电路分析第11章耦合电路和理想变压器

L2
di dt
M
di dt
( L1
L2
2M)
di dt
uab
L
di dt
等效电感
L=L1+L2 2M
正弦稳态时，反接等效阻抗 Z=jω(L1+L2 – 2M )
例：列写图示电路的网孔电流方程。
M
M di2
dt
+
L1
L2
– +
+ L1
uS –
i1
R i2 R uS
–
i1
M di1
– dt + L2 R i2 R
初级看进去的等效阻抗
Zi
U&s I&1
Z11Z22 Z12Z21 Z22
Z11
Z12 Z21 Z22
Z11
2M
Z22
2
I1
+
Z11
Us
–
2M 2
Z22
2M 2 称为次级回路在初
Z22 级回路的反映阻抗
初级回路
2.用反映阻抗计算
Z11=R1+jL1
Z22=R2+ RL+ jL2
Z12= Z21= jM
eL =
N
d
dt
=
L
di
dt
u= – eL = L
di
dt
2.互电感 i1
+
u1
-
Φ21
Φ11
i2
+
u2
-
i1 流过第一个线圈产生自感磁通Φ11 , 其磁链Ψ11=L1i1 且在第二个线圈产生互感磁通Φ21 , 其磁链Ψ21=M21i1
自感电压
uL1
L1
di1 dt
互感电压
uM 2
M21
di1 dt
i2
全耦合时M最大
M2 max
N 211 i1
N 1 22 i2
Mmax L1L2
二、 耦合系数
1 i1 M
+
Mmax L1L2
u1 L1
1´ –
定义：M值与Mmax值之比k 称为耦合系数。
i2 2
+
L2 u2
– 2´
k M L1 L2
0≤k≤1:
用来衡量两线圈耦合程度。
k=1 全耦合 k ＞0.5 紧耦合 k＜0.5 松耦合 k=0 无耦合
=j20V
= 20/—90—°V
I1 100A j3
100A
I1
j3
j2I2V
+ –
I2
a
+
j5 Uab
–b
I2
a
+
j5 +
Uab
–j2I1V– b
二、 耦合系数
i1在线圈L1产生自感磁链 Ψ11= N111= L1i1 在线圈L2产生互感磁链 Ψ21= N221= Mi1
1 i1
+
M
i2 在线圈L1产生自感磁链 Ψ22 = N222= L2i2 在线圈L1产生互感磁链 Ψ12 = N112= Mi2
jL2 U2
+–jMI–1 2´
U1 jL1I1 jMI2
U2 jL2I2 jMI1
一.耦合电感的VCR
相量模型
1 i1 M
+
u1 L1
1´ –
i2
2 +
L2 u2
– 2´
1 i1
+
u1
M
L1
di2
– dt
1´
i2 2
+
1 I1
+
– +
– +
L2
M
u2
di1
dt –2´
U1–´1jjMLI21+–
I&1
Z11
U&s
2M2
Z22
次级电流和初级电流的关系
次级回路
jMI&1 (R2 RL jL2 )I&2 0
I&2
jMI&1
Z22
R1
I1
Us +
jL1
+
– jMI2 –
R2
I2
jL2
+
RL
–jMI1
I1 +
Z11
Us
–
2M 2
Z22
初级回路
3.用戴维南定理分析
R1
将RL断开，
I& U&s
I2 2
+
jL2 U2
– +jMI–1 2
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
´
U1 jL1I1 jMI2
u2
L2
di2 dt
M
di1 dt
U2 jL2I2 jMI1
例：求图示电路中的开路电压U• ab。
j2
解：
•
I2
=0
•
Uab
=
j5
I•2
+
•
j2I1
•
•
Uab = j2I1
=j2×10—/0°
1.回路法
I1
(R1 jL1)I&1 jMI&2 U&s jMI&1 (R2 RL jL2 )I&2 0
Us+
–
Z11I&1 Z12I&2 U&s Z21I&1 Z22I&2 0
依据克莱姆法则
Z11=R1+jL1 Z22=R2+ RL+ jL2 Z12= Z21= jM
U&s
I&1
M12=M21=M M称为互电感，单位亨利（H)
5
2.互电感 Φ12
i1
+
u1
Φ22
-
i2
+
u2
-
i1
+
u1
-
自感电压
Φ22
uL1
L1
di1 dt
互感电压
uM 2
M
di1 dt
uM 1
M
di2 dt
uL2
L2
di2 dt
uM 2
M
di1 dt
uM 1
M
di2 dt
Φ21
Φ11
i2
+
u2
-
6
二. 耦合电感的同名端 同名端：一对耦合电感线圈，在磁通作用下，在任何
