(完整word版)多元函数微分学及其应用归纳总结,推荐文档

第八章 多元函数微分法及其应用
一、多元函数的基本概念
1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念
2、多元函数的极限
✧
00(,)(,)
lim (,)x y x y f x y A →=（或0
lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义
✧ 掌握判定多元函数极限不存在的方法：
（1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言
函数极限不存在；
（2）找两种不同趋近方式，若
00(,)(,)
lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等，
此时也可断言极限不存在。

✧ 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商，
等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似：
例1．用εδ-定义证明
2222
(,)(0,0)
1
lim ()sin
0x y x y x y →+=+
例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22
2
222
()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。

例3 设22
2222,0
(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩
，讨论(,)(0,0)
lim (,)x y f x y →是否存在？
例4（07年期末考试 一、2，3分）设222
24
22,0(,)0,0⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩
xy x y x y f x y x y ，讨论
(,)(0,0)
lim (,)→x y f x y 是否存在？
例5．求222
(,)(0,0)sin()
lim x y x y x y →+
3、多元函数的连续性0000(,)(,)
lim
(,)(,)x y x y f x y f x y →⇔
=
✧ 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含
在定义域内的区域或闭区域。

✧ 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”
例1． 讨论函数332
222
22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩
在（0，0）处的连续性。

例2． （06年期末考试 十一，4分）试证222
24
22,0(,)0,0⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩
xy x y x y f x y x y 在
点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。

例3．求
(,)(1,2)lim
x y x y
xy →+ 例4
．(,)(0,0)lim x y →
4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理
二、多元函数的偏导数
1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义）
如果极限00000
(,)(,)
lim
x f x x y f x y x ∆→+∆-∆存在，则有
00
000
0000000
(,)(,)
(,)lim
x x x
x x y y x x x x y y y y f x x y f x y z f z f x y x
x
x
=∆→=====+∆-∂∂=
===∂∂∆
（相当于把y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。

）
如果极限00000
(,)(,)
lim
y f x y y f x y y ∆→+∆-∆存在，则有
00
000
0000000
(,)(,)
(,)lim
x x y
y y y y x x x x y y y y f x y y f x y z f z f x y y
y
y
=∆→=====+∆-∂∂=
===∂∂∆
对于分段函数，在分界点的偏导数要用定义求。

例1（08年期末考试 一、3，4分）已知222
222
22(),0(,)0,0⎧-+≠⎪+=⎨⎪+=⎩
x y xy x y x y f x y x y ，
则(0,)=x f y
例2 （06年期末考试 十一，4分）试证2
2224
22,0(,)0,0⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩
xy x y x y f x y x y 在点(0,0)
不连续，但存在一阶偏导数。

例3 设22
2222
221()sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩
，求(,),(,)x y f x y f x y 。

例4 设y x z =，求y x z z ,。

例5（03年期末考试，一、2，3分） 设(1)arcsin x u x y y =+-，则u
x
∂∂在(1,2)的值为（ ）。

2、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的高阶偏导数（二元以上类似定义）
, 22(,)xx z z f x y x x x ∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂⎝⎭ 2(,)xy z z
f x y y x x y
∂∂∂⎛⎫=
= ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 22(,)yy z z f x y y y y ⎛⎫∂∂∂== ⎪∂∂∂⎝⎭ 2(,)yx z z
f x y x y y x
⎛⎫∂∂∂=
= ⎪∂∂∂∂⎝⎭
定理：若两个混合二阶偏导数22,z z x y y x ∂∂∂∂∂∂在区域D 内连续，则有22z z
x y y x
∂∂=∂∂∂∂。

例1．设,1
r
u =
222)()()(c z b y a x r -+-+-=，其中c b a ,,为常数，求：222222z
u
y u x u ∂∂+∂∂∂∂＋。

例2．设x
y
arctg
e y x z -+=)(2
2
，求y
x z ∂∂∂2。

3、(,)z f x y =在点(,)P x y
偏导数存在⇒(,)z f x y =在点(,)P x y 连续（07年，04年，02年等）
4、偏导数的几何意义：00(,)x f x y 表示曲线0(,)
z f x y y y =⎧⎨=⎩在点000(,,)P x y z 处的
切线与x 轴正向的夹角。

