《离散数学》课程考试大纲
离散数学考试大纲
《离散数学》课程考试大纲课程名称：离散数学教学时数：56考试对象： A08、C08计算机一、考试内容及要求1．考试范围：命题演算及其形式系统、谓词演算及其形式系统、集合及其运算、关系、函数、群论、格和布尔代数。
2．考试要求：（一）命题演算及其形式系统掌握命题的概念掌握命题公式的概念；熟练掌握利用求任意命题公式的析取范式、主析取范式、合取范式和主合取范式的方法。
（二）谓词演算及其形式系统掌握两种量词及其用法；掌握谓词公式的定义；掌握基本的谓词演算的等价式和蕴涵式。
（三）集合及其运算掌握集合的概念及表示法；理解两个集合相等的定义和充分必要条件；掌握子集、真子集、空集、全集、幂集的定义；熟练掌握集合的五种基本运算：并、交、补、差及其满足的性质。
（四）关系掌握笛卡儿积的概念；深刻理解关系的两个定义；深刻理解关系的五种性质：自反、对称、传递、反对称和反自反；能够判断任给的关系具有哪些性质；熟练掌握关系的三种特殊运算：复合运算、逆运算和闭包运算；掌握二种特殊的关系：等价关系、序关系。
（五）函数掌握函数的概念；特殊函数类；函数的合成；了解逆函数。
（六）群论掌握代数系统的定义和有关基本概念；熟练掌握群的定义和群的性质；掌握子群及其陪集概念和性质；掌握同态与同构的概念和性质；熟练掌握群同态和同构的证明方法。
（七）格与布尔代数掌握格和代数格的基本概念；掌握格的基本性质；掌握几种特殊格的基本概念和性质；能够判断分配格和有余格；利用格的概念和性质证明一些基本定理；熟练掌握布尔代数的基本概念和有关性质。
二、考试形式闭卷考试三、试卷结构第一篇集合论约占25％第二篇数理逻辑约占30％第三篇群论15％第四篇格和布尔代数 30%题型比例：判断题30分占30%，命题的符号化表示18分占18%，改错题12分占12%，证明和应用题40分占40%。
四、说明试题由任课教师出A、B卷随机抽取。
7141《离散数学》考试大纲及模拟试卷[1]
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7141《离散数学》考试大纲本考试大纲包括以下部分I.考核说明及实施要求II.考核内容和要求第一部分集合论第二部分数理逻辑第三部分代数系统第四部分图论附录：模拟试题及规范解答举例I.考核说明《离散数学》是开放教育数学与应用数学及计算机专业的选修课程。
它是学习后续专业课程（数据结构、数据库、操作系统等）不可缺少的数学工具。
该课程结合计算机学科的特点，主要研究离散的数量结构及相互关系，是一门理论性较强，应用性较广的课程。
掌握集合论、数理逻辑和图论等离散数学的基本概念和基本原理，为学习计算机专业各后续课程做好必要的知识准备。
进一步提高学生的抽象思维和逻辑推理能力，为从事计算机的应用提供必要的描述工具和理论基础。
现将有关考核的几个问题说明如下：1、考核依据：本考核说明以电大计算机应用专业“离散数学课程教学大纲”为依据编制，本考核说明是课程考试命题的依据。
2、考核要求：本课程的理论性较强，主要考核学生对离散数学（集合论、数理逻辑、代数系统和图论）的有关基本概念的掌握，对基本原理及基本运算的运用。
考核要求的三个层次为了解、理解和掌握。
✧了解：能正确判别有关概念和方法。
✧理解：能正确表达有关概念和方法的含义。
✧掌握：在理解的基础上加以灵活应用。
3、考核形式本课程的考核实行形成性考核和终结性考核的形式。
形成性考核占总成绩的20%，以课程作业的形式进行（共三次，由福建电大统一布置，各个教学点的辅导教师评分）；终结性考核即期末考试，占总成绩的80%。
总成绩为100分，60分及格。
期末考试实行全省统一闭卷考核，试卷满分为100。
根据本课程的考核说明，由福建电大统一命题，统一评分标准，统一考试时间（考试时间为120分钟）。
4、关于期末考核命题期末考核的考核内容和要求以本考核说明为准，要求考核基本概念、基本原理和基本运算。
命题覆盖面不超教学大纲，试题难度要适中，题量要适当。
✧试题类型试题类型有填空题（分数约占20%）、单项选择题（分数约占20%）、计算题（分数约占40%）和证明题（分数约占20%）。
离散数学教学大纲(本科)
《离散数学》课程教学大纲一、《离散数学》课程说明课程英文名称：Discrete mathematics课程类型：考试课课程性质：专业技术基础课总学时： 72学时适用对象：计算机科学与技术专业本科生先修课程：高等数学线性代数（一）课程简介离散数学，是现代数学的一个重要分支，是以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般是有限个或可数个元素。
《离散数学》内容主要包括:集合、映射与运算，关系，命题逻辑，谓词逻辑，代数结构，图论，以及几类特殊的图和组合计数.通过该课程可以培养学生的抽象思维和慎密的概括能力，是计算机专业的必修课。
（二）课程性质、目的和任务《离散数学》课程是为计算机科学与技术专业的学生开设的一门专业基础课程。
随着计算机科学的发展和计算机应用领域的日益广泛，迫切需要适当的数学工具来解决计算机科学各个领域中提出的有关离散量的理论问题，离散数学就是适应这种需要而建立的，它综合了计算机科学中所用到的研究离散量的各个数学课题，并进行系统、全面的论述，从而为研究计算机科学及相关学科提供了有利的理论基础和工具。
