一元二次方程根与系数关系(知识讲解)九年级数学上册基础知识讲与练

专题2.14 一元二次方程根与系数关系（知识讲解）
【学习目标】
掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用. 【要点梳理】
一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
2. 一元二次方程的根与系数的关系的应用
⎧⎪
⎪⎪
→→⎨⎪⎪⎪⎩知识框图：
1、求代数式的值
2、求待定系数一元二次方程求根公式根与系数关系应用
3、构造方程
4、解特殊的二元二次方程组
5、二次三项式的因式分解
【典型例题】
类型一、由根与系数关系直接求值
1．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：
（1）22
11+x x （2）
12
11+x x 【答案】（1）11；（2） －3． 【分析】
由一元二次方程的根与系数的关系可得12123,1x x x x +=⋅=-；
（1）将所求式子变形为(x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ，然后整体代入上面两个式子计算即可； （2）将所求式子变形为12
12
x x x x +⋅，然后整体代入上面两个式子计算即可．
解：∵x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，
∵12123,1x x x x +=⋅=-，
（1）22
11+x x ＝ (x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ＝32－2×(－1)＝11；
)0(02
≠=++a c bx ax 21x x ，a b x x -
=+21a
c x x =21
（2）
12121211331
x x x x x x ++===-⋅-． 【点拨】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于基本题目，熟练掌握一元二次方程的两根之和与两根之积与系数的关系是解题关键．
举一反三：
【变式1】利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1）2760x x ++=； （2）22320x x --=．
【答案】（1）12127,6x x x x +=-=；（2）12123
,12
x x x x +==-
【分析】直接运用一元二次方程根与系数的关系求解即可． 解：（1）这里1,7,6a b c ===．
22Δ474164924250b ac =-=-⨯⨯=-=>，
∵方程有两个实数根． 设方程的两个实数根是12,x x ， 那么12127,6x x x x +=-=． （2）这里2,3,2a b c ==-=-．
22Δ4(3)42(2)916250b ac =-=--⨯⨯-=+=>，
∵方程有两个实数根．
设方程的两个实数根是12,x x ，那么
12123
,12
x x x x +==-．
【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知1212,b c
x x x x a a
+=-=是解题
的关键．
【变式2】 甲、乙两人同解一个二次项系数为1的一元二次方程，甲抄错了常数项，解得两根分别为3和2，乙抄错了一次项系数，解得两根分别为－5和－1，求原来的方程.
【答案】2550x x -+= 【分析】
解法一：利用甲乙解出的根，可以得出两个一元二次方程，取甲方程的一次项系数，取乙方程的常数项，即可重新组合出原来正确的方程．
解法二：利用根与系数的关系，取甲方程的一次项系数，取乙方程的常数项，即可重新组合出原来正确的方程．
解：解法一：设原一元二次方程为2+a b 0+=x x ，代入甲解出的两根3、2得
9+3a+b=04+2a+b=0⎧⎨
⎩，解得a=5
b=6-⎧⎨⎩
，因为甲抄错常数项，所以取a=5-
同理，代入乙解出的两根－5和－1，可得a=6
b=5⎧⎨⎩，而乙抄错了常数项，所以取b=5，
综上可得原方程为2550x x -+=
解法二：甲抄错常数项，解得两个为3和2，两根之和正确；乙抄错了一次项系数，
解得两根为－5和－1，则两根之积正确．设原方程的两根分别为1x 、2x ，可得12+=5x x ，
12=5x x ，所以原方程就是2550x x -+=．
【点拨】在没有学习根与系数关系之前，可用方程的解的性质，代入两根求出方程系数，学习之后可直接利用根与系数关系得出方程系数，更为简单．
类型二、由根与系数关系求参数的值
