Method)龙格-库塔方法是一类常微分方程数值解法，其中最著名的是四阶龙格-库塔方法。
它通过计算各阶导数的加权平均值来逼近解，在精度和稳定性方面相对较高。
具体步骤如下：1. 计算每一步的斜率：根据当前节点的数值解计算每一步的斜率。
2. 计算权重：根据斜率计算各个权重。
3. 计算下一步的数值解：根据计算得到的权重，将其代入龙格-库塔方法的递推公式中，计算下一步的数值解。
四、多步法(多步差分法)多步法是需要利用多个前面节点的数值解来计算当前节点的数值解的数值方法。
常见的多步法有Adams-Bashforth法和Adams-Moulton法。
具体步骤如下：1. 选择初始值：根据差分方程的初始条件，确定初始值。
2. 迭代计算：根据递推公式，利用前面节点的数值解计算当前节点的数值解。
常微分方程的数值解法分析解析
第八章 常微分方程的数值解法一．内容要点考虑一阶常微分方程初值问题:⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy微分方程的数值解：设微分方程的解y (x )的存在区间是[a,b ]，在[a,b ]内取一系列节点a= x 0< x 1<…< x n =b ,其中h k =x k+1-x k ；(一般采用等距节点，h=(b-a)/n 称为步长)。
在每个节点x k 求解函数y(x)的近似值:y k ≈y(x k )，这样y 0 , y 1 ,...,y n 称为微分方程的数值解。
用数值方法，求得f(x k )的近似值y k ，再用插值或拟合方法就求得y(x)的近似函数。
(一)常微分方程处置问题解得存在唯一性定理对于常微分方程初值问题:⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy如果：(1) 在B y y A x x 00≤-≤≤,的矩形内),(y x f 是一个二元连续函数。
(2) ),(y x f 对于y 满足利普希茨条件，即2121y y L y x f y x f -≤-),(),(则在C x x 0≤≤上方程⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy的解存在且唯一，这里C=min((A-x 0),x 0+B/L),L 是利普希茨常数。
定义：任何一个一步方法可以写为),,(h y x h y y k k k 1k Φ+=+，其中),,(h y x k k Φ称为算法的增量函数。
收敛性定理：若一步方法满足： (1)是p 解的.(2) 增量函数),,(h y x k k Φ对于y 满足利普希茨条件.(3) 初始值y 0是精确的。
则),()()(p h O x y kh y =-kh =x -x 0,也就是有0x y y lim k x x kh 0h 0=--=→)((一)、主要算法 1．局部截断误差局部截断误差：当y(x k )是精确解时，由y(x k )按照数值方法计算出来的1~+k y 的误差y (x k+1)- 1~+k y 称为局部截断误差。
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欧拉法具有 1 阶精度。
例1: 用欧拉公式求解初值问题
y 2xy2 （0 x 1.2）
y
0
1
取步长 h 0.1。
解: 应用Euler公式于题给初值问题的具体形式为：
yi1 yi 2hxi yi2 i 0,1,...,11
y
0
1
其中 xi 0。.1i 计算结果列于下表：
i
xi
L 0 s.t. f (x, y1) f (x, y2 ) L y1 y2 ,
x [a, b], y1, y2 [ y(x) , y(x) ]
二、初值问题解的存在唯一性
考虑一阶常微分方程的初值问题 /* Initial-Value Problem */:
dy f ( x, y) x [a, b] dx y(a) y0
定义 若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该 算法有p 阶精度。
欧拉法的R局i 的部主截项断误差：
/* leading term */
Ri
y(xi1)
yi1
[ y(xi ) hy(xi )
h2 2
y(xi ) O(h3)][ yi
hf (xi ,
yi )]
h2 2
y( xi ) O(h3 )
yi y(xi ) (i 1, ... , n)
的方法称为微分方程的数值解法。 y1,L , yn 称为微分方程的数值解。
称节点间距 hi xi1 xi (i 0, ... , n 1)为步长， 通常采用等距节点，即取 hi = h (常数)。
