向量组线性相关性的判定方法开题报告
向量组的线性相关性与向量空间问题1判别向量是否可以用向量组
例：已知［二向量组的线性相关性与向量空间问题1：判别向量：是否可以用向量组线性表示的两种方法?举例说明:这一组系数 k i ,k 2*3,k 4，可以有--k i ： i k 「2 k 3： 3 心 4，( 1)即，：是否可以用：',「2, >3, >4的线性组合表示出来。
程组是否有解的问题，如果这个线性方程组有唯一解，贝表示方式唯一。
因此，求解向量［是否可以用向量组「zdlllls 线性表示的两种方法: 假设向量都是列向量： 法一：构造 A -：，2 川：J ，I 无解=不能线性表示； 求解Ax 二1的线性方程组有唯一解=唯一表示; .无穷多解二表示不唯一法二：构造 A 」.>2 IH ：J ，1： 1>2III 〉s ，r(A) =r(A)=不能线性表示；求r(A) ,r (A) <r(A)=r(A)= n(向量的维度)n 唯一表示;r(A)二r(A) ：：： n(向量的维度)=表示不唯-当向量是行向量时，将之转化为求转置即可由定义可知，向量「1【 2由(1)式，得到; 就转化为上述线性方问题2:求所有如下列形式的向量合的一组基—a -2b +5c --21'512a +5b —8c2 a + 5 b + -8—a - 4b + 7 c-17 3a + b + c13 _1 1 一1 一I 1所以，构成集合的一组基为:_1 125 _1 J-4 二一1 一 这两种方法实质都是通过判断方程组解的情况判断线性表示的问题。
答：这类问题实质上就是求向量组的极大无关组的问题 a -2b 5c 1-2 52a +5b -8c2E5 -8—a +b +—a —4b +7c-1-4 7 -3a +b +c -13 _ 1 1 一 1 J : 1一求向量组的极大无关组,由此，看出，第一列和第二列构成一个最大无关组,问题3:区别向量组等价和矩阵等价。
答：向量组的等价是指向量组之间可以相互表示；而矩阵等价是指一个矩阵通过初等变换可以得到另外一个矩阵。
线性相关性：如何判断向量组是否线性相关及其应用
线性相关性：如何判断向量组是否线性相关及其应用线性相关性：如何判断向量组是否线性相关及其应用2023年，随着科技的不断发展，线性代数在各行各业中的应用不断扩展，尤其是在数据科学、机器学习和人工智能领域中。
而线性相关性作为线性代数中的一个重要概念，在这些领域中也得到了广泛应用。
本文将重点讨论线性相关性的概念、判断方法和应用，以帮助读者更好地理解和使用线性相关性。
一、概念线性相关性是指向量组中存在线性关系，即其中至少存在一个向量可以表示为其它向量的线性组合的形式，或者说存在一个向量可以由其它向量线性表示。
具体地，对于向量组$V={\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\cdots,\mathbf{v_n}}$，若存在一个非零向量$\mathbf{v}$，满足$\mathbf{v}=\sum\limits_{i=1}^n c_i\mathbf{v_i}$，其中$c_i$为任意实数，则称向量组$V$是线性相关的，否则称其线性无关。
二、判断方法下面介绍两种判断向量组线性相关的方法，分别为行列式法和向量空间法。
1.行列式法行列式法是最常用的判断向量组线性相关的方法，其基本思想是求出向量组的行列式，如果其值为0，则向量组线性相关，否则其线性无关。
具体地，对于向量组$V={\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\cdots,\mathbf{v_n}}$，可以将其写成矩阵形式，即：$$ A=\begin{bmatrix} v_{11}&v_{12}&\cdots&v_{1n}\\v_{21}&v_{22}&\cdots&v_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ v_{n1}&v_{n2}&\cdots&v_{nn} \end{bmatrix} $$然后求出其行列式$|A|$，若$|A|=0$，则向量组$V$是线性相关的，否则其线性无关。
2-2向量组线性相关性
α 4能由 α 1 , α 2 , α 3线性表示， α 3不能由 α 1 , α 2 , α 4 线性表示。
2 向量组的秩
深化向量组线性相关性的概念, 深化向量组线性相关性的概念, 建立向量组秩的概念 等价向量组 定义
设
( I) α 1 , α 2 ,⋯ , α s
(II) β1 , β 2 ,⋯ , β t
另证
I能由 II线性表示 , 又由例1知 II能 由 I线性表示 ,
故 I和 II 等价 .
∴ 秩 (II) = 秩 (I) = n
∴ n 个向量 α 1 , ⋯ , α n 线性无关 .
3.用初等行变换求秩、极大无关组和线性表示 3.用初等行变换求秩、极大无关组和线性表示
一揽子方法 回忆 阶梯阵： 1. 非零行线性无关 ;
∵ α 1 , α 2 , α 3 线性无关 ,
2 ∴ 0 1 3 5 − 1 − 1 x = 0 1 3
2 3 5 1 1 3 1 1 3 A = 0 − 1 − 1 → 0 - 1 - 1 → 0 1 1 ⇒ x = 0 1 1 3 0 1 - 1 0 0 − 2
线性相关 .
由定义 , n维向量组 α1 ,⋯ , α s 线性相(无 )关 ⇔ n × s齐次方程组 x1α1 + ⋯ + xsα s = 0有非零解 ( 只有零解 ).