2．关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m --+=的两根为,a b ，且4a b ab +=-，
求m 的值．
嘉佳的解题过程如下： 解：221,a b m ab m +=-=，
2214m m ∴-=-， 整理，得2230m m --=， 解得121,3m m =-=．
嘉佳的解题过程漏了考虑哪个条件？请写出正确的解题过程． 【答案】m 的值为1-． 【分析】
根据一元二次方程根的判别式结合根与系数的关系解答．
解：嘉佳的解题过程漏了考虑0∆这一条件．正确的解题过程如下：
根据题意得22(21)40m m ∆=--，解得1
4
m
． 221,a b m ab m +=-=，2214m m ∴-=-，
整理得2230m m --=，解得121,3m m =-=（舍去）， m ∴的值为1-．
【点拨】本题中忽略0∆这一条件导致错解针对这一类题，我们一定要看清题目中所给的条件，考虑一元二次方程有解的条件是“0∆”，才能得出正确结果．
举一反三：
【变式1】已知1x 、2x 是方程2220x kx k k -+-=的两个实根，是否存在常数k ，使12213
2
x x x x +=成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】不存在．理由见分析
【分析】
根据根与系数关系列出关于k 的方程，根据方程有实数根列出关于k 的不等式，求解即可．
解：不存在．
∵1x 、2x 是方程2220x kx k k -+-=的两个实根， ∵240b ac -≥，即22(2)4()0k k k ---≥， 解得，0k ≥；
由题意可知122x x k +=，2
12x x k k =-，
∵12121212122221122()23
2
x x x x x x x x x x x x x x +=
+-=+=， ∵222(2)32)2(k k k k k --=-，解得120,7k k ==-，经检验，27k =-是原方程的解，
∵0k ≥，
∵不存在常数k ，使
12213
2
x x x x +=成立． 【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数关系和解方程，解题关键是根据根与系数关系列出方程并求解，注意：根的判别式要大于或等于0．
【变式2】 已知方程2 420x x m +-=的一个根比另一个根小4，求这两个根和m 的值．
【答案】10x =，24x =-，0m =
【分析】设两根为x 1和x 2，根据根与系数的关系得x 1+x 2，x 1·x 2，由|x 2-x 1|=4两边平方，得(x 1+x 2)2-4x 1·x 2=16，代入解得m ，此时方程为x 2+4x=0，解出两根 .
解：x 2+4x -2m=0
设两根为x 1和x 2，则∵=16+8m>0， 且x 1+x 2=-4，x 1·x 2=-2m 由于|x 2-x 1|=4
两边平方得x 12-2x 1·x 2+x 22=16 即(x 1+x 2)2-4x 1·x 2=16 所以16+8m=16 解得：m=0
此时方程为x 2+4x=0， 解得 x 1=0 ， x 2=−4 .
【点拨】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是灵活利用一元二次方程根与系数的关系，以及完全平方公式进行变形，求出两根．
类型三、根的判断别与根与系数关系综合
3、已知一元二次方程220x x m -+=． （1）若方程有两个实数根，求m 的范围；
（2）若方程的两个实数根为12x x 、，且1233x x +=，求m 的值． 【答案】（1）1m ≤；（2)34
m = 【分析】
（1）一元二次方程220x x m -+=有两个实数根，∵≥0，把系数代入可求m 的范围； （2）利用根与系数的关系，已知122x x +=结合1233x x +=，先求12x x 、，再求m ． 解：（1）∵方程220x x m -+=有两个实数根，
∵()2
2424440b ac m m =-=--=-≥， 解得1m ≤；
（2）由根与系数的关系可知，122x x +=，12x x m =，
解方程组121
22
33x x x x +=⎧⎨+=⎩，
解得123212x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
∵12313224
m x x ==⨯=．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握根的判别式、根与系数的关系是解题的关键．
【变式1】已知关于x 的一元二次方程2(8)80x k x k -++=． （1）证明：无论k 取任何实数，方程总有实数根．