是学习后续专业课程不可缺少的数学工具，如：高级语言、数据结构、编译原理、操作系统、可计算性理论、人工智能、形式语言与自动机、信息管理与检索以及开关理论等，离散数学也是研究自动控制、管理科学、电子工程等的重要工具。
教学的目的是进一步提高学生的抽象思维和逻辑推理能力，为从事计算机的应用提供必要的描述工具和理论基础。
并为后续课程的学习打下良好的基础。
（三）与其他课程的联系除要求学生具有矩阵和矩阵运算方面的一些知识外，离散数学基本上是一门体系独立自行封闭的基础数学课程，但由于它内容抽象，理论性较强，因此它需要学生先期有较好的数学思维的训练。
最好将此课程安排在高等数学和线性代数课程之后。
本课程为“数据结构”、“数据库原理”、“操作系统”、“编译原理”、“人工智能”等许多其它专业基础课奠定必要的数学基础。
《离散数学》考试大纲
《离散数学》课程考试大纲一、考试对象修完本课程规定内容的计算机科学与技术、网络工程、软件工程专业本科学生。
二、考试目的考核学生对《离散数学》的基本概念、基本理论和基本方法的掌握和运用能力, 属水平测试。
三、考试的内容和要求第一章集合考试内容：集合的概念、集合的表示、集合的基本运算、笛卡尔积。
考试要求：1、理解集合概念的本质和内涵；2、熟悉集合的各种表示方法；3、掌握集合的四种基本运算。
第二章关系考试内容：关系及其表示、关系的运算、等价关系、划分、序关系。
考试要求：1、理解关系的概念，会用关系表示对象之间的联系；2、掌握关系的运算；3、了解等价关系与划分之间的联系；掌握序关系的性质。
第三章映射考试内容：映射的基本概念、单射、满射、双射、映射的运算。
考试要求：1、理解映射的基本概念；2、掌握单射、满射、双射之间的关系；3、熟悉映射的运算。
第四章可数集与不可数集考试内容：集合的等势、集合的基数、可数集与不可数集。
考试要求：1、掌握等势的概念；2、了解基数之间大小比较；3、理解可数集与不可数集之间的本质区别。
第五章图与子图考试内容：图的概念、图的同构、子图及图的运算、途径、链、通路、连通图、图的矩阵表示。
考试要求：1、掌握图的基本概念，了解各种特殊的图；2、熟悉图的同构，掌握途径、链、通路之间的关系；3、了解连通图的各种性质。
第六章树考试内容：树的概念、树的几种等价定义、生成树及其应用。
考试要求：1、掌握树的几种等价定义；2、了解生成树的构造；3、熟悉生成树应用。
第七章E图与H图考试内容：E图；H图；应用。
考试要求：1、熟悉E图与H图的概念；2、掌握E图与H图的关系。
第八章平面图考试内容：平面图的概念；欧拉公式。
考试要求：1、掌握平面图的概念；2、熟悉欧拉公式的应用。
第九章有向图考试内容：有向图的概念、有向树及其应用。
考试要求：1、了解有向图与无向图的联系与区别；2、熟悉有向树的各种基本概念及其基本应用。
离散数学复习提纲(完整版)解析
《离散数学》期末复习大纲（完整版）（含例题和考试说明）一、命题逻辑[复习知识点]1、命题与联结词（否定￢、析取∨、合取∧、蕴涵→、等价↔），复合命题2、命题公式与赋值（成真、成假），真值表，公式类型（重言、矛盾、可满足），公式的基本等值式3、范式：析取范式、合取范式，极大（小）项，主析取范式、主合取范式4、公式类型的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）5、命题逻辑的推理理论本章重点内容：命题与联结词、公式与解释、（主）析取范式与（主）合取范式、公式类型的判定、命题逻辑的推理[复习要求]1、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法。
2、理解公式与赋值的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等值式化简其它公式，公式在解释下的真值。
3、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）范式的概念；掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。
4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价方法。
5、掌握命题逻辑的推理理论。
[疑难解析]1、公式类型的判定判定公式的类型，包括判定公式是重言的、矛盾的或是可满足的。
具体方法有两种，一是真值表法，二是等值演算法。
2、范式求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。
关键有两点：一是准确理解掌握定义；另一是巧妙使用基本等值式中的分配律、同一律和互补律（排中律、矛盾律），结果的前一步适当使用幂等律，使相同的短语（或子句）只保留一个。
3、逻辑推理掌握逻辑推理时，要理解并掌握12个（除第10，11）推理规则和3种证明法（直接证明法、附加前提证明法和归谬法）。
