高等数学背景下的高考数学试题探究
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一道高考数学试题的高等数学背景研究
一
从高考数学命 题技 术看 ， 是 通过 语 言转换 ， 一 将 高 中生 不熟悉 的 高等 数学 术语 “ 有界 变差 数列 ”
１ ２ ３ …） 有界 变 差． 明凡 有 有 界 变差 的 ， ，， 有 证
用 其 英 文 简 写 “ 数 列 ” ｂ ｕ ｄ ｄ ａｉ ｉｎ （ｏ ｎ ｅ ｖｒ ｔ ａｏ ｓｑ ｅ ｃ） ｅｕｎ ｅ 这一 新定 义替代 ， 高数语 言初 等化 ， 持 保 原题条件不 变 ， 变其 结论 （ 改 原题 第 ２问的否 定 即 是本试题 的（） ， Ｊ） 以达 到考 查有 界变 差数列 性质 的
若 数 列 ｛ ａ ｝满 足 ： 在 正 数 Ｍ ， 一 切 有 存 对
函数 中 的有 界 变差 函数一 脉相 承．
１ 命 题 渊 源
１ １ 命 题 背 景 ．
Ａ 一 Ｉ ２ １ｌ ３ ２ｌ … ＋Ｉ 口 一ａ 十Ｉ 一ａ ＋ ａ ｎ 一 ｌ『 ａ ≤ Ｍ． 明 ： 列 ｛ 与 ｛ 都 收敛． 证 数 ｎ｝ Ａ ｝
叙 列 ： ，一 １， ，一 ， ，一 ， ， ， １ …
厶 厶 Ｊ ０
（ 首项 为 １ 公 比为 ｑ １ ＜ １ Ｉ） 、 （ ｑｌ ）的等 比数 列 是 否为 Ｂ 数 列 ？ 说 明理 由 ； 一 请
（１ 设 Ｓ 是 数 列 ｛ ｝ Ｉ） 的前 项 和 ， 出 下 列 给 两 组论 断 ：
列ｃ 一１ ｏ ＋寺 ＋÷ ＋…＋ 是发散的， 又是递增
ｒｔ
请 以其 中一 组 中的 一个 论 断为 条 件 ， 一 组 另
中的一个论 断 为结 论 组 成 一个 命 题 ． 断所 给 命 判 题 的真假 ， 并证 明你 的结论 ； （ｌ） 数列 ｛ ，ｂ｝ 是 Ｂ 数 列 ， 明 ： Ｉ 若 １ ａ ｝ ｛ 都 一 证 数
从高考数学命 题技 术看 ， 是 通过 语 言转换 ， 一 将 高 中生 不熟悉 的 高等 数学 术语 “ 有界 变差 数列 ”
１ ２ ３ …） 有界 变 差． 明凡 有 有 界 变差 的 ， ，， 有 证
用 其 英 文 简 写 “ 数 列 ” ｂ ｕ ｄ ｄ ａｉ ｉｎ （ｏ ｎ ｅ ｖｒ ｔ ａｏ ｓｑ ｅ ｃ） ｅｕｎ ｅ 这一 新定 义替代 ， 高数语 言初 等化 ， 持 保 原题条件不 变 ， 变其 结论 （ 改 原题 第 ２问的否 定 即 是本试题 的（） ， Ｊ） 以达 到考 查有 界变 差数列 性质 的
若 数 列 ｛ ａ ｝满 足 ： 在 正 数 Ｍ ， 一 切 有 存 对
函数 中 的有 界 变差 函数一 脉相 承．
１ 命 题 渊 源
１ １ 命 题 背 景 ．
Ａ 一 Ｉ ２ １ｌ ３ ２ｌ … ＋Ｉ 口 一ａ 十Ｉ 一ａ ＋ ａ ｎ 一 ｌ『 ａ ≤ Ｍ． 明 ： 列 ｛ 与 ｛ 都 收敛． 证 数 ｎ｝ Ａ ｝
叙 列 ： ，一 １， ，一 ， ，一 ， ， ， １ …
厶 厶 Ｊ ０
（ 首项 为 １ 公 比为 ｑ １ ＜ １ Ｉ） 、 （ ｑｌ ）的等 比数 列 是 否为 Ｂ 数 列 ？ 说 明理 由 ； 一 请
（１ 设 Ｓ 是 数 列 ｛ ｝ Ｉ） 的前 项 和 ， 出 下 列 给 两 组论 断 ：
列ｃ 一１ ｏ ＋寺 ＋÷ ＋…＋ 是发散的， 又是递增
ｒｔ
请 以其 中一 组 中的 一个 论 断为 条 件 ， 一 组 另
中的一个论 断 为结 论 组 成 一个 命 题 ． 断所 给 命 判 题 的真假 ， 并证 明你 的结论 ； （ｌ） 数列 ｛ ，ｂ｝ 是 Ｂ 数 列 ， 明 ： Ｉ 若 １ ａ ｝ ｛ 都 一 证 数
高考数学试题中的高等数学背景
， Ｊ ｛ 砖 …壕 ≥ ．
≤
．
－
干
一
— — — —
Ｐｂ ｚ ‘— ｂ ‘ —
－
６ ，
—
综上， 得
．
１
４ 。 － ｂ ’ ２ 。 。 。 ＋ 。 ‘ ＂ ＂ 。 。 － ＇ 。 ‘ ｋ — ｂ — — ｂ ｒ ｔ
≤踯 …碑 ≤ 蹭＋６ ； ＋… ＋礤
证明 ：
Ｉ ｎ ｘ ≥ （ １ ｎ ＋ ） （ ． Ｔ － 音 ） ＋ 去 ｌ ｎ １ ， 即ｘ ｌ ｎ ｚ ≥ （ １ ｎ 吉 ＋ １ ） 一 － １ ＿ 。 （ １ ）
构造 函数
ｇ （ ） ＝ － ： ｘ ｌ ｎ 一 １ 斗 １ ） ｚ
＋ （ Ｏ ＜ ＜ １ ） ，
先 证 砖 …磅 ≤ ＋雕＋ … ＋磙 注意
到ｂ ＋６ 。 ＋…＋ 一１ ， 应用琴生不等式得
， Ｊ ｝ 磅 …
一６ ・６ ・ 千
ｌ ｎ ≥ （ １ ｎ － Ｆ １ ） ｂ ￣ 一 寺 ，
当走 一１ ， ２ ， …， ， ｚ 时， 获得 个不 等式 ， 叠加得
例３ （ ２ ０ ｉ １ 年 湖 北高 考 理科 数 学第 ２ １
题） （工）已 知 函 数 ｆ（ ） 一Ｉ ｎ ～－ ｚ＋ １ ， － ｚ ∈（ Ｏ ， ＋∞ ） ， 求 函数 Ｌ ， 、 （ ） 的最 大值． （ １ Ｉ ） 设ａ ， ｂ （ 志 一１ ， ２ ， …， ） 均 为正 数 ，
１ 具 有 凸凹性 背景
（ Ｉ） 证 明： ｎ ＜一
… ：
， 咒 一３ ， ４ ， ５
例１ （ ２ ０ ０ ２ 年高考北京 卷第 １ ２ 题） 如 图１ 所示 ， （ ｚ ） （ 一１ ， ２ ， ３ ， ４ ） 是定义在［ ０ ， １ ］ 上的 ４ 个 函数 ， 其中满足性质 “ 对［ Ｏ ， １ ］ 中 任意的 Ｘ ， 和Ｘ ２ ， 任意 的 ∈［ Ｏ ， １ ］ ， ｆ Ｆ ａ ｘ ＋
≤
．
－
干
一
— — — —
Ｐｂ ｚ ‘— ｂ ‘ —
－
６ ，
—
综上， 得
．
１
４ 。 － ｂ ’ ２ 。 。 。 ＋ 。 ‘ ＂ ＂ 。 。 － ＇ 。 ‘ ｋ — ｂ — — ｂ ｒ ｔ
≤踯 …碑 ≤ 蹭＋６ ； ＋… ＋礤
证明 ：
Ｉ ｎ ｘ ≥ （ １ ｎ ＋ ） （ ． Ｔ － 音 ） ＋ 去 ｌ ｎ １ ， 即ｘ ｌ ｎ ｚ ≥ （ １ ｎ 吉 ＋ １ ） 一 － １ ＿ 。 （ １ ）
构造 函数
ｇ （ ） ＝ － ： ｘ ｌ ｎ 一 １ 斗 １ ） ｚ
＋ （ Ｏ ＜ ＜ １ ） ，
先 证 砖 …磅 ≤ ＋雕＋ … ＋磙 注意
到ｂ ＋６ 。 ＋…＋ 一１ ， 应用琴生不等式得
， Ｊ ｝ 磅 …
一６ ・６ ・ 千
ｌ ｎ ≥ （ １ ｎ － Ｆ １ ） ｂ ￣ 一 寺 ，