例1 证明 n阶单位矩阵 I 的 n 个列向量 e1 , e2 , ⋯ , en 线性 无关，并且任一维向量都能由 e1 , e2 , ⋯ , en 线性表示.
证
由观察知:
α1 = −2β1 + β 2 , α 2 = − β1 + β 2 , α 3 = −3β1 + 2β 2 . β1 = −α1 + α 2 , β 2 = 3α 2 − α 3 (或 β1 = 2α 2 − α 3 , β 2 = 2α 3 − 3α1等)
一个向量组线性相关的判定方法
交流Experience ExchangeDI G I T C W 经验262DIGITCW2019.05定义：给定一个向量组I ，若存在m 个不全为零的数，使得成立，则称向量组线性相关。
否则，称向量组线性无关。
等价定义：若向量组I 中至少有一个向量能由其余的向量线性表出，则该向量组线性相关。
给出任意一个向量组，判断其线性相关性，有以下几种判定方法：（1）包含零向量的向量组必线性相关。
若，则有，所以向量组线性相关。
（2）只含有一个向量的向量组线性相关该向量是零向量。
“”若，有，所以α线性相关。
“”若线性相关，则存在，使得，得到。
（3）含有两个向量的向量组线性相关它们的对应分量成比例。
“”若线性相关，存在不全为零的数，使得成立。
假设，则有，故对应分量成比例。
“”若对应分量成比例，一定存在数，使得或者，则有线性相关。
例1：对应分量不成比例，所以向量组线性无关。
（4）单位向量组必线性无关。
由于，有，所以单位向量组线性无关。
（5）向量组的向量个数>向量维数，必线性相关。
任意一个向量都可以由单位向量线性表出，即有下，又因为单位向量组是线性无关的，由等价定义可得，该向量组必线性相关。
判断一个向量组是否线性相关等价于判断一个齐次线性方程组是否有非零解，令向量组中向量的维数等于方程的个数，向量的个数等于方程中未知量的个数，即可构成一个齐次线性方程组。
例2：讨论的线性相关性。
解：由向量方程，可以得到齐次线性方程组由于齐次线性方程组系数矩阵A 的秩，故该齐次线性方程组有非零解，即不全为零，所以向量组线性相关。
（6）向量组的向量个数 向量维数时，判断对应的齐次线性方程组是否有非零解，只需要根据其系数行列式和系数矩阵来判定即可，故有以下两种判定方法：方法一：以各向量为列向量组成行列式D ，方法二：以各向量为列向量组成矩阵A ，进行初等行变换，化为行阶梯形矩阵，例3：讨论向量组，，的线性相关性。
解：由向量方程，可以得到齐次线性方程组所以向量组线性相关。
3.3 向量组的线性相关性
~ ~ (a1, a2, a3) 111
0 2 5
742
r
100
0 2 5
522
r
100
0 2 0
022
可见r(a1 a2 a3)2< 3 r(a1 a2)2 故向量组a1 a2 a3线性相关 向量组a1 a2线性无关.
n个 n维向量a1 a2 an线性相关｜a1 a2 an｜＝０； n个 n维向量a1 a2 an线性无关｜a1 a2 an｜≠０.
上页 下页 返回
二 、线性相关性的判定
定理3.1 向量组A a1 a2 am(m2)线性相关 向量组A中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示.
上页 下页 返回
向量组a1 a2 am线性无关r(a1 a2 am)m. n维单位坐标向量组e1 e2 en是线性无关的.
例3.2 已知
a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T 试讨论向量组a1 a2 a3及向量组a1 a2的线性相关性.
不妨设k10 于是 a1(1/k1)(k2a2 kmam)
即a1能由a2 am线性表示.
上页 下页 返回
二 、线性相关性的判定
定理3.1 向量组A a1 a2 am(m2)线性相关 向量组A中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示.
证 充分性
上页 下页 返回
例3.3 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3
b3a3a1 试讨论向量组b1 b2 b3线性相关性.