例1.试求下列公式的主析取范式：（1）))()((P Q Q P P ⌝∨⌝⌝∧→→；（2）)))((R Q Q P P →⌝∨→⌝∨（))()(())()((:)1P Q Q P Q P P P Q Q P P ∧∧∨∧∧⌝∨⌝=∧∧∨⌝∨⌝=原式解 Q P P P Q P P Q P ∨⌝=∨⌝∧∨⌝=∧∨⌝=)()()())(())((Q P P Q Q P ∧∨⌝∨∨⌝∧⌝=)()()(Q P Q P Q P ∧∨∧⌝∨⌝∧⌝=)))((()))(((:)2R Q Q P P R Q Q P P ∨∨∨∨=→⌝∨→⌝∨解)()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ∧⌝∧∨∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝=∨∨=)()()(R Q P R Q P R Q P ∧∧∨⌝∧∧∨⌝∧⌝∧∨）2．用真值表判断下列公式是恒真？恒假？可满足？（1）（P ∧⌝P ）↔Q（2）⌝（P →Q ）∧Q（3）（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）解：（1） 真值表因此公式（1）为可满足。
复试离散数学科目考试大纲
复试离散数学科目考试大纲
一、考查目标
理解命题逻辑的基本概念及应用方法；掌握谓词逻辑的基本概念及应用方法；熟练掌握集合、关系、函数的基本概念及运算、论证方法；理解代数结构的基本概念及研究方法；掌握图论的概念及应用。
二、考试形式与试卷结构
（一）试卷满分及考试时间
科目满分均为100分，考试时间为2小时。
（二）答题方式
答题方式为闭卷、笔试。
（三）试卷内容结构
命题逻辑：20%左右
谓词逻辑：10%左右
集合与关系：20%左右
函数：10%左右
代数系统：15%左右
格：10%左右
图论：15%左右。
（四）试卷题型结构
客观题：选择题20%左右，填空题20%左右；
证明30%左右；
综合应用30%左右。
三、考查内容及要求
1、命题逻辑：熟练进行命题逻辑符号化，构造真值表，命题等值演算，命题推理；
2、谓词逻辑：熟练进行谓词逻辑符号化，量词消去，谓词公式等值演算；
3、集合与关系：熟练进行集合的并交差补运算，集合之间的关系判定，幂集运算，二元关系的自反、对称、传递性质判定，熟练求解二元关系的自反、对称、传递闭包，熟练求解偏序集中的特殊元素；
4、函数：熟练进行函数的判定，函数的性质判定，函数的复合运算；
5、代数系统：熟练掌握二元运算的性质，熟练进行群、半群和独异点的判定，熟练求解代数系统中的特殊元素并证明；
6、格：熟练进行格的判定；
7、图论：熟练运用图的结点、边、补图的性质，熟练进行欧拉图、汉密尔顿图的判定，熟练求解最小生成树、最优二元树。
四、考试用具说明
考试需携带黑色钢笔或签字笔答题。
02324离散数学自考考试大纲
02324离散数学自考考试大纲离散数学是计算机科学与信息技术专业中的一门重要基础课程，它主要研究离散结构、离散关系和离散性的一门数学原理，为计算机科学建立了坚实的数学基础。
离散数学考试大纲主要包括以下内容：1. 集合论：集合的概念、集合的运算、集合的关系、集合的表示方法等。
在计算机科学中，集合论被广泛应用于数据结构、数据库等领域。
2. 逻辑关系：命题逻辑和谓词逻辑。
命题逻辑主要研究命题的判断、命题的运算及其等价关系等。
谓词逻辑则进一步研究命题的量化、谓词的赋值、推理规则等，对于计算机程序的正确性证明具有重要意义。
3. 图论：图的基本概念、图的表示方法、图的遍历算法、图的最短路径算法、图的最小生成树算法等。
图论在网络设计、算法设计等方面具有广泛的应用。
4. 代数结构：包括代数系统的基本概念、代数系统的性质以及各种代数系统的具体应用等。
在计算机科学中，代数结构被广泛应用于密码学、编译器设计等领域。
5. 组合数学：组合数学主要研究计数原理、排列组合、图的着色等。
在计算机科学中，组合数学被广泛应用于算法设计、密码学等领域。
6. 关系代数：关系的基本概念、关系的运算、关系的闭包、关系的细化等。
在数据库设计和查询优化中，关系代数是一个基本的理论工具。
7. 数理逻辑：数理逻辑主要研究逻辑公式的形式、逻辑推理规则、逻辑的语义含义等。
在计算机科学中，数理逻辑被广泛应用于程序设计、人工智能等领域。
8. 算法基础：算法的基本概念、算法的时间复杂度分析、递归算法等。
算法是计算机科学的核心内容，离散数学为算法设计提供了重要的理论基础。
在学习离散数学时，应重点抓住以下几个关键点：1. 理清基本概念：离散数学涉及的概念较多，如集合、关系、函数、图等，应尽量理清其定义和性质。
2. 掌握运算规则：离散数学中的集合运算、逻辑运算等都有一定的规则，掌握这些规则对于解题非常重要。
3. 多做题、多练习：离散数学的内容较为抽象，通过多做题、多练习能够提高对概念理解的深度和广度。
《离散数学》课程考试大纲
《离散数学》课程考试大纲第一部分考试说明一、考试性质专业基础课/必修二、考试目标要将抽象的数学知识以学生可以接受的、喜闻乐见的形式传授下去，让学生理解《离散数学》中的基本概念，了解部分定理的证明，掌握部分习题的计算；培养学生严密的逻辑思维、抽象推理以及发散思维能力，力求最终将学生培养成会利用所学数学知识解决生活、生产实际中所遇问题的创造性人才。
三、考试形式与试卷结构（一）答题方式闭卷。
答案必须全部答在答题纸上，答在试卷上无效。
（二）答题时间90分钟。
（三）基本题型判断、选择题（约40％）；化主（合）析取范式（约10％）；命题翻译（约10％）；包含排斥原理的应用（约10％）；图论作图题（约10％）；偏序关系读图题（约12％）、集合与二元关系、图论证明题（约8％）。