当走 一１ ， ２ ， …， ， ｚ 时， 获得 个不 等式 ， 叠加得
例３ （ ２ ０ ｉ １ 年 湖 北高 考 理科 数 学第 ２ １
题） （工）已 知 函 数 ｆ（ ） 一Ｉ ｎ ～－ ｚ＋ １ ， － ｚ ∈（ Ｏ ， ＋∞ ） ， 求 函数 Ｌ ， 、 （ ） 的最 大值． （ １ Ｉ ） 设ａ ， ｂ （ 志 一１ ， ２ ， …， ） 均 为正 数 ，
１ 具 有 凸凹性 背景
（ Ｉ） 证 明： ｎ ＜一
… ：
， 咒 一３ ， ４ ， ５
例１ （ ２ ０ ０ ２ 年高考北京 卷第 １ ２ 题） 如 图１ 所示 ， （ ｚ ） （ 一１ ， ２ ， ３ ， ４ ） 是定义在［ ０ ， １ ］ 上的 ４ 个 函数 ， 其中满足性质 “ 对［ Ｏ ， １ ］ 中 任意的 Ｘ ， 和Ｘ ２ ， 任意 的 ∈［ Ｏ ， １ ］ ， ｆ Ｆ ａ ｘ ＋
基于高观点的高考数学试题赏析
教学 参谋 新颖试题 ２０２０年４月
基于高观点的高考数学试题赏析
? 福建省同安第一中学 谭新华
高考命题专家团队主要以大学教授为主，命题专 家命题时不可避免会涉及自己的研究领域和研究喜 好．由 于 高 考 的 选 拔 功 能，高 考 命 题 专 家 越 来 越 青 睐 基于高等数学背景命制试题，意在考查考生进入高校 进一步学 习 的 潜 能．近 年 来 的 高 考 试 题 中，涌 现 了 不 少高观点试题，其 特 点 为 背 景 新、立 意 高、设 问 巧，形 成了一道亮丽的 风 景．本 文 从 “高 观 点 ”的 角 度 出 发， 对几道典型高考数学试题的命题背景作了分析．
Ａ．４５ Ｂ．６０ Ｃ．１２０ Ｄ．２１０ 解析：由 题 意 知 犳（３，０）＝Ｃ３ ６Ｃ０ ４，犳（２，１）＝Ｃ２ ６Ｃ１ ４， 犳（１，２）＝Ｃ１ ６Ｃ２ ４，犳（０，３）＝Ｃ０ ６Ｃ３ ４，因此犳（３，０）＋犳（２，１） ＋犳（１，２）＋犳（０，３）＝１２０． 背景：本题的命题背景是组合数学中的范德蒙恒 等式 Ｃ狀０Ｃ狉犿 ＋Ｃ狀１Ｃ狉犿－１ ＋ … ＋Ｃ狉狀Ｃ０犿 ＝Ｃ狉狀＋犿 ，这个恒等式 可以利用母函数或者结合组合意义证明．
如图１，图２，当四边形犃犅犆犇 的边犃犇 上有５个整 点时，犖（狋）＝９；
如图３，当四边形 犃犅犆犇 的边犃犇 上有３个整点 时，犖（狋）＝１１；
如图４，当四边形 犃犅犆犇 的边犃犇 上有２个整点 时，犖（狋）＝１２．
所以选 Ｃ．
一、范德蒙恒等式
例１ （２０１４·浙江卷）在（１＋狓）６（１＋狔）４ 的展开 式中，记狓犿狔狀 项的系数为犳（犿，狀），则犳（３，０）＋犳（２， １）＋犳（１，２）＋犳（０，３）＝（ ）．
图１ 图２
图３ 图４
背景：对于格点多边形（顶点都是格点）的面积与
基于高观点的高考数学试题赏析
? 福建省同安第一中学 谭新华
高考命题专家团队主要以大学教授为主，命题专 家命题时不可避免会涉及自己的研究领域和研究喜 好．由 于 高 考 的 选 拔 功 能，高 考 命 题 专 家 越 来 越 青 睐 基于高等数学背景命制试题，意在考查考生进入高校 进一步学 习 的 潜 能．近 年 来 的 高 考 试 题 中，涌 现 了 不 少高观点试题，其 特 点 为 背 景 新、立 意 高、设 问 巧，形 成了一道亮丽的 风 景．本 文 从 “高 观 点 ”的 角 度 出 发， 对几道典型高考数学试题的命题背景作了分析．
Ａ．４５ Ｂ．６０ Ｃ．１２０ Ｄ．２１０ 解析：由 题 意 知 犳（３，０）＝Ｃ３ ６Ｃ０ ４，犳（２，１）＝Ｃ２ ６Ｃ１ ４， 犳（１，２）＝Ｃ１ ６Ｃ２ ４，犳（０，３）＝Ｃ０ ６Ｃ３ ４，因此犳（３，０）＋犳（２，１） ＋犳（１，２）＋犳（０，３）＝１２０． 背景：本题的命题背景是组合数学中的范德蒙恒 等式 Ｃ狀０Ｃ狉犿 ＋Ｃ狀１Ｃ狉犿－１ ＋ … ＋Ｃ狉狀Ｃ０犿 ＝Ｃ狉狀＋犿 ，这个恒等式 可以利用母函数或者结合组合意义证明．
如图１，图２，当四边形犃犅犆犇 的边犃犇 上有５个整 点时，犖（狋）＝９；
如图３，当四边形 犃犅犆犇 的边犃犇 上有３个整点 时，犖（狋）＝１１；
如图４，当四边形 犃犅犆犇 的边犃犇 上有２个整点 时，犖（狋）＝１２．
所以选 Ｃ．
一、范德蒙恒等式
例１ （２０１４·浙江卷）在（１＋狓）６（１＋狔）４ 的展开 式中，记狓犿狔狀 项的系数为犳（犿，狀），则犳（３，０）＋犳（２， １）＋犳（１，２）＋犳（０，３）＝（ ）．
图１ 图２
图３ 图４
背景：对于格点多边形（顶点都是格点）的面积与
一类具有高等数学背景的高考压轴题的解法
Ｖ ＝ ｛ 一 ２ ， ２ ， 一 ３ ， ３ ， 一 ４ ， ４ ， 一 ５ ． ５ …｝ ，即 除去 一 １ ， ０ ， ｌ 的
； ｖ Ｉ ｙ ＝ ， Ｉ ） ， ∈Ｍ ｝ ， 给 出 下列 四个 判 断 ： ①若Ｐ ｕ朋＿ － ， 则 Ｐ） ｎ厂 （ Ｍ） ： （ 若Ｐ ｎ ≠ ， 则厂 （ 尸 ） Ｕｉ （ Ｍ） ＝ Ｒ （ 若Ｐ ＵＭ＝ Ｒ， 则， （ Ｐ ） Ｕ， 【 ） ≠ （ 若尸 ｕ ≠ ， 则 Ｐ） ｕ厂 【 Ｍ） ≠Ｒ 其中正确判断有（ ） 。
以 下 是我 做 的一 些 尝试 。 第 一次， 从奇偶 的角度举例。令 是奇数集 ， 是 偶 数 集 ，满 足 ｎ ＝ 西， ｕＶ ＝ ｚ，且 Ｖ。 ， ｂ ， ｃ∈Ｔ ， 有 ａ ｂ ｃ∈Ｔ ， Ｖ ， Ｙ ， ∈Ｖ， 有ｘ ｙ ｘ∈Ｖ， 此 时Ｔ 、 对乘 法都 是封闭的 ；
一
Ａ ． ①②
ｆ ０． ｘ＝２
Ｂ ． ①③
ｃ ． ②④
Ｄ ． ③Байду номын сангаас
解析 ： （ １ ） 的反例 ， 可 以举 带 有 间 断 点 的， （ ） ：
【 ２ ， ∈ｌ １ ， ２ ） Ｕ（ ２ ， ３ Ｊ
举例需要技术 ， 举的例子必须典 型 ， 有代表 性 ； 每次举例需有甄别性 ， 从不 同的角度认识 同一事物 ， 横看成岭侧成峰 ； 举 的例子必须满足题 目的条件。
的两 个 不 相 交 的非 空 子 集 ， ｕ ＝ ｚ， 且 Ｖ０ ， ｂ ， ｃ ∈ ， 有ｎ ６ ｃ∈Ｔ ， Ｖ ， ｖ ， Ｅ Ｖ ，有 ｘ ｙ ｚ ＥＴ ， Ｖ ， ｖ ， ｚ Ｅ Ｖ ， 有 ｘ ｙ ｚ∈Ｖ ， 则下 列 结 论 恒 成 立 的 是 （ ） 。