证
由于此方程组的系数行
设有x1 x2 x3使 x1b1x2b2x3b30
3.3判别向量组线性相关性的几种方法
判别向量组线性相关性的几种方法方法1 依据下面的结论来判断向量组的线性相关性1）含零向量的向量组一定线性相关2）对应分量成比例的两个向量一定线性相关3）向量组中的某个向量可由其余向量线性表示的一定线性相关4）相关组增加向量仍相关，无关组减少向量仍无关5）无关组添加分量仍无关，相关组减少分量仍相关6）向量组的个数大于向量维数的必线性相关22211=,=1211=1,=223⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭γγββ11线性无关，则仍线性无关22312=1,=21212-1=1,=2=0126⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααααα11线性相关，则，仍线性相关232312-1=1,=2=020126⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααααα 11，线性相关,234120-1=1,=0,=0,=31215⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα1线性相关（个数大于维数）方法2 利用向量组线性相关性的定义转化为齐次线性方程组的求解212122122,,,,,...,,,,,=n n n n n nk k k k k k k k k +++⎛⎫ ⎪⎪⇔⇔= ⎪ ⎪⎝⎭ααααααOαααO AK O 111已知列向量组， 设有使得=（）齐次线性方程组22,,,,,,n n =⇔=⇔=AK O αααAK O αααAK O 11可利用初等行变换求解齐次线性方程组线性无关只有零解线性相关有非零解例1234213344223344,,,+,+,-,+(2)+,+,,+-αααααααααααααααααααα11111已知向量组线性无关，判断下列向量组的线性相关性（1）122233344414122233344(2)(+)(+)()()()()()()k k k k k k k k k k k k ++++-=-++++++=ααααααααOααααO111设213344+-1++1-+1+=⨯⨯⨯⨯ααααααααO11解(1)0（）（）（）（）所以该向量组线性相关234,,,αααα1已知向量组线性无关，有14121234233400000k k k k k k k k k k k k -=⎧⎪+=⎪⇒====⎨+=⎪⎪+=⎩所以线性无关方法3 利用矩阵的秩判断向量组的线性相关性122,,,m n ij m n nm a ⨯⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ββA αααβ 1矩阵=()=()=22,,, ,,,=n n ⇔⇔αααA αααA 11向量组线性相关R （）< n 向量组线性无关R （） n22,,,,,,=m m ⇔⇔βββA βββA 11向量组线性相关R （）< m 向量组线性无关R （） m例223()3=,,,R =∴A ααα 1向量的个数线性无关23112011201120312504-4504-45201102-310023---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦→→αA αα初等初等1变换变换解 利用初等变换求向量组的秩令=()()()23=1-120,=3125,=2011ααα1判断线性相关性方法4 利用向量组的秩判断线性相关性2222(,,,,,,(,,,,,,n n n n R R ⇔⇔αααααααααααα 1111)< n 线性相关)= n 线性无关22=()(,,,T T n T n R R ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ααB B αααα 11 或 , 则)22(,,,),()(,,,n n R R ==A αααA ααα 11令则),2(,,,n R ααα 1) 因此，将(矩阵的秩等于行（列）向量组)转化为的秩矩阵求秩方法5 利用初等变换判断向量组的线性相关性1）初等行变换不改变矩阵列向量组的线性相关性2）初等列变换不改变矩阵行向量组的线性相关性2323,,,,16-3=0=2a a ∴⇔βββγγγB 11线性无关，线性无关R()=3，即，[]23123102102102210-3006-3=31001-601-611301100-5()a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦=→→A βββB B γγγ初等初等变换变1行行换令=，，2310221=,=,=3101-13a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭βββ1已知向量组线性无关，求例3解思考题：下面的结论是否正确• 1.线性无关组增加向量仍然线性无关答案：不正确• 2.求向量组的秩时只能用初等行变换答案：不正确THANKS。
证明向量组线性相关性的方法
收稿日期:2002-03-22作者简介:栾召平,济宁广播电视大学教学处教师。
证明向量组线性相关性的几种方法栾召平(济宁广播电视大学,山东 济宁 272000) 摘 要:向量组线性相关性概念较抽象,等价命题多而易混,使“证明问题”成为教与学的难点。
抓住关键,突出重点,归纳出证明向量组线性相关性问题的几种方法,可以解决其难点。
关键词:向量组;线性相关;线性无关中图分类号:O151·2 文献标识码:A 文章编号:1008-3340(2002)02-00 一、定义法定义法就是紧扣下面定义进行分析、论证定义:设向量组α1,α2,……αs ,(S ≥1),若数域R 中存在不全为零的数k 1,k 2……,k s ,使k 1α1+k 2α2+……+k s αs =0,则称向量组α1,α2,……,αs 线性相关:否则,就称向量组α1,α2,……,αs 线性无关。