第二部分考查的知识范围与要求第一章命题逻辑范围：1．命题及其表示法 2. 联结词 3. 命题公式与翻译 4. 真值表与等价公式 5. 重言式与蕴含式 6．其它联结词 7. 对偶与范式 8. 推理理论要求：1．掌握命题的定义。
2．掌握五种基本联结词，了解其余四种联结词的定义和基本性质。
3．会证明等价式及蕴含式。
4．掌握范式与主范式的定义，会将给定的命题公式化为范式或者主范式。
5．会进行简单的逻辑推理。
第二章集合与关系范围：1．集合的概念和表示法 2. 集合的运算 3. 容斥原理 4. 序偶与笛卡尔积 5. 关系及其表示 6. 关系的性质 7. 复合关系和逆关系 8. 关系的闭包运算 9. 集合的分划和覆盖 10. 等价关系与商集 11. 序关系 12. 函数与映射 13. 逆函数与复合函数要求：1．掌握集合的定义和基本运算。
2．掌握关系的定义、性质和运算。
3．掌握等价关系和序关系，了解相容关系，会读、会画哈斯图。
4. 掌握映射与函数的定义。
第三章代数结构范围：1．代数系统的概念 2. 二元运算及其性质 3. 广群、半群与独异点 4. 群与子群5．阿贝尔群与循环群要求：1．掌握二元运算的重要性质。
《离散数学》考试大纲
《离散数学》考试大纲教学用书：《离散数学》左孝凌李为儖刘永才编著上海科学技术出版社一课程的性质、目的和任务离散数学课程是介绍离散数学各分支的基本概念、基本理论和基本研究方法、研究工具的基础课程，已成为计算机科学与技术的核心基础课程。
通过对离散数学课程的系统学习，学生应具备离散数学的基本概念和基本理论，掌握主要的研究方法和研究工具，训练学生的概括抽象能力、逻辑思维能力、归纳构造能力。
除此以外，还要培养学生严谨、完整、规范的科学态度。
二考核知识点与考核要求第一章命题逻辑1.命题概念掌握(1) 命题与真值的概念(2) 复合命题与联结词关系(3) 命题公式与联结词的简化2.命题公式化简掌握，会应用（重点）(1) 命题等价式与蕴涵式的定义(2) 构造真值表证明等价式(3) 不构造真值表证明蕴涵式与等价式3.命题公式的形式化描述掌握(1) 命题符号化与翻译4.范式与主范式掌握，会应用（重点）(1) 合取范式与析取范式概念(2) 主合取范式与主析取范式求法。
5.推理理论了解(1) P规则、T规则的推理证明(2) 应用CP规则等间接推理证第二章谓词逻辑1.谓词概念掌握(1) 客体与谓词(2) 谓词与命题函数(3) n元谓词2．量词以及合式公式掌握(1)个体域与全总个体域(2) 全称量词与存在量词(3) 谓词的合式公式(4) 量词的辖域(5) 约束变元与自由变元(6) 谓词公式的简单翻译3．谓词演算的等价式与蕴涵式了解(1) 谓词公式的赋值(2) 谓词演算的等价式与蕴涵式(3) 前束范式4．谓词演算的推理理论了解，不做要求(1) 谓词演算的US，UG，ES，EG规则第三章集合与关系和第四章函数1．集合概念与运算。
掌握，会应用(1) 集合概念与表示法(2) 集合运算的图示法(3) 集合运算的证明2．关系概念与性质掌握，会应用（重点）(1) 序偶与笛卡儿乘积(2) 关系的定义与表示法(3) 关系的性质及复合关系，逆关系3．关系的闭包求法掌握，会应用(1) 关系图表示法(2) 关系闭包运算4．关系分类掌握，会应用（重点）(1) 相容关系与覆盖（不做要求）(2) 等价关系与划分(3) 偏序关系与特殊元5.函数的定义与性质掌握(1) 函数的定义与图示(2) 复合函数与逆函数的定义与运算第五章代数系统和第六章格和布尔代数1．代数系统及运算掌握，会判断（重点）(1) 运算概念与性质(2) 代数系统的封闭性、幺元、零元，逆元2．半群与独异点掌握定义(1) 广群与半群定义(2) 独异点的定义与举例(3) 子半群与子独异点定义3．群与子群掌握，会应用（重点）(1) 群的定义(2) 群的性质(3) 子群的定义与判别(4) 循环群和ABEL群的定义及生成元。
离散数学复习大纲
试卷类型一、选择题（10题，每题2分，共计20分）二、填空题（10空，每空2分，共计20分）三、选择题（8题，每空1分，共计8分）四、名词解释（3个，每个4分，共计12分）五、构造推理证明题（1题，计10分）六、计算题（共计30分）求解主析取范式或合取范式、等价关系或偏序关系哈斯图、最小生成树、求解前束范式离散数学的定义第1章数学语言与证明方法主要内容：●集合定义，集合的两种描述方法，空集合的定义与定理及推论，子集、真子集、全集，相等集合，包括0的自然数、有理数、整数、实数集合，集合的元素个数●集合的交、并、补、差、对称差、幂运算（集合的个数）定义，经过括号形成的更为复杂的集合运算，简单的可以通过文氏图来表示。
第2章命题逻辑主要内容：●命题及其真值。
感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。
●简单命题与复合命题概念，5种联结词的具体涵义、真值表与符号表示，汉语的复合句的那些联结词与它们对应，特别是相容或和排斥或的符号化表示。