Ａ ． 、 ｌ ， 中至少有一个关于乘法是封闭的 Ｂ ． 、 中至多有一个关 于乘法是封闭的 Ｃ ． Ｔ 、 Ｖ 中且只有一个关 于乘法是封闭的 Ｄ 中每一个关于乘法都是封 闭的 这是一道具有高等数学背景 的高考题 ，还是一 道选择乐轴题。 从 学 生 实 际水 平 的角 度 出发 ， 不 可 能
； ｖ Ｉ ｙ ＝ ， Ｉ ） ， ∈Ｍ ｝ ， 给 出 下列 四个 判 断 ： ①若Ｐ ｕ朋＿ － ， 则 Ｐ） ｎ厂 （ Ｍ） ： （ 若Ｐ ｎ ≠ ， 则厂 （ 尸 ） Ｕｉ （ Ｍ） ＝ Ｒ （ 若Ｐ ＵＭ＝ Ｒ， 则， （ Ｐ ） Ｕ， 【 ） ≠ （ 若尸 ｕ ≠ ， 则 Ｐ） ｕ厂 【 Ｍ） ≠Ｒ 其中正确判断有（ ） 。
以 下 是我 做 的一 些 尝试 。 第 一次， 从奇偶 的角度举例。令 是奇数集 ， 是 偶 数 集 ，满 足 ｎ ＝ 西， ｕＶ ＝ ｚ，且 Ｖ。 ， ｂ ， ｃ∈Ｔ ， 有 ａ ｂ ｃ∈Ｔ ， Ｖ ， Ｙ ， ∈Ｖ， 有ｘ ｙ ｘ∈Ｖ， 此 时Ｔ 、 对乘 法都 是封闭的 ；
一
Ａ ． ①②
ｆ ０． ｘ＝２
Ｂ ． ①③
ｃ ． ②④
Ｄ ． ③Байду номын сангаас
解析 ： （ １ ） 的反例 ， 可 以举 带 有 间 断 点 的， （ ） ：
【 ２ ， ∈ｌ １ ， ２ ） Ｕ（ ２ ， ３ Ｊ
举例需要技术 ， 举的例子必须典 型 ， 有代表 性 ； 每次举例需有甄别性 ， 从不 同的角度认识 同一事物 ， 横看成岭侧成峰 ； 举 的例子必须满足题 目的条件。
的两 个 不 相 交 的非 空 子 集 ， ｕ ＝ ｚ， 且 Ｖ０ ， ｂ ， ｃ ∈ ， 有ｎ ６ ｃ∈Ｔ ， Ｖ ， ｖ ， Ｅ Ｖ ，有 ｘ ｙ ｚ ＥＴ ， Ｖ ， ｖ ， ｚ Ｅ Ｖ ， 有 ｘ ｙ ｚ∈Ｖ ， 则下 列 结 论 恒 成 立 的 是 （ ） 。
Ａ ． 、 ｌ ， 中至少有一个关于乘法是封闭的 Ｂ ． 、 中至多有一个关 于乘法是封闭的 Ｃ ． Ｔ 、 Ｖ 中且只有一个关 于乘法是封闭的 Ｄ 中每一个关于乘法都是封 闭的 这是一道具有高等数学背景 的高考题 ，还是一 道选择乐轴题。 从 学 生 实 际水 平 的角 度 出发 ， 不 可 能
试析高等数学背景下的高考试题
关键 词
高等 数 学； 背景 ；高考试 题
３以琴生不等式为背景的试题
例３ （ 同 例２ ）。 我们 来看 第（ ２ ） 问左端 的证 明
明 ：当整数 ｍ＞１ 时 ，方程ｆ （ ｘ ） ＝ ０ 在［ ｅ － ｍ － ｍ， ｅ ２ ｍ — ｍ］ 内有 两 个实根 （ ２ ０ ０ ４ 年 高考 广 ‘ 东 卷２ １ 题） 本题 中给 出 的定 理 ， 正 是 介 值 定理 的 特 殊情 形一 零 点定理 。 （ １ ）略 。 （ ２）证 明 ：当时 ｍ＞ｌ 时， ｆ （ ｘ ） 在【 ｅ — ｍ， １ － ｍ］ ＊ ｌ 【 １ － ｍ， ｅ ２ ｍ ＿ ｍ］ 上 都连 续 可导 ｆ （ ｅ 。 。 ” 一 ｍ） ＝ ｅ 一 ｍ （ 一 ｍ） ： ｅ ” ＞Ｏ
出 了新 的 研 究课 题 。
ａ＋ 方
域 内为递 增 函数 又
Ｔ
，所以
ｇ （ ｑ ： ） ＞ ｇ （ ｑ １ ） Ｂ 口 ｇ （ ｇ ２ ） 一 ｇ（ ｑ Ｉ ） ＞ ０ 。 同时ｂ － ａ ＞Ｏ ，所以
ｇ （ 口 ） ＋ｇ （ ６ ） 一２ ｇ（ — ａ ＋ ＝ 一 ｂ ） ＞ ０
．
（ ）
一
，
。
．
．
’
．
．
．
．
．
．
ｇ （ ｍ） ＝ ｅ ２ ｍ ＿３ ｍ＞ｅ ２ －３ ＞０
ｘ ， ｘ ， …， ｘ 为 不全相 等 的正数 ，
ｘ ｌ ｘ２
・ ・ ・
ｆ （ ｅ ２ ｍ － ｍ） ＞０ 当ｘ∈ （ １ 一 ｍ， ｅ ２ Ｉ ｎ — ｍ） 时，
１
・
．
・ ｇ （ ） ＝ｘ ｌ ｎ ｘ ， ． ’ （ ｘ ） ＝ｌ ｎ ｘ ＋ｌ， ｇ（ ， 一 ｘ
“高观点”下数学试题编写的模式探究
Ｍ ａｈ ｍ ａｉ ｓ ｔ ｅ ｔｃ Ｅｄ ａ ｉｎ ｕｃ ｔｏ
０ ｛ ２ １ ０ ０
摘 要 ：近几年 高考数 学试题 中出现 了大量与 高等数 学衔接 紧 密的 问题 ，以近三 午各地 高考数 学试题 为例 ，剖 析此类 问题
的 解题 方 法 和 命 题 背 繁 ， 总 结得 到 以 高 等 数 学概 念或 符 号 、公
、
以 高等 数 学 概 念 、符 号 为 背 景设 计 试 题
１ 高等 数 学概 念 为 背景 ．以 高 等数 学 的 许 多 概 念 址 ・ 学 数 学 的延 伸 ， 以有 界 函数 、闭 ｉ 】
２ ．以高等数 学符号为背景 高等数学 中涉及很 多符号 ，以［ 表示取整 函数 、ｎ表示连 ］
整数集是数域 ； ② 特有理数集 Ｑ ，则数集 必为数 域 ；
（ Ｙ［ ］ Ａ ＝斋 ）
（ ｃ ｈ＝ ］
（）＝ ＢＹ ［ ］
（）＝ ＤＹ［ ］
收 稿 日期 ：２ １— ５ ０ ０ ０ — ５ １
作者简介 ：张夏强 （９ ９ ） １７ 一 ，男，福建 闽清人 ，中学一级 教师，硕士 ，主要从事 中学数学解题 与命题等方 面的研 究
６、ａ 、 ｂ
ｆ Ｊ
∈Ｐ （ 除数 ｂ ） ≠０ ，则称 Ｐ是一个数域． 如有理数 集 例
人数 Ｙ与该班 人数 之川 的 数关 系用取整 函数 Ｙ＝［ （ ］ ］ 表
示 不 大 于 的 最 大整 数 Ｉ 表示 为 （ 以 ） ．
Ｑ 是数域 ；数集 Ｆ＝｛ ＋ 、 ２ “ Ｑ｝ “ ６／ 、ｂ 效 地 考食学 的思维 能 和 继续学 习数 学的潜 能 ， 也是数域 ，＠正确．故答案选④④． 【 点评】本题 以高等代数 中 “ 域” 的概 念为背景，其 实质 是 ｉ成 为高 考 命 题 的 一 道 亮 的 “ 景 ” 文 以 近 ． 各 地 （ Ｉ 风 ．本 二年 王 除数不 勺 高 考 数 学 试 题 为 例 ，剖 析 此 类 Ｍ 题 的 解 题 方 法 和 命 题 背 景 ，就 对于 数集 Ｐ中的 『意 两个 数满足 四则运 算 的封 闭性 （ 零 ） 考 查 学 生 面对 新 概念 ， 灵 活利 用 合 情 推理 训 练 思 维 正 向迂 ， ｒ 观点”斌题 的编写模 式进行初 探 ，希望能起到抛砖引玉的作
０ ｛ ２ １ ０ ０
摘 要 ：近几年 高考数 学试题 中出现 了大量与 高等数 学衔接 紧 密的 问题 ，以近三 午各地 高考数 学试题 为例 ，剖 析此类 问题
的 解题 方 法 和 命 题 背 繁 ， 总 结得 到 以 高 等 数 学概 念或 符 号 、公