在等价定义中,要理解定义的内涵和外延。
现举例说明如下:例1:证明:α1+α2,α2+α3,α1+α3线性无关的充分必要条件是α1,α2,α3线性无关。
证:充分性,若k 1(α1+α2)+k 2(α2+α3)+k 3(α1+α3)=0即:(k 1+k 3)α1+(k 1+k 2)α2+(k 2+k 3)α3=0而由α1,α2,α3线性无关的条件,必有k 1+k 3=0k 1+k 2=0k 2+k 3=0易知上齐次线性方程只有唯一零解:k 1=k 2=k 3=0,所以α1+α2,α2+α3,α1+α3线性无关。
必要性(反证法)假设α1,α2,α3线性相关,存在不全为零的数x 1,x 2,x 3使x 1α1+x 2α2+x 3α3=0,令k 1+k 3=x 1k 1+k 2=x 2k 2+k 3=x 3易知上非齐次线性方程组有解k 1,k 2,k 3且不全为零。
于是k 1(α1+α2)+k 2(α2+α3)+k 3(α1+α3)=0即(k 1+k 3)α1+(k 1+k 2)α2+(k 2+k 3)α3=0这与α1+α2,α2+α3,α1+α3线性无关的条件矛盾。
判定向量组线性相关性的若干方法
判定向量组线性相关性的若干方法作者：张沛华来源：《教育教学论坛》2013年第19期摘要：向量组线性相关性的判定是线性代数中的一类重要问题，方法多而灵活，本文介绍介绍了判定向量组线性相关性的一些常用的方法。
关键词：向量组；线性相关性；判定中图分类号：G718.5 文献标志码：B 文章编号：1674-9324（2013）19-0167-02向量组线性相关性的判定通常有定义法、相关定理或结论、初等变换法（求秩法）、行列式法等，对于具体题目，有如下方法。
一、对向量坐标已知的向量组设向量组为α1=[a11，a12，…，a1n，]，α2=[a21，a22，…，a2n，]，……αs=[as1，as2，…，asn].要判断其相关性，分以下两种情形：1.当向量个数=向量维数，即s=n时，设A=[α1，α2，…，αs]T.（1）行列式法计算|A|，若|A|=0，则向量组α1，α2，…，αs线性相关；若|A|≠0，则向量组α1，α2，…，αs线性无关。
（2）初等变换法（求秩法）将向量α1，α2，…，αs组排成矩阵A，即A=[α1，α2，…，αs]T（若αi是列向量时，将其排成列，构成矩阵A，即A=[α1，α2，…，αs]），再求矩阵A的秩.具体地，若R（A）以上情形很简单，不再举例。
2.当向量个数向量维数，即s≠n时，只须初等变换法（求秩法）即可。
例1 判断下列向量组是否线性相关。
（1）α1=[2，0，0]，α2=[0，2，1]，α3=[1，1，1]，α4=[-1，2，0]（2）β1=[1，2，-1，0]，β2=[2，-3，1，3]，β3=[4，1，-1，7].解：（1）A= 2 0 0 0 2 1 1 1 1-1 2 0→1 0 00 1 10 0 10 0 0，可见R（A）=3所以，向量组α1，α2，α3，α4线性相关。
（2）B=1 2 -1 22 -3 1 34 1 -1 7→1 2 -1 20 1 -3/7 3/70 0 0 0，可见R（B）=2所以，向量组β1，β2，β3线性相关。
判断向量组线性相关的方法
判断向量组线性相关的方法
判断向量组线性相关的方法有:
1. 行列式判断法：将向量按列排成矩阵A，计算矩阵A的行
列式值det(A)，若det(A)=0，则向量组线性相关；若det(A)≠0，则向量组线性无关。
2. 线性组合法：对向量组中的向量进行线性组合，若存在不全为零的系数使得线性组合等于零向量，则向量组线性相关；若只有全为零的系数才能使线性组合等于零向量，则向量组线性无关。
3. 列向量线性相关性判断法：将向量排成矩阵A，对矩阵A
进行行变换，化为梯形矩阵或行简化阶梯形矩阵。
在梯形矩阵或行简化阶梯形矩阵中，如果存在一个主元所在的列，列中存在非零元素，则向量组线性相关；如果不存在这样的列，则向量组线性无关。
4. 秩判断法：将向量组按列排成矩阵A，计算矩阵A的秩
rank(A)，如果rank(A)小于向量的个数，则向量组线性相关；
如果rank(A)等于向量的个数，则向量组线性无关。
线性代数-向量组的线性相关性
下面举例说明定理的应用.
例１ n 维向量组
e1 = (1,0,,0)T ,e2 = (0,1,,0)T ,，en = (0,0,,1)T
称为n维单位坐标向量组 ,讨论其线性相关性 .
解 n维单位坐标向量组构成 的矩阵 E = (e1, e2 ,, en )
是n阶单位矩阵. 由 E = 1 ≠ 0，知R(E) = n. 即R(E)等于向量组中向量个数 ，故由定理2知此 向量组是线性无关的 .
亦即（ x1 + x3 )α1 + ( x1 + x2 )α 2 + ( x2 + x3 )α 3 = 0,
因α1，α 2，α 3线性无关，故有
x1 + x3 = 0, x1 + x2 = 0,
x2 + x3 = 0.
由于此方程组的系数行 列式 1 01 1 1 0 =2≠0 011
故方程组只有零解 x1 = x2 = x3 = 0，所以向量组 b1 ,b2 ,b3线性无关.
A线性表示 , 且表示式是唯一的 .
(1) 若向量组 A：α1,α2 ,,αm 线性相关,则 向量组 B :α1,,α m ,α m+1 也线性相关.反言之,若向
量组B 线性无关,则向量组A也线性无关 .
证明 （1）记A = (a1,, am ), B = (a1,, am , am+1 )，有 R(B) ≤ R( A) + 1.若向量组A线性相关,则根据定理 2，有R( A) < m，从而R(B) ≤ R( A) + 1 < m + 1,因此, 根据定理 2知向量组 B线性相关 .
说明 结论（2）是对增加一个分量（ 即维数增加1 维）而言的，若增加多 个分量,结论也成立.
