解二元一次方程组的思想方法

解二元一次方程组中的数学思想方法
一、转化的思想方法
解方程组中的消元，其实质就是将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解。

例1. 解方程组
解：
得，
，得。

把
代入①，得。

方程组解为
上述解法实质通过运用等式性质、加减消元法把方程组转化为一元一次方程。

本例也可以用代入消元法。

也是转化为一元一次方程来求解。

例2. （十一届“五羊杯”数学竞赛）解方程组
剖析：上述方程不是二元一次方程组，但仔细观察可知
，将方程①及②两边同取倒数可得
则变为关于
、
的二元一次方程组。

解：
得
，则。

把
代入③得
，所以。

二、整体思想方法
例3. 解方程组
剖析：方程①及②中均含有。

可用整体思想解。

由①得
代入②而求出y。

解：由①得
，③
把③代入②得
解得
把
代入①得
，
所以
例4. 解方程组
剖析：上述方程中两个未知数系数的轮换形式，可作整体相加，整体相减而解出。

解：①+②得
，
即
③
得
，
即
④
③+④得
，
得
，
所以
例5. 解方程组
剖析：若先去括号，去分母等变形显得十分烦琐，观察上述方程中特点将（
）、（
）作整体且（
）系数相同，整体相减消元。

解：
得：
，
把
代入①得
，
所以
三、换元的数学思想方法
例6. 解方程组
剖析：方程组以连比形式给出，
与
中只有一个未知数，可设
，则
，从而求出k，而求出x、y。

解：令
则
把①、②代入③得
，
所以。

所以
例7. 解方程组
剖析：方程①中未知数系数为小数，方程②中需化简才能化为标准形式，方程①中常数为0，可将①化为连比形式。

解：由①得。

令
，
则。

把它们代入②得
，
得
，
所以
例8. 解方程组
剖析：方程②为乘积形式且未知数分别在方程左右两边，很容易变形为。

解：由②得
令
，则
把它们代入①得
，
解得
，所以
例9. 解方程组
剖析：方程①中常数项为0，移项很容易变为乘积形式
，令其为k，可避免繁琐化简。

解：由①得
令
=k，则有。

把它们代入②得
，
解得
，
所以
例10. 解方程组
剖析：本题若化简为其标准形式再解，计算量大且容易出错。

可设
来求解。

解：设
，原方程化为
解得。