、
以 高等 数 学 概 念 、符 号 为 背 景设 计 试 题
１ 高等 数 学概 念 为 背景 ．以 高 等数 学 的 许 多 概 念 址 ・ 学 数 学 的延 伸 ， 以有 界 函数 、闭 ｉ 】
２ ．以高等数 学符号为背景 高等数学 中涉及很 多符号 ，以［ 表示取整 函数 、ｎ表示连 ］
整数集是数域 ； ② 特有理数集 Ｑ ，则数集 必为数 域 ；
（ Ｙ［ ］ Ａ ＝斋 ）
（ ｃ ｈ＝ ］
（）＝ ＢＹ ［ ］
（）＝ ＤＹ［ ］
收 稿 日期 ：２ １— ５ ０ ０ ０ — ５ １
作者简介 ：张夏强 （９ ９ ） １７ 一 ，男，福建 闽清人 ，中学一级 教师，硕士 ，主要从事 中学数学解题 与命题等方 面的研 究
６、ａ 、 ｂ
ｆ Ｊ
∈Ｐ （ 除数 ｂ ） ≠０ ，则称 Ｐ是一个数域． 如有理数 集 例
人数 Ｙ与该班 人数 之川 的 数关 系用取整 函数 Ｙ＝［ （ ］ ］ 表
示 不 大 于 的 最 大整 数 Ｉ 表示 为 （ 以 ） ．
Ｑ 是数域 ；数集 Ｆ＝｛ ＋ 、 ２ “ Ｑ｝ “ ６／ 、ｂ 效 地 考食学 的思维 能 和 继续学 习数 学的潜 能 ， 也是数域 ，＠正确．故答案选④④． 【 点评】本题 以高等代数 中 “ 域” 的概 念为背景，其 实质 是 ｉ成 为高 考 命 题 的 一 道 亮 的 “ 景 ” 文 以 近 ． 各 地 （ Ｉ 风 ．本 二年 王 除数不 勺 高 考 数 学 试 题 为 例 ，剖 析 此 类 Ｍ 题 的 解 题 方 法 和 命 题 背 景 ，就 对于 数集 Ｐ中的 『意 两个 数满足 四则运 算 的封 闭性 （ 零 ） 考 查 学 生 面对 新 概念 ， 灵 活利 用 合 情 推理 训 练 思 维 正 向迂 ， ｒ 观点”斌题 的编写模 式进行初 探 ，希望能起到抛砖引玉的作
高等数学背景下的高考命题探究_2_省略_12年全国数学高考理科卷第22题_杨思源
2， 4］上连续， f ' （ x） = 在区间［ 2x － 2 ＞ 0， f ″ （ x ） = 2 ＞ 0， 且 f（ 2 ） = － 3 ＜ 0 ， f（ 4 ） = 5 ＞ 0 ． 图3
第1 期
杨思源: 高等数学背景下的高考命题探究
· 25· x n +1 － 3 = xn + 1 = xn － 3 ； xn + 2 （ 3） （ 4）
（ 由 αγ≠β 可知 λ ≠α） ．
2 当（ γ － α） + 4 β≠0 时， 有
a n + 1 － λ1 = a n + 1 － λ2 = 从而
α － λ1 （ a － λ1 ） ； an + γ n α － λ2 （ a － λ2 ） ， an + γ n
3 或 x = － 1， 因此
a n + 1 － λ1 α － λ1 a n － λ1 = · ， a n + 1 － λ2 α － λ2 a n － λ2
· 24·
中学教研 ( 数学)
2013 年
高 等数学背景下的高考命题探究
— — —2012 年全国数学高考理科卷第 22 题
●杨思源
( 嘉定区第一中学 上海 201808 )
2 题目 设函数 f （ x ） = x － 2 x － 3 ， 定义数列 ｛ x n ｝ 如 下： x1 = 2 ， xn + 1 是 过 点 P （ 4， 5） ， Qn （ xn ， f（ x n ） ） 的直线 PQ n 与 x 轴交点的横坐标． （ 1 ） 证明： 2 ≤x n ＜ x n + 1 ＜ 3 ； （ 2 ） 求数列｛ x n ｝ 的通项公式．
5（ xn + 1） ． xn + 2
高等数学背景下的函数与不等式高考试题分析
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｗ ｉｈ ｒ ｌｔｄ ｋ ｏ ｅ ｇ ｆａ ｖ ｎ ｅ ｔ ｅ ｃ ｉｓ，ｗｅ ａ ｐｙ ｔ ｅ ｐ ｏ ｅ ｔｅ ｆｃ ｎ ｉ ｕ ｕ ｕ ｃ ｉｎ ｓｒ ｃ ｔ ｅ ａｅ ｎ ｗｌ ｄ ｅ ｏ ｄ ａ ｃ ｄ ｍａ ｍａ ｔ ｈ ｃ ｐ ｌ ｒ ｐ ｒｉｓ ｏ ｏ ｔｎ ｏ ｓｆ ｎ ｔ ｈ ｏ
在知 识上 以函数 和不 等式为 载体研究 相关 函数 的性 质 ； 在方 法上 重 点考 查求 一 阶 导数 、 阶 导数 ， 断 二 判
函数 的单调 性 ， 放缩 法 等方法 和数形 结合 的思 想 。 由于本 文 出现 的定 理在 各 版本 的高 等数 学 或数 学 分 析 中都 可 以查 到 ， 以定 理 的证 明过程 略去 ， 所 仅使 用其结 论 。对于本 文 中不属 于 以高等数 学 中的有关 知
ｉ ｌｓ ｄｉｔｒａ ｎ ｉｏｏ ｓｃ ｎ ｅ ｕ ｃｉｎ，ａ ｄＪ ｎ ｅ ’ ｎ ｑ ａｉ ｏａ ａｙｅ ａ ｄ ｓｌｅ ｓｍｅｔｓ ｕ ｓ ｎ ｃｏｅ ｎｅｖ ｌａ ｄｒ ｒｕ ｏ ｖ ｘｆｎ ｔ ｇ ｏ ｎ ｅ ｓ ｎ Ｓｉｅ ｕ ｌｙｔ ｎ ｌｓ ｎ ｏｖ ｏ ｅｔｑ ｅ— ｔ
第２ ９卷第 ６期 ２０ ０ ９年 １ ２月
黄
冈
９ 范 币
学
院
学
报
Ｖｏ ． ９ Ｎ ． １２ ｏ ６ Ｄ ｃ２ ０ ｅ ．０９
Ｊ ｕｎ ｌｏ ａ ｇ ａ ｇＮｏｍａ ｉｅｓｙ ｏ ｒａ ｆＨｕ ｎ ｇ ｎ ｒ ｌＵｎｖｒｉ ｔ
高等 数学 背景下 的函数 与不等 式高考试题 分析
收稿 日期 ：０ ９０ —２ ２０ －４２ ．
～／， Ｃ 求使 Ｉ－ ） ≤１ Ｘ ｆ ｘ ｌ 在 ∈［ ， （ ０ ＋∞） 恒成 上
高考数学试题的高等数学背景分析
行 式 列
Ｓ—的 是 Ｉ ｆ值 ｎｌ ６
— —
．
ｃｏｓ
试 题 ，学 生在 短 时 间 内要理 解 这 抽象 概 念 ，有 一定 的难 度 ，故作 为 填 空最 后 一题 ，具有 选 拔性 ．同类
题 型可见 ２ ０ ０ ６年高 考 四川卷 ・ １ ． 理 ６ 初 等数 学 的学 习多是 和 具体 的数字 打交道 ，而
高考数学试题 的高等数 学背景分析
郑 敏 龚梅 勇 陈清 华
１ 福建师范大学协和学院信息技术系 （５ １８ ３００ ） ２ 福建省福州第一中学 （５０ １ ３００ ） ３福建 师范大 学数 学与计 算机 科学 学 院（５ ０ ７ ３ ００） 高考数学命题强调“ 能力立意” 、追求“ 合理 区 分 ” 这就 必然地 要求 高考 数学命 题重视 “ ， 潜能考 查 ” ， 高 等数 学 （ 别 是分 析 学 、代数 学 等 ） 的一 些知 识 特 也就 极 为 自然 地成 了高考 数 学命 题设 置 以潜 能 考查