●联结词优先级：( ),⌝, ∧, ∨, →, ↔；同级按从左到右的顺序进行●命题常项、命题变项、合式公式定义，公式的赋值、真值表●命题公式的分类有重言式（永真式）、矛盾式（永假式）、可满足式●等值式的定义，真值表法和等值演算两种判断方法，置换规则●文字、简单析取式、简单合取式、析取范式、合取范式的定义●定理：(1) 一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含某个命题变项和它的否定；(2) 一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含某个命题变项和它的否定●定理：(1) 一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每一个简单合取式都是矛盾式；(2)一个合取范式是重言式当且仅当它的每一个简单析取式都是重言式●定理：任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式●求公式的范式的3个步骤●极小项、极大项的定义，对于每一个最小项只有一种指派使其取1，对于每一个最大项只有一种指派使其取0●定理：设m i与M i是由同一组命题变项形成的极小项和极大项, 则⌝m i ⇔ M i , ⌝M i⇔ m i●主析取范式、主合取范式的定义，求解公式的析取范式、合取范式、主析取范式、主合取范式●定理：任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和主合取范式, 并且是惟一的●求主析取范式的步骤，求主合取范式的步骤，快速求法、主析取范式的用途●命题逻辑推理的推理证明第3章一阶逻辑主要内容：●个体词（个体常项、个体变项）、个体域、全总个体域的定义●谓词（全称量词和存在量词）、n元谓词P(x1, x2,…, xn)的定义，命题的符号化●量词（全称量词和存在量词）、谓词公式、量词的辖域、谓词公式的真值判断、量词的消去等值变换●等值式的定义，5类基本等值式（量词的消去，量词辖域范围的收缩和扩展）●置换规则、换名规则的定义●前束范式的定义，利用量词的辖域的扩张，完成前束范式的求解●定理3.3(前束范式存在定理) 一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式第4章关系主要内容：●有序对、笛卡儿积、二元关系、从A到B的关系、A上的关系的定义●A上重要关系●A到B上关系的计数，A上关系的计数●关系的三种表示：关系的集合表达式、关系矩阵、关系图，后两种的使用限制●定义域、值域、域的定义●关系的运算：逆、合成的定义和表示方法以及简单计算●定理 4.1 设F是任意的关系, 则 (1) (F-1)-1=F (2) dom F-1=ran F,ran F-1=dom F●定理4.2 设F, G, H是任意的关系, 则(1) (F∘G)∘H=F∘(G∘H) (2) (F∘G)-1=G-1∘F-1●定理4.3 设R 为A上的关系, 则R∘I A= I A∘R = R●定义4.13 设R为A上的关系, n为自然数, 则 R 的 n次幂是 (1) R0 = {<x,x>| x∈A } = I A (2) R n+1 = R n∘R●定理4.4 设 A 为 n 元集, R是A上的关系, 则存在自然数 s 和 t, 使得 R s=R t.●定理4.5 设 R 是 A 上的关系, m, n∈N, 则 (1) R m∘R n = R m+n (2) (R m)n= R mn●自反性与反自反性, 对称性与反对称性，传递性的定义以及矩阵表示的特征。
离散数学数学教学大纲
离散数学数学教学大纲《离散数学》课程教学大纲一、课程基本信息课程编号：0906101课程中文名称：离散数学课程英文名称：Discrete Mathematics课程性质：专业基础课考核方式：考试开课专业：软件工程、计算机科学与技术开课学期：2、4总学时：72（理论80学时）总学分：4.5二、课程目的和任务离散数学，是现代数学的一个重要分支，是计算机科学与技术一级学科的核心课程，是整个计算机学科的专业基础课。
离散数学是以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象是有限个或可数个元素，因此它充分描述了计算机科学离散性的特点。
离散数学的教学任务是在教给学生离散问题建模、数学理论、计算机求解方法和技术知识的同时，培养学生的数学抽象能力与严密的逻辑推理能力。
通过本课程的学习，学生不仅可以掌握进一步学习其他专业课程所必需的理论基础知识，而且可以增强应用离散数学的基本原理和方法分析和解决问题的能力。
三、教学基本要求（含素质教育与创新能力培养的要求）通过该课程的教学，使学生了解并掌握计算机科学中普遍地采用离散数学中的一些基本概念、基本思想、基本方法，同时使学生具备解决离散问题的基本能力，并且要培养学生的抽象思维能力，为以后课程的学习及科学研究提供坚实的理论基础。
四、教学内容与学时分配(一)数理逻辑（18学时）命题逻辑（10学时）命题、逻辑连接词、真值表、范式、永真性、命题逻辑等值演算、命题逻辑的推理理论。
谓词（一阶）逻辑（8学时）谓词、量词、一阶逻辑公式及其解释、一阶逻辑公式的等值式、前束范式、假言推理、否定式推理、谓词逻辑的局限性。
(二)集合论（20学时）集合代数（2学时）集合性质、集合运算、恒等式。
二元关系（12学时）有序对与笛卡儿积、关系的运算、关系的性质（自反、对称、传递）、关系的闭包、等价关系、偏序关系。
函数（4学时）满射、入射、双射、函数的复合与逆函数。
集合的基数和可数性（2学时）。
(三) 图论（14学时）图的基本概念。
离散数学期末复习大纲
代数系统的定义
由非空集合及定义在该集 合上的一组运算构成的数 学结构。
代数系统的性质