线性相关判断方法总结
线性相关判断方法总结线性相关是线性代数中一个非常重要的概念，它指的是向量空间中的向量之间存在一定的线性关系。
线性相关性的判断对于矩阵的求解、方程组的解法、以及向量空间的性质等方面都有着重要的意义。
在实际应用中，我们经常需要对向量的线性相关性进行判断，因此掌握线性相关判断方法是非常重要的。
一、向量的线性相关性定义。
在向量空间V中，如果存在一组不全为0的实数k1、k2、…、kn，使得。
k1a1 + k2a2 + … + knan = 0。
其中a1、a2、…、an为向量，则称向量a1、a2、…、an线性相关。
二、线性相关判断方法总结。
1. 行列式法。
对于向量组A={a1, a2, …, an}，构造矩阵M=[a1, a2, …, an]，计算M的行列式值，如果行列式值不为0，则向量组A线性无关，否则线性相关。
2. 向量组的线性表示。
判断向量组A={a1, a2, …, an}是否线性相关，可以将向量组中的向量表示为线性组合，然后判断线性组合的系数是否存在非零解。
如果存在非零解，则向量组线性相关，否则线性无关。
3. 矩阵的秩。
将向量组A={a1, a2, …, an}构成的矩阵M的秩与向量的个数进行比较，如果秩小于向量的个数，则向量组线性相关，否则线性无关。
4. 线性方程组。
将向量组A={a1, a2, …, an}构成的线性方程组Ax=0进行求解，如果方程组有非零解，则向量组线性相关，否则线性无关。
5. 内积法。
对于向量组A={a1, a2, …, an}，计算任意两个向量的内积，如果存在内积为0的向量对，则向量组线性相关，否则线性无关。
三、线性相关判断方法的应用。
线性相关判断方法在实际问题中有着广泛的应用，例如在经济学、工程学、物理学等领域中都能够看到相关的应用。
在数据分析中，线性相关性的判断可以帮助我们理解变量之间的关系，进而进行合理的数据处理和分析。
在机器学习领域，线性相关性的判断也是非常重要的，它可以帮助我们筛选出对模型训练有意义的特征变量，提高模型的预测准确性。
4向量组的线性相关性
ｎ维向量写成一行，称为行矩阵，也就是行向量，
ｎ维向量写成一列，称为列矩阵，也就是列向量，
a1
如：
a2
an
3
2、几种特殊向量 1、元素是实数的向量称为实向量（Real Vector）.
元素是复数的向量称为复向量（Complex Vector）. 2、元素全为零的向量称为零向量（Null Vector）. 3、维数相同的列（行）向量同型. 4、对应分量相等的向量相等.
6
三维向量的全体所组成 的集合 R3 { r ( x , y , z )T x, y, z R }
叫做三维向量空间. n 维向量的全体所组成的 集合
Rn { X ( x1 , x2 , L , xn )T x1 , x2 , L , xn R } 叫做 n 维向量空间 .
7
三、应用举例
向量维数 方程的个数
16
例1.设1 (1, 2, 3, 4, 3)T ,2 (1, 2, 0, 5,1)T ,
3 (2, 4, 3, 19, 6)T ,4 (3, 6, 3, 24, 7)T
试判断1,2 ,3 ,4的线性相关性.
解 : 设k11 k22 k33 k44 0
k1 k2 2k3 3k4 0
推论:设1,2 , ...,s (s 2)是由非零向量组成的 向量组,若每个向量i (2 i s)都不是它 前面向量的线性组合,则1 ,2 , ...,s
线性无关.
从向量组中找尽量多的线性无关向量
21
例2
已知
1 0 2
a1 1,a2 2 ,a3 4 ,
1 5
7
试讨论向量组a1 , a2 , a3 及向量组a1 , a2 的线性 相关性 .
浅谈向量组线性相关性的几种判定
浅谈向量组线性相关性的几种判定发布时间：2021-05-13T10:13:22.537Z 来源：《时代教育》2021年4期作者：李一帆张萌[导读] 向量线性相关性是《线性代数》中的重要内容。
所包含的定理、证明，常用结论在本书的难点中涉猎应用诸多李一帆张萌山东协和学院山东济南邮编 250200摘要：向量线性相关性是《线性代数》中的重要内容。
所包含的定理、证明，常用结论在本书的难点中涉猎应用诸多。
通过利用定义、矩阵的秩、行列式的值、齐次线性方程组的解等知识，归纳出六种向量组线性相关性的判定方法。
关键词：线性相关；线性无关；向量组；判定方法向量组的线性相关性是向量组之间线性相关或线性无关的统称。
方程组的线性相关与线性无关是对立的，掌握其一者的满足条件全部取反，则可得另一者。
若干向量组之间的线性相关性可应用于多种向量组的相关知识，例如最大无关组、向量组的秩、线性方程组的解的结构、过渡矩阵等。
一、向量组线性相关性的引出和概念1.线性相关若向量组所包含向量个数等于分量个数时，判定向量组是否线性相关即是判定这些向量为列组成的行列式是否为零。
2.线性无关二、关于向量组线性相关性的几种判定1. 定义法2.矩阵秩法此方法本质是，将所要求的向量组合成一个矩阵，然后利用矩阵的加减乘除规则，进行初等变换，变换成行阶梯型矩阵，然后得出组合矩阵的秩，将向量组矩阵的秩与向量个数进行比较，若向量组矩阵的秩>向量个数，则向量之间线性相关，反之，向量之间线性无关，即列满秩,得出向量组线性无关。
如上例1.的第三种证法：把已知条件合写成3.行列式值法三、结语以上从向量组线性相关的概念引出、定义等，具体给出两个大方面。
介绍了向量组线性相关性的本质，详细地证明阐述了六种判定向量组线性相关性的方法。
由此可见，如果向量组线性相关性的判定是非常灵活的，且判断向量组线性相关性是较为规范化的，总可以使用方程组的解，矩阵的秩和行列式的值的方法来判断。
线性代数__2[1].2向量组的线性相关性
![线性代数__2[1].2向量组的线性相关性](https://img.taocdn.com/s3/m/b9fe1714a2161479171128c3.png)
由 1 2 m
