八年级数学勾股定理拓展提高(勾股定理)拔高练习(含答案)

八年级数学勾股定理拓展提高(勾股定理)拔高练

习

试卷简介:本测试卷共有13道题，其中5道填空题，5道解答题，3道证明题，分四个板块，板块一为回顾练习，回顾暑期学到的关于勾股定理的主要知识，相关题目为教材1、2、3题；板块二为直角三角形六大性质，勾股定理只是直角三角形六大性质之一，将直角三角形的性质一网打尽，相关题目为教材4、5、6、8题；板块三为折叠专题，此类题为中考常考题，需熟练掌握，相关题目为教材9、10、12题；板块四为勾股定理实际应用，有典型的拱桥问题，台风问题，趣味性强，相关题目为教材14、16题。

学习建议:1.题目中有关于直角三角形边的关系，就要想到用勾股定理。2.折叠专题要注意解题套路，第一步：找准折痕；第二步：找准相等线段，相等角度；第三步：找直角三角形。 3.勾股定理实际应用要能根据题意和生活经验抽象出数学模型，然后用勾股定理相关知识解答。

一、填空题(共5道，每道4分)

1.教材1题：△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是_______.

答案：第一种情况：当高AD在三角形内部时，如图所示，利用勾股定理求出：BD=9，CD=5，BC=14，所以周长为13+14+15=42

第二种情况：当高AD在三角形外部时，如图所示，同样由勾股定理求出周长为32

所以，答案为42或32

解题思路：此题没有给出图形，需要自己画图，所以要分类讨论：高在内部，高在外部。

易错点：只想到第一种情况，忽略了高在外部的情况，导致少一种情况。

试题难度：三颗星知识点：三角形

2.教材3题：在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_______．

答案：解：由于△ABC≌△CDE，所以BC=DE

∵S1是以AB为边长的正方形的面积，S2是以DE为边长的正方形的面积

∴S1+S2=AB2+DE2=AB2+BC2=AC2=1，同理：S3＋S4＝3，故S1＋S2＋S3＋S4＝4．

解题思路：要能从图形中看出那两个三角形是全等的，利用全等后对应边相等来运用勾股定理

易错点：看不出哪两个三角形是全等的关系

试题难度：二颗星知识点：勾股定理的应用

3.教材4题：△ABC周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是_____.

答案：解：一边上的中线等于他的一半，则他一定是一个直角三角形。事实上，如图所示，

∠CAM=∠ACM，∠CBM=∠MCB，则∠ACB=∠ACM+∠MCB=90°，所以△ABC为直角三角形．而AB=10 ，所以AC+BC=14，由整体代换思想可设BC=x，AC=y，从而有x+y=14，x2+y2=102 ，故xy=24．

解题思路：先由一边上的中线等于他的一半，证明出此三角形为直角三角形，进而有周长和勾股定理列出两个方程，再利用整体代换的思想求出三角形的面积

易错点：判断不出是直角三角形，或者整体代换的思想不会用

试题难度：四颗星知识点：其他数学思想

4.教材5题：将一根长24 cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是_____.

答案：如图所示，

容易知：当筷子竖直放置的时候，留在水杯中的长度最小为12cm，留在外面的就最长，求出h,24-12=12cm；当筷子倾斜到一端时，这时留在里面的最长，留在外面的最短，此时，构成一个直角三角形，一条直角边为水杯的高12cm，另一条直角边为底面直径5cm，所以有勾股定理可知留在里面的长度为13cm，则外面长度为24-13=11cm，从而h的取值范围为

解题思路：先将生活中的例子转化为数学模型，在利用常识和勾股定理解决问题

易错点：忘带等号

试题难度：二颗星知识点：勾股定理的应用

5.教材10题：矩形ABCD中，BC=4，DC=3，将该矩形沿对角线BD折叠，使点C落在点F 处，求EF的长_____.

答案：解：很容易可以证明△ABE≌△FDE，设EF=x，则AE=x，BE=4-x，则在Rt△ABE中

AB²+AE²=BE²，x²+3²=（4-x）²，解得：x=．

解题思路：折叠前后的两个图形是全等的，利用对应线段相等进行线段的转移，在一个小直角三角形中利用勾股定理来列方程求解

易错点：折叠前后的图形是全等的，利用勾股定理来列方程

试题难度：三颗星知识点：化归转换思想

二、解答题(共5道，每道10分)

1.教材9题：如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=8cm，BC=6cm，现将直角边BC 沿直线BD折叠，使它落在斜边AB上的点C′处，求CD的长以及折痕BD的平方

答案：解：设CD=x，则C´D=x，AD=8-x，BC´=6，则AC´=4，于是有x²+16=（8-x）²，解得x=3，则CD的长度为3cm，BD²=3²+6²=45．

解题思路：折叠前后的两个图形是全等的，把已知线段的量集中到一个小直角三角形中解决问题

易错点：折叠前后的图形是全等的，线段的转换

试题难度：三颗星知识点：勾股定理

2.教材8题：如图，已知DE=m，BC=n，∠EBC与∠DCB互余，求+的值.

答案：解：延长BE，CD交于点F，如图，

解：∵∠EBC与∠DCB互余∴∠F=90°在Rt△BDF中，BF²+DF²= BD²在Rt△CEF中，CF²+EF²= CE²从而，BD²+ CE²= BF²+DF²+ CF²+EF²=（BF²+ CF²）+（DF²+ EF²）=BC²+DE²=m2+n2

解题思路：从已知条件∠EBC与∠DCB互余：想到延长BE，CD构造出直角三角形，然后利用勾股定理得出结论

易错点：辅助线

试题难度：一颗星知识点：勾股定理

3.教材12题：如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B´处，点A对应点为A´，且B´C=3，求CN和AM的长.