封闭性、结合律、交换律、 分配律、吸收律等。
同态与同构
保持运算的映射关系，探 讨不同代数系统之间的结 构与性质相似性。
群、环、域等代数结构介绍
STEP 02
STEP 03
域的定义及性质
每个非零元素都有乘法逆 元的交换环，具有更丰富 的数学性质。
集合间关系与运算
集合间的关系
子集、真子集、相等集合等概念及其性质。
集合的运算
并集、交集、差集、补集等运算的定义、性 质及计算方法。
集合运算的优先级
括号>补集>交集>并集，在运算中应注意运 算优先级。
笛卡尔积与幂集
01
笛卡尔积的定义
设A和B为任意两个集合，则所有 有序对(a,b)的集合，其中a∈A， b∈B，称为A和B的笛卡尔积， 记作A×B。
形式语言与自动机
运用代数方法研究形式语言的语 法和语义，以及自动机的结构和 性质。
自动机理论
将计算过程抽象为状态转移的过 程，利用代数系统描述和分析自 动机的行为。
Part
07
总结与展望
关键知识点回顾与总结
命题逻辑
谓词逻辑
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
集合论
图论
代数系统
掌握命题、联结词、真 值表、逻辑等价、范式 等基本概念和性质，能 够运用推理规则进行逻 辑推理和证明。
Part
04
逻辑初步
命题逻辑基本概念及公式化简方法
命题逻辑基本概念
命题、联结词、真值表、命题公式、重言式、矛盾式 等。
公式化简方法
利用逻辑等价公式进行化简，如德摩根定律、分配律 等。
离散数学考试大纲
离散数学考试大纲1 命题演算基础1．1 命题与联结词①命题②联结词③合式公式④命题的符号化1.2 真假性①解释②等价公式③联结词的完备集④对偶式和内否式。
1.3 范式及其应用①范式②主范式2 命题演算的推理理论2.1 命题演算的公理系统①公理系统的组成部分②公理系统的推理过程2.2 命题演算的假设推理系统①假设推理系统的组成②假设推理系统的推理过程2.3 命题演算的归结推理法①归结证明过程②归结证明方法3 谓词演算基础3.1 谓词和个体①个体②谓词③语句的符号化3.2 函数和量词①函数项②量词3.4 永真性和可满足性①真假性②同真假性③永真性和可满足性④范式4 谓词演算的推理理论4.1 谓词演算的永真公理系统①公理系统的组成部分②公理系统的推理过程4.2 谓词演算的假设推理系统①假设推理系统的组成及证明方法②定理的推导过程4.3 谓词演算的归结系统①置换②归结反演系统③霍恩子句逻辑程序5递归函数论5.1 数论函数和数论谓词5.2 函数的构造6 集合6．1 集合的基本概念①集合；②子集合；③空集合；④集合的相等。
6．2 集合的基本运算①集合的运算；②集合的交；③集合的并；④集合的差；⑤集合的对称差；⑥集合的广义交；⑦集合的广义并；⑧幂集合。
6．3 全集和集合的补①全集；②集合的补；③德·摩根定律。
6．4 自然数与自然数集①自然数；②自然数集；③数学归纳法；④集合的归纳定义。
6．5 包含与排斥原理①有限集；②包含与排斥原理。
7 关系7．1 集合的笛卡尔积集①有序对；②集合的笛卡尔积集；③有序n(n≥2)元组；④n重(n≥2)笛卡尔积集。
7．2 二元关系的基本概念①二元关系；②二元关系的表示；③二元关系的图形表示；④二元关系的矩表示；⑤二元关系的运算；⑥二元关系的复合运算；⑦二元关系的逆关系。
7．3 二元关系的性质①二元关系的性质；②自反的二元关系；③反自反的二元关系；④对称的二元关系；⑤反对称的二元关系；⑥传递的二元关系。
离散数学考试大纲
“离散数学”课程考试大纲课程编号：F0200134学时数：64学分数：4适用专业：计算机科学与技术一、考试的目的与要求本课程考试按照《离散数学》教学大纲对计算机科学与技术专业本科生的要求，以考查学生对数理逻辑、集合论、代数系统及图论的基本概念及其在计算机学科中的应用的掌握程度及分析和解决问题的综合能力为目的，进行较全面测试，判别学生是否通过本课程的学习，达到了本课程培养目标的要求。
二、考试内容在教学大纲要求的范围内命题，考试内容覆盖到章，并适当突出重点章节，加大重点内容的覆盖密度，教学大纲要求的熟练掌握及要求掌握的内容，其覆盖面应90%以上，理解的内容要覆盖其全部的60%以上，要求了解的内容其覆盖面要占其全部的20%以上。
数理逻辑、集合论、代数系统及图论各部分内容分别占全部内容的30%、35%、15%和20%。
三、试卷结构及主要题型1.试卷结构选择题30%、填空题20%、计算分析题30%、综合分析题20%。
2.主要题型填空题和单项选择题主要涉及基本概念、基本理论，重要性质和结论、公式及其简单计算。
计算题主要考核学生的基本运算技能，要求书写计算、推论过程或理由。
综合分析题主要考查应用概念、性质、定理及主要结论进行逻辑推理的能力，要求写出推理过程。
四、考试方式采用闭卷（开卷）考试形式，应同时出A、B两套试题，其份量及难易程度相当，但不可雷同，并附标准答案。
五、试题数量及时间安排试卷应涵盖教学大纲规定内容的90%以上，选择题 15道，填空题10道，简答题道，计算分析题5 道，综合分析题2道。
考试时间120分钟，考试日期一般安排在考试周周内进行。
六、使用教材及主要参考书1.使用教材《离散数学》付彦等，高等教育出版社2.主要参考书[1]《离散数学》左孝凌，刘永才等编著，上海科学技术文献出版社[2]《Discrete Mathematics and Its Applications》Kenneth H.Rosen 著，机械工业出版社执笔人：陈敏教研室主任签字：系主任签字：年月日。