=O 即： (k 2 k m )1 (k1 k3 k m ) 2 (k1 k m1 ) m = O k2 km 0 0 1 1 k k k 0 1 3 m 系数行 1 0 1 ( m 1)(1) m 1 0 列式为 (m 1) k1 k m1 0 1 1 0
将向量方程转化为关于k1,k2,…,kn的 以
1 , 2 , , m 为系数列向量 的齐次线性方程组求解
向量组 1 , 2 , , m 线性无关
当系数行列式不等于0时，即只有零解：
当且仅当系数行列式=0，即有非零解时， 向量组 1 , 2 , , m 线性相关
0
a11 k1 a12 k 2 a 21 k1 a 22 k 2 a k a k m1 1 m2 2
a1n k n
0
例1：讨论1 (1,2,1), 2 (2,3,1), 3 (4,1,1)的相关性。
解： 设 k11 k 2 2 k3 3 O k1 2k 2 4k 3 0 2k1 3k 2 k3 0
故
k1 k 2 k 3 0 系数行列式为 1 2 4
至少有一个向量可由其余m 1各向量线性表示。
证："" 若向量组1， 2， ， m (m 2)线性相关，则一定存
k11 k 2 2 k m m 0 km k2 不妨设k1 0，于是有： 1 2 m k1 k1
在一组不全为零的数k1，k 2， ，k m , 使
至少有两个向量相同的 任何向量线性相关。 任何一个非零向量一定 线性 无关。
3_2_2向量组线性相关性的判定内容
向量组线性相关按定义方式的判定：向量组s ααα,,,21L 线性相关的充要条件是：存在一组不全为零的数s k k k ,,,21L 使1122s s k k k o ααα+++=L ．向量组线性无关按定义方式的判定：向量组s ααα,,,21L 线性无关的充要条件是：对于任意一组数s k k k ,,,21L 只要1122s s k k k o ααα+++=L ，则必021====s k k k L ．对于一个向量线性关系的判定：一个向量α线性相关o α⇔=；一个向量α线性无关o α⇔≠．命题3. 1：若向量组有一个部分组线性相关，则它线性相关．证明：不妨设s r αααα,,,,,21L L 的部分组r ααα,,,21L 线性相关，由定义，有不全为零的数r k k k ,,,21L 使 1122r r k k k o ααα+++=L ．于是有1122100r r r s k k k o ααααα+++++++=L L而0,,0,,,,21L L r k k k 仍是一组不全为零的数，故12,,,s αααL 线性相关． □ 推论：(1) 含有零向量的向量组必线性相关；(2) 线性无关向量组的任一部分组也线性无关．定理 3. 2 向量组s ααα,,,21L （2≥s ）线性相关的充分必要条件是其中有一个向量可被其余向量线性表出．证明：必要性．设s ααα,,,21L 线性相关，则有不全为零的一组数s k k k ,,,21L 使1122s s k k k o ααα++=L不妨设 01≠k ，于是s s k k k k ααα)()(12121−++−=L ． 充分性. 不妨设1α可被其它向量线性表出，即有一组数s k k k ,,,32L 使s s k k k αααα+++=L 33221于是，122(1)s s k k o ααα−+++=L ，这里()1−，2k ，s k ,L 不全为零，因而向量组s ααα,,,21L 线性相关． □ 定理3. 3 设向量组r ααα,,,21L 线性无关，βααα,,,,21r L 线性相关，则β可被r ααα,,,21L 线性表出，且表出系数惟一．证明: 存在一组不全为零的数l k k k r ,,,,21L 使得1122r r k k k l o αααβ++++=L若0=l ，则1122r r k k k o ααα+++=L ⇒021====r k k k L 与这组数不全为零相矛盾．故0≠l ，于是有1212()()()r r kk k l l lβααα=−+−++−L ． 表出系数惟一性的证明请读者完成． □设有向量组：()n a a a 112111,,,L =α，()n a a a 222212,,,L =α，K ，()12,,,s s s sn a a a α=L在每一个向量的后面再添加上一维分量，得到如下新的向量组：()()111111211:,,,,,n b b βαααα==L ，()()222212222:,,,,,n b b βαααα==L ，K ，()()12:,,,,,s s s s s sn s b b βαααα==L向量组s βββ,,,21L 叫做向量组s ααα,,,21L 的加长向量组．这里是添加了一维的情况，也可以添加若干维，并且新添加的分量也不仅仅限于最后．可以在第1维的前面加长，也可以在第1维与第2维之间加长等等，所有这些通过添加分量所得到的新向量组都叫做原向量组的加长向量组． 命题3. 4 线性无关向量组的加长向量组也是线性无关．证明：只证在每一向量的最后加长1维的情况，其它加长情况的证明是一样的．设s ααα,,,21L 线性无关，其加长向量组为()()()s s s b b b ,,,,,,222111αβαβαβ===L ．考虑线性组合1122s s x x x o βββ+++=L即()()()11112222,,,s s s s x x b x x b x x b oααα+++=L ，亦即 11(,)s si i i i i i x x b o α===∑∑，从而有1122s s x x x o ααα+++=L 由于s ααα,,,21L 线性无关，故 021====s x x x L ，因而12,,,s βββL 线性无关．。
第十九讲向量组的线性相关
定理4 设
若 维向量组 维向量组
线性无关，则 也线性无关.
13
例4 讨论下列向量组的线性相关性.
1
0
0
1
0 0 2
,
2
1 0 4
,
3
0 1 2
,
解:因为向量组
分别是由
加上一个分向量得到的,而
线性无关，所以
也线性无关.