２
福 建 中学数 学
２ １ 第 １ 期 ０ ０年 １
的 ，我们 从高 中数学新 课程 的选修 模 块 的设 置上 ，
已经 可 以看 出这 种联 系是“ 泛而深 刻” ． 广 的 展 望 对 “ 系” 联 ，绝不 能乐观 ．基于 中 国的 国情 ，基于
真真 正正 地实 验 或实践 起来 ．尽管 课改 专家在 呼吁 ，
ｂ ～ ａ；
近 世代 数 的 内容 多 是 用集合 符 号 等表 示抽 象概 念 ，这 些概 念 其实 是 初 等数 学 中许 多 同类 知识 的抽
象升华 ，若是能注意到这点 ，以所熟悉 的初等数学 知识为为例子 ，来学 习 近世代数 ，将会事半功 倍 ．事实上 ，这种学习方式对高等数学许多其他 方 面知识的学 习同样十分有效 ．高考试题中的此类题 型不仅 考 查 了学 生 的学 习理 解 能力 ，更对 学 生未 来 学 习高 等数 学有 很好 的启 发作 用 ． 例 ２ （００年 高考 山东卷 ・ ）定义 平 面 向量 ２１ 理 之 间的一 种运 算“ 如 下 ，对任 意 的 ａ ， ， ｏ” ＝（ ）
以数学思想为背景的高观点试题探析
按等 差数 列 的性 质进 行计 算则 显 然运算 量 较大 ！如 果偏偏 特取 ＡＢＣ 的数 均为 ，， 处
、 ）
（ ＋ ２ ① ，ｌ Ｘ ｘ） Ｘ－ ２￣ ４一…② Ｆ ＿
ｔ Ｘ２ ｌ 十 ２
・≤０・ ］、 （ ．ａｎ／ ｚ ．
≥ａｎ １
一 ③
试题 的设计 虽来源 于高等数 学 ，起 点高 、 但
・ 一
， — ｎ ３ （ 一 ）ｎ １ 由累 加 法推 知 ： ６ ａ １ ＋ ｎ ２＝ ＋ ， 一
一
利 用数 形结 合 的
思想 ， 就
６［ ５６．＋ ＋ ） １ｌ ＋ ＋＋＋． （ １］ ＿： ４ ． 一 个 ， ＿
指导中学数学教学， 提高教学质量和教学水
平， 拓广学生 的解题 思路 ， 高解题 能力。 提
０ Ｊ
，
易 知 ４时
应 的原型和 特例联 系起 来。这样 ， 不仅 能 就 够 加深对高 等数学 的理 解 ， 而且能使 我们 准 确 把握 中学 数学 的本 质和关 键 ， 而高屋建 从 瓴地 处理 中学教 材 ， 等数学 的思想 方法 用高
有 啦＝ ， ， 数列 啦＝ ，３１ ， ＝ ５ １ … 探讨 ５ ６ａ Ｏａ ＝ ４ ，
Ｘ２ Ｉ Ｘ
考查数学思想 ， 促进考生数学理 ｆ思维的发 生 ｌ
展。本文 以数学思想 为背景的高观 点试题为
例 ， 析 了其命题 背景和解题方法 。 探
一
只 证 ＋掣 需 明２
％ Ｘ。 １
＂
一 一＞ 恒 １成
Ｘｌ ２ Ｘ
２
立， 即证 。 ＋ 。 ：
明略 。
析 、 论证 能 力 的要 求 比较 高 ， 要 求 推理 这就 思 维严 密 ， 头脑清 醒。
一道高观点下的数学高考压轴题----李普希茨条件
一道高观点下的数学高考压轴题518102 广东深圳宝安西乡中学 李兴无今年北京高考理科数学最后一道大题（第20题）是有关抽象函数的不等式的证明题，认真分析研究该题中的（Ⅱ），发现这是一道具有高等数学知识背景的试题。
本文给出这个问题的两个推广，其中后一个推广是用微积分学中的李普希茨（R.Lipschitz ）条件表述。
第20题：设)(x f y =是定义在区间]1,1[-上的函数，且满足条件： （ⅰ）0)1()1(==-f f ；（ⅱ）对任意的]1,1[,-∈v u ，都有v u v f u f -≤-)()(。
（Ⅰ）证明：对任意的]1,1[-∈x ，都有x x f x -≤≤-1)(1；（Ⅱ）证明：对任意的]1,1[,-∈v u ，都有1)()(≤-v f u f ；（Ⅲ）在区间]1,1[-上是否存在满足题设条件的奇函数)(x f y =，使得v u v f u f -<-)()(，当]21,0[,∈v u ，v u v f u f -=-)()(，当]1,21[,∈v u 。
若存在，请举一例；若不存在，请说明理由。
推广一：函数)(x f 定义在],[b a 上，)()(b f a f =，且满足条件： 对任意的],,[,21b a x x ∈都有2121)()(x x x f x f -≤-，则必有 2)()(21a b x f x f -≤-。
证明：（ⅰ）当221a b x x -≤-时，由2)()(2121a b x x x f x f -≤-≤-知， 显然成立。
（ⅱ）当221a b x x ->-时，不妨设21x x <，则221a b x x --<-，从而 )()()()()()(2121x f b f a f x f x f x f -+-=-)()()()(21x f b f a f x f -+-≤2121x b a x x b a x -+-=-+-≤2221a b a b a b x x a b -=---<-+-=. 综合可知，总有2)()(21a b x f x f -≤-成立。
例析高考题中的高等数学背景
・
２ ０・
中 学
生
理
科
应
试
２１． ， ０ １５６
例 析 高考题 中 的高 等数 学 背景
福建 省石狮 石光 华侨 联合 中学
１ 以“ 限”的定义 为背景 ． 极
（６７０ ３２０ ）
林建森
马 雪波
例 １ （ ０ ０年福建 高考题 ） 于具有相 同定义 ２１ 对
极限是 高 等数 学 中微 积分 的 基础 概 念 ， 它包 括
ｇ ） ０ （ 一 ；
对 于集 合 Ｓ： ｛ ， 然满足 素有 条 件 ， Ｓ是 ０｝显 但
对 ）ｇ ） 于③ 一（ ÷一 设Ａ ） 志， （ ：
＜１选 Ａ．
，
种办法靠直觉思维 ， “ 并非 信手拈来”直觉是建立在积 ．
累之上所养成的习惯 ， 积淀既深便是一种“ 自然行为 ” ．
六 、 用 极 限 采
例 ７ 一个 正 四棱 台上 、 下底 面边 长分 别 为 ａ ， ｂ 高为 ｈ， ， 且侧 面积等 于两底 面积 之 和 ， 下列 关 系 则 中正确 的是 （ ） ．
Ｄ， 使 得 当 ∈ Ｄ 且 ＞ ‰ 时 ， 总 有
ｆ ＜厂 ０ （ ）一ｈ ） ＜ ｍ （
设 ｛ 为一 个数列 ， 为一确 定 的常数 ， ａ｝ ａ 若对任 意 ｓ＞０ 存在 正整数 Ｎ， ｎ＞Ｎ时 ， Ｉ ａ ＜ ， 当 有 Ⅱ 一 Ｉ
，
ｔ ＜ （ ０ ）一ｇ ）＜ ｍ （
