初升高衔接资料---学生版

初高中数学衔接教材

目录

数与式的运算

1.1.1 绝对值

1.1.2 乘法公式

1.1.3 二次根式

1.1.４分式

1．2 分解因式

一元二次方程

2.1.1 根的判别式

2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）

2．2 一元二次不等式

2．3 二次函数在闭区间上求最值

2．4 一元二次方程根的分布

数与式的运算

1.１.1．绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪

==⎨⎪-<⎩

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 例1 解不等式：13x x -+-＞4．

解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1， 即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1， ∴x ＜0；

②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4，

∴不存在满足条件的x ；

③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4． 又x ≥3，∴x ＞4． 解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA |，即|PA |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|． 所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为

|PA |＋|PB |＞4． 由|AB |＝2，可知

点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧．

综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4．

练 习 1．填空：

（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.

（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________.

1

3

4

|x －1|

|x －3|

图1．1－1

2．选择题：

下列叙述正确的是 （ ）

（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =± 3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．

1.1.

2. 乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；

（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．

解法一：原式=2222

(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦

=242(1)(1)x x x -++

=61x -．

解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +-

=61x -．

例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． 解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．

练 习 1．填空：

（1）221111

()9423

a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22

)164(m m =++ )；

（3）2222

(2)4(a b c a b c +-=+++ )．

2．选择题：

（1）若2

1

2

x mx k +

+是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2

m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m

（2）不论a ，b 为何实数，22

248a b a b +--+的值 （ ）

（A ）总是正数 （B ）总是负数

（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数

1.1.3．二次根式

0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如

32a b

212

x ++

，22x y ++

理式．

1．分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数

式互为有理化因式，

与等等． 一

般地，

b

与b 互为有理化因式．

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．

2

a ==,0,

,0.a a a a ≥⎧⎨

-<⎩

例1 将下列式子化为最简二次根式：

（1

（2

0)a ≥； （3

0)x <． 解： （1

=

（2

0)a ==≥； （3

220)x x x ==-<．

例2

(3．

解法一：

(3

＝1

2

．

解法二：

(3

＝

1

2

+． 例3 试比较下列各组数的大小：

（1

- （2

和 解： （1

1===

，

1=

==

，