2014年高考全国Ⅰ理科数学试题及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）

数学（理科）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）【2014年全国Ⅰ，理1，5分】已知集合{}2230A x x x =--≥，{}22B x x =-≤<，则A B I

=（ ）

（A ）[]2,1-- （B ）[)1,2- （C ）[]1,1- （D ）[)1,2 【答案】A

【解析】∵{}{}223013A x x x x x x =--≥=≤-≥或，{}22B x x =-≤<，∴{}21A B x x =-≤≤-I ，故

选A ．

（2）【2014年全国Ⅰ，理2，5分】()()

3

21i 1i +=-（ ）

（A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -+ （D ）

1i --

【答案】D

【解析】∵

32(1i)2i(1i)

1i (1i)2i

++==----，故选D ．

（3）【2014年全国Ⅰ，理3，5分】设函数()f x ，()g x 的定义域为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函

数，则下列结论中正确的是（ ）

（A ）()()f x g x 是偶函数 （B ）()()f x g x 是奇函数 （C ）()|()|f x g x 是奇函数 （D ）|()()|f x g x 是奇函数 【答案】C

【解析】∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴

()

f x 为偶函数，()

g x 为偶函数．再

根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得()|()|f x g x 为奇函数，故选C ．

（4）【2014年全国Ⅰ，理4，5分】已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ） （A

（B ）3 （C

（D ）3m

【答案】A

【解析】由

C ：2

2

3(0)x my m m -=>，得22

133

x y m -=，233,c m c =+=设)F

，

一条渐近线

y =

，即0x =，则点F 到C 的一条渐近线的距离

d =

=，故选A ．

（5）【2014年全国Ⅰ，理5，5分】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（ ） （A ）18

（B ）

3

8

（C ）

5

8

（D ）78

【答案】D

【解析】由题知

()

13,0

F -，

(

)

2

3,0

F 且

2

20012

x y -=，所以

()(

)

1200003,3,MF MF x y x y ⋅=---⋅

--u u u u r u u u u r

2220003310x y y =+-=-<，解得033

y -

<<

，故选D ．

（6）【2014年全国Ⅰ，理6，5分】如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为（ ）

（A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】B

【解析】如图：过M 作MD OP ⊥于D ，则sin PM x =，cos OM x =,在Rt OMP ∆中，

cos sin 1

cos sin sin 212

x x OM PM MD x x x OP ⋅⋅=

==⋅=，∴()1sin 2(0)2

f x x x π=≤≤，

故选B ．

（7）【2014年全国Ⅰ，理7，5分】执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出 的M =（ ） （A ）20

3

（B ）165 （C ）72 （D ）158

【答案】D

【解析】输入1,2,3a b k ===；1n =时：1331,2,2

2

2

M a b =+===；

2n =时：28382,,3323M a b =+

===；3n =时：3315815,,28838

M a b =+===； 4n =时：输出15

8

M =

，故选D ．

（8）【2014年全国Ⅰ，理8，5分】设(0,)2

πα∈，(0,)2

πβ∈，且1sin tan cos βαβ

+=，则（ ）

（A ）32

παβ-= （B ）22

παβ-= （C ）32

παβ+= （D ）22

π

αβ+=

【答案】B

【解析】∵sin 1sin tan cos cos α

β

αα

β

+==

，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+，

()sin cos sin 2παβαα⎛⎫

-==- ⎪⎝⎭

，,02222ππππαβα-<-<<-<，∴2παβα

-=-，即22

παβ-=，

故选B ．

（9）【2014年全国Ⅰ，理9，5分】不等式组1

24

x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D ．有下面四个命

题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，

2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-．其中

真命题是（ ）

（A ）2p ，3p （B ）1p ，4p （C ）1p ，2p （D ）1p ，3p 【答案】C

【解析】作出可行域如图：设2x y z +=，即12

2

z y x =-+，当直线过()2,1A -时，min 220z =-+=，

∴0z ≥，∴命题1p 、2p 真命题，故选C ．