极 限思想方法 是变 量 数学 的基本 思 想 方法 ， 运
用极 限观点 、 思想 、 方法分析 问题 ， 问题 ， 解决 不但 能
激发 学 习数 学的兴趣 ， 而且解决某 些 问题十分 简单．
２ ０・
中 学
生
理
科
应
试
２１． ， ０ １５６
例 析 高考题 中 的高 等数 学 背景
福建 省石狮 石光 华侨 联合 中学
１ 以“ 限”的定义 为背景 ． 极
（６７０ ３２０ ）
林建森
马 雪波
例 １ （ ０ ０年福建 高考题 ） 于具有相 同定义 ２１ 对
极限是 高 等数 学 中微 积分 的 基础 概 念 ， 它包 括
ｇ ） ０ （ 一 ；
对 于集 合 Ｓ： ｛ ， 然满足 素有 条 件 ， Ｓ是 ０｝显 但
对 ）ｇ ） 于③ 一（ ÷一 设Ａ ） 志， （ ：
＜１选 Ａ．
，
种办法靠直觉思维 ， “ 并非 信手拈来”直觉是建立在积 ．
累之上所养成的习惯 ， 积淀既深便是一种“ 自然行为 ” ．
六 、 用 极 限 采
例 ７ 一个 正 四棱 台上 、 下底 面边 长分 别 为 ａ ， ｂ 高为 ｈ， ， 且侧 面积等 于两底 面积 之 和 ， 下列 关 系 则 中正确 的是 （ ） ．
Ｄ， 使 得 当 ∈ Ｄ 且 ＞ ‰ 时 ， 总 有
ｆ ＜厂 ０ （ ）一ｈ ） ＜ ｍ （
设 ｛ 为一 个数列 ， 为一确 定 的常数 ， ａ｝ ａ 若对任 意 ｓ＞０ 存在 正整数 Ｎ， ｎ＞Ｎ时 ， Ｉ ａ ＜ ， 当 有 Ⅱ 一 Ｉ
，
ｔ ＜ （ ０ ）一ｇ ）＜ ｍ （
极 限思想方法 是变 量 数学 的基本 思 想 方法 ， 运
用极 限观点 、 思想 、 方法分析 问题 ， 问题 ， 解决 不但 能
激发 学 习数 学的兴趣 ， 而且解决某 些 问题十分 简单．
基于高等数学背景下的高考题命制形式的探讨
题 层 出 不 穷 ，并 有 进 一 步 升 温 的 趋 势 ． 这 类 题 目 ． 以更 高 的 观 点 来 检测 学 生 既
一 执 械一祛 一～ 龇一 一
１ ￣ ２， （ ：— － ； ０ ＋ ｇ ） ２ ３ ｘ
—
线 ” 定义域均为Ｄ ｛ｌ ｌ的 四组 函数 ． ＝ ｘ ｝ ＞
的题 目是 高 考 中 的 热 点 中的“ 本 函
数极限” 的定 义 而 变 形命 制 ．
） 以高等数 学 的概念 、 号命题 符
近 年 来 ， 考 数 学 命 题 的 一 个 特 点 高
即 追 求 新 情 境 、 立 意 ． 加 注 重 试 题 新 更
力 、 用 能 力 与 迁 移 能 力 的“ 大 法 宝 ” 应 一 ．
有 ）Ａｌ ， — ｓ 那么ｇ （） 。时以 ＜ ｒ ｘ当 — 。 ｆ ，
Ａ为极 限．
为 熟 悉 、 抽 象 为 具 体 的 能 力 ， 需 要 化 也 学 生 对 集 合 概念 保 持 一 定 的 敏感 度 ．
，
，
ａ ＜ １ －ｂ
－．
…
’ 函数 设
，
） （ ２ ０ （— ， ＝ 一 ） ） ∈Ｒ．若 函数 ） ， ＝
ｆ ￣ － 的 图 象 与 恰 有 两 个 公 共 点 ， （）Ｃ 轴 则
实数 ｃ 的取 值 范 围是 （ ）
例 １ （０ ０ 建 卷 ） 于 具 有 相 同 ２ １福 对 定 义 域Ｄ的函 ｔｆｘ 和ｇｘ ， 存 在 函 数 ｌ （ ） （ ）若 ￣
对 中学 数 学 内 容 的 掌 握 程 度 ， 考 查 了 也
学 生 的 数 学 阅 读 能 力 、 用 能 力 、 移 应 迁
＿
，
ｇ ： （）
一 执 械一祛 一～ 龇一 一
１ ￣ ２， （ ：— － ； ０ ＋ ｇ ） ２ ３ ｘ
—
线 ” 定义域均为Ｄ ｛ｌ ｌ的 四组 函数 ． ＝ ｘ ｝ ＞
的题 目是 高 考 中 的 热 点 中的“ 本 函
数极限” 的定 义 而 变 形命 制 ．
） 以高等数 学 的概念 、 号命题 符
近 年 来 ， 考 数 学 命 题 的 一 个 特 点 高
即 追 求 新 情 境 、 立 意 ． 加 注 重 试 题 新 更
力 、 用 能 力 与 迁 移 能 力 的“ 大 法 宝 ” 应 一 ．
有 ）Ａｌ ， — ｓ 那么ｇ （） 。时以 ＜ ｒ ｘ当 — 。 ｆ ，
Ａ为极 限．
为 熟 悉 、 抽 象 为 具 体 的 能 力 ， 需 要 化 也 学 生 对 集 合 概念 保 持 一 定 的 敏感 度 ．
，
，
ａ ＜ １ －ｂ
－．
…
’ 函数 设
，
） （ ２ ０ （— ， ＝ 一 ） ） ∈Ｒ．若 函数 ） ， ＝
ｆ ￣ － 的 图 象 与 恰 有 两 个 公 共 点 ， （）Ｃ 轴 则
实数 ｃ 的取 值 范 围是 （ ）
例 １ （０ ０ 建 卷 ） 于 具 有 相 同 ２ １福 对 定 义 域Ｄ的函 ｔｆｘ 和ｇｘ ， 存 在 函 数 ｌ （ ） （ ）若 ￣
对 中学 数 学 内 容 的 掌 握 程 度 ， 考 查 了 也
学 生 的 数 学 阅 读 能 力 、 用 能 力 、 移 应 迁
＿
，
ｇ ： （）
以数学思想为背景的高观点试题探析
些探究 ，希望 能起 到抛砖 引玉的作用 ．
１ 极 限 的 思 想 为 背 景 的 高观 点 试 题 ．以
题 人手 ，把握学 科 的整体 意义 ，用统 一 的数学 观点 组织 材料 ， 侧 重体现对知识 的理解 和应用 ，尤其是综 合和 灵活 的应 用 ，以
极 限思想作 为反 映客观事 物在运 动 、变 化过程 中 由量变转
学交会是高考命 题 的六大交会 之一 ，是现代数 学新 高考创新题
的 重 要题 源 ．
Ａ（ ） Ⅱ
二、以数 学思想为 背景 的高观点试题
数学思想是 数学 知识 在更 高层次上 的抽象 和概括 ，是数学 知识 的精髓 ，是 分析 和解 决数 学问题 的基 本原则 ，也是 数学素 养的重要 内涵 ，它蕴含在数学 知识 发生 、发展和应用 的过 程中 ，
此来检 测考生将 知识迁移 到不 同情 境 中去 的能力 ，从而检 测 出 化 为质 变时 的数 量关 系或空 间形 式 ，能够通过 旧质 的量 的变化 考生个体理性 思维 的广度 和深度 ，以及进一步 学习 的潜能 ．“ 以 规律，去计算新质 的量．因此 ，它具有 由此达彼 的重大创新作用． 能力立意命题 ” ，正是为 了更 好地考查数学思想 ，促进 考生数学 极 限思 想是高等 数学知识 最基础 的一块 ，也是 高等数学教 学 的
＠ ⑥ ⑤
⑨
郭丽 云 （ 江省 温岭 中学） 浙
⑨ ⑥
⑧
