数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第3章 函数极限

证 任给正数 , 取 , 当 0 x x0 时,
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x1 2 1 x1 ,
x1 2 2
这就证明了
lim x 1 2 1 .
x1 x 1
22
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例6
证明
lim
x x0
x2
x02 .
分析 要使
x2 x02 x x0 x x0 ,
可以先限制 x x0 1, 因为此时有 x x0 x x0 2x0 x x0 2 x0
§1 函数极限概念
在本章,我们将讨论函数极限的基本
概念和重要性质.作为数列极限的推广, 函数极限与数列极限之间有着密切的 联系,它们之间的纽带就是归结原理.
一、x趋于时的函数极限 二、x趋于x0 时的函数极限 三、单侧极限
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一、x趋于时的函数极限
设函数 f ( x)定义在 a, y
上,当 x 沿着 x 轴的正向 A 无限远离原点时,函数f (x)
也无限地接近A,我们就称
f (x)当 x 趋于 时以A为
O
极限.
f (x)
x
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例如 函数 y arctan x, 当 x 趋于 时, arctan x 以 π为极限.
2
y
π 2
1 0.5
O
10 20 30 40 x
定义，A是一个常数. 如果对于任意正数 , 存在正 数 , 当 x U ( x, ) U ( x0 ) 时,
f (x) A ,
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则称 f ( x) 当 x x0 时以 A 为极限 . 记为
或者
lim f ( x) A
x x0
f ( x) A ( x x0 ).
例5 证明 lim x 1 2 1 .
当 x ln 时
ex 0 ex .
这就是说
lim ex 0.
x
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例4
求证
lim
x
1
1 x
2
0.
证 对于任意正数 , 可取 M 1 , 当 x M 时, 有
1 1 x2
0
1 x2
,
所以结论成立.
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从定义1、2 、3 不难得到:
定理 3.1 f ( x) 定义在 的一个邻域内，则
其目的就是为了更简洁地求出 , 或许所求出的
不是“最佳”的, 但这不影响我们解题的有效性. 例7 求证：
(1)
lim
x x0
sin
x
sin
x0;
(2)
lim
x x0
cos
x
cos
x0 .
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证 首先，在右图所示的单位圆内,
当0 x π时, 显然有 2
1 2 x0 ,
所以 x2 x02 ( 1 2 x0 ) x x0 , 故只要
x x0
1 2
x0
.
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证
0,
取
min
1,
1
2
x0
,当 0
x
x0
时, 有
x2 x02 .
这就证明了
lim
x x0
x2
x02 .
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注 在例5、例6中, 我们将所考虑的式子适当放大,
lim f ( x) A 的充要条件是：
x
lim f ( x) lim f ( x) A.
x
x
π
π
例如 lim arctan x , lim arctan x ,
x
2 x
2
则由定理 3.1，lim arctan x 不存在. x
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二、x趋于x0 时的函数极限
设函数 f (x) 在点 x0 的某空心邻域 U ( x0 ) 内有定义. 下面我们直接给出函数 f (x)当 x x0 时以常数 A 为极限的定义. 定义4 设 f ( x) 在点 x0 的某空心邻域U ( x) 内有
为一个常数. 若对于任意 0, 存在 M 0，当
x M时
f (x) A ,
则称 f ( x) 当 x 时以 A 为极限，记为 lim f ( x) A 或 f ( x) A ( x ).
x
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例3 求证 lim ex 0. x
证 对于任意正数 (0 1), 取 M ln ,
定义2 设 f ( x)定义在 ,b 上, A是一个常数.
若对于任意 0 , 存在 M 0, 当 x M ( b) 时 f (x) A ,
则称 f ( x) 当 x 时以 A 为极限, 记为 lim f ( x) A 或 f ( x) A ( x ).
x
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定义3 设 f ( x)定义在的某个邻域 U () 内, A
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定义1 设 f 为定义在 a, 上的一个函数 . A 为
定数, 若对于任意正数 0，存在 M( a)，使得
当x M 时,
f (x) A ,
则称函数 f ( x) 当 x 趋于 时以 A 为极限. 记为
lim f ( x) A 或者 f ( x) A ( x ).
x
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x1 x 1
22
分析 对于任意正数 ,要找到 0, 当 0 | x 1 |
时, 使百度文库
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x1 2 1
1
1
x1 2 2
x1 2 2 2
x1 2
x1
2 2(
x1
2) 2 2(
x1
2 )2
.
()
因 x 1 x1 ,
2 2( x 1 2)2
只要 x 1 , () 式就能成立, 故取 即可.
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注 数列可视为定义在正整数集上的函数. 请大家
比较数列极限定义与函数极限定义之间的相同点
与不同点. 例1 证明 lim 1 0.
x x
证 任给 0, 取 M 1 ,当 x M 时,
f (x) 0 1 ,
x 所以(由定义1),
lim 1 0. x x
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lim f ( x) A的几何意义
x
y
A A
A
①任意给定
0
④有 A f (x) A
Oa
M
②存在 M a
x
x
③ 使当 x M 时
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lim f ( x) A的几何意义
x
y
A A
A
①任意给定
0
Oa
M
②存在 M a
④有 A f (x) A
x
x
③ 使当 x M 时
例2 证明 lim arctan x .
x
2
证 任给 0 ( ), 取 M tan( ).
2
2
因为 arctan x 严格增，当 x M 时，
f ( x) π π arctan x 22
π (π ).
22
这就是说 lim arctan x π .
x
2
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