03第三章 动量与角动量作业答案

第三次作业（第三章动量与角动量）
一、选择题
［A］1.（基础训练2）一质量为m0的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m的木块轻轻放于斜面上，如图3-11
(A) 保持静止．(B) 向右加速运动．
(C) 向右匀速运动．(D) 向左加速运动．
【提示】设m0相对于地面以V运动。

依题意，m静止于斜面上，跟着
m0一起运动。

根据水平方向动量守恒，得：
m V mV
+=所以0
V=，
斜面保持静止。

［C］2.（基础训练3）如图3-12所示，圆锥摆的摆球质量为m，速率
为v，圆半径为R，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大
小为
(A) 2m v．(B) 2
2)
/
(
)
2(v
v R
mg
mπ
+
(C) v/
Rmg
π(D) 0．
【提示】
2
2
T
G
T
I mgdt mg
==⨯
⎰
，而
v
R
T
π2
=
［C ］3．（自测提高1）质量为m的质点，以不变速率v沿图3-16
正三角形ABC的水平光滑轨道运动。

质点越过A
点的冲量的大小为
(A) m v．(B) ．(C) ．(D) 2m v．
【提示】根据动量定理
2
1
21
t
t
I fdt mv mv
==-
⎰
，如图。

得：
21
I mv mv
∴=-=
[ B] 4.（自测提高2）质量为20 g的子弹，以400 m/s的速率沿图
3-17所示的方向射入一原来静止的质量为980 g的摆球中，摆线长度
不可伸缩。

子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为
(A) 2 m/s．(B) 4 m/s．(C) 7 m/s ．(D) 8 m/s．
【提示】相对于摆线顶部所在点，系统的角动量守恒：
2
sin30()
mv l M m lV
︒=+
其中m为子弹质量，M为摆球质量，l为摆线长度。

解得：V=4 m/s
（解法二：系统水平方向动量守恒：
2
sin30()
mv M m V
︒=+)
图3-11
图3-17
二、填空题
1、（基础训练7）设作用在质量为1 kg 的物体上的力F ＝6t ＋3（SI ）．如果物体在这一
力的作用下，由静止开始沿直线运动，在0到2.0 s 的时间间隔内，这个力作用在物体上的冲量大小Ｉ＝18N s ⋅．
【提示】2
2
2
2
(63)(33)18I Fdt t dt t t N s ==+=+=⋅⎰⎰
2．（基础训练8）静水中停泊着两只质量皆为0m 的小船。

第一只船在左边，其上站一质量为m 的人，该人以水平向右速度v
从第一只船上跳到其右边的第二只船上，然后又以
同样的速率v 水平向左地跳回到第一只船上。

此后， (1) 第一只船运动的速度为v
1＝
02m v m m -
+ 。

(2) 第二只船运动的速度为v
2＝0
2m v m 。

（水的阻力不计，所有速度都相对地面而言）
【提示】以地面为参考系，水平方向动量守恒。

（1）人与第一只船：第一跳： 010mvi m v i '-= ，第二跳：0101()mvi m v i m m v i '--=+
联立求解，得：10
2mvi
v m m -=+
（2）人与第二只船：第一跳：02
()mvi m m v i '=+ ，第二跳：0202()m m v i mvi m v i '+=-+
联立求解，得：20
2mvi
v m =
3．（自测提高6） 质量为m 的小球自高为y 0处沿水平方向以速率v 0抛出，与地面碰撞后跳起的最大高度为
21y 0，水平速率为2
1
v 0，如图3-19所示。

(1)地面对小球的竖直冲量的大小
为
( ； (2)
地面对小球的水平冲量的大小为01
2
mv ． 【提示】小球在与地面碰撞前后，动量发生了改变，根据动量定理：21I mv mv =-
，在竖
直方向和水平方向的分量式分别为：
21((1y y y I mv mv =-==+ （注意1y v 为负的） 021001
22
x x x v I mv mv m mv mv =-=-=-
故它们的大小分别为：(1y I =+ 01
2x I m v =
4．（自测提高8）两球质量分别为m 1＝2.0 g ，m 2＝5.0 g ，在光滑的水平桌面上运动。

用直角坐标OXY 描述其运动，两者速度分别为i 101=v cm/s ，)0.50.3(2j i
+=v cm/s ．若碰撞后两球合为一体，则碰撞后两球速度v 的大小v ＝__6.14cm/s__，v
与x 轴的夹角α＝
35.5 ︒．
【提示】系统的动量守恒：112212()m v m v m m v +=+ ，解得：()3525 /77
v i j cm s =+
，
y 2
1
y 图3-19
大小为：()6.14 /v cm s ==；方向：25arctan 35.535α︒⎛⎫
== ⎪⎝⎭
5（自测提高9）如图3-20所示，质量为m 的小球，自距离斜面
高度为h 处自由下落到倾角为30°的光滑固定斜面上。