14
小结:
1. 线性相关与线性无关的概念； 2. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 两个充要条件，两个定理．（难点）
b2 2 3 , b3 3 1,试证b1, b2 , b3线性无关 .
证 设有x1, x2 , x3使
x1b1 x2b2 x3b3 0
即 x（1 1 2） x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0,
亦即（ x1 x3 )1 ( x1 x2 )2 ( x2 x3 )3 0,
15
7
推论：对 个 维向量，若
，则该向量组
线性相关
证：记这些向量组成的矩阵为 ，则
由定理2知该向量组线性相关. 例如：
一定线性相关.
8
例1 讨论向量组的线性相关性. 解:
(向量个数)，所以线性相关.
9
例2 讨论3维单位向量 的线性相关性. 解:因为 所以向量组线性无关.
10
例3 已知向量组 1,2 ,3 线性无关 ,b1 1 2 ,
一、向量组线性相关、线性无关的定义
定义 对于向量组 1,2,,m (m 1) ，若存
在不全为零的数 k1, k2 ,, km ，使得
k11 k22 kmm 0
成立，则称向量组 1,2 ,,m 线性相关.
若当且仅当 k1 k2 km 0时，等式
向量组的线性相关性
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 am1x1 am2 x2
a1n xn 0 ， a2n xn 0 ，
amn xn 0
（2-3）
只有零解。考虑以向量组B：1 ，2 ， ，n 为系数列向量的齐次线
性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0 ，
经济数学
向量组的线性相关性
1
线性相关性及其判别法
2
3
向量组的等价
线性相关的几个重要定理
1.1 线性相关性及其判别法
定义1
对于向量组 1 ，2 ， ，n ，若存在不全为零的数 1 ，2 ， ，n ， 使得。
11 22 nn 0
（2-1）
成立，则称向量组1 ，2 ， ，n 线性相关。否则，即当且仅当 1 2 n 0 时式（2-1）成立，则称向量组1 ，2 ， ，n 线性无关。
的数 k1 ，k2 ， ，ks ，使得 k11 k22
kss 0
成立。那么，存在一组不全为零的数 k1 ，k2 ， ，ks ，0 ， ，0 ， 使得
k11 k22 kss 0 s1 0 n 0
所以向量组 1 ，2 ， ，s ，s1 ， ，n 线性相关。
推论 线性无关的向量组中的任一部分组必线性无关。
解得 1 2 0 ，故向量组 1 ，2 线性无关。
对向量组 1 ，2 ，3 ，设 11 22 33 0 ，即
1 1 1 0
1
0
2
2
3
2
0
1 2 4 0
可得
1 2 3 0， 22 23 0， 1 22 43 0，
解得
12
2c ， c ，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
毕业设计（论文）开题报告
数理学院2016届
题目向量组线性相关性的判定方法
课题类型论文课题来源自拟课题
学生姓名学号
专业信息与计算科学年级班2012-1班
指导教师职称讲师
填写日期：2016 年1 月10 日
一、本课题研究的主要内容、目的和意义
主要内容：
本文从介绍向量组线性相关性的定义着手，然后论述了若干种判定向量组线性相关的方法，例如利用线性相关的定义、行列式的值、矩阵的秩、齐次线性方程组的解、克莱姆法则等知识运用于向量组的线性相关性的判定，并比较了不同判定方法的适用条件及范围。
并且引入诸如线性相关性、秩、极大线性无关组等基本概念。
使用了这些概念，不仅圆满地解决线性方程组的问题，使我们更深刻地认识了线性方程组。
同时构建了一座通向向量组线性相关性判定方法的桥梁，使二者之间可以相互转化。
目的：
通过对向量组线性相关的定义及其重要性质的学习，能使我们更加深刻的了解向量组的线性相关。
文中又给出了判定向量组线性相关的多种方法，在以后解决具体问题时有一定的帮助。
在基于推出的判定向量组线性相关性的若干方法的基础上，运用这些知识我们可以在各种证明题和解答题中加以运用。
意义：
在高等代数中，向量组的线性相关性占到了举足轻重的作用。
可以说高等代数这门课学得好不好,关键在于有关向量组线性相关性的内容掌握得怎么样。
它可以将高等代数中的行列式、矩阵、二次型等知识联系在一起。
熟练地掌握向量组的线性相关性则能更好的理解高等代数的各部分知识，能够理清高等代数的框架，做到融会贯通，灵活运用。
二、文献综述（国内外相关研究现况和发展趋向）
在高等代数中,向量组的线性相关性是一项非常重要的内容,同时它也是一个难点,向量组线性相关性的概念隙抽象,判定定理繁多,难以理解和把握,但是仔细研究也是有很多规律可循的，通过查找文献，可以熟悉一些理论知识。
在《浅谈向量组的线性相关性》、《高等代数》课本中都介绍了线性相关的定义：假设有向量组A:a1,a2,...am,如果存在不全为零的数 k1,k2,...,km , 使k1a1+ k2a2+ ... + kmam=0则称向量组A是线性相关的, 否则就称它是线性无关的。