三、全微分
1、(,)z f x y =在点00(,)P x y 可微分的判定方法 若
(,)(,)(,)lim
0x y z f x y x f x y y
∆∆→∆-∆-∆=，则可判定(,)z f x y =在点
00(,)P x y 可微分。

其中00(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-
例1．（08年期末考试 十二、6分）证明函数
22
2222
()sin 0(,)0,0
⎧++≠⎪
=⎨⎪+=⎩x y x y f x y x y 在（0，0）处可微，但偏导数(,)
x f x y 在（0，0）处不连续。

例2 （07年期末考试 七、6
分）22
22
0(,)0,0
+≠=+=⎩x y f x y x y ，证明：（1）
函数在（0，0）处偏导数存在；（2）函数在（0，0）处不可微。

2、全微分的计算方法
若(,)z f x y =在00(,)P x y 可微，则有0000(,)(,)x y dz f x y dx f x y dy =+ 其中0000(,),(,)x y f x y f x y 的求法可以结合复合函数或者隐函数求导。

例1（08年期末考试，一，1，4分） 设432=+z x y x ，则(1,2)=dz 例2（07，04年期末考试，二，1，3分）设arctan
(0),=≠y
z x x
求dz 。

例3 （06年期末考试，二、2，3分）设2
=y u x ，则=du
例4 （03年期末考试，二、2，3分）函数22ln()=++u x y z 在点(1,0,1)处的全微分为
例5．设w uy z arcsin +=，x e u =，2
2
y
x x w +=，求函数：对变量y x ,的全
微分dz 。

3、多元函数的全微分与连续，可偏导之间的关系（07年，04年，02年等） ✧ 一阶偏导数,x y f f 在00(,)P x y 连续⇒(,)z f x y =在00(,)P x y 可微⇒
(,)z f x y =在00(,)P x y 连续⇒(,)z f x y =在00(,)P x y 有极限
✧ (,)z f x y =在00(,)P x y 可微⇒在00(,)P x y 的一阶偏导数,x y f f 存在 ✧ (,)z f x y =在00(,)P x y 可微⇒在00(,)P x y 的方向导数,x y f f 存在
四、多元复合函数求导法则
1、链式求导法则：变量树状图 法则 (1)(,),(),()z f u v u t v t ϕψ=== dz z du z dv dt u dt v dt
∂∂=+∂∂
dz z du z dv z d dt u dt v dt dt
ωω∂∂∂=++∂∂∂ (2)(,),(,),(,)z f u v u x y v x y ϕψ===
,z z u z v z z u z v x u x v x y u y v y
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂
(3) z f u x y u x y (,,),(,)ϕ==
,z f u f z f u f
x u x x y u y f
∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂
例1． （08年期末考试，七，7分）设(,)x
z f x y =，f 具有连续二阶偏导数，
求2,z z x x y
∂∂∂∂∂。

例2． （08年期末考试，十一，6分）设(,)z z x y =是由方程
22()x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中()x ϕ可导，求dz 。

z u x
y x y
例3． （07年期末考试，八，7分）设(,)y
z xf xy x =，f 具有连续二阶偏导
数，求2,z z
y y x
∂∂∂∂∂。

例4． （06年期末考试，一、1，3分）设()y
z xyf x =，()f u 可导，则
z z x
y x y
∂∂+=∂∂（ ）。

例5． （04年期末考试，三、1，8分）设(,)G u v 可微，方程(,)0G u v =，其中22,u x yz v y xz =+=+确定了z 是,x y 的二元可微隐函数，试证明
222(2)
(2)4.z z
y xz x yz z xy x y
∂∂-+-=-∂∂。

例6． （03年期末考试，三、2，5分）设(,)u v φ具有连续偏导数，证明方程
(,)0
x yz y xz φ--=所确定的函数(,)z f x y =满足
2()
()1.z z
y xz x yz z x y
∂∂+++=-∂∂。

例7 记2
2
(,)t u f x t x =+，f 具有连续二阶偏导数，求,u u x t ∂∂∂∂，222,u u
x x t ∂∂∂∂∂。

例8 设y x z ln 2=，而v u x =
，v u y -=3，求u z ∂∂和v
z
∂∂。

例9 设22)(b a z y e u ax ++=，而x a y sin =，x
b z cos =，则du dx。

例10． 设2
2
(,)xy
z f x y e =-，又f 具有连续的二阶偏导数，求2,,z z z
x y x y
∂∂∂∂∂∂∂。

2．一阶全微分形式不变性：
设(,)z f u v =，则不管,u v 是自变量还是中间变量，都有''u v dz f du f dv =+
✧ 通过全微分求所有的一阶偏导数，有时比链式求导法则显得灵活。