或电流的参考方向由线圈 的非同名端指向另一端， 那么由这个电流在另一个线圈中产生的互感电压的 参考 方向也应该由线圈的非同名端指向另一端。
设 i2=0 i1 M
L1
i2
+
L2
+
u2
–
u2
M
di1 dt
M
–
L1
L2 u2
++
i1
u2
M
di1 dt
三. 根据同名端确定互感电压的正负
设 i2=0 i1 M
–jMI2–
I2
j2
1
+–jMI1
18
三.耦合电感线圈的串联
1. 顺接串联：异名端相接
i
a
M
+
u L1
L2
– b
i
a +
u L1
M di + dt –
b–
L2 – M di + dt
di di di di
di
uab L1 dt M dt L2 dt M dt (L1 L2 2M ) dt
uab
L
di dt
等效电感 L=L1+L2+2M
正弦稳态时，Uab LjI jLI ZI
顺接等效阻抗 Z=jω(L1+L2+2M )
三.耦合电感线圈的串联
2. 反接串联：同名端相接
i aM
+
u L1
L2
–
b
i
a +
u L1
di –
M
dt +
b–
L2 + M di – dt
uab
L1
di dt
M
di dt
瞬时互感电动势的极性都相同的两个对应端。用“● ”
标出。
对于绕向已知的两个电感线圈，可以根据右手螺旋
法则判别。如果电流中所产生的磁通方向一致，这两端
便是同名端。
M
Φ21
i1
i2
L1
L2
+
u1
-
Φ11
Φ12
+
u2
-
Φ22
M
L1
L2
7
三. 根据同名端确定互感电压的正负
如果电流的参考方向由线圈 的同名端指向另一端， 那么由这个电流在另一个线圈中产生的互感电压的 参考 方向也应该由线圈的同名端指向另一端；
第十一章 耦合电感和理想变压器
§11-1 基本概念 §11-2 耦合电感的VCR 耦合系数 §11-3 空心变压器电路的分析 反映阻抗 §11-4 耦合电感的去耦等效电路 §11-5 理想变压器的VCR §11-6 理想变压器的阻抗变换性质
第11章 耦合电路和理想变压器 学习目的：学会对含有互感电路的分析和计算。 学习重点：空心变压器电路、理想变压器电路
0 Z11
Z21
Z12
Z22
Z22U&s
Z12 Z11Z22 Z12Z21
Z22
R1
jL1
+ jMI2 –
R2
I2
jL2
+
RL
–jMI1
Z11 U&s
I&2
Z21 Z11
0 Z12
Z21 Z22
Z21U&s
Z11Z22 Z12Z21
例M：=图10示,电1/路C中= R101=00R2＝，1U0.S=1, 0L01=º求10电10流，I.1和L电2=流10I.02。0，
10 R jL
I& 2
0 U&O C
jMI&10
1
1
将U•S置零，在开路处外加电压源，
I10
Us +
jL1
+
– jMI2 –
可等效看作初级与次级颠倒。
R1
2M 2 为初级回路在次级
Z11 回路的反映阻抗
I1 jL1
Z11=R1+jL1
Z22 R2 jL2
等效阻抗
Z0
2M2
Z11
Z22
I2
+
+ jMI2 – Z0
对于正弦稳态电路，则可用相量模型，并依据相量的微分性质
1 i1 M
+
u1 L1
1´ –
+i2=+02
L2
u2
–
2´
1 i1
+
i2=02
+
u1
–
L1 M di1+ L2
u2
1´
dt – – 2´
1 I1 jM
+
U1 jL1
1´–
I2 0 2
+
jL2 U2
– 2 ´
1 I1
+
U1 jL1
1´–
I2 0 2
R1 I1 jM I2 R2
解：回路法
+
US
–
jL1
jL2 1
jC
( R1
jL1
1
jC
)I1
jMI2 US
1
jCБайду номын сангаас
( R2
jL2
1
jC
)I2
jMI1
0
R1 I1
US
+ jL1
– jMI2+–
1
jC
R2 I2
1
jC
jL2
+ –jMI1
(10 j1010 j1000)I1 j10I2 10
(10 j1000 j1000)I2 j10I1 0
L1
i2
+
L2
+
u2
–
u2
M
di1 dt
i1 M
L1
i1 M
L1
–
L2 u2 ++
u2
M di1 dt
M L1
i1
+– L2 u2
u2
M
di1 dt
+
L2
+
+
u2
–
u2
M
di1 dt
四. 互感电压用附加的电压源代替 (去耦）
1 i1
+
M i2=0
2
++
u1 L1
1´ –
L2 u2
– 2´
u2
M
di1 dt
(1 j)I1 jI2 1
I1
1 2
j
A
I2 jI1 0
I2
2
j
A j 24
2.用反映阻抗计算
I&1