（2）若22
1268x x +=，求k 的值．
（3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．
【答案】（1）证明见分析；（2）2k =±；（3）这个等腰三角形的周长为21或18． 【分析】
（1）根据根的判别式即可得到结论；
（2）先计算∵＝（8＋k ）2−4×8k ，整理得到∵＝（k−8）2，根据非负数的性质得到∵≥0，然后根据∵的意义即可得到结论；
（3）先解出原方程的解为x 1＝k ，x 2＝8，然后分类讨论：腰长为8时，则k ＝8；当底边为8时，则得到k ＝5，然后分别计算三角形的周长．
解：（1）22(8)48(8)k k k ∆=+-⨯=-．
2(8)0k -，
0∴∆，
∴无论k 取任何实数，方程总有实数根；
（2）221212128,8,68x x k x x k x x +=+=+=，()2
22
1212122x x x x x x +=++，
2(8)6816k k ∴+=+，
解得2k =±；
（3）解方程2(8)80x k x k -++=得12,8x k x ==．
∵当腰长为8时，8k ． 85138+=>，能构成三角形，
∴周长为88521++=．
∵当底边长为8时，5k =．
55108+=>
∴能构成三角形，周长为55818++=．
综上，这个等腰三角形的周长为21或18．
【点拨】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝−b a ，x 1•x 2＝c
a
．也考查了一元二次方程的判别式和等腰三角形的
性质，掌握这些知识点是解题关键．
【变式2】 已知关于x 的一元二次方程()2
2121202
x k x k -++-=．
（1）求证：无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根1x ，2x 满足123x x -=，求k 的值． 【答案】（1）见分析 （2）0，-2 【分析】
（1）根据根的判别式即可求证出答案；
（2）可以根据一元二次方程根与系数的关系得k 与的1x 、2x 的关系式，进一步可以求出答案.
解：(1)证明：∵()222
121422492k k k k ⎛⎫∆=+-⨯-=++ ⎪⎝⎭
()2217k =++，
∵无论k 为何实数，()2
210k +≥， ∵()2
2170k +∆=+>，
∵无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)由一元二次方程根与系数的关系得： 1221x x k +=+，2
12122
x x k =
-， ∵123x x -=， ∵()2
129x x -=， ∵()2121249x x x x +-=，
∵()221214292k k ⎛⎫
+-⨯-= ⎪⎝⎭
，化简得：220k k +=，
解得0k =，2-．
【点拨】本题主要考查根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握概念和运算技巧即可解题.
类型四、根与系数关系拓展应用1
4、已知m ，n 是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，是否存在实数a 使﹣（m +n ）（7m 2
﹣14m +a ）（3n 2﹣6n ﹣7）的值等于8？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】存在，a ＝-6 【分析】
根据方程的解的定义得出m 2-2m =1，n 2-2n =1，m +n =2，再整体代入即可得出a 的值． 解：存在，理由如下：
∵m ，n 是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根， ∵m 2﹣2m ＝1，n 2﹣2n ＝1，m +n ＝2， ∵﹣（m +n ）（7m 2﹣14m +a ）（3n 2﹣6n ﹣7） ＝﹣（m +n ）[7（m 2﹣2m ）+a ][3（n 2﹣2n ）﹣7] ＝﹣2×（7+a ）（3﹣7） ＝8（7+a ），
由8（7+a ）＝8得a ＝﹣6，
∵存在实数a ＝﹣6，使﹣（m +n ）（7m 2﹣14m +a ）（3n 2﹣6n ﹣7）的值等于8． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系，解题的关键是得出m 2-2m =1，n 2-2n =1，m +n =2，注意解题中的整体代入思想．
【变式1】阅读材料：已知方程p 2﹣p ﹣1＝0，1﹣q ﹣q 2＝0且pq ≠1，求1