２０ ０ ８年浙江省 《 高考数学科 考试说 明》 提出 ：对 数学能力 就 以高等数 学的数学 思想 为背景 的高观点试 题为例 对其解法作
的考查 ，强调 “ 以能力为立 意” ，就是 以数学 知识 为载体 ，从 问
一
以高等数学为背景的高考数学试题的研究
以高等数学为背景的高考数学试题的研究定边四中曹世鹏摘要:本文通过调查研究的方法，以近几年来全国各地的高考题中的高等数学背景下的中学数学问题为依据,探析了此类问题的命题背景,充分说明了高等数学背景下中学数学问题的特点。
给出了以高等数学为背景的中学数学问题的特点及应对策略和建议,为促进学生有效地学习数学、理解地掌握数学、恰当地运用数学的数学教学提供一个可借鉴的思路和途径。
关键词：中学数学问题、分析、教学、高观点纵观近几年的课程改革，向量、算法、概率论、导数、定积分等内容被逐一下放到中数学必修课本中,中学数学里高等数学的含量正一步步扩大.选修课程分别由若干专题组成，有些看起来很深奥，几乎都是高等数学的内容.选修2—2导数与微积分;选修系列3：选修3—1数学史选讲、选修3-3球面上的几何、选修3—4对称与群；选修系列4:选修4-4几何证明选讲、选修4-2矩阵与变换、选修4-3平面坐标系中几种常见变换、选修4-4极坐标与参数方程、选修4-5不等式、选修4-6初等数论初步。
由此可见选修课程中所涉及的内容都是高等数学的基础内容,现在把它们引入到高中数学课程中，并不是要把这些内容简化下放,而是想抓住这些数学内容的精髓把它们的基本思想介绍给高中学生.有些专题是中学课程某些内容的延伸，有些专题是通过典型实例介绍数学的一些应用方法，它们即呈现了现代数学多个分支，又兼顾了数学史，并凸现了其中的思想方法.作为一名高中数学老师，不断地从高等数学中汲取丰厚的营养，使之服务于中学数学教学，是一项很有意义的工作.随着中学数学里高等数学的含量进一步扩大,近几年来高考试卷中以高等数学为背景的高考试题出现的频率越来越高,本文以近几年来全国各地的高考题中的高等数学背景下的中学数学问题为依据，探析了此类问题的命题背景，充分说明了高等数学背景下中学数学问题的特点。
下面以近几年的各省市的高考题为例，来探究“高观点”下的中学数学问题的命题背景：一、 以高等数学的符号、概念为背景的问题命题1:（2013年陕西理10）设[]x 表示不大于x 的最大整数,则对任意实数y x ,,有：.A []-=-x []x .B [][]x x 22= .C [][][]y x y x +≤+ .D [][][]y x y x -≤-命题透视：本题是一道以数学分析中取整函数为背景的性质应用题.对任意的实数x ，记不超过x 的最大整数为[]x ,通常称函数[]x y =为取整函数，又称高斯函数，高斯函数有以下几个性质：高斯函数是一个不减函数,即对任意,,21R x x ∈若,21x x ≤则[][]21x x ≤;若,,R y x ∈则[][][][][]1++≤+≤+y x y x y x ;由这条性质可推得选项D 成立；若*∈N n ，,R x ∈则[][]x n nx ≥。
浅析高考题中的高等数学背景
即Ａ Ｊ ｖ． Ｍ．＿ １ Ｊ （ ）略 ． ２
由ｉ 口去 可 ２ｙ ０ ｛＝＋消 得ｚｍ一 ：， ｌ ｙ 一ｐ ２
从 有【 — 巧 设 相 关方 程 ．本题 （ ） １
巧 设 过 点 Ａ的直 线 删 的直 线 方程 为 ｘ＝ｍ ＋ａ，而 ｙ
（） 略 ； １ （ ）设 函数 ｈｘ ：ｆ ｘ 一 （） 当 ｈｘ 存 在最 小 ２ （） （） ｇ ｘ ， （）
育的基本 目标之一” ．近年来 ，随着高考命题改革的 逐 步 深入 ， 自主命 题 的省 市越 来 越 多 ，主 要 由 中学 教 学一 线 的教 师 和高 校 的教 授参 加 命 题 ，而 且 高 校 教 师 占绝 对 优 势 ．关注 近 几 年 的高 考 ，为 了渗 透 新 课程理念 ，命 题者常受到 自身学术和研究方向的影 响 ，往 往 考 查 一 些 有着 高 等 数 学背 景 的问题 ．此 类
福建 省福 州 第八 中 学 （５０４ ３ ００ ）
数 的 重要 性质 ， 自从 导 数进 入 中学数 学 教材 后 ，使
得 函数 凹 凸性 问题 作 为 导数 的重 要应 用 成 为高 考 命 题 的热 点 ．下面 以 ２ １ 陕西 高考 理科 第 ２ ０ ０年 １题 为 例 ，对 高 考题 中 出现 的 以 函数 凹凸性 为 背 景 的试 题
２ １ 第 ８期 ００年
＝
一
Ｉ４ ｂ…③ ｎａ
故 由① ，② ，③ 得
类比推理能力 ，运用所给的信息分析问题 ，然后才 能顺利 解决 问题 ．
， ） （
’ ２
２ ±
２
， ） （
．
ａ＋ｂ
２ 以高等数学的定理为背景命题 ． ３ 随着 课 标 课程 改 革 的深 入 ，部 分省 市新教 材 中
例析高等数学背景下的高考数学题
②在 ｅｐ，若 １－９０Ｐ，￣，ＪｌＡｑｌ ＋１￣１ ＝Ｉ
③在 曰ｃ中．１ＩＡｃｌｌ＋ｌＩ∞ｌｌ＞ＩＩＡｓＩ｛．
其 中真命题的个数为 （ ）
Ａ． ０
Ｂ． １
Ｃ． ２ Ｄ． ３
解 析 对 于 直 角 坐 标 平 面 内 的 任 意 两 点
Ａ（ｘ。， ），Ｂ（ｘ２，Ｙ２），定义它们之 间的一种“距离”：
２
福 建 中 学数 学
２００９年第 ｌ０期
｛ｆＡＢＩｆ＝？ ！～ ｆ＋ —ｊ ｝．①若点Ｃ在线段ＡＢ上．
设 Ｃ点坐标为 （ 【】＇ ）．Ｘ。在 Ｘ．、 ：之间 ．Ｙ。在 、
Ｙ 之间，则ｌＩＡＣｌｌ＋ＩＣ８ １ｌ
＝ Ｉ ０一 ｌ ｌ＋ｊ）’ｔ）一 ’ｉ ｌ＋ｉ ２～ ｊ：＋｛ ：一 ０｛
高等数学背景下的高考数 学题也 叫“高观点题”． “高观点题”指与高等数学相联 系的问题 ．这样 的问题 或以高等数 学知识 为背景 。或体现高等数 学 中常用 的数学思想 方法 ，本文将例 析这类 问题 的基本类型 和 相 应 解 法 ．