离散数学数学教学大纲
离散数学数学教学大纲一、课程基本信息课程名称：离散数学课程类别：专业基础课学分：X总学时：X先修课程：高等数学、线性代数二、课程性质与目标离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学与技术专业的核心基础课程之一。
它所研究的对象是离散量的结构和相互关系，其内容涵盖了数理逻辑、集合论、代数结构、图论等多个领域。
通过本课程的学习，学生将掌握离散数学的基本概念、基本理论和基本方法，培养抽象思维能力、逻辑推理能力和解决实际问题的能力，为后续学习计算机专业课程如数据结构、算法设计与分析、数据库原理等打下坚实的数学基础。
三、课程内容与教学要求（一）数理逻辑1、命题逻辑命题与联结词：理解命题的概念，掌握常见的联结词（如“且”“或”“非”“蕴含”“等价”）的含义和真值表。
命题公式与赋值：掌握命题公式的定义和构造方法，能够计算命题公式在给定赋值下的真值。
命题逻辑的等值演算：熟悉常见的命题逻辑等值式，能够运用等值演算进行命题公式的化简和证明。
命题逻辑的推理理论：掌握推理的形式结构和推理规则，能够进行简单的命题逻辑推理。
2、一阶逻辑一阶逻辑基本概念：理解个体词、谓词、量词的概念，掌握一阶逻辑公式的定义和解释。
一阶逻辑等值演算与推理：熟悉一阶逻辑的等值式和推理规则，能够进行一阶逻辑的化简和推理。
（二）集合论1、集合的基本概念：掌握集合的定义、表示方法和集合之间的关系（如子集、真子集、相等）。
2、集合的运算：熟练掌握集合的交、并、补、差等运算，能够用文氏图表示集合运算的结果。
3、集合的基数：了解集合基数的概念，掌握有限集和无限集的区别。
4、幂集：掌握幂集的定义和计算方法。
（三）代数结构1、二元运算及其性质：理解二元运算的概念，熟悉常见的二元运算（如加法、乘法），掌握二元运算的性质（如封闭性、交换律、结合律、分配律等）。
2、代数系统：掌握代数系统的定义和构成要素，能够判断给定的系统是否为代数系统。
3、群：理解群的定义和性质，掌握群的判定方法，了解循环群和置换群的基本概念。
天津理工大学离散数学课程考试大纲
(2005年8月版)课程名称: 离散数学课程代码: 0600030课程名称：离散数学课程代码：0600030第一部分课程性质及其设置目的和要求一、课程性质与特点离散数学是现代数学的一个重要分支，课程充分描述了计算机科学离散性的特点，是计算机科学的数学基础，是计算机专业的专业基础课程。
本课程的目的是使学生掌握计算机科学技术所必需的数学知识，结合离散数学在计算机科学中的应用，掌握处理离散量的基本数学方法，培养和提高学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，为学习专业课奠定良好的数学基础。
二、课程设置的目的和要求通过该课程的学习，使学生掌握数理逻辑、集合论、函数、代数系统和图论等离散数学的基本概念和基本原理，了解离散结构之间的关系和基于这些离散结构的算法，能够对一些简单的算法给出定量的分析，强化思维的推理，能够在理论推导上有所提高，并且能够对计算机描述的世界进行基本建模，为学习计算机专业各后续课程做好必要的知识准备，为从事计算机的应用提供必要的描述工具和理论基础。
三、与本专业其他课程的关系《离散数学》是计算机专业的最重要的专业基础课程之一，它是学习计算机、管理信息类各专业的许多其他后续课程的基础。
先修课程：《高等数学》、《线性代数》。
后读课程有：数据结构、数据库、操作系统、编译原理、计算机网络等。
第二部分课程内容与考核目标第一章命题逻辑一、学习目的与要求通过本章学习，使学生深刻理解命题的概念、联结词的定义，掌握命题公式的翻译、命题公式的化简和主范式表示以及推理证明的直接证法和间接证法。
二、考核知识点与考核目标（一）命题公式的主范式表示（重点）识记：大项、小项的概念。
理解：命题公式的主析取范式、主合取范式的概念及二者的联系。
应用：命题公式的主析取范式、主合取范式的求法。
（二）命题演算的推理理论（重点）识记：P规则、T规则、CP规则。
理解：推理证明的直接证法和间接证法的应用条件。
应用：推理证明的直接证法和间接证法。
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《离散数学》课程考试大纲
一、考试对象
本课程考试大纲适用于计算机科学与技术（含卓越工程师班）、信息管理与信息系统、信息安全、软件工程、网络工程、数字媒体技术专业的学生。
二、考试依据
本课程考试大纲是以本课程的教学大纲和指定的教材为依据制定的。
本课程指定的教材为古天龙等主编的、清华大学出版社出版的《离散数学》。
三、考核知识点和考核要求
第1章集合
考核知识点:
1．集合，元素，集合的表示，全集，空集
2．集合的包含、相等，子集，幂集
3．集合的并、交、补、差、对称差等运算及其运算律
4．容斥原理
考核要求:
1．理解集合的概念，容斥原理．
2．理解集合的包含、子集、相等和幂集等概念，熟练掌握集合的表示方法和集合的并、交、补、差和对称差等运算，会用文氏图表示集合的各种运算．
3．掌握用集合运算基本等值式证明集合恒等式的方法．
4．掌握利用容斥原理进行计数的方法.
