高中数学《数学归纳法(第一课时)》教学设计

高中数学《数学归纳法(第一课时)》教学设计
一、教材分析
1、教学内容
数学归纳法是人教版《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2》第二章推理与证明第3节的内容，主要内容是了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
2、地位和作用
数学归纳法的理论依据是皮亚诺公理，皮亚诺公理中第五条：设M是正整数的一个子集，且它具有下列性质：
①1∈M；②若k∈M，则k+1∈M．那么M是全体正整数的集合，即M=N*）也叫做归纳公理。

不难看出归纳公理是数学归纳法的理论根据，数学归纳法的两个证明步骤恰是验证这条公理所说的两个性质。

数学归纳法是高中数学中的一个较难理解的概念，也是一种重要的数学方法。

证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题（例如：数列通项及前n项和等）。

数学归纳法的学习是学习数列知识的深化和拓展，也是归纳推理的具体应用．
3、教学重点：
借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题，对于数学归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析。

4、教学难点：
（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；
（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

用数学归纳法证明命题的关键在第二步，而第二步的关键在于合理利用归纳假设。

如果不会运用“假设当n=k,（k ≥n0，k∈N*）时，命题成立”这一条件，直接将n=k+1代入命题，便说命题成立，实质上是没有证明。

二、学情分析
1、学生知识准备
在进行本节课的教学时，学生已经在必修5中学习了不完全归纳法(推导等差、等比数列的通项公式)；在本章的合情推理中已经学习了归纳推理，在演绎推理中学习了“三段论”。

这些内容的学习是学生理解推理思想和证明方法的重要基础。

2、能力储备
学生具备一些的从特殊到一般的归纳能力，但对复杂的逻辑推理是模糊的。

但学生自主探究问题的能力普遍还不够理想。

3、学生基本情况
多数学生对数学学习有一定的兴趣，能够积极参与，但在归纳递推过程，表达意识方面显得薄弱有待加强。

三、教学目标
1、知识目标：了解数学归纳的原理；
2、能力目标：经历观察、思考、分析、抽象、概括出数学归纳法的两个步骤，初步形成归纳、猜想和发现的能力，并
能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

3、情感目标：通过数学归纳法的学习初步形成严谨务实的科学态度和严谨的数学思维品质与数学理性精神；
四、教学方法与手段
1、教学方法
采用启发探究式教学方法进行教学，学生初学数学归纳法时不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明，教学中通过具体实例引导学生注重观察与思考,类比与抽象等知识发生发展与形成的思维过程。

2、学法指导
在教学过程中，不仅要传授学生课本知识，还要培养学生主动观察、主动思考、亲自动手、自我发现等学习能力，增强学生的综合素质，从而达到较为理想的教学目标。

3、教学手段
借助于已有的经验与生活素材,促进学生对“递推原理”的理解，为学生掌握数学归纳法提供形象化的参照，为教学难点突破提供感性基础。

五、教学工具：多媒体、模型
六、教学过程
1、创设情境，开启学生思维
师：小明家里有四个孩子，老大叫一毛，老二叫二毛，老三叫三毛，老四叫…？
生：四毛，不对，叫小明。

师：为什么会猜是四毛呢？
生：归纳推理，猜想得到。

师：这是不完全归纳，猜想结果合理吗？
生：不对，是小明。

师：依据是…
生：前面都说了，小明家，那第四个孩子一定是小明。

师：利用全部条件，完全归纳得到正确结果，恭喜你，这个脑筋急转弯题你做对了。

（意图）数学源于生活，通过脑筋急转弯来引导学生进行思辨，生活中运用不完全归纳法常常会闹笑话。

师：刚才的问题大家答得很好，请大家再试试下面这个题，比比谁更快更好。

问题：对于数列{}n a ,已知11=a ，1
1+=+n n n a a a （n=1,2,3,…）（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？ （2）你的猜想一定是正确的吗？
生：11=a ，212=a ，313=a ，4
14=a 师：猜想数列的通项公式？ 生：n
a n 1= 师：能肯定这个猜想对前4项成立，对它后续的项也成立吗？ 生：验证得515=a ，616=a ，717=a ，818=a ，9
19=a …n a n 1=。

师：辛苦了，我们发现与正整数n 有关的命题，当n 比较小时，可以逐个验证，但当n 较大时，验证起来会很麻烦，特别是当n 取所有正整数都成立时，逐一验证是不可能的。

这时我们得另辟蹊径，寻求一种方法，通过有限个步骤的推理，证明n 取所有正整数都成立。

这就是本节课研究的一种方法——数学归纳法。

（意图）应用归纳推理，发现数列通项，如何验证猜想成立，引出本节课学习的内容。

师：本节课的教学目标是：了解数学归纳法的原理并能证明一些与正数n 有关的数学命题，数学源于生活，我们通过
一个小游戏来体会游戏中蕴含的数学思想，现说明游戏规则：
游戏1：讲桌上摆着若干块砖，要使它们全部倒下？你有哪些办法？
生(操作)：一块一块的推倒
生(操作)：摆成一列，推倒第1块砖，第1块推倒第2块，第2块推倒第3块，…
游戏2：假定每一位同学，甚至是世界上的每一个人都来摆砖，从教室摆到操场，从中国摆到外国，没完没了的摆下去，你能使所有的砖全部倒下吗？你采用什么办法？
师：（同桌俩为一小组讨论，每大组挑选1小组作为代表回答）
生：能，有两个办法把他们全部推倒。