在《向量组线性相关性的几种判定方法》和《高等代数中的典型问题与方法》等文献中介绍了几种判断向量组线性相关的方法，归纳总结主要有定义法、利用向量组内向量之间的线性关系判定向量组的线性相关性、利用齐次方程组的解判定向量组的线性相关性、利用矩阵的秩判定向量组的线性相关性、利用行列式的值判定向量组的线性相关性、反证法、利用极大线性无关组判定向量组的线性相关性等。
不同的判定方法有不同的的优势和劣势，也有不同的适用范围。
对于不同的问题，我们要选出最适合该题的一种方法。
总的来说，我所搜集的文献大部分都介绍了向量组线性相关性的若干判定方法，涵盖全面，论证详细，思路清晰，为课题的研究提供理论基础和研究思路，我将通过对主要文献进行分析、归纳整理、总结，力求使该部分内容更加完善，结构更加系统化，希望再为人们进一步探索上述问题提供一些有益思路。
三、拟采取的研究方法（方案、技术路线等）和可行性论证
拟采取的研究方法:
本文拟采取的研究方法为文献资料法和案例分析法，在论文研究的过程中查阅了大量的和本课题相关的参考文献，对于参考文献进行了归类整理，为本课题的研究打下坚实的理论基础。
通过收集查阅相关的文献资料和图书馆资料，以及上网查阅相关资料并整理，并对教材的相关知识认真学习和研究，适时请教指导老师，不断对知识进行归纳、总结，探索向量组的不同判定方法及意义。
使本论文研究的内涵和外延更丰富，方向更加的明确，方法更加的科学，以保证论文的研究质量。
熟悉和掌握电脑和数学公式编辑器及其操作技能等，在指导老师的指导帮助和本人刻苦探究下按计划安排，逐步完成论文撰写工作。
与老师和同学进行相互讨论和交流，从中进行总结,更好的完善论文的内容
可行性论证:
通过对课本的学习已经大致掌握了几种向量组线性相关性的判定的方法，为自己研究的课题打下了一个扎实的基础，同时本人所在的学校具有丰富的图书资源，同时学校图书馆还有中国知网数据库、万方数据库，可以借助中国知网数据库、万方数据库、学校图书馆、百度检索以及谷歌学术检索等工具下载大量的参考文献，为保证本论文的顺利完成提供了有利的外界条件。
本人查阅了大量的向量组线性相关的判定方法的相关的文献，还有目前相关的最新的研究成果，再结合网上查阅的相关资料和老师所告知的信息，认为此课题是可行的.
四、预期结果（或预计成果）
本文通过对向量组线性相关的定义及其重要性质的学习，能使我们更加深刻的了解向量组的线性相关性，掌握几种向量组线性相关的判定方法，对以后解决学术上的问题会有重要的帮助。
在掌握了该判定向量组线性相关性的若干方法的基础上，也能够给以后的本科数学专业的学生提供方便，特别是促进了线性相关方面的研究工作的进一步开展。
五、研究进度安排
2015.12.20--2015.12.31：搜集参考资料，理解课题意义；
2016.01.01--2016.01.04：收集有关资料,完成数据的前期处理，参加开题答辩；
2016.01.05—2016.01.15：根据自己对该课题的认识，收集相关文献，在教师的指导下，写出开题报告；
2016.01.16—2016.03.27：写出论文大纲；
2016.03.28—2016.04.01：写出论文初稿；
2016.04.02--2015.04.20：整理、修改毕业论文；
2016.04.21—2016.05.10：论文定稿，提交论文资料，待评阅；
2016.05.10—2016.05.18：指导教师评阅，根据教师评阅结果修改论文，提交答辩申请，准备答辩；
2016.05.18—2016.05.22：根据学院安排，制作ppt，参加毕业论文答辩； 2016.05.22—2016.05.30：提交论文装订稿，整理毕业论文资料，存档.
六、主要参考文献
[1]刘桂珍.判断向量组线性相关的常用方法[J].凯里学院学报,2007,25(3):3-4.
[2]全梅花,张雪梅.判断向量组线性相关性的几种常用方法[J].廊坊师范学院学报,2015,15(3):36-38.
[3]刘正理.向量组线性相关性的几种判定方法[J].河南教育学院报,2004,13(1):15-17.
[4]蒋银山.浅谈向量组的线性相关性[J].考试周刊,2010,10(27):59.
[5]贾寅戌.向量组的线性相关性的等价条件及其应用[J].邢台职业技术学院报,2002,19(2):41-44.
[6]朱小红.向量组线性相关性命题的几种证法[J].湖北成人教育学院学报,2007,13(5):92-94.
[7]邹杰涛,张杰.线性代数及其应用[M].北京:科学出版社,2014.
[8]陈希镇.高等代数教程[M].机械工业出版社,2012.
[9]丘维声.高等代数(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2003.
[10]丘维声.高等代数学习指导书[M].清华大学出版社,2005.
[11]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数（第三版)[M].高等教育出版社,2003.
[12]李志慧,李永明.高等代数中的典型问题与方法[M].科学出版社,2008.
[13]刘仲奎,杨永保.高等代数[M].高等教育出版社,2003.
[14]姚慕生.高等代数（第二版)[M].复旦大学出版社,2008.
七、审核意见
指导教师对开题的意见：
指导教师签字：年月日院系审核意见：
审核人签字：年月日说明：1、该表每生一份，院系妥善存档；
2、课题来源填：“国家、部、省、市科研项目”或“企、事业单位委托”或“自拟
课题”或“其它”；课题类型填：“设计”或“论文”或“其它”。