✧ 当复合函数中复合的层次较多，结构较为复杂时，用一阶全微分形式不变
性求出一阶偏导数或者全导数比较方便。

例1．设(,,),(,),(),u F x y z z f x y y x ϕ===其中,,F f ϕ都可微，求
du dx。

五、隐函数的求导法则
1、(,)0()F x y y f x =→=，求dy
dx
方法1（直接代公式）：
x y
F dy
dx F =-，其中：(,)x x F F x y =，相当于把F 看成自变量x ，y 的函数而对x 求偏导数。

方法2：直接对方程两边同时关于x 求偏导（记住()y f x =）：
0x x y
y
F dy dy F F dx dx F +=→=- 2
2
2
()()()xx xy
y x yx yy y dy dy
F F F F F F d y
dx dx dx
F +-+=-
2．(,,)0(,)F x y z z f x y =→=，求
,z z
x y
∂∂∂∂ 方法1（直接代公式）：
,y x z z
F F z
z x F y F ∂∂=-=-
∂∂ 方法2：直接对方程两边同时关于x （y ）求偏导（记住(,)z f x y =）：
0x x z z F z z F F dx dx F ∂∂+=→=-，0y y z z
F z z
F F dy dy F ∂∂+=→=-
3．(,,,)0(,),,,(,,,)0(,)
F x y u v u u x y u u v v
G x y u v v v x y x y x y ==⎧⎧∂∂∂∂→⎨⎨==∂∂∂∂⎩⎩求，
建议采用直接推导法：即方程两边同时关于x 求偏导，通过解关于未知数
u v x x ∂∂∂∂，的二元方程组，得到u v
x x
∂∂∂∂，。

同理可求得,u v y y ∂∂∂∂。

例1．设2),,(yz e z y x f x =，其中),(y x z z =是由0=+++xyz z y x 确定的隐函
数，求)1,1,0(-'
x f 。

例2．设有隐函数(,)0x y F z z
=，其中F 的偏导数连续，求,z z
x y ∂∂∂∂。

例3．（04年期末考试，三、1，8分）设(,)G u v 可微，方程(,)0G u v =，其中
22,u x yz v y xz =+=+确定了z 是,x y 的二元可微隐函数，试证明
222(2)
(2)4.z z
y xz x yz z xy x y
∂∂-+-=-∂∂
六、多元函数微分学的几何应用
1、空间曲线的切线与法平面方程（三种形式）——参数形式，两柱面交线，两曲面交线
000
000'''000'
''000()
()()()()()()()0()()()()
x x t x x y y z z y y t x t x x y t y y z t z z x t y t z t z z t =⎧---⎪
=⇒==⇒-+-+-=⎨⎪=⎩
切线向量'''000{(),(),()}x t y t z t
000000''00''00()()()()()()()0()1()()()
x x
x x y y z z y y x y y x x x y t y y z t z z z z x y t z t z z x =⎧---=⎧⎪
⇒=⇒==⇒-+-+-=⎨⎨
=⎩⎪=⎩
切线向量''00{1,(),()}y x z x
(,,)0()()(,,)0()()
x x
F x y z y y x y y x
G x y z z z x z z x =⎧==⎧⎧⎪⇒⇒=⎨
⎨⎨==⎩⎩⎪=⎩
切线向量''
00{1,(),()}y x z x 0
00000''00'
'
00()()()()()01
()
()
x x y y z z x x y t y y z t z z y t z t ---⇒=
=
⇒-+-+-=
3、 曲面的切平面与法线方程（两种形式）——隐函数，显示函数
000000
000
000000()()()0(,,)0(,,)(,,)(,,)
x y z x y z F x x F y y F z z F x y z x x y y z z F x y z F x y z F x y z -+-+-=⎧⎪=⇒---⎨==⎪⎩ 法线向量000000000{(,,),(,,),(,,)}x y z F x y z F x y z F x y z
00000000
00()()()0
(,)(,)(,)1
x y x y f x x f y y z z z f x y x x y y z z f x y f x y -+---=⎧⎪=⇒---⎨==⎪-⎩ 法线向量0000{(,),(,),1}x y f x y f x y -，规定法向量的方向是向上的，即使得它与z 轴的正向所成的角是锐角，在法向量的方向余弦为：
cos f αβγ-=
=
=
例1（08年期末考试，一、2，4分）曲线x a t
y a t z ct cos sin =⎧⎪=⎨⎪=⎩
在点(a,0,0)的切线方程
例2（08年期末考试，十、7分）在曲面z x y 22
122
=+上求出切平面，使得切平面与平面x y z 42210.---=平行。