其一是逐一推倒，这时摆砖的格式没有要求；其二是只推倒第一块，但是要求按“前砖碰倒后砖”的规格来摆放。

生：第一种方法不可能实现。

砖与砖要保持距离相等，这样一块砖倒下可以碰倒下一块砖，重复下去
生：还要推倒第一块，这是首先要解决的，这是这些砖倒下的基础。

师：非常好! 这时既不可能，也没有必要去一块又一块地去推倒所有的砖块。

（意图）让学生大胆的猜想，如何使所有砖都倒下，有没有更好的方法呢？当学生意识到，在思维实验中，既不可能也没有必要去一块又一块地去推倒所有的砖块的时候，就是接触到数学归纳法的实质了。

思维实验：请同学们思考，如果想要所有的砖都倒下，必须满足哪些条件呢？
生：条件1：第1块必须倒下；
条件2：任意相邻的两块砖，前一块砖倒下一定导致后一块砖倒下（前砖碰后砖）
师：同学们都觉得很可笑，但往往忽略第一块砖的存在，这是推理基础，也是前提条件。

条件2事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K块倒下(k≥1)，则相邻的第K+1块也倒下
生：我们认为在整个实验过程中必须保持砖倒下的连续性。

（意图）引导学生尝试用最简单的数学语言去表达思维实验的结果，为数学归纳法概念的引出作好铺垫。

数学无处不在，利用推砖表现出来的原理，抽象出解决与正整数有关的命题的方法
（意图）在类比的过程中学习数学归纳法.
思维延伸：根据以上逻辑推理：条件（1），条件（2）分别起什么作用？
生：归纳奠基和归纳递推。

师：从上面例子可以看出，第一步是基础，没有第一步，只有第二步就如空中楼阁，是不可靠的；
第二步是证明传递性，只有第一步，没有第二步，只能是不完全归纳法
反复应用递推；将其归纳为“验证两个条件，直接得出结论”。

这个方法我们就把它叫做数学归纳法。

用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤是：
（1）证明当n 取第一个值n 0（例如n 0 = 1或2等）时结论正确；
（2）假设 n = k （k ≥1，k ∈N *）时结论正确，证明当n = k+1 时结论也正确。

完成了这两个步骤之后，就可以断定命题对于从 n 0 开始的所有正整数 n 都正确。

例1、用数学归纳法证明：1 + 3+ 5 +……+ (2n - 1) =n 2.
证明（1）当n = 1 时，左边 = 1 ，右边 = 1 ，等式成立；
（2）假设当n = k （k ≥1，k ∈N *）时等式成立，就是1 + 3 + 5 +……+ (2k - 1) =k 2.
那么 1 + 3+ 5 +……+ (2k-1) + [2(k+1)–1 ]
= [ 1 + 3+ 5 +……+ (2k - 1) ] + ( 2k + 1 )
= k 2 + 2k +1
= ( k + 1 )2
这就是说：当 n = k + 1 时，等式也成立（这句话不能省略）。

根据（1）和（2）可知，等式对于任何正整数 n 都成立。

师：第一步是基础，没有第一步，只有第二步就如空中楼阁，是不可靠的；第二步是证明传递性，只有第一步，没有
第二步，只能是不完全归纳法。

变式1：等式 -1 + 1 + 3 + 5 +…+ (2n - 1) =n 2
对任意的正整数都成立吗？
分析：假设当n = k （k ≥1，k ∈N *）时命题成立,即-1 + 1 + 3+ 5 +…+ (2k - 1) =k 2，那么 当n=k+1时，-1 + 1 +
3+ 5 +…+ (2k - 1)+ (2k + 1) =k 2+ (2k + 1)= (k + 1)2
所以，当n = k + 1时命题也成立。

所以等式 -1 + 1 + 3 + 5 +…+ (2n - 1) =n 2对任何n ∈N *都成立。

（意图）用数学归纳法证明命题时，只有归纳递推，没有归纳奠基是不行的。

变式2：等式1 + 3 + 5 +…+ (2n - 1) =n 2 + n – 1 对任意的正整数都成立吗？
分析：（1）当n=1时，左边=2×1-1=1，右边=12+1-1=1，所以等式成立。

（2）假设当n = k （k ≥1，k ∈N *）时等式成立,即1 + 3 + 5 +…+ (2k - 1)= k 2+k-1
那么 当n=k+1时，1 + 3 + 5 +…+ (2k - 1) + (2k + 1)= (k+1)2+(k+1)-1
所以,当n = k + 1时，等式也成立。

所以等式 1 + 3 + 5 +…+ (2n - 1) =n 2 + n - 1 对任何n ∈N *都成立。

（意图）用数学归纳法证明命题时，不能没有归纳递推的过程（即证明命题时归纳假设一定要用上），因为它是运用“有限”手段，解决“无限”问题的关键。

练习：用数学归纳法证明： ①1+2+3+…+n=
2)1(+n n (n ∈N)；②1+2+22+…+12-n =12-n
小结：
这节课我们学习了一个新的数学方法——数学归纳法。

数学归纳法是一种完全归纳法 ，它是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题．它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷．其蕴含的数学思想方法有归纳的思想，递推的思想，特殊到一般的思想，有限到无限的思想方法，等等。

作业：
(1)P 96 习题2.3 A 组 第1、2题。

(2) 用数学归纳法证明 =++++2222...321n 6
)12)(1(++n n n )(*∈N n。