pq q
+的值． 解：由p 2﹣p ﹣1＝0，及1﹣q ﹣q 2＝0可知p ≠0， 又∵pq ≠1，
∵p ≠1q
．
∵1﹣q ﹣q 2＝0可变形为211
()-q q ﹣1＝0，
根据p 2﹣p ﹣1＝0和211
()-q q
﹣1＝0的特征，
∵p 、1
q 是方程x 2﹣x ﹣1＝0的两个不相等的实数根，
则p +1q
，即1
1pq q +=． 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答． 已知：2m 2﹣5m ﹣1＝0，215
20n n
+-=，且m ≠n ，求： （1）mn 的值； （2）
22
11m n +． 【答案】(1)1
2
-；29．
【分析】
（1）由题意可知：可以将方程22510m m --=化简为215
20m m
+-=的形式，根据根与系数的关系直接得：
11
m n
的值； （2）将2211m n +变形为2
112m n mn ⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
求解．
解：由22m 5m 10--=知m≠0，
∵215
20m m
+-=， ∵215
20n n
+-=，m ≠n ， ∵11m n
≠， ∵
1m 和1
n
是方程2520x x +-=的两个根， （1）由
1m 和1n 是方程2520x x +-=的两个根得11
2m n
⋅=-， ∵12
mn =-；
经检验：1
2
mn =-是原方程的根，且符合题意．
（2）由1
m
和
1
n
是方程2520
x x
+-=的两个根得
11
5
m n
+=-，
11
2
m n
⋅=-，
∵
2
22
11112
25429 m n m n mn
⎛⎫
+=+-=+=
⎪
⎝⎭
．
【点拨】本题考查一元二次方程根与系数关系，代数式的值，乘法公式，掌握一元二次方程根与系数关系与乘法公式恒等变形是解题关键．
【变式2】定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2（x1＜x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点．
（1）若方程为x2﹣2x＝0，写出该方程的衍生点M的坐标．
（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＜0）的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．（3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx﹣2（k﹣2）的图象上，若有请直接写出b，c的值，若没有说明理由．
【答案】（1）衍生点为M（0，2）；（2）
1
2
-；（3）存在，b＝﹣6，c＝8；
【分析】
（1）求出方程的两根，根据一元二次方程的衍生点即可解决问题；
（2）求出方程的两根，根据一元二次方程的衍生点的定义，再利用正方形的性质构建方程即可解决问题；
（3）求出定点，利用根与系数的关系解决问题即可；
解：（1）∵x2﹣2x＝0，
∵x（x﹣2）＝0，
解得：x1＝0，x2＝2
故方程x2﹣2x＝0的衍生点为M（0，2）．
（2）x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＜0）
∵m＜0
∵2m＜0
解得：x1＝2m，x2＝1，
方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＜0）的衍生点为M（2m，1）．
点M在第二象限内且纵坐标为1，由于过点M向两坐标轴做垂线，两条垂线与x 轴y轴恰好围城一个正方形，
所以2m ＝﹣1，解得1
2
m =-．
（3）存在．
直线y ＝kx ﹣2（k ﹣2）＝k （x ﹣2）+4，过定点M （2，4）， ∵x 2+bx+c ＝0两个根为x 1＝2，x 2＝4， ∵2+4＝﹣b ，2×4＝c ， ∵b ＝﹣6，c ＝8．
【点拨】本题考查一元二次方程的解法及根与系数的关系、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．
类型五、根与系数关系拓展应用2
5、如图，在平面直角坐标系中，∵ABC 的BC 边与x 轴重合，顶点A 在y 轴的正
半轴上，线段OB ，OC （OB OC <）的长是关于x 的方程2760x x -+=的两个根，且满足CO ＝2AO ．
(1)求直线AC 的解析式；
(2)若P 为直线AC 上一个动点，过点P 作PD ∵x 轴，垂足为D ，PD 与直线AB 交于点Q ，设∵CPQ 的面积为S （0S ≠），点P 的横坐标为a ，求S 与a 的函数关系式；
