2020年高考物理一轮复习专题4.4 万有引力定律与天体运动(精讲)(解析版)

专题4.4 万有引力定律与天体运动1．掌握万有引力定律的内容，并能够用万有引力定律求解相关问题。

2．理解第一宇宙速的意义。

3．了解第二宇宙速度和第三宇宙速度。

知识点一 开普勒行星运动定律的应用 定律 内容图示或公式开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等开普勒第三定律(周期定律)所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等a 3T 2＝k ，k 是一个与行星无关的常量 知识点二 万有引力定律的理解及应用 1．内容(1)自然界中任何两个物体都相互吸引。

(2)引力的方向在它们的连线上。

(3)引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比。

2．表达式F ＝G m 1m 2r 2，其中G 为引力常量，G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2，由卡文迪许扭秤实验测定。

3．适用条件(1)两个质点之间的相互作用。

(2)对质量分布均匀的球体，r 为两球心间的距离。

知识点三、宇宙速度1．三个宇宙速度 第一宇宙速度 (环绕速度) v 1＝7.9 km/s ，是人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度第二宇宙速度(脱离速度) v 2＝11.2 km/s ，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度第三宇宙速度(逃逸速度)v 3＝16.7 km/s ，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度2．第一宇宙速度的理解：人造卫星的最大环绕速度，也是人造卫星的最小发射速度。

3．第一宇宙速度的计算方法 (1)由G Mm R 2＝m v 2R 得v ＝ GMR .(2)由mg ＝m v 2R 得v ＝gR .知识点四、经典时空观和相对论时空观 1．经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量是不随运动状态而改变的。

(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的。

2．相对论时空观(1)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的。

(2)光速不变原理：不管在哪个惯性系中，测得的真空中的光速都是不变的。

考点一 开普勒运动定律的应用【典例1】（2019·辽宁葫芦岛高级中学模拟）火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )A ．太阳位于木星运行轨道的中心B ．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D ．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 【答案】C【解析】木星绕太阳运行的轨道为椭圆轨道，故太阳应位于其椭圆轨道的一个焦点上，A 错误；由于火星和木星在不同的轨道上，且是椭圆轨道，速度大小变化，火星和木星的运行速度大小不一定相等，B 错误；由开普勒第三定律可知，同一中心天体R 3火T 2火＝R 3木T 2木＝k ，即T 2火T 2木＝R 3火R 3木，C 正确；由于火星和木星在不同的轨道上，因此它们在近地点时的速度不等，且开普勒第二定律是指，对同一行星而言，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积，D 错误。

【变式1】（2019·吉林长春市实验中学模拟）17世纪，英国天文学家哈雷跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定的时间飞临地球，后来哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星。

哈雷彗星围绕太阳公转的轨道是一个非常扁的椭圆，如图所示。

从公元前240年起，哈雷彗星每次回归，中国均有记录。

它最近一次回归的时间是1986年。

从公元前240年至今，我国关于哈雷彗星回归记录的次数，最合理的是( )A ．24次B ．30次C ．124次D ．319次 【答案】B【解析】设彗星的周期为T 1、半长轴为R 1，地球的公转周期为T 2、公转半径为R 2，由开普勒第三定律a 3T 2＝C 得，T 1T 2＝R 31R 32＝183≈76，则彗星回归的次数n ＝240＋1 98676≈29，因此最合理的次数为30次，选项B 正确，选项A 、C 、D 错误。

考点二 万有引力定律的理解及应用【典例2】（2019·新课标全国Ⅱ卷）2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆，在探测器“奔向”月球的过程中，用h 表示探测器与地球表面的距离，F 表示它所受的地球引力，能够描述F 随h 变化关系的图像是（ ）【答案】D【解析】根据万有引力定律可得：2()GMmF R h =+，h 越大，F 越大，故选项D 符合题意。

【方法技巧】1．万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F 表现为两个效果：一是重力mg ，二是提供物体随地球自转的向心力F 向，如图所示。

(1)在赤道上：G MmR 2＝mg 1＋mω2R . (2)在两极上：G MmR 2＝mg 2.(3)在一般位置：万有引力G MmR 2等于重力mg 与向心力F 向的矢量和．越靠近南北两极g 值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即GMmR 2＝mg .2．星体表面上的重力加速度(1)在地球表面附近的重力加速度g (不考虑地球自转)： mg ＝G mM R 2，得g ＝GM R 2(2)在地球上空距离地心r ＝R ＋h 处的重力加速度为g ′ mg ′＝GMmR ＋h 2，得g ′＝GM R ＋h2所以g g ′＝R ＋h 2R 2【变式2】 (2018·北京卷)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证( )A ．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1/602B ．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的1/602C ．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的1/6D ．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的1/60 【答案】B【解析】若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律——万有引力定律，则应满足G Mmr 2＝ma ，因此加速度a 与距离r 的二次方成反比。

考点三 估算天体质量和密度【典例3】（2019·浙江选考）20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域。

现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船，为了测量自身质量，启动推进器，测出飞船在短时间Δt 内速度的改变为Δv ，和飞船受到的推力F （其它星球对它的引力可忽略）。

飞船在某次航行中，当它飞近一个孤立的星球时，飞船能以速度v ，在离星球的较高轨道上绕星球做周期为T 的匀速圆周运动。

已知星球的半径为R ，引力常量用G 表示。

则宇宙飞船和星球的质量分别是（ ）A ．F v t ∆∆，2v R GB ．F v t ∆∆，32πv TG C ．F t v ∆∆，2v R G D ．F t v ∆∆，32πv TG【答案】D【解析】直线推进时，根据动量定理可得F t m v ∆=∆，解得飞船的质量为F tm v∆=∆，绕孤立星球运动时，根据公式2224Mm G m r r T π=，又22Mm v G m r r =，解得32v TM Gπ=，D 正确。

【举一反三】 (2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T ＝5.19 ms 。

假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m 2/kg 2。

以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为( )A ．5×109 kg/m 3B ．5×1012 kg/m 3C ．5×1015 kg/m 3D ．5×1018 kg/m 3【答案】C【解析】毫秒脉冲星稳定自转时由万有引力提供其表面物体做圆周运动的向心力，根据G Mm R 2＝m 4π2RT 2，M ＝ρ·43πR 3，得ρ＝3πGT 2，代入数据解得ρ≈5×1015 kg/m 3，C 正确。

【方法技巧】天体密度的测量方法 1．重力加速度法利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R 。

(1)由G Mm R 2＝mg 得天体质量M ＝gR 2G 。

(2)天体密度：ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g4πGR 。

2．卫星环绕法测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T 。

(1)由G Mm r 2＝m 4π2r T 2得天体的质量M ＝4π2r 3GT 2。

(2)若已知天体的半径R ，则天体的密度ρ＝M V ＝M 43πR3＝3πr 3GT 2R 3。

(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3πGT 2，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度。

【变式3】（2018浙江卷）土星最大的卫星叫“泰坦”（如图），每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为，已知引力常量，则土星的质量约为（ ）A.B. C. D.【答案】 B【解析】卫星绕土星运动，土星的引力提供卫星做圆周运动的向心力设土星质量为M ：，解得带入计算可得：，故B 正确，A 、C 、D错误；故选B 。