一元二次方程根与系数关系(知识讲解)九年级数学上册基础知识讲与练

专题2.14 一元二次方程根与系数关系（知识讲解）

【学习目标】

掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用. 【要点梳理】

一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系

如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.

2. 一元二次方程的根与系数的关系的应用

⎧⎪

⎪⎪

→→⎨⎪⎪⎪⎩知识框图：

1、求代数式的值

2、求待定系数一元二次方程求根公式根与系数关系应用

3、构造方程

4、解特殊的二元二次方程组

5、二次三项式的因式分解

【典型例题】

类型一、由根与系数关系直接求值

1．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：

（1）22

11+x x （2）

12

11+x x 【答案】（1）11；（2） －3． 【分析】

由一元二次方程的根与系数的关系可得12123,1x x x x +=⋅=-；

（1）将所求式子变形为(x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ，然后整体代入上面两个式子计算即可； （2）将所求式子变形为12

12

x x x x +⋅，然后整体代入上面两个式子计算即可．

解：∵x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，

∵12123,1x x x x +=⋅=-，

（1）22

11+x x ＝ (x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ＝32－2×(－1)＝11；

)0(02

≠=++a c bx ax 21x x ，a b x x -

=+21a

c x x =21

（2）

12121211331

x x x x x x ++===-⋅-． 【点拨】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于基本题目，熟练掌握一元二次方程的两根之和与两根之积与系数的关系是解题关键．

举一反三：

【变式1】利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1）2760x x ++=； （2）22320x x --=．

【答案】（1）12127,6x x x x +=-=；（2）12123

,12

x x x x +==-

【分析】直接运用一元二次方程根与系数的关系求解即可． 解：（1）这里1,7,6a b c ===．

22Δ474164924250b ac =-=-⨯⨯=-=>，

∵方程有两个实数根． 设方程的两个实数根是12,x x ， 那么12127,6x x x x +=-=． （2）这里2,3,2a b c ==-=-．

22Δ4(3)42(2)916250b ac =-=--⨯⨯-=+=>，

∵方程有两个实数根．

设方程的两个实数根是12,x x ，那么

12123

,12

x x x x +==-．

【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知1212,b c

x x x x a a

+=-=是解题

的关键．

【变式2】 甲、乙两人同解一个二次项系数为1的一元二次方程，甲抄错了常数项，解得两根分别为3和2，乙抄错了一次项系数，解得两根分别为－5和－1，求原来的方程.

【答案】2550x x -+= 【分析】

解法一：利用甲乙解出的根，可以得出两个一元二次方程，取甲方程的一次项系数，取乙方程的常数项，即可重新组合出原来正确的方程．

解法二：利用根与系数的关系，取甲方程的一次项系数，取乙方程的常数项，即可重新组合出原来正确的方程．

解：解法一：设原一元二次方程为2+a b 0+=x x ，代入甲解出的两根3、2得

9+3a+b=04+2a+b=0⎧⎨

⎩，解得a=5

b=6-⎧⎨⎩

，因为甲抄错常数项，所以取a=5-

同理，代入乙解出的两根－5和－1，可得a=6

b=5⎧⎨⎩，而乙抄错了常数项，所以取b=5，

综上可得原方程为2550x x -+=

解法二：甲抄错常数项，解得两个为3和2，两根之和正确；乙抄错了一次项系数，

解得两根为－5和－1，则两根之积正确．设原方程的两根分别为1x 、2x ，可得12+=5x x ，

12=5x x ，所以原方程就是2550x x -+=．

【点拨】在没有学习根与系数关系之前，可用方程的解的性质，代入两根求出方程系数，学习之后可直接利用根与系数关系得出方程系数，更为简单．

类型二、由根与系数关系求参数的值

2．关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m --+=的两根为,a b ，且4a b ab +=-，

求m 的值．

嘉佳的解题过程如下： 解：221,a b m ab m +=-=，

2214m m ∴-=-， 整理，得2230m m --=， 解得121,3m m =-=．

嘉佳的解题过程漏了考虑哪个条件？请写出正确的解题过程． 【答案】m 的值为1-． 【分析】

根据一元二次方程根的判别式结合根与系数的关系解答．

解：嘉佳的解题过程漏了考虑0∆这一条件．正确的解题过程如下：

根据题意得22(21)40m m ∆=--，解得1

4

m

． 221,a b m ab m +=-=，2214m m ∴-=-，

整理得2230m m --=，解得121,3m m =-=（舍去）， m ∴的值为1-．

【点拨】本题中忽略0∆这一条件导致错解针对这一类题，我们一定要看清题目中所给的条件，考虑一元二次方程有解的条件是“0∆”，才能得出正确结果．

举一反三：

【变式1】已知1x 、2x 是方程2220x kx k k -+-=的两个实根，是否存在常数k ，使12213

2

x x x x +=成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】不存在．理由见分析