(3)点M 的坐标为()m,2，当∵MAB 为直角三角形时，直接写出m 的值．
【答案】(1)1
32
y x =
+； (2)22721,6042
721,604
2a a a a S a a a ⎧+-⎪⎪=⎨⎪---<<⎪⎩或；
(3)m 的值为－3或－1或2或7；
【分析】
（1）根据一元二次方程的解求出OB 和OC 的长度，然后得到点B ，点C 坐标和OA 的长度，进而得到点A 坐标，最后使用待定系数法即可求出直线AC 的解析式；
（2）根据点A ，点B 坐标使用待定系数法求出直线AB 的解析式，根据直线AB 解析式和直线AC 解析式求出点P ，Q ，D 坐标，进而求出PQ 和CD 的长度，然后根据三角形面积公式求出S ，最后对a 的值进行分类讨论即可；
（3）根据∵MAB 的直角顶点进行分类讨论，然后根据勾股定理求解即可．
(1)解：解方程2760x x -+=得16x =，21x =，
∵线段OB ，OC （OB OC <）的长是关于x 的方程2760x x -+=的两个根，
∵OB ＝1，OC ＝6，
∵()10
B ,，()6,0
C -， ∵CO ＝2AO ，
∵OA ＝3，
∵()0,3A ，
设直线AC 的解析式为()0y kx b k =+≠，
把点()0,3A ，()6,0C -代入得603k b b -+=⎧⎨=⎩
， 解得123
k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∵直线AC 的解析式为132
y x =+； (2)解：设直线AB 的解析式为y =px +q ，
把()0,3A ，()10B ,代入直线AB 解析式得30q p q
=⎧⎨=+⎩， 解得33p q =-⎧⎨=⎩
， ∵直线AB 的解析式为33y x =-+，
∵PD ∵x 轴，垂足为D ，PD 与直线AB 交于点Q ，点P 的横坐标为a ， ∵1,32P a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，(),33Q a a -+，(),0D a ， ∵()1733322
PQ a a a ⎛⎫=-+-+= ⎪⎝⎭，6CD a =+， ∵1176222
S PQ CD a a =⋅=⨯⋅+，
当点P 与点A 或点C 重合时，即当a =0或6a =-时，此时S =0，不符合题意，
当6a <-时，()21772162242S a a a a ⎛⎫⎡⎤=⨯--+=+ ⎪⎣
⎦⎝⎭， 当60a -<<时，()21772162242
S a a a a ⎛⎫=⨯-+=-- ⎪⎝⎭， 当0a >时，()21772162242
S a a a a =⨯+=+， ∵22721,6042721,604
2a a a a S a a a ⎧+-⎪⎪=⎨⎪---<<⎪⎩或； (3)解：∵()0,3A ，()10
B ,，(),2M m ， ∵
AB =
=
AM ==，
BM =
当∵MAB =90°时，222AM AB BM +
=，
∵
22
2+=， 解得3m =-，
当∵ABM =90°时，222AB BM AM
+=，
∵
2
22+=， 解得m =7， 当∵AMB =90°时，222AM BM AB +
=，
∵
222
+=， 解得11m =-，22m =，
∵m 的值为－3或－1或2或7．
【点拨】本题考查解一元二次方程、待定系数法求一次函数解析式、三角形面积公式、勾股定理，正确应用分类讨论思想是解题关键．
【变式1】PAC △在平面直角坐标系中的位置如图所示，AP 与y 轴交于点(0,2)B ，点P 的坐标为(1,3)-，线段OA ，OC 的长分别是方程29140x x -+=的两根，OC OA >．
(1)求线段AC 的长；
(2)动点D 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴负半轴向终点C 运动，过点D 作直线l 与x 轴垂直，设点D 运动的时间为t 秒，直线l 扫过四边形OBPC 的面积为S ，求S 与t 的关系式；
(3)M 为直线l 上一点，在平面内是否存在点N ，使以A ，P ，M ，N 为顶点的四边形
为正方形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)9 (2)()()2212012173174
24t t t S t t t ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩ (3)存在满足条件的N 点，其坐标为（2，3）或（-4，0）或（-1，-3）．
【分析】