三、初值问题的离散化方法
离散化方法的基本特点是依照某一递推公式， 按节点从左至右的顺序依次求出y(xi )的近似 yi 值(i 1, ... , n),取 y0。
常微分方程的数值解法分为 （1）初值问题的数值解法 （2）边值问题的数值解法
一、初值问题的数值解法
1、一阶常微分方程初值问题的一般形式
y f (x, y), a x b
y(a)
y0
(1)
2. 迭代格式的构造
(1) 构造思想：将连续的微分方程及初值条件离散为线性方程 组加以求解。由于离散化的出发点不同，产生出各种不同的数 值方法。基本方法有：有限差分法（数值微分）、有限体积法 （数值积分）、有限元法（函数插值）等等。
洛伦兹方程是大气流体动力学模型的一个简化的常微分方程组：
dx dt
x
y
dy
dt
rx
y
xz
dz dt
bz
xy
该方程组来源于模拟大气对流，该模型除了在天气预报中有显 著的应用之外，还可以用于研究空气污染和全球侯变化。洛伦 兹借助于这个模型，将大气流体运动பைடு நூலகம்强度x与水平和垂直方
向的温度变化y和z联系了起来。参数 称为普兰特数，r是规范 化的瑞利数，b 和几何形状相关。洛伦兹方程是非线性方程组，
(2) 一般构造方法： 离散点函数值集合 + 线性组合结构 → 近似公式
3. 微分方程的数值解法需要解决的主要问题
(1) 如何将微分方程离散化，并建立求其数值解的迭代公式？ (2) 如何估计迭代公式的局部截断误差与整体误差？ (3) 如何保证迭代公式的稳定性与收敛性?
4、相关定义
记 D {(x, y) a x b, y(x) y y(x) } 称 f (x, y)在区域D上对 y 满足Lipschitz条件是指:
x0
x1
记为
y( x1 ) y( x0 ) hy( x0 ) y0 h f ( x0 , y0 )
y1
亦称为欧拉折线法
/* Euler’s polygonal arc method*/
yi1 yi h f (xi , yi ) (i 0, ... , n 1)
定义 在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提 下，考虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部截断 误差 /* local truncation error */。
yi
y xi
1
0.1 1.000000 0.990099
2
0.2 0.980000 0.961538
3
0.3 0.941584 0.917431
如果计算 y，i1只用到前一步的值 ，y则i 称这类方
法为如单果步计方算法yi。1需用到前r步的值yi, yi1,L , yir1
,则称这类方法为r步方法。
§2 欧拉方法 /* Euler’s Method */
➢ 欧拉公式(单步显示公式）：
向前差商近似导数
y( x0 )
y( x1 ) h
y( x0 )
（Numerical Methods for Ordinary Differential Equations ）
问题驱动：蝴蝶效应 洛伦兹吸引子(Lorenz attractor)是由MIT大学的气象学家E dward Lorenz在1963年给出的，他给出第一个混沌现象——蝴 蝶效应。
图10.1.1蝴蝶效应示意图
无法求出解析解，必须使用数值方法求解上述微分方程组。洛
伦兹用数值解绘制结果图10.1.1，并发现了混沌现象。
§1 引 言
微分方程数值解一般可分为：常微分方程数值解和偏微分 方程数值解。自然界与工程技术中的许多现象，其数学表达式 可归结为常微分方程（组）的定解问题。一些偏微分方程问题 也可以转化为常微分方程问题来（近似）求解。Newton最早采 用数学方法研究二体问题，其中需要求解的运动方程就是常微 分方程。许多著名的数学家，如 Bernoulli（家族），Euler、 Gauss、Lagrange和Laplace等，都遵循历史传统，研究重要 的力学问题的数学模型，在这些问题中，许多是常微分方程的 求解。作为科学史上的一段佳话，海王星的发现就是通过对常 微分方程的近似计算得到的。本章主要介绍常微分方程数值解 的若干方法。
只要f (x, y)在a,b R1上连续, 且关于 y 满足
Lipschitz 条件，即存在与 x, y无关的常数 L 使 | f (x, y1) f (x, y2 ) | L | y1 y2 |
对任意定义在 a,b上的 y1 x, y2 x都成立，
则上述IVP存在唯一解。
求函数 y(x) 在一系列节点 a = x0< x1<…< xn= b 处的近似值