设碰撞是完全
弹性的，则小球对斜面的冲量的大小为，方向为 垂直
斜面向下 。

【提示】分析小球。

碰撞中内力很大，故小球重力可以忽略。

斜面对
小球的冲量21I mv mv =-
小球完全弹性碰撞，动能不变，∴21v v v ===
x 方向：0=x F ， 0x I =，210x x mv mv -=，∴碰撞前后的速度
与斜面法向的夹角相等，如图所示。

y 方向：21y y y I mv mv =- ，
cos30(cos30)y I mv mv ︒︒=--=；
斜面对小球的冲量大小为I == 斜面向上。

根据牛顿第三定律，小球对斜面的冲量 I I '=-
，所以，I ' 方向垂直斜面向下。

6、（自测提高10）在光滑的水平面上，一根长L ＝2 m 的绳
子，一端固定于O 点，另一端系一质量m ＝0.5 kg 的物体。

开始时，物体位于位置A ，OA 间距离d ＝0.5 m ，绳子处于松弛状态，如图3-21所示。

使物体以初速度v A ＝4 m/s 垂直于OA 向右滑动。

设以后的运动中物体到达位置B ，此时物体速度的方向与
绳垂直，则此时刻物体对Ｏ点的角动量的大小L B ＝2
1/kg m s ⋅，物体速度的大小v ＝1/m s ．
【提示】物体在运动过程中对O 点的角动量守恒。

位置A 和位置B 的角动量应相等
B A A L L mv d ==21/kg m s =⋅ ， B B L mv l =，得：v ＝v B =1/m s
三、计算题
1．（基础训练15）质量为m 的小球与桌面相碰撞，碰撞前、后小球的速率都是v ，入射方向和出射方向与桌面法线的夹角都是α，如图3-15所示。

若小球与桌面作用的时间为∆t ，求小球对桌面的平均冲力。

解：分析小球。

由动量定理210
()t
N mg dt mv mv ∆+=-⎰
N
为桌
面对小球的作用力，mg
为小球所受重力。

即 []()c
o s (c o s )2c o s N m g t m v m v j m v j
ααα-∆=--=
， 忽略重力，则 2cos mv N j t α≈∆
故小球对桌面的平均冲力为2cos 'mg N N j t
α=-=-∆。

图3-20
图3-20
图3-21
图3-15
2．（自测提高14）一质量为m 的匀质链条，长为L ，手持其上端，使下端离桌面的高度为h 。

现使链条自静止释放落于桌面，试计算链条落到桌面上的长度为l 时，桌面对链条的作用力。

解：取x 轴向下为正。

设t 时刻，落在桌面上的部分链条长为l ，质量为l m ， 则有 l m m l l L
λ==
（m
L λ=为链条的质量线密度）
此时在空中的链条的速度大小为：
v =
在dt 时间内,有dm vdt λ=链条元落在桌面上。

设桌面对链条
元的作用力为1f
，对链条元应用动量定理，得
()100 f dt dm v vdt v i
λ=-⋅=-
，
21 vdt f v i v i dt
λλ=-=-
另外，桌面对已落在桌面上的链条的作用力为2 l f m g i =-
；
所以，桌面对整根链条的作用力为 ()1232 m l h g f f f i L
+=+=-
，方向向上。

3、（自测提高15）如图所示，水平地面上一辆静止的炮车发射炮弹，炮车质量为M ，炮身仰角为α，炮弹质量为m ，炮弹刚出口时，相对于炮身的速度为u ，不计地面摩擦。

(1) 求炮弹刚出口时，炮车反冲速度的大小；(2) 若炮筒长为l ，求发炮过程中炮车移动的距离。

解：(1) 以炮弹与炮车为系统，以地面为参考系，水平方向动量守恒。

设炮车相对于地面的速度为i V x
，则有
0)cos (=++i V i u m i MV x x
α
m
M mu V x +-=α
cos
即炮车向后退。

(2) 以u (t )表示发炮过程中任一时刻炮弹相对于炮身的速度，
则该瞬时炮车的速度应为 m
M t mu t V x +-
=α
cos )()(
积分求炮车后退距离 ⎰=∆t
x t t V x 0
d )(⎰+-=t t t u m M m
0d cos )(α αcos l m
M m
x +-=∆
即向后退了m
M ml +α
cos 的距离。

x
附加题：（自测提高13）有一水平运动的皮带将砂子从一处运到另一处，砂子经一竖直的静止漏斗落到皮带上，皮带以恒定的速率v 水平地运动。

忽略机件各部位的摩擦及皮带另一端的其它影响，试问：(1) 若每秒有质量为q m =d M /d t 的砂子落到皮带上，要维持皮带以恒定速率v 运动，需要多大的功率？(2) 若q m =20 kg/s ，v ＝1.5 m/s ，水平牵引力多大？所需功率多大？
解：(1) d t 时间内，有d M=q m d t 的砂子落到皮带上，速率为v ，根据动量定理，皮带作
用在砂子上的力F
的冲量为：
d d v d 0d v F t M M M =-⋅=⋅ ∴ d d m M F q t ==⋅
v v
由牛顿第三定律，砂子对皮带的作用力'F F =-
．由于皮带匀速运动，所需的水平牵引力为'''F F F =-=
，因此，所需供给的功率为：
2
''m m P F F q q =⋅=⋅=⋅= v v v v v
(2) 当q m ＝d M/d t = 20 kg/s ，v ＝1.5 m/s 时，
水平牵引力大小为 F "＝v q m =30 N 所需功率为 P= v 2q m = 45 W。