（1）解方程可求得OA 、OC 的长，则可求得A 、C 的坐标，从而可得AC 长；
（2）分两种情况：∵当0＜t ≤1时；∵当1＜t ≤7时，利用梯形的面积公式即可求解； （3）分两种情况：∵AP 为正方形的对角线时，∵AP 为正方形的边时，根据正方形以及等腰直角三角形的性质，可求得N 点坐标．
(1)解：解方程x 2﹣9x +14＝0可得x ＝2或x ＝7，
∵线段OA ，OC 的长分别是方程x 2﹣9x +14＝0的两根，且OC ＞OA ，
∵OA ＝2，OC ＝7，
∵A （2，0），C （﹣7，0），
279.AC
(2) 解：过点P 作PH ∵OC 于H ，而()1,3P - ，
1OH ∴=，3PH = ，6CH =
设直线AB 解析式为y ＝kx +b ，而点B （0，2），
∵32k b b -+=⎧⎨=⎩
， 解得12k b =-⎧⎨=⎩， ∵直线AB 解析式为y ＝﹣x +2，
∵如图1所示，当0＜t ≤1时，点E （﹣t ，t +2），
∵S ＝S 梯形OBED ＝21122222
t t t t （0＜t ≤1）； ∵如图2所示，当1＜t ≤7时，
设直线CP 解析式为y ＝mx +n ，
∵
C （﹣7，0），点P 的坐标为（﹣1，3），
∵703m n m n -+=⎧⎨-+=⎩ ，解得1272m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∵直线CP 解析式为1722
y x =
+， 设17,22E t t ， ∵DE ＝1722
t ， ∵S ＝S 梯形OBPH +S 梯形HPED ＝
11172+31+132222t t 217317424t t t ；
综上，()()2212012173174
24t t t S t t t ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩；
图1 图2
(3) 分两种情况：∵AP 为正方形的对角线时，如图3所示，
∵A （2，0），B （0，2），
∵∵OAB ＝45°，
∵四边形AMPN 是正方形，
∵∵P AN ＝45°，∵NAM ＝90°，
∵∵OAB +∵P AN ＝90°，
∵点M 在x 轴上，NA ∵x 轴，NP x ∥轴，
∵N （2，3）；
∵AP 为正方形的边时，如图4所示，
∵∵OAB ＝45°，四边形AMNP 是正方形，
∵∵NAM ＝∵OAB ＝45°，AP ＝AM ，
∵HN ＝PH ＝3，
∵N （-4，0）；
如图5所示，四边形ANMP 是正方形，
∵PH ＝NH ＝3，
∵()1,3N --；
∵N （-4，0）或（-1，-3），
综上可知，存在满足条件的N 点，其坐标为（2，3）或（-4，0）或（-1，-3）．
图3 图4 图5
【点拨】本题为四边形的综合题，考查了一元二次方程、勾股定理、待定系数法、正方形的性质、等腰直角三角形的性质等知识．在（1）中求得OA 、OC 的长是解题的关键，在（2）中分类讨论是解题的关键，在（3）中分类思想的运用是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
【变式2】 菱形ABCD 的边长为5，两条对角线AC 、BD 相交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的两根，求m 的值．
【答案】3m =-．
【分析】由题意可知：菱形ABCD 的边长是5，则AO 2+BO 2=25，则再根据根与系数的关系可得：AO +BO =−(2m −1)，AO ∙BO =m 2+3；代入AO 2+BO 2中，得到关于m 的方程后，即可求得m 的值．
解：∵AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的两根，
设方程的两根为1x 和2x ，可令1OA x =，2OB x =，
∵四边形ABCD 是菱形，
∵AC BD ⊥，
在Rt AOB 中：由勾股定理得：222OA OB AB +=，
∵222125+=x x ，则()2
1212225x x x x +-=，
由根与系数的关系得：12(21)x x m +=--，2123x x m ⋅=+，
∵[]()2
2(21)2325m m ---+=， 整理得：22150m m --=，
解得：15m =，23m =-
又∵0∆>，
∵()22(21)430--+>m m ，解得114
m <-， ∵3m =-．
【点拨】此题主要考查了菱形的性质、勾股定理、以及根与系数的关系，将菱形的性质
与一元二次方程根与系数的关系，以及代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．。