第2章关系
考核知识点:
1．有序对和笛卡儿积
2．关系及其运算性质
3．二元关系的矩阵与图
4．复合关系与逆关系
5．二元关系的性质
6．等价关系与等价类
7．偏序关系与哈斯图，极大(小)元，最大(小 )元，上(下)界，上确界，下确界
考核要求:
1．了解有序对和笛卡儿积的概念，掌握笛卡儿积的运算．
2．理解关系的概念：包括二元关系、空关系、全关系、恒等关系．掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图，掌握关系的运算．
3．掌握求复合关系和逆关系的方法．
4．理解关系的性质(自反性和反自反性、对称性和反对称性、传递性)，掌握其判别方法．5．理解等价关系和偏序关系概念，掌握等价关系、偏序关系的判定，掌握等价类、划分的求法和作偏序关系哈斯图的方法．知道极大(小)元，最大(小)元的概念，会求极大(小)元、最大(小)元、最小上界和最大下界．
第3章函数
考核知识点：
函数、函数的逆运算、函数的复合运算单射、满射和双射
考核要求：
1．理解函数概念：函数，函数的复合运算和函数的逆运算．
2．理解单射、满射和双射等概念，掌握其判别方法．
第4章代数系统
考核知识点：
1. 运算、运算的封闭性
2. 代数系统、子代数系统
3. 交换律、结合律、分配律、吸收律、等幂律、消去律
4. 等幂元、幺元、零元、逆元、可消去元
5. 同构、同态、同态核、同态的基本性质
考核要求：
1. 掌握代数系统的基本概念：运算、运算的封闭性、交换律、结合律、分配律、吸收律、等幂律、消去律、等幂元、幺元、零元、逆元、可消去元．
2. 理解代数系统、子代数系统的概念．
3. 掌握同构、同态的定义及基本性质；理解同态核．
第5章典型的代数系统
考核知识点：
1. 半群、子半群、独异点、子独异点、群、子群
2. 元素的阶、群的阶、群的性质、子群的性质
3. 交换群、生成元、循环群
考核要求：
1.掌握半群、子半群、独异点、子独异点、群、子群的定义及基本性质.
2.掌握群的阶、元素的阶、生成元；掌握子群的判定方法.
3.理解交换群的定义，掌握循环群的定义与性质.
第6章图
考核知识点:
1. 图、简单图、完全图、子图、生成子图、导出子图
2. 顶点的度数、握手定理、图的同构、通路、回路、图的连通性、图的操作、关联矩阵、邻接矩阵、可达矩阵、边权矩阵、赋权图、最短路径，Dijkstra算法
3. 欧拉图、哈密顿图、二部图
考核要求:
1.掌握图的基本概念：图、简单图、完全图、子图、生成子图、导出子图的定义.
2.掌握顶点的度数、握手定理的应用；掌握图的同构；掌握通路、回路、图的连通性的概
念及基本性质.
3.理解图的操作；掌握关联矩阵、邻接矩阵，理解可达矩阵、边权矩阵；掌握赋权图及最
短路径的概念，掌握用Dijkstra算法求赋权图中的最短路径；掌握欧拉图、哈密顿图的定义及判定定理；理解二部图的定义及判定定理.
第7章树
考核知识点:
1.无向树、赋权树、生成树、最小生成树、求最小生成树的算法、
2.有向树、根树、有序树、根树的遍历、二叉树、最优树、前缀码、最佳前缀码、Huffman
算法
考核要求:
1.掌握无向树的定义及性质；掌握赋权树、生成树、最小生成树的定义及求最小生成树的
算法.
2.掌握有向树的定义及性质；掌握根树、有序树的定义，理解根树的遍历；掌握二叉树的
定义及性质；掌握最优树、前缀码、最佳前缀码的定义，Huffman算法及其应用.
第8章命题逻辑
考核知识点：
1．命题与联结词(否定、析取、合取、蕴含、等价)，真值与真值表
2．命题公式的等值式与蕴涵式，等值演算
3．析取范式、合取范式、极小(大)项，主析取范式、主合取范式的概念与求法
4．命题逻辑的推理理论
考核要求：
1．理解命题联结词概念，掌握命题符号化及判断语句是不是命题的方法．
2．熟练掌握求给定公式真值表的方法．
3．掌握基本等值式以及用真值表法和等值演算法判别公式类型和公式等值的方法．
4．了解析取(合取)范式概念，理解极小(大)项的概念和主析取(合取)范式概念，熟练掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取(合取)范式的方法．
5．掌握命题逻辑推理的的直接证明方法与间接证明方法．
第9章谓词逻辑
考核知识点：
1．谓词，量词，个体词，个体域，变元
2．谓词公式的解释
3．前束范式的概念与求法
4．谓词公式的等值式与蕴涵式
5．谓词逻辑的推理理论
考核要求：
1．理解谓词、量词、个体词、个体域、全域、原子公式、谓词公式和变元等概念．掌握谓词公式的符号化.
2．掌握在有限个体域下消去公式的量词和求公式在给定解释下真值的方法．
3．掌握谓词演算的等值式和重言蕴含式．
4．了解前束范式的概念，会求谓词公式的前束范式的方法．
5．了解谓词逻辑推理的规则，掌握谓词逻辑推理的证明方法．
四、考核方式和时间
采用闭卷、笔试形式。
时间为120分钟
五、考核评价标准
考试总评成绩=考试成绩（70%）+平时成绩（30%）。