Z22U&s Z11Z22 Z12Z21
Z11=R1+jL1
Z22=R2+ RL+ jL2
Z12= Z21= jM
R1
I1
Us +
jL1
+
– jMI2 –
R2
I2
jL2
+
RL
–jMI1
M
di1 dt
一.耦合电感的VCR
相量模型
1 i1
M
i2
2
++
++
u1 L1 1´–
L2 u2
– 2´
1 I1 jM
++
U1 jL1
– 1´
I2 2
++
jL2 U2
– 2´
1 i1
i2 2
+
+
u1
M
L1
di2
– dt
1´
+
+
L2
M
u2
di1
– – dt –2´
1 I1
I2 2
+
+
U1
jL1
+
1–´jMI2–
+
jL2 U2
+–jMI–1 2 ´
§11-2 耦合电感的VCR 耦合系数
一. 耦合电感的VCR
1 i1 M ++ u1 L1
1´–
i2
2
++
L2 u2 – 2´
1 i1
i2 2
+
+
u1
M
L1
di2
– dt
1´
+
+
L2
M
u2
di1
– – dt –2´
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
L2
di2 dt
例：求输入阻抗，已知 k = 0.5
解: k 0.5 M M
L1L2
2
M 0.5 2
列回路方程
jI1 j0.5 2I2 U
(1 j2)I2 j0.5 2I1 0
U
(
j
1
1.5 2 j 2
) I1
UI1
j 1.52 1 j2
i1 M i2 +
u1 1H
2H 1
–
I1
+
U
j
+
1 i1
+
M i2=0
2
+
u1 L1
1´ –
L2 u2 + – 2´
u2
M
di1 dt
1 i1
+
i2=0
2 +
u1
–
L1 M di1+ L2
u2
1´
dt – – 2´
u2
M
di1 dt
1 i1
+
i2=02
+
u1
– 1´
L1 M di1 – L2 u2
dt + – 2´
u2
M
di1 dt
四. 互感电压用附加的电压源代替
uM 2
M21
di1 dt
4
2.互电感 i1
Φ12
i2
自感电压
uL2
L2
di2 dt
+
u1
Φ22
+ 互感电压 u2
uM 1
M12
di2 dt
-
-
Φ22
uM 1
M12
di2 dt
i2 流过第二个线圈产生自感磁通Φ22, 其磁链Ψ22=L2i2且 在第一个线圈产生互感磁通Φ12, 其磁链Ψ12=M12i2
的计算。
学习难点：互感电压极性的判别。
关键词：互感、变压器 。
2
§11-1 基本概念
一.电感元件 1.自电感
N
i
i
+
+–
磁链 =N =L i
u
–
u eL L
–+
自电感
L=
N
i
L称为自电感或自感。线圈的匝数N 越多，其电感越 大；线圈中单位电流产生的磁通越大，电感也越大。
在图示u、i 、e假定参考方向的前提下，当通过线 圈的磁通或i 发生变化时，线圈中产生感应电动势为
戴维南等效电路
UOC
RL
–
R2 I2
+
jL2 UOC
+ –jMI10 –
R2 I2
+
jL2 U
+ –jMI1 –
3.用戴维南定理分析
I& U&s
10 R jL
1
1
U&OC
jMI&10
Z11=R1+jL1
Z22 R2 jL2
R1
I1
Us +
jL1
+
– jMI2 –
R2
I2
jL2
+
RL
–jMI1
u1
1´ –
L1
i2 2
+
L2 u2
– 2´
在极限情况下， 21= 11， 12= 22，即每一线圈产
生的磁通全部与另一线圈交链，这种耦合称为全耦合。
L1
N111 i1
L2
N 222 i2
L1 L2
N111 i1
N 222 i2
M N221 i1
M N112 i2
M 2 N221 N112
i1
L1
di1 dt
Ri1
Ri2
M
di2 dt
uS
L2
di2 dt
2Ri2
Ri1
M
di1 dt
21
§11-3 空心变压器电路的分析 反映阻抗
一.空心变压器电路模型
R1
i1 + Us L1
M
R2
L2
RL
i2
R1
I1
Us +
jL1
+
-
– jMI2 –
初级回路
次级回路
R2
I2
jL2
+
RL
–jMI1
相量模型
二.空心变压器电路的分析方法
Z0
2M2
Z11
Z22
I2
+
Z0
UOC
RL
–
I2
UOC Z0 RL
I&2
R2
– jMI&10
jL2
2M 2
Z11
RL
R1
R2
I1
Us +
jL1
+
阻抗折算小结： – jMI2 –
I2
jL2
+
RL
–jMI1
1、折算到初级回路
Z11=R1+jL1