虚拟变量

分段回归的实际应用
公司是如何酬劳其销售代表的？ 其支付佣金的方式取决于销售量的一个目标或
临界水平X *
销售佣金在临界值X *之前随销售量线性增加， 在这个临界值之后仍线性增加，只是斜率更大。 于是得到由两段构成的分段线性回归
销售佣金是在临界值处改变斜率的。
类似的例子 税金的缴纳，产出与成本之间的关系
*
用虚拟变量表示不同斜率的回归 ---乘法类型：分段线性回归
储蓄-收入回归：1970~1981年
E Yt / Dt 0, xt 1 1 X t
储蓄-收入回归： 1982~1995年
E Yt / Dt 1, xt 1 2 1 2 Xt
储蓄—收入关系的回归结果
ˆ 1.02 152.48D 0.0803 X 0.0655 D X Y t t t t t se 20.16 33.08 0.0145 0.0159 t 0.05 4.61 5.54 4.10 p 0.960 0.000 0.000 0.000
加法+乘法类型：反映相异回归
• 以乘法形式引入虚拟解释变量，是在设定的计量经济模 型中，将 虚拟解释变量与其他解释变量相乘作为解释变 量，以表示模型中斜率系数的差异。 • 以乘法形式引入虚拟解释变量的主要作用是：
第一：分析因素间的交互影响；
第二：分段线性回归，提高模型对现实经济现象的 描述精度 。
ˆ 62.4226 0.0376 X Y i 邹式检验可知：1982年为突变点 t (4.8917)(8.8937) p (0.0001)(0.0000) 据此分成两个子样本分别进行回归好 R 2 0.7672
还是建立一个回归模型更好呢？
用虚拟变量表示不同斜率的回归 ---乘法类型：分段线性回归
用虚拟变量表示不同斜率的回归 ---乘法类型：分段线性回归
储蓄—收入的回归方程:
Yt 1 2 Dt 1 Xt 2 Dt Xt ut
Y—个人储蓄， X—个人可支配收入
1, 观察值从1982年开始 Dt 0, 其他(观察值到1982年)
Y 1 1 X 2 X X D ut
回归的类型
虚拟变量模型的性质
根据加入的途径，可以将虚拟变量模型分成两种类型：
—— 加法类型：用虚拟变量表示不同截距的回归，即 虚拟变量只可以改变回归方程的截距，是加法类型。
加法类型：反映平行回归
—— 乘法类型：用虚拟变量表示不同斜率的回归，即 虚拟变量影响到回归方程的斜率变化，是乘法类型。 乘法类型：反映并发回归
要检验回归在 临界值 X * 处 有没有转折， 只要考察所估 计的级差斜率 ˆ 的统 系数 2 计显著性即可
Y 1 1 X 2 X X D ut
*
分段线性回归的案例：美国个人储蓄与个人可支配收入
如果不考虑1982年的经济衰退对储蓄-收入的影响，对 1970-1995年整个区间进行估计，得到的回归结果如下：
虚拟变量
一、虚拟变量的性质
二、虚拟变量在分段回归中的应用 三、案例分析
虚拟变量的性质
虚拟变量的基本含义 许多经济变量是可以定量度量的，如：商品需求 量、价格、收入、产量等
但也有一些影响经济变量的因素无法定量度量， 如：学历、性别、种族、地区对收入的影响，战 争、自然灾害对 GDP 的影响，季节对某些产品 （如冷饮）销售的影响等等
为了在模型中能够反映这些因素的影响，并提高 模型的精度，需要将它们“量化”
虚拟变量的性质
这种“量化”通常是通过引入“虚拟变量”来完 成的。根据这些因素的属性类型，构造只取“0”或 “ 1” 的 人 工 变 量 ， 通 常 称 为 虚 拟 变 量 （ dummy variables），记为D。 例如，反映文化程度的虚拟变量可取为：
t
t
153.5 0.0148 X t
课后作业： （1）根据英国1946～1963年或中国历年的居民储 蓄与收入资料，分析储蓄率的变动 （2）根据工资及性别的数据，检验工资是否存在 性别歧视 （3）分析季节对某产品销售量的影响
* * *
R 2 0.882 R 2 0.866 F 54.78
用虚拟变量表示不同斜率的回归 ---乘法类型：分段线性回归
根据以上分析，可以推导出两个时期的
储蓄-收入回归方程：
平均储蓄函数：1970-1981年 ˆ 1.02 0.0803 X Y
t
平均储蓄函数：1982-1995年 ˆ Y （ 1.02 152.48） (0.0803 0.0655)X
1，本科文化 Di 0，非本科文化
一般地，在虚拟变量的设置中： 基础类型取值为0（不具备某种性质）； 比较类型取值为1（具备某种性质）。
虚拟变量陷阱
虚拟变量的个数须按以下原则确定：
• 每一定性变量所需的虚拟变量个数要比该定性Hale Waihona Puke Baidu量 的类别数少1
• 即如果某一定性变量有m个类别，只在模型中引入 m-1个虚拟变量 • 违背这一原则会陷入虚拟变量陷阱，导致多重共线 性问题。 例如：地区（东部、中部、西部三个类别，m=3） 只需设置两个虚拟变量D1，D2