１． 以高等数学运算为背景 例 １（２００６年高考四川卷 ） 非空集合 Ｇ关 于运算 ０满足 ：（１）对任 意的 口。 ｂ∈Ｇ 。都 有 ａ０ｂ∈Ｇ ；（２）存 在 ｅ∈Ｇ ，都 有 ａ０ｅ＝ｅ０ａ＝ａ ， 则 称 Ｇ 关 于 运 算 ０ 为 “融 洽 集 ”．现 给出下列集合和运算 ： ① Ｇ＝｛非负整数 ｝，０ 为整数 的加法 ； ② Ｇ＝｛偶数 ｝，０ 为整数 的乘法 ； ③ Ｇ＝｛平面 向量 ｝，０ 为平面向量 的加 法； ④ Ｇ＝｛二次三项式 ｝，０ 为多项式 的加 法； ⑤ Ｇ＝｛虚数 ｝，０ 为复数 的乘 法． 其 中 Ｇ关于运算 ０ 为“融洽集”的是 （写 出所有“融洽集 ”的序 号 ） 解析 本 题 源 自大学 数学 专业 课 中的 《近 世代 数 》，给 出了一个新 的概念“融洽集”，考查学生理解 并且会运用此概念 来判断 以下给出的条件 是否满足 成 为“融洽集”的能力． ① Ｇ：｛非负整数 ｝，０ 为整数 的加法。满足任 意 ａ，ｂ∈Ｇ都 有 口庄 ∈Ｇ，且令 ｅ－－０，有 ａ＠０＝０＠ａ＝ａ， 所以① 符合要求． ② Ｇ＝｛偶 数 ｝， ０ 为 整数 的 乘 法 ，若 存 在 ｅ∈Ｇ。ａ０ｅ＝ａｘｅ＝ａ，则 ｅ＝１，矛盾 。．·．② 不符 合要 求． ③ Ｇ＝ｆ平面 向量 ｝，０ 为平 面向量 的加 法，取
聚焦高等数学知识背景 审视高考数学创新题型
Ｊ
１ ５
≤
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，
Ｉ
／
ｔ
解 得
Ｖ
５≤） ，１ ≤ ５
．
／
＝
’
午一 １ ｓＨ ，曲 午：且 ＝一 双 线
２
图 １ １
渐 近线斜 率 为 ｋ ＝ ， 。 直线 系斜 率为 １如 图 ｌ． ， １ 当
、
Ｄ／
＼
．
／ ４
ｔ
０
函数 ） —ｎ ＋ ） ｅ 一 １ ］ ＝ Ｉ（ ｍ 在［ ～ ｍ， 一 上为
连续 减 函数 ， 因此 ｅ 一ｍ）：ｅ 一 — ｎ ｅ 一 一 ～ ｍ ｌ（ 一 ｍ＋ｍ）：
ｅ～ ＞０．
（） ２ 定理 ： 函数 ｇ ） ［ ， ］ 若 （ 在 。 ｂ 上连续 ， 且
ｇ 口 与 ｇ（） 号 ， 至少 存在 一点 ． ∈（ ，） 使 （） ｂ异 则 １ ５ ａｂ ， 。
・
４ ０・
中学教研 （ 学） 数
２１ ０ ０卑
即 ：． 萼 当线＋＝通点÷ ）， 一， 直 Ｓ ２ 过 （， ＝手 Ｕｖ 。 时
即 一 ５≤ｙ
一
此 一， 一 ， ） 于是 ｙ ≥ ≤ ．
侈 求 Ｙ ＝ ＋２ 一 ４３ ｖｌ ＋ ＋ 的值 域． ２ ４ ３ 解 由 ２ ＋ ＋ ０ ４ ４ ３ 另 式 为 Ａ ＜ ， 函数 定义 域为 Ｒ． ０得 令 ｕ∈Ｒ， ＞０ 则 双 曲线 方 程 为 ，
类似地 ，
由 １（ 。 ）＞１ （２ ） ２ ２ ； ： ＋ ｘ ＋ ＋２ ｌ２ ｘ ］：
１ ｍ ＋ ＝ ２ ＋ ＝ 兰 一３ ． ｍ ＞ ， ０
厂 ｅ 一ｍ）＝ 一３ ＞（ ＋１ 一 ｍ＞ （ ｅ ｍ １ ） ３
一道高等数学背景的高考题题源分析
Ｃ ．若 ｆ ｘ ∈ ｌ （） ２ （） ，ｇ ｘ ∈ ，
２ ０ 年 第 ｌ 期 ０９ ０
福建 中学数学 试题 比较
４ ５
（ ｉｓｈｚ） Ｌｐｃ ｉ 条件 的， 中 为李普希茨 （ ｉｓｈｔ ） ｔ 其 Ｌｐｃ ｉ ｚ
常数． Ａ． 假设 ， ・（） ２ 则有 ０ ， ＜ ㈤ ｇｘ ∈＾ ， ＜尼 ，
＜
＜ ，矛盾 ；
Ｃ 由 一 ＜ｋ ｌ 一 ２ ＜Ｏ 。 ． ｌ ｌ＜ ， ＜ ｔ ２
有 一 Ｉ ２ ／ ｇ ｌ ２ 一 ＜ｋ ＋ｋ ＜ ＋ ・
即 ．＋ ＜ ｌ ２ 有１ ｌ ＋ ， ｉ ｝ ｒ
因此有 ｆ ｘ ＋ （） （） ｇ ｘ ∈ ；
，
∈１２， 【 】 都有ｌ 一 （ ） 三 一 ２ ， ） ｅｘ ｌ ｌ Ｘ ． （ ２＜ Ｉ
的椭 圆 ） ，作出显示／
隐藏动 圆及圆心轨迹 的按钮 ， 标签为“ 显示
拖动圆心 、
或改变半径 、 的长度 ，都
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圆锥曲线的极点与极线——2020高考北京卷解析试题背景探究
圆锥曲线的极点与极线——2020高考北京卷解析试题背景探究圆锥曲线的极点与极线问题是解析几何中的一个重要内容，它在高考数学试题中的应用较为广泛。
2020年北京高考卷中的相关题目考查了这一知识点，其背景可以从以下几个方面进行探究：
1. 理论背景：圆锥曲线的极点与极线理论是高等数学中的一个经典内容，它涉及到定值、定点以及三点共线等问题，这些都是解析几何中的基础性质。
2. 教育意义：在高中数学教学中，圆锥曲线的极点与极线不仅是解析几何的重要内容，也是培养学生逻辑思维和空间想象能力的重要工具。
通过对这一问题的研究，学生可以加深对圆锥曲线性质的理解，提高解决复杂几何问题的能力。
3. 考试应用：在高考数学试题中，圆锥曲线的极点与极线问题常被用来设计具有一定难度的题目，考查学生的综合运用知识解决问题的能力。
这类题目往往需要学生具备较强的几何直觉和解题技巧。
4. 解题方法：解决圆锥曲线的极点与极线问题，通常需要运用坐标法、向量法等解析几何的方法，有时还需要结合代数变换技巧。
这些方法的综合运用能够有效地解决相关问题。
5. 教学研究：教师和教育研究者通过对圆锥曲线的极点与极线问题的深入研究，可以探索更多有效的教学方法和解题策略，以帮助学生更好地掌握这一知识点。
综上所述，圆锥曲线的极点与极线问题在高考数学试题中的背景是多方面的，不仅涉及理论知识的深入探讨，也包括教学方法和解题技巧的研究与应用。
对于准备高考的学生来说，掌握这一知识点是非常必要的。
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高等数学背景下的高考数学试题探究
高考数学试题主要分为高中数学和高等数学，而由于高
等数学的深入和抽象的学习过程，使得考试试题也有着不同的特点。
今天，就从高等数学背景下的高考数学试题来谈谈如何探究。
首先，高考数学试题在设置方面，除了考查基础知识，
更多的考查考生的深入分析能力、思维能力、解决问题能力，这就需要考生拓展视野，对问题中可能隐含的高等数学知识有所了解。
比如，高考数学试题中会涉及到三角函数、简单微分等高等数学认知。
其次，在探究试题的过程中，还需要多利用高等数学的
工具，即利用数学建模相关的理论，充分利用变量等技巧，熟练掌握这一工具，可以有效解决实际问题。
最后，在解决高考数学试题时，关键是理解题目意图，
找出解题关键点，确定问题的解决方案。
虽然高等数学的抽象思想会让人望而却步，但是只要学习要点和知识点掌握得当，通过运用高等数学的解题思路，找到解题的正确途径，就可以得到正确的答案。
总而言之，解决高考数学试题，需要结合高等数学的认
知与工具，熟练掌握相关理论，善于思考和分析，抓住关键点，积累足够的经验，以便在考试中取得好成绩。