例3（07年期末考试，二、5，3分）曲面z z e xy 23-+=在点(1,2,0)处的法线
方程。

例4（07年期末考试，十、8分）在第一卦限内作椭圆x y z a b c
222
2221++=的切平
面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标。

例5（06年期末考试，二、3，3分）曲面xyz z a 333-=在点(0,a,-a)处的切平面方程。

例6（04年期末考试，三、3，7分）在球面x y z 2229++=上求一点，使得过该点的切平面与已知平面x y z 220+-=平行。

例7. 在曲线t x =，22t y =，33t z =上求点，使该点处曲线的切线平行平面
1478=-+z y x 。

例8设),(y x f 具有一阶连续偏导数，且02
2≠+y x f f ，对任意实数t 有),(),(y x tf ty tx f =，试证明曲面),(y x f z =上任意一点),,(000z y x 处的法线与直线
00z z
y y x x ==相垂直。

例9 由曲线223212
x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点（0处
指向外侧的单位法向量，
七、方向导数与梯度
1、方向导数的概念和计算公式
(,)z f x y =在(,)P x y 沿l 方向的方向导数为：
① 设'(,)P x x y y +∆+∆为l 上一点，则
'00()()(,)(,)
lim lim
f f P f P f x x y y f x y l ρρρρ
→→∂-+∆+∆-==∂ ② 设l 的方向余弦为：{cos ,cos }l αβ=，则
cos cos f f f l x y
αβ∂∂∂=+∂∂∂ 可微⇒方向导数存在，但方向导数存在与偏导数存在之间没有确定的关系
2、梯度的概念和计算公式
(,)z f x y =在(,)P x y 沿什么方向的方向导数最大？ 沿梯度方向{,}
P
f f G x y
∂∂=∂∂的方向导数最大，最大值为梯度的
模
||G =
例1．求函数2
2
2
),,(z y x z y x f -+=在点)5,4,3(0P 沿曲线⎩
⎨
⎧=+=-+22222225
22z y x z y x 在点0P 处的切线方向的方向导数。

例2．求函数3
2
),(y x y x f =在点（2，1）沿方向j i l
+=的方向导数
例3．设函数(,)y z f x y xe ==，（1）求出f 在点P （2，0）处沿P 到Q （1/2，2）方向的变化率；（2）f 在P （2，0）沿什么方向具有最大的增长率，最大增长率为多少？
例4 （08年期末考试，一、4，4分）函数z x y 22=+在点P 0(1,2)处沿从P 0(1,2)
到点P 1(2,2方向的方向导数。

例5（07年期末考试，二、4，3分）函数z x xy y 22=-+在点(1,1)-处沿方向
l {2,1}=的方向导数。

例6（06年期末考试，四、7分）函数u x y z z 2223=++-在点M 0(1,1,2)-处的梯度及沿梯度方向的方向导数。

八、多元函数的极值及其求法
1、掌握极值的必要条件、充分条件
2、掌握求极值的一般步骤
3、掌握求条件极值的一般方法——拉格朗日乘数法 例1．求函数3322(,)339f x y x y x y x =-++-的极值。

例2（04年期末考试，三、3，6分）．设长方体过同一顶点的三条棱长之和为3a ，问这三条棱长各取什么值时，长方体的表面积最大？
例3． 求旋转抛物面22z x y =+与平面22x y z +-=之间的最短距离。

例4 （08年期末考试，六、7分）求u x y z 22=-+在约束x y z 2221++=下的最大值和最小值。

例5（07年期末考试，十、8分）在第一卦限内作椭球x y z a b c
222
2221++=的切平
面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标。

例6（06年期末考试，五、8分）做一个容积为1立方米的有盖圆柱形桶，问尺寸应如何，才能使用料最省？
例7（03年期末考试，八、10分）求曲线x xy y x y 2222120+++--=上距原点最近和最远的点。